平面直角坐标系
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17.2.1平面直角坐标系
一．选择题（共9小题）
1．在平面直角坐标系中，点M（﹣2，1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图的坐标平面上有P、Q两点，其坐标分别为（5，a）、（b，7）．根据图中P、Q两点的位置，判断点（6﹣b，a﹣10）落在第几象限？（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
3．若点M（x，y）满足（x+y）2=x2+y2﹣2，则点M所在象限是（ ）
A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限 C．第一象限或第二象限 D．不能确定
4．如图，在5×4的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O，A，B在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点C，使△ABC的面积为3，则这样的点C共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5． 点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）
6．在平面直角坐标系中，与点（1，2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣1）
7．如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A（﹣4，6），B（﹣6，2），E（2，1），则点D的坐标为（ ）
A．（﹣4，6） B．（4，6） C．（﹣2，1） D．（6，2）
8．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
9．点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
二．填空题（共7小题）
10．在平面直角坐标系中，点（﹣4，4）在第 _________ 象限．
11．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点P′的坐标为 _________ ．
12．点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为 _________ ．
13．若点M（3，a）关于y轴的对称点是点N（b，2），则（a+b）2014= _________ ．
14．已知P（1，﹣2），则点P关于x轴的对称点的坐标是 _________ ．
15．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n= _________ ．
16．在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3…每个正方形四条边上的整点的个数，若累计到正方形AnBnCnDn时，整点共有1680个，则n= _________ ．
三．解答题（共5小题）
17．在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，5），B（4，2），C（﹣1，0）三点．
（1）点A关于原点O的对称点A′的坐标为 _________ ，点B关于x轴的对称点B′的坐标为 _________ ，点C关于y轴的对称点C的坐标为 _________ ．
（2）求（1）中的△A′B′C′的面积．
18．请在所给网格中按下列要求操作：
（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（0，2），B点坐标为（﹣2，0）；
（2）在x轴上画点C，使△ABC为等腰三角形，请画出所有符合条件的点C，并直接写出相应的C点坐标．
19．如图，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且A、B、C三点的坐标分别为（3，3）、（6，4）、（4，6）．
（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；
（2）求这个平行四边形的面积．
20．已知点P（a+1，2a﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围．
21．直角坐标系中，已知点P（﹣2，﹣1），点T（t，0）是x轴上的一个动点．
（1）求点P关于原点的对称点P′的坐标；
（2）当t取何值时，△P′TO是等腰三角形？
17.2.1平面直角坐标系
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．在平面直角坐标系中，点M（﹣2，1）在（ ）
A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D． 第四象限
考点： 点的坐标．21世纪教育网
分析： 根据各象限内点的坐标特征解答．
解答： 解：点M（﹣2，1）在第二象限．
故选：B．
点评： 本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
2．如图的坐标平面上有P、Q两点，其坐标分别为（5，a）、（b，7）．根据图中P、Q两点的位置，判断点（6﹣b，a﹣10）落在第几象限？（ ）
A． 一 B．二 C．三 D． 四
考点： 点的坐标．21世纪教育网
分析： 由平面直角坐标系判断出a＜7，b＜5，然后求出6﹣b，a﹣10的正负情况，再根据各象限内点的坐标特征解答．
解答： 解：∵（5，a）、（b，7），
∴a＜7，b＜5，
∴6﹣b＞0，a﹣10＜0，
∴点（6﹣b，a﹣10）在第四象限．
故选D．
点评： 本题考查了点的坐标，观察图形，判断出a、b的取值范围是解题的关键．
3．若点M（x，y）满足（x+y）2=x2+y2﹣2，则点M所在象限是（ ）
A． 第一象限或第三象限 B． 第二象限或第四象限
C． 第一象限或第二象限 D． 不能确定
考点： 点的坐标；完全平方公式．21世纪教育网
分析： 利用完全平方公式展开得到xy=﹣1，再根据异号得负判断出x、y异号，然后根据各象限内点的坐标特征解答．
解答： 解：∵（x+y）2=x2+2xy+y2，
∴原式可化为xy=﹣1，
∴x、y异号，
∴点M（x，y）在第二象限或第四象限．
故选：B．
点评： 本题考查了点的坐标，求出x、y异号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
4．如图，在5×4的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O，A，B在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点C，使△ABC的面积为3，则这样的点C共有（ ）
A． 2个 B．3个 C．4个 D． 5个
考点： 坐标与图形性质；三角形的面积．21世纪教育网
分析： 根据点A、B的坐标判断出AB∥x轴，然后根据三角形的面积求出点C到AB的距离，再判断出点C的位置即可．
解答： 解：由图可知，AB∥x轴，且AB=3，
设点C到AB的距离为h，
则△ABC的面积=×3h=3，
解得h=2，
∵点C在第四象限，
∴点C的位置如图所示，共有3个．
故选：B．
点评： 本题考查了坐标与图形性质，三角形面积，判断出AB∥x轴是解题的关键．
5．点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A． （﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D． （2，﹣5）
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．21世纪教育网
分析： 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．
解答： 解：∵点P（2，﹣5）关于x轴对称，
∴对称点的坐标为：（2，5）．
故选：B．
点评： 此题主要考查了关于x轴对称点的坐标性质，正确记忆坐标变化规律是解题关键．
6．在平面直角坐标系中，与点（1，2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． （﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D． （﹣2，﹣1）
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．21世纪教育网
分析： 根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．
解答： 解：点（1，2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣1，2）．
故选A．
点评： 解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
7．如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A（﹣4，6），B（﹣6，2），E（2，1），则点D的坐标为（ ）
A． （﹣4，6） B．（4，6） C．（﹣2，1） D． （6，2）
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．21世纪教育网
分析： 根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而得出答案．
解答： 解：∵△ABC与△DEF关于y轴对称，A（﹣4，6），
∴D（4，6）．
故选：B．
点评： 此题主要考查了关于y轴对称点的性质，准确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
8．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A． （3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D． （﹣2，﹣3）
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．21世纪教育网
分析： 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．
解答： 解：∵点A（2，3），
∴点A关于x轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）．
故选：B．
点评： 此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆关于坐标轴对称点的性质是解题关键．
9．点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． （1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D． （1，2）
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．21世纪教育网
分析： 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．
解答： 解：点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（1，2），
故选：D．
点评： 此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
二．填空题（共7小题）
10．在平面直角坐标系中，点（﹣4，4）在第 二 象限．
考点： 点的坐标．21世纪教育网
分析： 根据各象限内点的坐标特征解答．
解答： 解：点（﹣4，4）在第二象限．
故答案为：二．
点评： 本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
11．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点P′的坐标为 （﹣2，﹣3） ．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．21世纪教育网
分析： 让点P的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得到点P关于x轴的对称点P′的坐标．
解答： 解：∵点P（﹣2，3）关于x轴的对称点P′，
∴点P′的横坐标不变，为﹣2；纵坐标为﹣3，
∴点P关于x轴的对称点P′的坐标为（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
点评： 此题主要考查了关于x轴对称点的性质，用到的知识点为：两点关于x轴对称，横纵坐标不变，纵坐标互为相反数．
12．点P（2， 3）关于x轴的对称点的坐标为 （2，﹣3） ．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．21世纪教育网
分析： 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）得出即可．
解答： 解：∵点P（2，3）
∴关于x轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
点评： 此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，正确记忆坐标规律是解题关键．
13．若点M（3，a）关于y轴的对称点是点N（b，2），则（a+b）2014= 1 ．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．21世纪教育网
分析： 根据轴对称的性质，点M和点N的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可以求得a、b的值，从而可得a+b的值．
解答： 解：∵点M（3，a）关于y轴的对称点是点N（b，2），
∴b=﹣3，a=2，
∴a+b=﹣1，
∴（a+b）2014=（﹣1）2014=1．
故答案为：1．
点评： 本题考查了轴对称的性质和幂的运算，解题的关键是先求得a、b的值．
14．已知P（1，﹣2），则点P关于x轴的对称点的坐标是 （1，2） ．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．21世纪教育网
分析： 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．
解答： 解：∵P（1，﹣2），
∴点P关于x轴的对称点的坐标是：（1，2）．
故答案为：（1，2）．
点评： 此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆关于坐标轴对称点的性质是解题关键．
15．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n= 0 ．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．21世纪教育网
分析： 根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列出方程求解即可．
解答： 解：∵点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，
∴m+2=4，3=n+5，
解得：m=2，n=﹣2，
∴m+n=0，
故答案为：0．
点评： 本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
16．在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3…每个正方形四条边上的整点的个数，若累计到正方形AnBnCnDn时，整点共有1680个，则n= 20 ．
考点： 坐标与图形性质；正方形的性质．21世纪教育网
专题： 压轴题；规律型．
分析： 寻找规律：第n个正方形上的整点个数是：4+4（2n﹣1）=8n．得方程求解．
解答： 解：正方形A1B1C1D1上的整点个数是8，
正方形A2B2C2D2上的整点个数是16，
正方形A3B3C3D3上的整点个数是24，
则第n个正方形上的整点个数是：4+4（2n﹣1）=8n．
累计到正方形AnBnCnDn时，整点共有8（1+2+…+n），即8（1+2+…+n）=1680，
=210，解得n1=20，n2=﹣21（舍去）．
故答案为：20．
点评： 本题需要通过找每个正方形上的整点个数的规律，得出一般结论，再进一步求和．
三．解答题（共5小题）
17．在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，5），B（4，2），C（﹣1，0）三点．
（1）点A关于原点O的对称点A′的坐标为 （1，﹣5） ，点B关于x轴的对称点B′的坐标为 （4，﹣2） ，点C关于y轴的对称点C的坐标为 （1，0） ．
（2）求（1）中的△A′B′C′的面积．
考点： 关于原点对称的点的坐标；三角形的面积；关于x轴、y轴对称的点的坐标．21世纪教育网
分析： （1）关于原点对称的两点的横、纵坐标都是互为相反数；关于x轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相同；
（2）根据点A′（1，﹣5），B′（4，﹣2），C′（1，0）在平面直角坐标系中的位置，可以求得A′C′=5，B′D=3，所以由三角形的面积公式进行解答．
解答： 解：（1）∵A（﹣1，5），
∴点A关于原点O的对称点A′的坐标为（1，﹣5）．
∵B（4，2），
∴点B关于x轴的对称点B′的坐标为（4，﹣2）．
∵C（﹣1，0），
∴点C关于y轴的对称点C′的坐标为（1，0）．
故答案为：（1，﹣5），（4，﹣2），（1，0）．
（2）如图，∵A′（1，﹣5），B′（4，﹣2），C′（1，0）．
∴A′C′=|﹣5﹣0|=5，B′D=|4﹣1|=3，
∴S△A′B′C′=A′C′?B′D=×5×3=7.5，即（1）中的△A′B′C′的面积是7.5．
点评： 本题考查了关于原点、x轴、y轴对称的点的坐标，三角形的面积．解答（2）题时，充分体现了“数形结合”数学思想的优势．
18．请在所给网格中按下列要求操作：
（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（0，2），B点坐标为（﹣2，0）；
（2）在x轴上画点C，使△ABC为等腰三角形，请画出所有符合条件的点C，并直接写出相应的C点坐标．
考点： 坐标与图形性质；等腰三角形的性质．21世纪教育网
专题： 网格型．
分析： （1）根据A点坐标为（0，2），B点坐标为（﹣2，0），则点A所在的纵线一定是y轴，B所在的横线一定是x轴．
（2）分AB时底边或腰两种情况进行讨论．
解答： 解：（1）在网格中建立平面直角坐标系如图所示：
（2）满足条件的点有4个：C1：（2，0）；C2：（，0）；C3：（0，0）；C4：（，0）．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质及坐标与图形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
19．如图，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且A、B、C三点的坐标分别为（3，3）、（6，4）、（4，6）．
（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；
（2）求这个平行四边形的面积．
考点： 坐标与图形性质；平行四边形的性质．21世纪教育网
分析： （1）本题应从BC为对角线、AC为对角线、AB为对角线三种情况入手讨论，即可得出第四个点的坐标．
（2）解本题时应将三角形进行分化，化为几个直角三角形的和，解出面积和，乘以2即为平行四边形的面积．
解答： 解：（1）BC为对角线时，第四个点坐标为（7，7）；AB为对角线时，第四个点为（5，1）；当AC为对角线时，第四个点坐标为（1，5）．
（2）图中△ABC面积=3×3﹣（1×3+1×3+2×2）=4，所以平行四边形面积=2×△ABC面积=8．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质和判定，难易程度适中．
20．已知点P（a+1，2a﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标；解一元一次不等式组．21世纪教育网
专题： 计算题．
分析： 点P（a+1，2a﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则点P（a+1，2a﹣1）在第四象限，符号为（+，﹣）．
解答： 解：依题意得p点在第四象限，
∴，
解得：﹣1＜a＜，
即a的取值范围是﹣1＜a＜．
点评： 考查了第一象限的点关于x轴对称的点在第四象限，要学会发散性思考，可以由此题联想到更多的点关于某一坐标轴对称的性质．
21．直角坐标系中，已知点P（﹣2，﹣1），点T（t，0）是x轴上的一个动点．
（1）求点P关于原点的对称点P′的坐标；
（2）当t取何值时，△P′TO是等腰三角形？
考点： 关于原点对称的点的坐标；等腰三角形的性质．21世纪教育网
专题： 应用题．
分析： （1）根据坐标关于原点对称的特点即可得出点P′的坐标，
（2）要分类讨论，动点T在原点左侧和右侧时分别进行讨论即可得出当t取何值时，△P′TO是等腰三角形．
解答： 解：（1）点P关于原点的对称点P'的坐标为（2，1）；
（2），
（a）动点T在原点左侧，
当时，△P'TO是等腰三角形，
∴点，
（b）动点T在原点右侧，
①当T2O=T2P'时，△P'TO是等腰三角形，
得：，
②当T3O=P'O时，△P'TO是等腰三角形，
得：点，
③当T4P'=P'O时，△P'TO是等腰三角形，
得：点T4（4，0）．
综上所述，符合条件的t的值为．
点评： 本题主要考查了平面直角坐标系中坐标关于原点对称的特点，难度适中．
一．选择题（共9小题）
1．在平面直角坐标系中，点M（﹣2，1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图的坐标平面上有P、Q两点，其坐标分别为（5，a）、（b，7）．根据图中P、Q两点的位置，判断点（6﹣b，a﹣10）落在第几象限？（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
3．若点M（x，y）满足（x+y）2=x2+y2﹣2，则点M所在象限是（ ）
A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限 C．第一象限或第二象限 D．不能确定
4．如图，在5×4的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O，A，B在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点C，使△ABC的面积为3，则这样的点C共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5． 点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）
6．在平面直角坐标系中，与点（1，2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣1）
7．如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A（﹣4，6），B（﹣6，2），E（2，1），则点D的坐标为（ ）
A．（﹣4，6） B．（4，6） C．（﹣2，1） D．（6，2）
8．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
9．点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
二．填空题（共7小题）
10．在平面直角坐标系中，点（﹣4，4）在第 _________ 象限．
11．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点P′的坐标为 _________ ．
12．点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为 _________ ．
13．若点M（3，a）关于y轴的对称点是点N（b，2），则（a+b）2014= _________ ．
14．已知P（1，﹣2），则点P关于x轴的对称点的坐标是 _________ ．
15．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n= _________ ．
16．在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3…每个正方形四条边上的整点的个数，若累计到正方形AnBnCnDn时，整点共有1680个，则n= _________ ．
三．解答题（共5小题）
17．在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，5），B（4，2），C（﹣1，0）三点．
（1）点A关于原点O的对称点A′的坐标为 _________ ，点B关于x轴的对称点B′的坐标为 _________ ，点C关于y轴的对称点C的坐标为 _________ ．
（2）求（1）中的△A′B′C′的面积．
18．请在所给网格中按下列要求操作：
（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（0，2），B点坐标为（﹣2，0）；
（2）在x轴上画点C，使△ABC为等腰三角形，请画出所有符合条件的点C，并直接写出相应的C点坐标．
19．如图，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且A、B、C三点的坐标分别为（3，3）、（6，4）、（4，6）．
（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；
（2）求这个平行四边形的面积．
20．已知点P（a+1，2a﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围．
21．直角坐标系中，已知点P（﹣2，﹣1），点T（t，0）是x轴上的一个动点．
（1）求点P关于原点的对称点P′的坐标；
（2）当t取何值时，△P′TO是等腰三角形？
17.2.1平面直角坐标系
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．在平面直角坐标系中，点M（﹣2，1）在（ ）
A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D． 第四象限
考点： 点的坐标．21世纪教育网
分析： 根据各象限内点的坐标特征解答．
解答： 解：点M（﹣2，1）在第二象限．
故选：B．
点评： 本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
2．如图的坐标平面上有P、Q两点，其坐标分别为（5，a）、（b，7）．根据图中P、Q两点的位置，判断点（6﹣b，a﹣10）落在第几象限？（ ）
A． 一 B．二 C．三 D． 四
考点： 点的坐标．21世纪教育网
分析： 由平面直角坐标系判断出a＜7，b＜5，然后求出6﹣b，a﹣10的正负情况，再根据各象限内点的坐标特征解答．
解答： 解：∵（5，a）、（b，7），
∴a＜7，b＜5，
∴6﹣b＞0，a﹣10＜0，
∴点（6﹣b，a﹣10）在第四象限．
故选D．
点评： 本题考查了点的坐标，观察图形，判断出a、b的取值范围是解题的关键．
3．若点M（x，y）满足（x+y）2=x2+y2﹣2，则点M所在象限是（ ）
A． 第一象限或第三象限 B． 第二象限或第四象限
C． 第一象限或第二象限 D． 不能确定
考点： 点的坐标；完全平方公式．21世纪教育网
分析： 利用完全平方公式展开得到xy=﹣1，再根据异号得负判断出x、y异号，然后根据各象限内点的坐标特征解答．
解答： 解：∵（x+y）2=x2+2xy+y2，
∴原式可化为xy=﹣1，
∴x、y异号，
∴点M（x，y）在第二象限或第四象限．
故选：B．
点评： 本题考查了点的坐标，求出x、y异号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
4．如图，在5×4的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O，A，B在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点C，使△ABC的面积为3，则这样的点C共有（ ）
A． 2个 B．3个 C．4个 D． 5个
考点： 坐标与图形性质；三角形的面积．21世纪教育网
分析： 根据点A、B的坐标判断出AB∥x轴，然后根据三角形的面积求出点C到AB的距离，再判断出点C的位置即可．
解答： 解：由图可知，AB∥x轴，且AB=3，
设点C到AB的距离为h，
则△ABC的面积=×3h=3，
解得h=2，
∵点C在第四象限，
∴点C的位置如图所示，共有3个．
故选：B．
点评： 本题考查了坐标与图形性质，三角形面积，判断出AB∥x轴是解题的关键．
5．点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A． （﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D． （2，﹣5）
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．21世纪教育网
分析： 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．
解答： 解：∵点P（2，﹣5）关于x轴对称，
∴对称点的坐标为：（2，5）．
故选：B．
点评： 此题主要考查了关于x轴对称点的坐标性质，正确记忆坐标变化规律是解题关键．
6．在平面直角坐标系中，与点（1，2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． （﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D． （﹣2，﹣1）
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．21世纪教育网
分析： 根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．
解答： 解：点（1，2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣1，2）．
故选A．
点评： 解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
7．如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A（﹣4，6），B（﹣6，2），E（2，1），则点D的坐标为（ ）
A． （﹣4，6） B．（4，6） C．（﹣2，1） D． （6，2）
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．21世纪教育网
分析： 根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而得出答案．
解答： 解：∵△ABC与△DEF关于y轴对称，A（﹣4，6），
∴D（4，6）．
故选：B．
点评： 此题主要考查了关于y轴对称点的性质，准确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
8．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A． （3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D． （﹣2，﹣3）
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．21世纪教育网
分析： 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．
解答： 解：∵点A（2，3），
∴点A关于x轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）．
故选：B．
点评： 此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆关于坐标轴对称点的性质是解题关键．
9．点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． （1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D． （1，2）
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．21世纪教育网
分析： 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．
解答： 解：点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（1，2），
故选：D．
点评： 此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
二．填空题（共7小题）
10．在平面直角坐标系中，点（﹣4，4）在第 二 象限．
考点： 点的坐标．21世纪教育网
分析： 根据各象限内点的坐标特征解答．
解答： 解：点（﹣4，4）在第二象限．
故答案为：二．
点评： 本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
11．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点P′的坐标为 （﹣2，﹣3） ．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．21世纪教育网
分析： 让点P的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得到点P关于x轴的对称点P′的坐标．
解答： 解：∵点P（﹣2，3）关于x轴的对称点P′，
∴点P′的横坐标不变，为﹣2；纵坐标为﹣3，
∴点P关于x轴的对称点P′的坐标为（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
点评： 此题主要考查了关于x轴对称点的性质，用到的知识点为：两点关于x轴对称，横纵坐标不变，纵坐标互为相反数．
12．点P（2， 3）关于x轴的对称点的坐标为 （2，﹣3） ．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．21世纪教育网
分析： 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）得出即可．
解答： 解：∵点P（2，3）
∴关于x轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
点评： 此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，正确记忆坐标规律是解题关键．
13．若点M（3，a）关于y轴的对称点是点N（b，2），则（a+b）2014= 1 ．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．21世纪教育网
分析： 根据轴对称的性质，点M和点N的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可以求得a、b的值，从而可得a+b的值．
解答： 解：∵点M（3，a）关于y轴的对称点是点N（b，2），
∴b=﹣3，a=2，
∴a+b=﹣1，
∴（a+b）2014=（﹣1）2014=1．
故答案为：1．
点评： 本题考查了轴对称的性质和幂的运算，解题的关键是先求得a、b的值．
14．已知P（1，﹣2），则点P关于x轴的对称点的坐标是 （1，2） ．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．21世纪教育网
分析： 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．
解答： 解：∵P（1，﹣2），
∴点P关于x轴的对称点的坐标是：（1，2）．
故答案为：（1，2）．
点评： 此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆关于坐标轴对称点的性质是解题关键．
15．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n= 0 ．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．21世纪教育网
分析： 根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列出方程求解即可．
解答： 解：∵点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，
∴m+2=4，3=n+5，
解得：m=2，n=﹣2，
∴m+n=0，
故答案为：0．
点评： 本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
16．在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3…每个正方形四条边上的整点的个数，若累计到正方形AnBnCnDn时，整点共有1680个，则n= 20 ．
考点： 坐标与图形性质；正方形的性质．21世纪教育网
专题： 压轴题；规律型．
分析： 寻找规律：第n个正方形上的整点个数是：4+4（2n﹣1）=8n．得方程求解．
解答： 解：正方形A1B1C1D1上的整点个数是8，
正方形A2B2C2D2上的整点个数是16，
正方形A3B3C3D3上的整点个数是24，
则第n个正方形上的整点个数是：4+4（2n﹣1）=8n．
累计到正方形AnBnCnDn时，整点共有8（1+2+…+n），即8（1+2+…+n）=1680，
=210，解得n1=20，n2=﹣21（舍去）．
故答案为：20．
点评： 本题需要通过找每个正方形上的整点个数的规律，得出一般结论，再进一步求和．
三．解答题（共5小题）
17．在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，5），B（4，2），C（﹣1，0）三点．
（1）点A关于原点O的对称点A′的坐标为 （1，﹣5） ，点B关于x轴的对称点B′的坐标为 （4，﹣2） ，点C关于y轴的对称点C的坐标为 （1，0） ．
（2）求（1）中的△A′B′C′的面积．
考点： 关于原点对称的点的坐标；三角形的面积；关于x轴、y轴对称的点的坐标．21世纪教育网
分析： （1）关于原点对称的两点的横、纵坐标都是互为相反数；关于x轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相同；
（2）根据点A′（1，﹣5），B′（4，﹣2），C′（1，0）在平面直角坐标系中的位置，可以求得A′C′=5，B′D=3，所以由三角形的面积公式进行解答．
解答： 解：（1）∵A（﹣1，5），
∴点A关于原点O的对称点A′的坐标为（1，﹣5）．
∵B（4，2），
∴点B关于x轴的对称点B′的坐标为（4，﹣2）．
∵C（﹣1，0），
∴点C关于y轴的对称点C′的坐标为（1，0）．
故答案为：（1，﹣5），（4，﹣2），（1，0）．
（2）如图，∵A′（1，﹣5），B′（4，﹣2），C′（1，0）．
∴A′C′=|﹣5﹣0|=5，B′D=|4﹣1|=3，
∴S△A′B′C′=A′C′?B′D=×5×3=7.5，即（1）中的△A′B′C′的面积是7.5．
点评： 本题考查了关于原点、x轴、y轴对称的点的坐标，三角形的面积．解答（2）题时，充分体现了“数形结合”数学思想的优势．
18．请在所给网格中按下列要求操作：
（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（0，2），B点坐标为（﹣2，0）；
（2）在x轴上画点C，使△ABC为等腰三角形，请画出所有符合条件的点C，并直接写出相应的C点坐标．
考点： 坐标与图形性质；等腰三角形的性质．21世纪教育网
专题： 网格型．
分析： （1）根据A点坐标为（0，2），B点坐标为（﹣2，0），则点A所在的纵线一定是y轴，B所在的横线一定是x轴．
（2）分AB时底边或腰两种情况进行讨论．
解答： 解：（1）在网格中建立平面直角坐标系如图所示：
（2）满足条件的点有4个：C1：（2，0）；C2：（，0）；C3：（0，0）；C4：（，0）．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质及坐标与图形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
19．如图，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且A、B、C三点的坐标分别为（3，3）、（6，4）、（4，6）．
（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；
（2）求这个平行四边形的面积．
考点： 坐标与图形性质；平行四边形的性质．21世纪教育网
分析： （1）本题应从BC为对角线、AC为对角线、AB为对角线三种情况入手讨论，即可得出第四个点的坐标．
（2）解本题时应将三角形进行分化，化为几个直角三角形的和，解出面积和，乘以2即为平行四边形的面积．
解答： 解：（1）BC为对角线时，第四个点坐标为（7，7）；AB为对角线时，第四个点为（5，1）；当AC为对角线时，第四个点坐标为（1，5）．
（2）图中△ABC面积=3×3﹣（1×3+1×3+2×2）=4，所以平行四边形面积=2×△ABC面积=8．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质和判定，难易程度适中．
20．已知点P（a+1，2a﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标；解一元一次不等式组．21世纪教育网
专题： 计算题．
分析： 点P（a+1，2a﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则点P（a+1，2a﹣1）在第四象限，符号为（+，﹣）．
解答： 解：依题意得p点在第四象限，
∴，
解得：﹣1＜a＜，
即a的取值范围是﹣1＜a＜．
点评： 考查了第一象限的点关于x轴对称的点在第四象限，要学会发散性思考，可以由此题联想到更多的点关于某一坐标轴对称的性质．
21．直角坐标系中，已知点P（﹣2，﹣1），点T（t，0）是x轴上的一个动点．
（1）求点P关于原点的对称点P′的坐标；
（2）当t取何值时，△P′TO是等腰三角形？
考点： 关于原点对称的点的坐标；等腰三角形的性质．21世纪教育网
专题： 应用题．
分析： （1）根据坐标关于原点对称的特点即可得出点P′的坐标，
（2）要分类讨论，动点T在原点左侧和右侧时分别进行讨论即可得出当t取何值时，△P′TO是等腰三角形．
解答： 解：（1）点P关于原点的对称点P'的坐标为（2，1）；
（2），
（a）动点T在原点左侧，
当时，△P'TO是等腰三角形，
∴点，
（b）动点T在原点右侧，
①当T2O=T2P'时，△P'TO是等腰三角形，
得：，
②当T3O=P'O时，△P'TO是等腰三角形，
得：点，
③当T4P'=P'O时，△P'TO是等腰三角形，
得：点T4（4，0）．
综上所述，符合条件的t的值为．
点评： 本题主要考查了平面直角坐标系中坐标关于原点对称的特点，难度适中．