高中数学人教A版（2019）必修2 10.1 随机事件与概率章节综合练习题（答案+解析）

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10.1 随机事件与概率
一、选择题
1．（2023高一下·绍兴月考）抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件： “正面向上的硬币数为i”，其中i=0，1，2，3，B=“恰有两枚硬币抛掷结果相同”，则下列说法正确的是（　　）
A．与B相互独立 B．与B对立
C． D．
2．某学校有教职工400名，从中选出40名教职工组成教工代表大会，每位教职工当选的概率是，其中正确的是（　　）
A．10个教职工中，必有人当选
B．每位教职工当选的可能性是
C．数学教研组共有50人，该组当选教工代表的人数一定是5
D．以上说法都不正确
3．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（　　）
A．频率就是概率
B．频率是随机的，与试验次数无关
C．概率是稳定的，与试验次数无关
D．概率是随机的，与试验次数有关
4．下列说法错误的是（　　）
A．随机事件的概率与频率是一样的
B．在试验中，某事件发生的频率的取值范围是
C．必然事件的概率是1
D．不可能事件的概率是0
5．某校高一共有20个班，编号为01，02，…，20，现用抽签法从中抽取3个班进行调查，设高一（1）班被抽到的可能性为，高一（2）班被抽到的可能性为，则（　　）
A． B．
C． D．
6．在12个同类产品中，有10个正品、2个次品，从中任意抽出3个检验，那么以下3种结果：①抽到3个正品；②抽到2个次品；③抽到1个正品．其中是随机变量的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
7．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为( )
A．1，2，3， ，6 B．1，2，3， ，7
C．0，1，2， ，5 D．1，2， ，5
8．下列说法正确的是（　　）
A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比事件A，B中恰有一个发生的概率大
B．事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小
C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
9．（2022高二上·丰台期中）为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况，从中抽取了100户居民进行调查.该小区每位居民被抽到的可能性为（　　）
A． B． C． D．
10．（2022高二下·丰台期末）甲，乙，丙3位同学从即将开设的4门校本课程中任选一门参加，则他们参加的校本课程各不相同的概率为（　　）
A． B． C． D．
11．（2022高一下·新邵期末）某人有3把钥匙，其中仅有一把能打开门.如果他每次都随机选取一把钥匙开门，不能打开门时就扔掉，则他第二次才能打开门的概率为（　　）
A． B． C． D．
12．（2022高一下·新乡期末）某校为了调查高一学生对食堂伙食的满意度，对该校420名男同学和380名女同学，按性别采用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为40的样本，则应从男同学中抽取的人数为（　　）
A．21 B．38 C．19 D．20
13．（2022高二下·广州期末）如图，小明从街道的处出发，选择最短路径到达处参加志愿者活动，在小明从处到达处的过程中，途径处的概率为（　　）
A． B． C． D．
14．（2022高一下·宿迁期末）我们通常所说的A，B，O血型系统是由A，B，O三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自于父亲和母亲，其中，为A型血，，为B型血，为型血，为O型血．比如：父亲和母亲的基因型分别为，，则孩子的基因型等可能的出现四种结果，已知小明的父亲和母亲的血型均为型，不考虑基因突变，则小明是B型血的概率为（　　）
A． B． C． D．
15．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）
A．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
16．（2023高一下·合肥期末）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与都是红球
C．恰有一个黑球与恰有两个黑球
D．至少有一个黑球与至少有一个红球
17．（2023高一下·电白期末）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（　　）
A．至多一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都没中靶
18．为丰富少儿文体活动，某学校从篮球，足球，排球，橄榄球中任选2种球给甲班学生使用，剩余的2种球给乙班学生使用，则篮球和足球不在同一班的概率是（　　）
A． B． C． D．
19．设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率等于（　　）
A． B． C． D．
20．（2023高一下·绍兴期末）某市场供应的电子产品中，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%.若从该市场供应的电子产品中任意购买甲、乙厂各一件电子产品，则这两件产品都不是合格品的概率为（　　）
A．2% B．30% C．72% D．26%
21．（2022高二下·清远期中）盒中有a个红球，b个黑球，c个白球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球d个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是（　　）
A． B． C． D．
22．已知事件A与B互斥，且，，则（　　）
A． B． C． D．
23．（2023·）抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件A=“第一枚骰子奇数面朝上”，事件B=“第二枚骰子偶数面朝上”，事件C=“两枚骰子向上点数之和为7”.则下列结论正确的是（　　）
A．A与B对立 B．A与C互斥 C． D．B与C独立
24．（2023高三上·吉林开学考）在射击比赛中，甲乙两人对同一目标各进行一次射击，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，在目标被击中的情况下，甲击中目标的概率为（　　）
A． B． C． D．
25．（2023高二上·昆明开学考）已知事件与事件是互斥事件，则（　　）
A． B．
C． D．
26．（2023高一下·合肥期末）一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是（　　）
A． B． C． D．
27．某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲 乙两名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲 乙都中奖”，则与互为对立事件的是（　　）
A．甲 乙恰有一人中奖 B．甲 乙都没中奖
C．甲 乙至少有一人中奖 D．甲 乙至多有一人中奖
28．（2023高一下·苏州期末）已知事件，，且，，如果与互斥，那么，如果与相互独立，那么，则，分别为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
29．（2023高一下·河南月考）连续抛掷一枚均匀的骰子两次，向上的点数分别记为a，b，，则（　　）
A．事件“是偶数”与“a为奇数，b为偶数”互为对立事件
B．事件“”发生的概率为
C．事件“”与“”互为互斥事件
D．事件“且”的概率为
二、多项选择题
30．（2023高一下·天河期末）下列说法正确的是（　　）
A．在一次试验中，随机事件A，B满足，则
B．在一次试验中，随机事件A，B满足，则事件A，B互为对立事件
C．已知一组数据8，5，7，6，6，9，10，8，7，9，则该组数据第70百分位数为8.5
D．已知一组数据8，5，7，6，6，9，10，8，7，9，去掉这组数据的众数后，所得的一组新数据的极差与原来的相同
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：，，，，，
A.∵，，
∴，
故A错误；
B.∵，
∴与不对立，
故B错误；
C.，故C错误；
D.，，
，
所以，故D正确．
故选：D．
【分析】 首先列出抛掷三枚质地均匀的硬币的所有可能，计算出每种随机事件对应的概率，再逐一选项进行分析．
2．【答案】B
【解析】【解答】学校有教职工400名，从中选出40名教职工组成教工代表大会，每位教职工当选的概率是，即每位教职工当选的可能性是，故选B.
【分析】根据概率的概念即可求解。
3．【答案】C
【解析】【解答】频率指的是：在相同条件下重复试验下，
事件A出现的次数除以总数，是变化的
概率指的是： 在大量重复进行同一个实验时，
事件A发生的频率总接近于某个常数，
这个常数就是事件A的概率，是不变的
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合频率与概率的关系、频率和概率的意义，进而找出说法正确的选项。
4．【答案】A
【解析】【解答】对于A，概率是唯一的确定的值，而频率是统计出来的，通过一次次的试验得到，因此随机事件的概率与频率是两个不同的概念，A不符合题意；
对于B，频率是指是指每个对象出现的次数与总次数的比值，故取值范围是 ，B符合题意；
对于C，D，由必然事件和不可能事件的定义可知，说法正确.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合概率与频率的关系、频率的取值范围、必然事件概率和不可能事件的概率，进而找出说法错误的选项。
5．【答案】C
【解析】【解答】由抽签法特征知：每个班被抽到的可能性均相等，则
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合抽签法中可能性相等的特征，进而结合古典概型求概率公式，从而得出a，b的值。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：已知 12个同类产品中，有10个正品、2个次品，从中任意抽出3个检验，①②都有可能发生，但都不一定发生，但③ 一定发生，故①②是随机变量 .
故选：A
【分析】由随机变量的定义判断即可.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：由于取到白球时停止，
所以最少取球次数为1，即第一次就取到白球，
最多次数为7次，即把所有的黑球取完之后再取到白球，
所以取球次数可以是1，2，3，……，7.
故选：B
【分析】根据实际情况得 ξ的最小值和最大值即可得解.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：对于A，因为事件A，B中至少有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生和A，B都发生；
事件A，B中恰有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生；
又当事件A，B为对立事件时，事件A，B都发生的概率为，
所以事件A、B至少有一个发生与A、B中恰有一个发生是相等事件，两者概率相等，故A错误；
对于B，若A、B是相等事件，此时A、B恰有一个发生为不可能事件，概率为0，
而事件A、B同时发生的概率必然大于或等于0，故B错误；
对于CD，由互斥事件和对立事件的概念知，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故C错误，D正确.
故选：D.
【分析】对于AB，利用事件的运算方法，举反例排除即可；对于CD，根据对立事件与互斥事件的概念，对选项进行分析判断即可.
9．【答案】B
【解析】【解答】由题意可知为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况，
从中抽取了100户居民进行调查，该小区每位居民被抽到的可能性都是相同的，
故可能为。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式和概率的意义，进而得出该小区每位居民被抽到的可能性。
10．【答案】A
【解析】【解答】甲，乙，丙3位同学从开设的4门校本课程中任选一门参加的事件数为
甲，乙，丙3位同学参加的校本课程各不相同的事件数为
故所求概率为
故答案为：A
【分析】首先由已知条件求出各个事件的个数，并代入到概率公式由此即可得出答案。
11．【答案】B
【解析】【解答】由题意此人第一次不能打开门，第二次打开门，因此概率为．
故答案为：B．
【分析】根据题意由概率的性质，结合已知条件计算出结果即可。
12．【答案】A
【解析】【解答】要抽取一个容量为40的样本，则应从男同学中抽取的人数为．
故答案为：A
【分析】由已知条件结合分层抽样的定义，把数值代入到概率公式由此计算出结果即可。
13．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意，小明从处出发到达处，最短需要走四横三纵共七段路，共有条不同的路；小明从处到处，最短需要走两横两纵共四段路，共有条不同的路，从处到处，最短需要走两横一纵共三段路，共有条不同的路.
所以小明从处到达处的过程中，途径处的概率.
故答案为：.
【分析】首先由排列组合以及计数原理，结合题意计算出事件的个数，并把结果代入到概率公式计算出结果即可。
14．【答案】B
【解析】【解答】因小明的父亲和母亲的血型均为型，则小明的血型可能是AA，AB，BB，
其中AB型包括两种情况，因为，为B型血，则小明是B型血的概率为，
故答案为：B
【分析】由已知条件结合概率的定义，分析推理即可得出答案。
15．【答案】A
【解析】【解答】解：黑球的个数有三种可能：0，1，2；
对于A：“恰好一个黑球”和“恰好有两个黑球”不会同时发生，即为互斥事件；
但还有可能没有黑球，故不对立，故A正确；
对于B：“至少一个黑球”即为1个或2个黑球，它的对立事件为“没有黑球”，即“都是红球”，
所以“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故B错误；
对于C：“至少有一个红球”即为0个或1个黑球，与“至少一个黑球”都包含1个黑球，
故两者不互斥，故C错误；
对于D：“至少有一个黑球”包含“都是黑球”，故故两者不互斥，故D错误；
故答案为：A.
【分析】根据题意结合互斥事件、对立事件的概念分析判断.
16．【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意，记2个红球分别为A、B，2个黑球分别为a，b，则从这4个球中任取2个球的总基本事件为：
A、都是黑球的基本事件为，至少有一个黑球的基本事件为，两个事件有交事件，所以不为互斥事件，故A错误；
B、至少有一个黑球的基本事件为，都是红球的基本事件为，两个事件不仅是互斥事件，也是对立事件，故B错误；
C、恰有两个黑球的基本事件为，恰有一个黑球的基本事件为，两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正确；
D、至少有一个黑球的基本事件为，至少有一个红球的基本事件为，两个事件不是互斥事件，故D错误.
故答案为：C.
【分析】先写出从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球所包含的基本事件，再根据选项写出各事件的基本事件，利用互斥事件与对立事件的定义判断即可.
17．【答案】D
【解析】【解答】解：“至少一次中靶”包含：一次中靶、两次中靶；
A、“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶，故A不符合；
B、“两次都中靶”包含于“至少一次中靶”，故B不符合；
C、“只有一次中靶”包含于“至少一次中靶”，故C不符合；
D、“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，故D符合.
故答案为：D.
【分析】根据对立事件的概念判断即可.
18．【答案】C
【解析】【解答】从4种球中任选2种球给甲班，另外2种球给乙班，一共有种可能情况，
其中篮球和足球不在同一个班的有4种可能情况，
所以概率为，
故选：C.
【分析】先求出总样本点个数，再求其中篮球和足球不在同一个班的样本点个数，最后利用概率公式计算即可。
19．【答案】D
【解析】【解答】由已知得：即，
即，
即，
即，
所以，所以
故选：D.
【分析】利用相互独立事件的乘法公式即可得解。
20．【答案】A
【解析】【解答】依题意，甲厂产品的不合格率是10%，乙厂产品的不合格率是20%，
任意购买甲、乙厂各一件电子产品，这两件产品都不是合格品的概率为.
故答案为：A
【分析】根据已知条件，利用相互独立事件、对立事件的概率公式进行计算，可得答案.
21．【答案】A
【解析】【解答】设事件“第一次抽出的是红球”，事件“第一次抽出的是黑球”，事件“第一次抽出的是白球”，事件“第二次抽出的是黑球”.
由全概率公式知
由题意，，，，，，则，
故答案为：A
【分析】设事件“第一次抽出的是红球”，事件“第一次抽出的是黑球”，事件“第一次抽出的是白球”，事件“第二次抽出的是黑球”，则A、B、C、D两两互斥，由全概率公式得，求值可得答案。
22．【答案】B
【解析】【解答】解：因为 事件A与B互斥， 则，故A错误；
又因为 ，， 则 ，，故C、D错误；
则 ，故B正确；
故答案为：B.
【分析】根据互斥事件、对立事件的性质运算求解.
23．【答案】D
【解析】【解答】解：对于A：事件A，B可以同时发生，且事件AB为“第一枚骰子奇数面朝上，第二枚骰子偶数面朝上”，所以A与B不是对立事件，故A错误；
对于B：事件A，C可以同时发生，例如“第一枚骰子为1点，第二骰子为6点”，
所以A与C不是互斥事件，故B错误.
对于C：由题意可知：基本事件的总数为，
事件C=”“，共6个基本事件，
所以，故C错误；
对于D：因为，事件BC=“第二枚骰子偶数面朝上，两枚骰子向上点数之和为7”=”(5，2)，(3，4)，(1，6)“，
共3个基本事件，则，
且，可知，所以B与C独立，故D正确.
故答案为：D.
【分析】对于AB：根据互斥事件以及对立事件的概念分析判断；对于C：根据古典概型分析判断；对于D：分别求，结合独立事件的概念分析判断.
24．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可知： 目标被击中的对立事件为”甲，乙均未击中“，概率分别为，
所以目标被击中的情况下，甲击中目标的概率为.
故答案为：C.
【分析】根据对立事件求 目标被击中的 概率，在结合条件概率运算求解.
25．【答案】D
【解析】【解答】解：事件与事件是互斥事件 ， ，，
，C错误；
不一定等于0，不一定等于0，不一定等于0，B错误；
事件与事件不一定互斥事件 ， 不一定为0，A错误；
事件是必然事件， ，D正确.
故答案为：D.
【分析】由事件与事件是互斥事件得到 ，，进而判断选项.
26．【答案】B
【解析】【解答】解：开关C，D断开的概率均为，开关A、B至少一个断开的概率为，同理开关E、F至少有一个断开的概率为，所以灯不亮的概率为，故灯亮的概率为.
故答案为：B.
【分析】因为每个开关相互独立，所以先计算灯不亮的概率，再根据对立事件的概率用1减去灯不亮的概率，即可求得灯亮的概率.
27．【答案】D
【解析】【解答】解：由题可知，甲乙两名同学都购买了这种饮料，
此事件的样本空间Ω = {(甲中，乙中),(甲不中，乙中),(甲中，乙不中),(甲不中，乙不中)}；
由对立事件的定义可知，若A=“甲、乙都中奖”，
则=“甲、乙至多有一人中奖”，即D选项正确.
故答案为：D.
【分析】列出样本空间的所有情况，再由对立事件的定义即可求解.
28．【答案】A
【解析】【解答】解： 如果与互斥，则事件A，B不可能同时发生，所以如果与相互独立，则A与也相互独立，
故答案为：A
【分析】利用互斥事件不可能同时发生可得，再由相互独立事件的性质和乘法公式即可求解.
29．【答案】D
【解析】【解答】解：对于A：例如”a为2，b为1“，则，
显然事件“是偶数”、“a为奇数，b为偶数”均不包含该事件，
所以事件“是偶数”与“a为奇数，b为偶数”不互为对立事件，故A错误；
对于C：若，则，
即事件“”包含事件“”，
所以两个事件可以同时发生，故C错误；
列表可知，共有36个基本事件，
　 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
对于B：事件“”，则，共1个基本事件，其概率为，故B错误；
对于D：若事件：”，共9个基本事件，其概率为，故D正确；
故答案为：D.
【分析】对A：举例”a为2，b为1“，结合对立事件分析判断；对C：根据互斥事件的概念分析判断；对B、D：利用列表法结合古典概型运算求解.
30．【答案】A,C,D
【解析】【解答】A选项：
因为，所以，
所以，
所以A选项正确.
B选项：但A、B是随机事件，没有互斥，所以也不是对立事件，
所以B选项错误.
C选项：首先将这组数据从小到大依次排序：5，6，6，7，7，8，8，9，9，10，
一共有10个数，
所以，第70百分位数：，
又因为7.7不是一个整数，所以用插值法，取排序后的第七位和第八位数求平均数，
所以，
所以C选项正确.
D选项：首先将这组数据从小到大依次排序：5，6，6，7，7，8，8，9，9，10，
众数为：6，7，8，9，
去掉众数前，最小值为5，最大值为10，极差为5，
去掉众数后，最小值为5，最大值为10，极差为5，
所以极差不变，
所以D选项正确.
故选：ACD.
【分析】首先根据随机事件的性质，结合A是B的子集，可知A选项正确；根据对立事件与随机事件的性质，可知B选项错误；根据百分位数的公式，计算求得第70百分位数，可知C正确；根据众数性质可知，出现次数最多的是众数，剔除众数，最后求出极差.
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