福建省福州延安中学2023-2024学年九年级第一学期开门考质量检测数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分
1．（2023九上·福州开学考）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·福州开学考）将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·福州开学考）如图1，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
图1
A．， B．，
C．， D．，
4．（2023九上·福州开学考）某餐饮外卖平台规定，点单时除点餐费用外，需另付配送费5元．某学习小组收集了一段时间内该外卖平台的部分订单，统计了每单的消费总额和每单不计算配送费的消费额的两组数据，对于这两组数据，下列判断正确的是（ ）
A．众数相同 B．中位数相同 C．平均数相同 D．方差相同
5．（2023九上·福州开学考）对于的性质，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为 B．当时，y随x增大而减小
C．当时，y有最大值2 D．对称轴为直线
6．（2023九上·福州开学考）如图，在中E、F分别是AB、AC上的点，，且，若的面积为2，则四边形EBCF的面积为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．8
7．（2023九上·福州开学考）已知方程配方后是，那么方程配方后是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·福州开学考）如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023九上·福州开学考）如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点E在AC上，，，，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023九上·福州开学考）已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（2012·大连）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 ．
12．（2023九上·福州开学考）如图5，在中，，点D是AB的中点，，则 ．
13．（2023九上·福州开学考）如图是甲、乙两人5次足球点球测试（每次点球10个）成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作、，则 （填“＞”“＝”或“＜”）．
14．（2023九上·福州开学考）关于x的方程的两根分别为，，则的值为 ．
15．（2023九上·福州开学考）如图，已知正方形ABCD，边长为4，点M是正方形ABCD对角线AC上一点，连接BM，过点A作，垂足为H，连接CH．在M点从C到A的运动过程中，CH的最小值为 ．
16．（2023九上·福州开学考）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
… t m －2 －2 n …
当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②－2和3是关于x的方程的两个根；③．则所有正确结论的序号为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2023九上·福州开学考）解方程：
（1）；
（2）．
18．（2023九上·福州开学考）如图，D、E分别是AC、AB上的点，连接DE，且，若，，，求BC的长．
19．（2023九上·福州开学考）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的差为3，求m的值．
20．（2023九上·福州开学考）校学生处为了解全校1200名学生每天在上学路上所用的时间，随机调查了30名学生．下表是某一天这30名学生上学所用时间（单位：分）：
20 20 30 15 20 25 5 15 20 10
15 35 45 10 20 25 30 20 15 20
20 10 20 5 15 20 20 20 5 15
通过整理和分析数据，得到以下不完全的统计图．
根据所给信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）这30名学生上学所用时间的中位数为 分钟，众数为 分钟；
（3）若随机问这30名同学中一名学生的上学时间，最有可能得到的回答是 分钟；
（4）估计全校学生上学时间在20分钟及以下的人数．
21．（2023九上·福州开学考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．过点A作，过点D作交AE于点E．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若，，求四边形AODE的面积．
22．（2023九上·福州开学考）如图，在矩形ABCD中，，．
（1）尺规作图：在线段AB上确定一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接DE，若F是DE的中点，连接BF，求线段BF的长度．
23．（2023九上·福州开学考）某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与x（天）的关系如表：
时间x（天） 1 3 6 10 36 …
日销售量m（件） 94 90 84 76 24 …
未来40天内，前20天每天的价格（且x为整数），后20天每天的价格（且x为整数）．
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的知一次函数，二次函数的知识确定一 个满足这些数据m（件）与x（天）之间的关系式，求出日销售量m（件）与x（天）之间的函数关系式；
（2）请预测示来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
24．（2023九上·福州开学考）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，CG．
（1）写出AF和CG的数量关系，并证明．
（2）求证：．
（3）连接DF，若正方形ABCD的边长为6，求出DF的最小值．
25．（2023九上·福州开学考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限抛物线上的一个动点，当点D在运动过程中，求的面积的最大值，并写出此时点D的坐标；
（3）在第一象限的抛物线上是否存在点M，使得，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、x2-2x-3=0是一元二次方程，A符合题意；
B、x2-xy=2中含有2个未知数，不是一元二次方程，B不符合题意；
C、不是整式方程，不是一元二次方程，C不符合题意；
D、2（x-1）=x是一元一次方程，不是一元二次方程，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.进行分析即可得出结论.
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=x2向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式为y=x2-2，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数图象与几何变换——平移规律：“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式即可求得平移后的函数解析式.
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，A不符合题意；
B、∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，B不符合题意；
C、∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，C不符合题意；
D、AB=DC，AD∥BC，无法得出四边形ABCD是平行四边形，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；进行分析即可得出结论.
4．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由题意知，统计了每单的消费总额是在原数据的基础上，每个数据增加5，
所以这两组数据的波动幅度相同，即方差相同；
而这两组数据的众数不同；中位数不同；平均数不同；
故答案为：D.
【分析】根据方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.进行分析即可得出结论.
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：由题意得，该函数的顶点坐标是（1，2）；A不符合题意；
∵二次项系数a=3＞0，
故当x≥1时，y随x增大而增大，B不符合题意；
当x=1时，y有最小值2；C不符合题意；
∴其对称轴为x=1；D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的性质：形如y=a(x-h)2+k的二次函数，其顶点坐标为（h，k)，对称轴为直线x=h，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；当x=h时，y最大（小）值；若a>0，当x≤h时，y随x的增大而减小；当x≥h时，y随x的增大而增大；若a＜0，当x≤h时，y随x的增大而增大；当x≥h时，y随x的增大而减小；进行分析即可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵EF∥BC，
∴，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∵△AEF的面积为2，
∴S△ABC=18，
则S四边形EBCF=S△ABC-S△AEF=18-2=16．
故答案为：A.
【分析】根据题意求得，根据平行截割定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例可得，根据相似三角形的判定和性质：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，相似三角形面积的比等于相似比的平方；即可求得S△ABC=18，根据割补法即可求解.
7．【答案】D
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：x2-6x+q=0，
x2-6x=-q，
配方，得x2-6x+9=-q+9，
即（x-3）2=-q+9，
∵方程x2-6x+q=0配方后是（x-p）2=16，
∴p=3，-q+9=16，
∴q=-7，
∴x2+6x+q=0为x2+6x-7=0，
x2+6x=7，
x2+6x+9=7+9，
（x+3）2=16，
∵p=3，
∴（x+p）2=16，
故答案为：D.
【分析】根据配方，求出（x-3）2=-q+9，根据方程x2-6x+q=0配方后是（x-p）2=16，得出p=3，-q+9=16，求出q，再代入x2+6x+q=0得出x2+6x-7=0，再移项后配方即可得出结论.
8．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵函数y1=mx和y2=x+3的图象相交于点A（-1，2），
∴不等式mx＜x+3的解集为：x＞-1.
故答案为：D.
【分析】根据两个函数图象的交点，以交点为分界，结合图象即可得出不等式mx＜x+3的解集.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，DO=BO，AC⊥BD，
∵AC=16，CD=10，
∴CO=8，
∴，
∵CE=CD=10，
∴OE=CE-OC=10-8=2，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的对角线垂直且平分可得AO=CO，DO=BO，AC⊥BD，即可求得CO=8，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得OD=6，，即可得出结论.
10．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2-2ax+3=a（x-1）2-a+3，且a＞0，
∴该抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
即抛物线上的点到对称轴的距离越远，其函数值越大，
∵A（-1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，
其到坐标轴的距离分别是1-（-1）=2，2-1=1，4-1=3，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的性质：形如y=a(x-h)2+k的二次函数，其顶点坐标为（h，k)，对称轴为直线x=h，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；若a>0，当x≤h时，y随x的增大而减小；当x≥h时，y随x的增大而增大；若a＜0，当x≤h时，y随x的增大而增大；当x≥h时，y随x的增大而减小，分别求出点A，B，C到对称轴的距离，即可根据二次函数的性质推得函数值的大小.
11．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
12．【答案】4
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，点D是AB的中点，
∴CD是Rt△ABC斜边上的中线，
又∵AB=8，
∴，
故答案为：4.
【分析】根据直角三角形斜边上中线是直角三角形斜边上的中点连向对角的顶点的线段，且如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解得出结论.
13．【答案】<
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由统计图可知：
甲的成绩为：6，5，6，4，7；
乙的成绩为：5，2，5，7，3，
∴，
；
，
；
∵1.04＜3.04，
∴，
故答案为：＜.
【分析】先求出甲，乙两人的平均成绩，再求出方差：每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数，即可得出结论.
14．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的方程的两根分别为x1，x2，
∴，
故答案为：-2.
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系：进行计算即可.
15．【答案】
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 如图，取AB的中点G，连接GH，GC，则，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，BC=AB=4，
∴，
∵AH⊥BM，G为AB的中点，
∴，
∵CH≥GC-GH，
∴，
即CH的最小值为，
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质：正方形的四个角是直角，四条边相等可得∠ABC=90°，BC=AB=4，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得GH=2，根据两点之间线段最短可得，即可得出结论.
16．【答案】①②
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x=0时，y=c=-2，当x=1时，y=a+b+c=-2，
∴a+b=0，抛物线对称轴为直线，
∵当时，其对应的函数值y＞0，
∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，
∴二次函数开口向上，
∴a＞0，b＜0．
∴abc＞0．①正确；
∵x=-2时，y=t，
∴-2是关于x的方程ax2+bx+c=t的根．
∵对称轴为直线，
∴-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根．②正确；
∵b=-a，c=-2，
∴二次函数解析式：y=ax2-ax-2，
∵当时，与其对应的函数值y＞0．
∴，
∴；
∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n，抛物线对称轴为直线，
∴m=n=2a-2，
∴；③错误，
故答案为：①②.
【分析】根据表中数据可知a+b=0，抛物线对称轴为直线，根据题意可得在对称轴左侧，y随x增大而减小，推得a＞0，b＜0；根据x=-2时，y=t，结合抛物线的对称轴可得-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；结合a+b=0，可得二次函数解析式：y=ax2-ax-2，根据题意可得m+n=4a-4，即可得出结论.
17．【答案】（1）解：
或
，
（2）解：，，，
∴
∴
∴，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据直接开方法解一元二次方程进行计算即可；
（2）根据公式法解一元二次方程进行计算即可.
18．【答案】解：∵ ，
∴；
∴，
∵，，
∴
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据有两个角相等的两个三角形是相似三角形，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，得到，即可求解得出答案.
19．【答案】（1）证明：∵．
∴，
∴．
∴该方程总有两个实数根．
（2）解：∵一元二次方程，
即
解得：，，
∵该方程的两个实数根的差为3，
∴．
∴或．
综上所述，m的值是0或6．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）求一元二次方程根的判别式，证得判别式大于等于0，即可证明；
（2）根据因式分解法求得一元二次方程的解，结合题意即可列方程，求解即可得出答案.
20．【答案】（1）解：根据表中数据可得：上学所用时为15分钟的有6人，上学所用时为40分钟的有0人，
（2）20；20
（3）20
（4）解：（人），
答：全校学生上学时间在20分钟及以下的人数大约为960人．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：（2）这30名学生用时数据从小到大排列，处在中间位置的两个数都是20分钟，
因此中位数是20，即m=20，
这30名学生用时数据出现次数最多的是20分钟，
因此众数是20，即n=20，
故答案为：20，20.
（3）由于众数是20分钟，
因此用时为20分钟的学生最多，
所以最有可能得到的回答是20分钟；
故答案为：20.
【分析】（1）根据表中数据可得：上学所用时为15分钟的有6人上学所用时为40分钟的有0人，进而补全条形统计图即可；
（2）根据众数的意义，找出出现次数最多的数即可，根据中位数的意义，求出排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数即可；
（3）根据众数和可能性的大小即可得出答案；
（4）用1200乘以样本中“20分钟及以下”的学生所占比例即可得出答案.
21．【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形AODE为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，四边形AODE是矩形，
∴矩形AODE的面积
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形；菱形的对角线互相垂直；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明；
（2）根据菱形对角线互相平分，且垂直，菱形的四条边都相等；有一个角是60度角的等腰三角形是等边三角形；等边三角形的三条边都相等；根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方；求得OD的值，即可求解.
22．【答案】（1）解：以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AB于点M，再作线段BM的垂直平分线，交BM于点E，则点E即为所求，如图：
（2）解：过点F作于点G，
∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵F是DE的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例；作图-直线、射线、线段；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）先借助圆规在AB上确定点M，使得AM=AD=3，则BM=2，作BM的垂直平分线即可得到ME=1，即可求解；
（2）根据矩形的四个角是直角可得∠A=90°，根据平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例可求得EG=2，求得BG=3，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即可求解.
23．【答案】（1）解：由题意可知，m（件）与x（天）满足一次函数关系．
设一次函数关系式为，
将、（分别代入一次函数关系式中，得
解得，
∴
经检验，其他m与x的对应值均适合以上关系式，
∴ 日销售量m（件）与x（天）之间的函数关系式 为：m=-2x+96 .
（2）解：设前20天日销售利润为元，后20天日销售利润为元，
则，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为450；
，
∵，此函数图象开口向上，对称轴是直线，
∴当时，有最大值，最大值为．
∵，
答：第18天的日销售利润最大为450元；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求得一次函数关系式；
（2）根据日利润=日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较，即可得出结论.
24．【答案】（1）解：解：，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵四边形BGEF是正方形，
∴，，
∴，
∴（SAS），
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵四边形FBGE是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴F点在对角线AC上，
∴当DF垂直AF时，DF取得最小值，
即点F在BD中点位置，
∴DF的最小值为．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等即可证明；
（2）根据两角分别对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例即可证明；
（3）根据正方形的对角线平分对角，四个角是直角，四条边都相等；根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方；求得，，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，相似三角形的对应角相等可求得，即点F在正方形ABCD的对角线AC上，则当DF垂直AF时，DF取得最小值，即可得出结果.
25．【答案】（1）解：∵，，A在B的左侧，
∴
将，代入，
∴，
解得，
∴；
（2）解：令，则，
∴，
设直线BC的解析式为，
∴，
解得，
∴，
过点D作轴交BC于点E，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为4，此时.
（3）解：延长AC到D，使得，存过D作DE垂直y轴并交y轴于点E
∵，，，
∴，，，
∵，
∴
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴设直线BD的解析式为；
联立得：，
，
解得，，
由题意知，
∴.
【知识点】勾股定理的逆定理；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题意求得点B的坐标，待定系数法求得抛物线的解析式即可；
（2）先根据题意求得点C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式为，设，，求得DE的长，利用三角形面积公式得到S△CDB=-（t-2）2+4，然后根据二次函数的最值即可求解得到t=2，即可得出点E的坐标；
（3）根据点的坐标求出AC，AB，BC，根据勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形可得，根据两角分别对应相等的两个三角形相似，相似三角形对应角相等，对应边成比例可得，，求得点D的坐标，求得直线BD的解析式为，联立方程组求解即可得到点M的坐标.
1 / 1福建省福州延安中学2023-2024学年九年级第一学期开门考质量检测数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分
1．（2023九上·福州开学考）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、x2-2x-3=0是一元二次方程，A符合题意；
B、x2-xy=2中含有2个未知数，不是一元二次方程，B不符合题意；
C、不是整式方程，不是一元二次方程，C不符合题意；
D、2（x-1）=x是一元一次方程，不是一元二次方程，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.进行分析即可得出结论.
2．（2023九上·福州开学考）将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=x2向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式为y=x2-2，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数图象与几何变换——平移规律：“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式即可求得平移后的函数解析式.
3．（2023九上·福州开学考）如图1，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
图1
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，A不符合题意；
B、∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，B不符合题意；
C、∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，C不符合题意；
D、AB=DC，AD∥BC，无法得出四边形ABCD是平行四边形，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；进行分析即可得出结论.
4．（2023九上·福州开学考）某餐饮外卖平台规定，点单时除点餐费用外，需另付配送费5元．某学习小组收集了一段时间内该外卖平台的部分订单，统计了每单的消费总额和每单不计算配送费的消费额的两组数据，对于这两组数据，下列判断正确的是（ ）
A．众数相同 B．中位数相同 C．平均数相同 D．方差相同
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由题意知，统计了每单的消费总额是在原数据的基础上，每个数据增加5，
所以这两组数据的波动幅度相同，即方差相同；
而这两组数据的众数不同；中位数不同；平均数不同；
故答案为：D.
【分析】根据方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.进行分析即可得出结论.
5．（2023九上·福州开学考）对于的性质，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为 B．当时，y随x增大而减小
C．当时，y有最大值2 D．对称轴为直线
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：由题意得，该函数的顶点坐标是（1，2）；A不符合题意；
∵二次项系数a=3＞0，
故当x≥1时，y随x增大而增大，B不符合题意；
当x=1时，y有最小值2；C不符合题意；
∴其对称轴为x=1；D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的性质：形如y=a(x-h)2+k的二次函数，其顶点坐标为（h，k)，对称轴为直线x=h，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；当x=h时，y最大（小）值；若a>0，当x≤h时，y随x的增大而减小；当x≥h时，y随x的增大而增大；若a＜0，当x≤h时，y随x的增大而增大；当x≥h时，y随x的增大而减小；进行分析即可得出答案.
6．（2023九上·福州开学考）如图，在中E、F分别是AB、AC上的点，，且，若的面积为2，则四边形EBCF的面积为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．8
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵EF∥BC，
∴，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∵△AEF的面积为2，
∴S△ABC=18，
则S四边形EBCF=S△ABC-S△AEF=18-2=16．
故答案为：A.
【分析】根据题意求得，根据平行截割定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例可得，根据相似三角形的判定和性质：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，相似三角形面积的比等于相似比的平方；即可求得S△ABC=18，根据割补法即可求解.
7．（2023九上·福州开学考）已知方程配方后是，那么方程配方后是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：x2-6x+q=0，
x2-6x=-q，
配方，得x2-6x+9=-q+9，
即（x-3）2=-q+9，
∵方程x2-6x+q=0配方后是（x-p）2=16，
∴p=3，-q+9=16，
∴q=-7，
∴x2+6x+q=0为x2+6x-7=0，
x2+6x=7，
x2+6x+9=7+9，
（x+3）2=16，
∵p=3，
∴（x+p）2=16，
故答案为：D.
【分析】根据配方，求出（x-3）2=-q+9，根据方程x2-6x+q=0配方后是（x-p）2=16，得出p=3，-q+9=16，求出q，再代入x2+6x+q=0得出x2+6x-7=0，再移项后配方即可得出结论.
8．（2023九上·福州开学考）如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵函数y1=mx和y2=x+3的图象相交于点A（-1，2），
∴不等式mx＜x+3的解集为：x＞-1.
故答案为：D.
【分析】根据两个函数图象的交点，以交点为分界，结合图象即可得出不等式mx＜x+3的解集.
9．（2023九上·福州开学考）如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点E在AC上，，，，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，DO=BO，AC⊥BD，
∵AC=16，CD=10，
∴CO=8，
∴，
∵CE=CD=10，
∴OE=CE-OC=10-8=2，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的对角线垂直且平分可得AO=CO，DO=BO，AC⊥BD，即可求得CO=8，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得OD=6，，即可得出结论.
10．（2023九上·福州开学考）已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2-2ax+3=a（x-1）2-a+3，且a＞0，
∴该抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
即抛物线上的点到对称轴的距离越远，其函数值越大，
∵A（-1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，
其到坐标轴的距离分别是1-（-1）=2，2-1=1，4-1=3，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的性质：形如y=a(x-h)2+k的二次函数，其顶点坐标为（h，k)，对称轴为直线x=h，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；若a>0，当x≤h时，y随x的增大而减小；当x≥h时，y随x的增大而增大；若a＜0，当x≤h时，y随x的增大而增大；当x≥h时，y随x的增大而减小，分别求出点A，B，C到对称轴的距离，即可根据二次函数的性质推得函数值的大小.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（2012·大连）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
12．（2023九上·福州开学考）如图5，在中，，点D是AB的中点，，则 ．
【答案】4
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，点D是AB的中点，
∴CD是Rt△ABC斜边上的中线，
又∵AB=8，
∴，
故答案为：4.
【分析】根据直角三角形斜边上中线是直角三角形斜边上的中点连向对角的顶点的线段，且如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解得出结论.
13．（2023九上·福州开学考）如图是甲、乙两人5次足球点球测试（每次点球10个）成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作、，则 （填“＞”“＝”或“＜”）．
【答案】<
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由统计图可知：
甲的成绩为：6，5，6，4，7；
乙的成绩为：5，2，5，7，3，
∴，
；
，
；
∵1.04＜3.04，
∴，
故答案为：＜.
【分析】先求出甲，乙两人的平均成绩，再求出方差：每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数，即可得出结论.
14．（2023九上·福州开学考）关于x的方程的两根分别为，，则的值为 ．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的方程的两根分别为x1，x2，
∴，
故答案为：-2.
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系：进行计算即可.
15．（2023九上·福州开学考）如图，已知正方形ABCD，边长为4，点M是正方形ABCD对角线AC上一点，连接BM，过点A作，垂足为H，连接CH．在M点从C到A的运动过程中，CH的最小值为 ．
【答案】
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 如图，取AB的中点G，连接GH，GC，则，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，BC=AB=4，
∴，
∵AH⊥BM，G为AB的中点，
∴，
∵CH≥GC-GH，
∴，
即CH的最小值为，
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质：正方形的四个角是直角，四条边相等可得∠ABC=90°，BC=AB=4，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得GH=2，根据两点之间线段最短可得，即可得出结论.
16．（2023九上·福州开学考）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
… t m －2 －2 n …
当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②－2和3是关于x的方程的两个根；③．则所有正确结论的序号为 ．
【答案】①②
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x=0时，y=c=-2，当x=1时，y=a+b+c=-2，
∴a+b=0，抛物线对称轴为直线，
∵当时，其对应的函数值y＞0，
∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，
∴二次函数开口向上，
∴a＞0，b＜0．
∴abc＞0．①正确；
∵x=-2时，y=t，
∴-2是关于x的方程ax2+bx+c=t的根．
∵对称轴为直线，
∴-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根．②正确；
∵b=-a，c=-2，
∴二次函数解析式：y=ax2-ax-2，
∵当时，与其对应的函数值y＞0．
∴，
∴；
∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n，抛物线对称轴为直线，
∴m=n=2a-2，
∴；③错误，
故答案为：①②.
【分析】根据表中数据可知a+b=0，抛物线对称轴为直线，根据题意可得在对称轴左侧，y随x增大而减小，推得a＞0，b＜0；根据x=-2时，y=t，结合抛物线的对称轴可得-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；结合a+b=0，可得二次函数解析式：y=ax2-ax-2，根据题意可得m+n=4a-4，即可得出结论.
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2023九上·福州开学考）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
或
，
（2）解：，，，
∴
∴
∴，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据直接开方法解一元二次方程进行计算即可；
（2）根据公式法解一元二次方程进行计算即可.
18．（2023九上·福州开学考）如图，D、E分别是AC、AB上的点，连接DE，且，若，，，求BC的长．
【答案】解：∵ ，
∴；
∴，
∵，，
∴
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据有两个角相等的两个三角形是相似三角形，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，得到，即可求解得出答案.
19．（2023九上·福州开学考）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的差为3，求m的值．
【答案】（1）证明：∵．
∴，
∴．
∴该方程总有两个实数根．
（2）解：∵一元二次方程，
即
解得：，，
∵该方程的两个实数根的差为3，
∴．
∴或．
综上所述，m的值是0或6．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）求一元二次方程根的判别式，证得判别式大于等于0，即可证明；
（2）根据因式分解法求得一元二次方程的解，结合题意即可列方程，求解即可得出答案.
20．（2023九上·福州开学考）校学生处为了解全校1200名学生每天在上学路上所用的时间，随机调查了30名学生．下表是某一天这30名学生上学所用时间（单位：分）：
20 20 30 15 20 25 5 15 20 10
15 35 45 10 20 25 30 20 15 20
20 10 20 5 15 20 20 20 5 15
通过整理和分析数据，得到以下不完全的统计图．
根据所给信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）这30名学生上学所用时间的中位数为 分钟，众数为 分钟；
（3）若随机问这30名同学中一名学生的上学时间，最有可能得到的回答是 分钟；
（4）估计全校学生上学时间在20分钟及以下的人数．
【答案】（1）解：根据表中数据可得：上学所用时为15分钟的有6人，上学所用时为40分钟的有0人，
（2）20；20
（3）20
（4）解：（人），
答：全校学生上学时间在20分钟及以下的人数大约为960人．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：（2）这30名学生用时数据从小到大排列，处在中间位置的两个数都是20分钟，
因此中位数是20，即m=20，
这30名学生用时数据出现次数最多的是20分钟，
因此众数是20，即n=20，
故答案为：20，20.
（3）由于众数是20分钟，
因此用时为20分钟的学生最多，
所以最有可能得到的回答是20分钟；
故答案为：20.
【分析】（1）根据表中数据可得：上学所用时为15分钟的有6人上学所用时为40分钟的有0人，进而补全条形统计图即可；
（2）根据众数的意义，找出出现次数最多的数即可，根据中位数的意义，求出排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数即可；
（3）根据众数和可能性的大小即可得出答案；
（4）用1200乘以样本中“20分钟及以下”的学生所占比例即可得出答案.
21．（2023九上·福州开学考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．过点A作，过点D作交AE于点E．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若，，求四边形AODE的面积．
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形AODE为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，四边形AODE是矩形，
∴矩形AODE的面积
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形；菱形的对角线互相垂直；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明；
（2）根据菱形对角线互相平分，且垂直，菱形的四条边都相等；有一个角是60度角的等腰三角形是等边三角形；等边三角形的三条边都相等；根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方；求得OD的值，即可求解.
22．（2023九上·福州开学考）如图，在矩形ABCD中，，．
（1）尺规作图：在线段AB上确定一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接DE，若F是DE的中点，连接BF，求线段BF的长度．
【答案】（1）解：以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AB于点M，再作线段BM的垂直平分线，交BM于点E，则点E即为所求，如图：
（2）解：过点F作于点G，
∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵F是DE的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例；作图-直线、射线、线段；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）先借助圆规在AB上确定点M，使得AM=AD=3，则BM=2，作BM的垂直平分线即可得到ME=1，即可求解；
（2）根据矩形的四个角是直角可得∠A=90°，根据平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例可求得EG=2，求得BG=3，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即可求解.
23．（2023九上·福州开学考）某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与x（天）的关系如表：
时间x（天） 1 3 6 10 36 …
日销售量m（件） 94 90 84 76 24 …
未来40天内，前20天每天的价格（且x为整数），后20天每天的价格（且x为整数）．
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的知一次函数，二次函数的知识确定一 个满足这些数据m（件）与x（天）之间的关系式，求出日销售量m（件）与x（天）之间的函数关系式；
（2）请预测示来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
【答案】（1）解：由题意可知，m（件）与x（天）满足一次函数关系．
设一次函数关系式为，
将、（分别代入一次函数关系式中，得
解得，
∴
经检验，其他m与x的对应值均适合以上关系式，
∴ 日销售量m（件）与x（天）之间的函数关系式 为：m=-2x+96 .
（2）解：设前20天日销售利润为元，后20天日销售利润为元，
则，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为450；
，
∵，此函数图象开口向上，对称轴是直线，
∴当时，有最大值，最大值为．
∵，
答：第18天的日销售利润最大为450元；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求得一次函数关系式；
（2）根据日利润=日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较，即可得出结论.
24．（2023九上·福州开学考）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，CG．
（1）写出AF和CG的数量关系，并证明．
（2）求证：．
（3）连接DF，若正方形ABCD的边长为6，求出DF的最小值．
【答案】（1）解：解：，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵四边形BGEF是正方形，
∴，，
∴，
∴（SAS），
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵四边形FBGE是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴F点在对角线AC上，
∴当DF垂直AF时，DF取得最小值，
即点F在BD中点位置，
∴DF的最小值为．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等即可证明；
（2）根据两角分别对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例即可证明；
（3）根据正方形的对角线平分对角，四个角是直角，四条边都相等；根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方；求得，，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，相似三角形的对应角相等可求得，即点F在正方形ABCD的对角线AC上，则当DF垂直AF时，DF取得最小值，即可得出结果.
25．（2023九上·福州开学考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限抛物线上的一个动点，当点D在运动过程中，求的面积的最大值，并写出此时点D的坐标；
（3）在第一象限的抛物线上是否存在点M，使得，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，，A在B的左侧，
∴
将，代入，
∴，
解得，
∴；
（2）解：令，则，
∴，
设直线BC的解析式为，
∴，
解得，
∴，
过点D作轴交BC于点E，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为4，此时.
（3）解：延长AC到D，使得，存过D作DE垂直y轴并交y轴于点E
∵，，，
∴，，，
∵，
∴
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴设直线BD的解析式为；
联立得：，
，
解得，，
由题意知，
∴.
【知识点】勾股定理的逆定理；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题意求得点B的坐标，待定系数法求得抛物线的解析式即可；
（2）先根据题意求得点C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式为，设，，求得DE的长，利用三角形面积公式得到S△CDB=-（t-2）2+4，然后根据二次函数的最值即可求解得到t=2，即可得出点E的坐标；
（3）根据点的坐标求出AC，AB，BC，根据勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形可得，根据两角分别对应相等的两个三角形相似，相似三角形对应角相等，对应边成比例可得，，求得点D的坐标，求得直线BD的解析式为，联立方程组求解即可得到点M的坐标.
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