13.3.2.2 含30°角的直角三角形的性质同步练习 （含答案）
文档属性
| 名称 | 13.3.2.2 含30°角的直角三角形的性质同步练习 （含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-30 19:51:36 | ||
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文档简介
13.3.2等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
【知识重点】
知识点1 含30°角的直角三角形的性质
1. 性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 .
几何语言：如图，在Rt△ABC中,
∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴ BC＝AB.
2. 作用：应用于证线段的倍分关系和计算角度.
特别解读
应用此性质，必须满足两个条件：
①在直角三角形中；
②有一个锐角为30 ° .二者缺一不可.
【经典例题】
【例1】如图，在Rt△ABC中 ，∠C＝90°，AB边的垂直平分线MN交AB于点M，交BC于点N，且∠B＝15°，AC＝4 cm，求BN的长.
解题秘方：先构造含30°角的直角三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质求线段长.
【总结】（1） 求某直角三角形的边长时，考虑构造含30°角的直角三角形.
（2） 若给出的是15°角，则构造以15°角为底角的等腰三角形，其顶角处的外角为30°的角.
【例2】如图，在等边三角形ABC中，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q. 求证：BP＝2PQ.
方法点拨：在同一个三角形中证明一条线段等于另一条线段的2倍，一是证明是直角三角形；二是证明较短的直角边所对的锐角等于30°
【同步练习】
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，则( )
A．AB＝2AC B．AC＝2AB C．AB＝AC D．AB＝3AC
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＋BC＝12cm，则AB等于( )
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
3．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC，若BE＝1，则AC的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
第3题图 第4题图 第5题图
4．如图，在△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若CD＝2，则BD的长为( )
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
5．如图，在△ABC中， ∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC，垂足为D，则BD与BC的数量关系是( )
A．BD＝BC B．BD＝BC C．BD＝BC D．BD＝BC
6．【2022·淄博】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°.分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E.
若CD＝3，则BD的长为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
第6题图 第7题图 第8题图
7．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.若CD＝2，则DF的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在平行四边形ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为( )
A．12 B．15 C．18 D．21
9．如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AD，AB＝8 m，∠A＝30°，则立柱BC的长度为( )
A．4 m B．8 m C．10 m D．16 m
第9题图 第10题图
10．如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2 km.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于( )
A．2 km B．3 km C．2km D．4 km
二、填空题
11．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于_____________．
12．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为 米．
第12题图 第13题图 第14题图
13．【2023·广州华侨外国语学校月考】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD.若CD＝1，则AD的长为________．
14．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝1，则OF＝ ．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝15°，BD⊥AC于点D，若BD＝5，则AB＝______，S△ABC＝______.
三、解答题
16．如图，在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于点D.若BD＝3，求AB的长．
17．如图，△ABE是等边三角形，C为BE的中点，CD⊥AB于点D.求的值．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是边AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分边AB，垂足为D.若EC＝3 cm，求AE的长．
19．【2023·兰州三十五中模拟】如图，等边三角形ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.
(1)若AD＝2，求AF的长；
(2)当AD取何值时，DE＝EF
20．【2023三门峡期中】图1所示的是某地铁入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，示意图如图2所示，双翼边缘的端点 与 之间的距离为 ，双翼的边缘 ，且与闸机箱的夹角 .求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度.
21．一艘轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又航行7 n mile到B处，测得小岛P的方位是北偏东60°，若小岛周围3.8 n mile内有暗礁，则该船一直向东航行有无触礁危险？
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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参考答案
【经典例题】
【例1】如图，在Rt△ABC中 ，∠C＝90°，AB边的垂直平分线MN交AB于点M，交BC于点N，且∠B＝15°，AC＝4 cm，求BN的长.
解题秘方：先构造含30°角的直角三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质求线段长.
解：如图，连接AN.
∵ MN为AB边的垂直平分线，
∴ AN＝BN，
∴∠NAB＝∠B＝15°，
∴∠ANC＝∠B＋∠NAB＝30°.
在Rt△ACN中，∠ANC＝30°，
∴ AN＝2AC＝2×4＝8(cm). ∴ BN＝8 cm.
【总结】（1） 求某直角三角形的边长时，考虑构造含30°角的直角三角形.
（2） 若给出的是15°角，则构造以15°角为底角的等腰三角形，其顶角处的外角为30°的角.
【例2】如图，在等边三角形ABC中，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q. 求证：BP＝2PQ.
解题秘方：利用含30°角的直角三角形的性质证明线段的倍分关系.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴ AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°.
∵ AE＝CD，∴△ABE≌△CAD(SAS)，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠BPQ＝∠ABE＋∠BAP＝∠CAD＋∠BAP＝∠BAE＝60°.
∵ BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°，∴ BP＝2PQ.
方法点拨：在同一个三角形中证明一条线段等于另一条线段的2倍，一是证明是直角三角形；二是证明较短的直角边所对的锐角等于30°
【同步练习】
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，则( A )
A．AB＝2AC B．AC＝2AB C．AB＝AC D．AB＝3AC
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＋BC＝12cm，则AB等于( C )
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
3．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC，若BE＝1，则AC的长为( C )
A．2 B．3 C．4 D．6
第3题图 第4题图 第5题图
4．如图，在△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若CD＝2，则BD的长为( B )
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
5．如图，在△ABC中， ∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC，垂足为D，则BD与BC的数量关系是( C )
A．BD＝BC B．BD＝BC C．BD＝BC D．BD＝BC
6．【2022·淄博】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°.分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E.
若CD＝3，则BD的长为( C )
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】如图，连接AD.∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°.由作法得DE垂直平分AC，
∴DA＝DC＝3.∴∠DAC＝∠C＝30°.∴∠BAD＝120°－30°＝90°.
在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴BD＝2AD＝6.
第6题图 第7题图 第8题图
7．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.若CD＝2，则DF的长为( D )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在平行四边形ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为( C )
A．12 B．15 C．18 D．21
9．如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AD，AB＝8 m，∠A＝30°，则立柱BC的长度为( A )
A．4 m B．8 m C．10 m D．16 m
第9题图 第10题图
10．如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2 km.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于( D )
A．2 km B．3 km C．2km D．4 km
二、填空题
11．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于_____________．
【答案】斜边的一半
12．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为 米．
【答案】12
第12题图 第13题图 第14题图
13．【2023·广州华侨外国语学校月考】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD.若CD＝1，则AD的长为________．
【提示】已知∠A＝30°，∠DEA＝90°，欲求AD的长，只需求出DE的长，容易证得DE＝CD.
【答案】2
14．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝1，则OF＝ ．
【答案】2
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝15°，BD⊥AC于点D，若BD＝5，则AB＝______，S△ABC＝______.
【答案】10 25
三、解答题
16．如图，在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于点D.若BD＝3，求AB的长．
解：∵∠ACB＝90°，
CD⊥AB，
∴∠BCD＝∠A＝30°，
∴BC＝2BD＝6.
在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝6，
∴AB＝2BC＝12.
17．如图，△ABE是等边三角形，C为BE的中点，CD⊥AB于点D.求的值．
解：连接AC.∵C为BE的中点，△ABE为等边三角形，
∴AC⊥BE，∠BCD＝∠BAC＝30°，
设BD＝x，则BC＝2x，AB＝4x，
∴AD＝3x，∴＝.
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是边AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分边AB，垂足为D.若EC＝3 cm，求AE的长．
解：∵DE垂直平分边AB，∴AE＝BE.∴∠2＝∠A.
∵∠1＝∠2，∴∠A＝∠1＝∠2.∵∠C＝90°，
∴∠A＝∠1＝∠2＝30°.∵∠1＝∠2，ED⊥AB，∠C＝90°，
∴CE＝DE＝3 cm.
在Rt△ADE中，∵∠ADE＝90°，∠A＝30°，
∴AE＝2DE＝2×3＝6(cm)．
19．【2023·兰州三十五中模拟】如图，等边三角形ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.
(1)若AD＝2，求AF的长；
解：(1)由题意知AB＝BC＝AC＝8，∠B＝∠A＝∠C＝60°，
∴BD＝AB－AD＝8－2＝6.∵DE⊥BC，
∴∠BDE＝90°－60°＝30°.∴BE＝BD＝3.
∴EC＝8－3＝5.∵EF⊥AC，∴∠FEC＝90°－60°＝30°.
∴FC＝5×＝.∴AF＝8－＝.
(2)当AD取何值时，DE＝EF
当DE＝EF时，易证△BDE≌△CEF，
∴BE＝CF，BD＝CE.
∵CF＝CE，∴BE＝CE.
又∵BE＋CE＝8，∴CE＝∴BD＝
∴AD＝8－＝.即当AD＝时，DE＝EF.
20．【2023三门峡期中】图1所示的是某地铁入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，示意图如图2所示，双翼边缘的端点 与 之间的距离为 ，双翼的边缘 ，且与闸机箱的夹角 .求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度.
解：如图，分别过点 ， 作 于点 ， 于点 ，
在 中， ， ，
，
同理可得， .
点 与点 之间的距离为 ，
当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为
.
21．一艘轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又航行7 n mile到B处，测得小岛P的方位是北偏东60°，若小岛周围3.8 n mile内有暗礁，则该船一直向东航行有无触礁危险？
解：依题意画示意图，则AB＝7 n mile，过点P作PC⊥AB，垂足为C，则∠PBC＝30°，
∴∠APB＝∠PBC－∠PAB＝30°－15°＝15°.
∴∠PAB＝∠APB.
∴PB＝AB＝7 n mile.
∴PC＝PB＝×7＝3.5 n mile.
∵PC＜3.8 n mile，
∴该船一直向东航行有触礁的危险．
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
【知识重点】
知识点1 含30°角的直角三角形的性质
1. 性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 .
几何语言：如图，在Rt△ABC中,
∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴ BC＝AB.
2. 作用：应用于证线段的倍分关系和计算角度.
特别解读
应用此性质，必须满足两个条件：
①在直角三角形中；
②有一个锐角为30 ° .二者缺一不可.
【经典例题】
【例1】如图，在Rt△ABC中 ，∠C＝90°，AB边的垂直平分线MN交AB于点M，交BC于点N，且∠B＝15°，AC＝4 cm，求BN的长.
解题秘方：先构造含30°角的直角三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质求线段长.
【总结】（1） 求某直角三角形的边长时，考虑构造含30°角的直角三角形.
（2） 若给出的是15°角，则构造以15°角为底角的等腰三角形，其顶角处的外角为30°的角.
【例2】如图，在等边三角形ABC中，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q. 求证：BP＝2PQ.
方法点拨：在同一个三角形中证明一条线段等于另一条线段的2倍，一是证明是直角三角形；二是证明较短的直角边所对的锐角等于30°
【同步练习】
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，则( )
A．AB＝2AC B．AC＝2AB C．AB＝AC D．AB＝3AC
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＋BC＝12cm，则AB等于( )
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
3．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC，若BE＝1，则AC的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
第3题图 第4题图 第5题图
4．如图，在△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若CD＝2，则BD的长为( )
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
5．如图，在△ABC中， ∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC，垂足为D，则BD与BC的数量关系是( )
A．BD＝BC B．BD＝BC C．BD＝BC D．BD＝BC
6．【2022·淄博】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°.分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E.
若CD＝3，则BD的长为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
第6题图 第7题图 第8题图
7．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.若CD＝2，则DF的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在平行四边形ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为( )
A．12 B．15 C．18 D．21
9．如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AD，AB＝8 m，∠A＝30°，则立柱BC的长度为( )
A．4 m B．8 m C．10 m D．16 m
第9题图 第10题图
10．如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2 km.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于( )
A．2 km B．3 km C．2km D．4 km
二、填空题
11．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于_____________．
12．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为 米．
第12题图 第13题图 第14题图
13．【2023·广州华侨外国语学校月考】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD.若CD＝1，则AD的长为________．
14．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝1，则OF＝ ．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝15°，BD⊥AC于点D，若BD＝5，则AB＝______，S△ABC＝______.
三、解答题
16．如图，在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于点D.若BD＝3，求AB的长．
17．如图，△ABE是等边三角形，C为BE的中点，CD⊥AB于点D.求的值．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是边AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分边AB，垂足为D.若EC＝3 cm，求AE的长．
19．【2023·兰州三十五中模拟】如图，等边三角形ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.
(1)若AD＝2，求AF的长；
(2)当AD取何值时，DE＝EF
20．【2023三门峡期中】图1所示的是某地铁入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，示意图如图2所示，双翼边缘的端点 与 之间的距离为 ，双翼的边缘 ，且与闸机箱的夹角 .求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度.
21．一艘轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又航行7 n mile到B处，测得小岛P的方位是北偏东60°，若小岛周围3.8 n mile内有暗礁，则该船一直向东航行有无触礁危险？
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参考答案
【经典例题】
【例1】如图，在Rt△ABC中 ，∠C＝90°，AB边的垂直平分线MN交AB于点M，交BC于点N，且∠B＝15°，AC＝4 cm，求BN的长.
解题秘方：先构造含30°角的直角三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质求线段长.
解：如图，连接AN.
∵ MN为AB边的垂直平分线，
∴ AN＝BN，
∴∠NAB＝∠B＝15°，
∴∠ANC＝∠B＋∠NAB＝30°.
在Rt△ACN中，∠ANC＝30°，
∴ AN＝2AC＝2×4＝8(cm). ∴ BN＝8 cm.
【总结】（1） 求某直角三角形的边长时，考虑构造含30°角的直角三角形.
（2） 若给出的是15°角，则构造以15°角为底角的等腰三角形，其顶角处的外角为30°的角.
【例2】如图，在等边三角形ABC中，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q. 求证：BP＝2PQ.
解题秘方：利用含30°角的直角三角形的性质证明线段的倍分关系.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴ AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°.
∵ AE＝CD，∴△ABE≌△CAD(SAS)，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠BPQ＝∠ABE＋∠BAP＝∠CAD＋∠BAP＝∠BAE＝60°.
∵ BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°，∴ BP＝2PQ.
方法点拨：在同一个三角形中证明一条线段等于另一条线段的2倍，一是证明是直角三角形；二是证明较短的直角边所对的锐角等于30°
【同步练习】
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，则( A )
A．AB＝2AC B．AC＝2AB C．AB＝AC D．AB＝3AC
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＋BC＝12cm，则AB等于( C )
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
3．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC，若BE＝1，则AC的长为( C )
A．2 B．3 C．4 D．6
第3题图 第4题图 第5题图
4．如图，在△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若CD＝2，则BD的长为( B )
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
5．如图，在△ABC中， ∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC，垂足为D，则BD与BC的数量关系是( C )
A．BD＝BC B．BD＝BC C．BD＝BC D．BD＝BC
6．【2022·淄博】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°.分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E.
若CD＝3，则BD的长为( C )
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】如图，连接AD.∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°.由作法得DE垂直平分AC，
∴DA＝DC＝3.∴∠DAC＝∠C＝30°.∴∠BAD＝120°－30°＝90°.
在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴BD＝2AD＝6.
第6题图 第7题图 第8题图
7．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.若CD＝2，则DF的长为( D )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在平行四边形ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为( C )
A．12 B．15 C．18 D．21
9．如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AD，AB＝8 m，∠A＝30°，则立柱BC的长度为( A )
A．4 m B．8 m C．10 m D．16 m
第9题图 第10题图
10．如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2 km.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于( D )
A．2 km B．3 km C．2km D．4 km
二、填空题
11．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于_____________．
【答案】斜边的一半
12．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为 米．
【答案】12
第12题图 第13题图 第14题图
13．【2023·广州华侨外国语学校月考】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD.若CD＝1，则AD的长为________．
【提示】已知∠A＝30°，∠DEA＝90°，欲求AD的长，只需求出DE的长，容易证得DE＝CD.
【答案】2
14．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝1，则OF＝ ．
【答案】2
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝15°，BD⊥AC于点D，若BD＝5，则AB＝______，S△ABC＝______.
【答案】10 25
三、解答题
16．如图，在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于点D.若BD＝3，求AB的长．
解：∵∠ACB＝90°，
CD⊥AB，
∴∠BCD＝∠A＝30°，
∴BC＝2BD＝6.
在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝6，
∴AB＝2BC＝12.
17．如图，△ABE是等边三角形，C为BE的中点，CD⊥AB于点D.求的值．
解：连接AC.∵C为BE的中点，△ABE为等边三角形，
∴AC⊥BE，∠BCD＝∠BAC＝30°，
设BD＝x，则BC＝2x，AB＝4x，
∴AD＝3x，∴＝.
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是边AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分边AB，垂足为D.若EC＝3 cm，求AE的长．
解：∵DE垂直平分边AB，∴AE＝BE.∴∠2＝∠A.
∵∠1＝∠2，∴∠A＝∠1＝∠2.∵∠C＝90°，
∴∠A＝∠1＝∠2＝30°.∵∠1＝∠2，ED⊥AB，∠C＝90°，
∴CE＝DE＝3 cm.
在Rt△ADE中，∵∠ADE＝90°，∠A＝30°，
∴AE＝2DE＝2×3＝6(cm)．
19．【2023·兰州三十五中模拟】如图，等边三角形ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.
(1)若AD＝2，求AF的长；
解：(1)由题意知AB＝BC＝AC＝8，∠B＝∠A＝∠C＝60°，
∴BD＝AB－AD＝8－2＝6.∵DE⊥BC，
∴∠BDE＝90°－60°＝30°.∴BE＝BD＝3.
∴EC＝8－3＝5.∵EF⊥AC，∴∠FEC＝90°－60°＝30°.
∴FC＝5×＝.∴AF＝8－＝.
(2)当AD取何值时，DE＝EF
当DE＝EF时，易证△BDE≌△CEF，
∴BE＝CF，BD＝CE.
∵CF＝CE，∴BE＝CE.
又∵BE＋CE＝8，∴CE＝∴BD＝
∴AD＝8－＝.即当AD＝时，DE＝EF.
20．【2023三门峡期中】图1所示的是某地铁入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，示意图如图2所示，双翼边缘的端点 与 之间的距离为 ，双翼的边缘 ，且与闸机箱的夹角 .求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度.
解：如图，分别过点 ， 作 于点 ， 于点 ，
在 中， ， ，
，
同理可得， .
点 与点 之间的距离为 ，
当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为
.
21．一艘轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又航行7 n mile到B处，测得小岛P的方位是北偏东60°，若小岛周围3.8 n mile内有暗礁，则该船一直向东航行有无触礁危险？
解：依题意画示意图，则AB＝7 n mile，过点P作PC⊥AB，垂足为C，则∠PBC＝30°，
∴∠APB＝∠PBC－∠PAB＝30°－15°＝15°.
∴∠PAB＝∠APB.
∴PB＝AB＝7 n mile.
∴PC＝PB＝×7＝3.5 n mile.
∵PC＜3.8 n mile，
∴该船一直向东航行有触礁的危险．