高中数学人教A版（2019）必修2 10.2 事件的相互独立性章节综合练习题（答案+解析）

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10.2 事件的相互独立性
一、选择题
1．（2023高二下·黑龙江期末）下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是（　　）
A．0.63 B．0.7 C．0.9 D．0.567
2．（2023高一下·渭源期末）在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率0.6，乙去参观市博物馆的概率为0.5，且甲乙两人各自行动，则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是（　　）
A．0.3 B．0.32 C．0.8 D．0.84
3．（2023高一下·台州期末）一个袋子中装有大小和质地相同的5个球，其中有2个黄色球，3个红色球，从袋中不放回的依次随机摸出2个球，则事件“两次都摸到红色球”的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023高一下·绍兴月考）抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件： “正面向上的硬币数为i”，其中i=0，1，2，3，B=“恰有两枚硬币抛掷结果相同”，则下列说法正确的是（　　）
A．与B相互独立 B．与B对立
C． D．
5．（2023高二下·湖州期末） 国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育 优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩.则下列说法正确的是（　　）
A．事件与事件互斥但不对立 B．事件与事件互斥且对立
C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立
6．设在一次试验中事件A出现的概率为p，在n次独立重复试验中事件A出现k次的概率为，则(　　)
A． B．
C． D．
7．（2023高二下·石家庄期中）某口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩两种产品，这两种产品的生产比例分别为80%，20%，且这两种产品中绑带式口罩的比例分别为10%，20%.若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（　　）
A．0.12 B．0.16 C．0.2 D．0.32
8．（2023高二下·光明期中）10支步枪中有6支已经校准过，4支未校准，一名射击运动员用校准过的枪射击时，中靶的概率为，用未校准的枪射击时，中靶的概率为，现从10支中任取一支射击，则中靶的概率为（　　）
A．0.55 B．0.6 C．0.7 D．0.75
9．（2023高二下·余杭月考）一个口袋中有大小、形状完全相同的4个红球，3个蓝球，3个白球，现从袋中随机抽取3个球．事件甲：3个球的颜色互不相同；事件乙：恰有2个红球；事件丙：至多有1个蓝球；事件丁：3个球颜色均相同．则下列结论正确的是（　　）
A．事件甲与事件丁为对立事件 B．事件乙的概率是事件丁的6倍
C．事件丙和事件丁相互独立 D．事件甲与事件丙相互独立
10．（2023·湘豫模拟）多年来，网络春晚一直致力于为本土市民“圆春晚梦”，得到了广大市民的认可．某市2023年网络春晚海选如期举行，该活动总共分为海选、复赛、决赛三个阶段，参赛选手通过决赛后将参加该市2023年网络春晚．已知甲、乙、丙三人组成一个小组，假设在每一轮比赛中，甲、乙、丙通过的概率依次为，，，假设他们之间通过与否互不影响，则该小组三人同时进入决赛的概率为（　　）
A． B． C． D．
11．（2022·吉林模拟）对于事件A与事件B，下列说法错误的是（　　）
A．若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）+P（B）=1
B．若事件A与事件B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）
C．若P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B互为对立事件
D．若P（AB）=P（A）P（B），则事件A与事件B相互独立
12．（2023·）抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件A=“第一枚骰子奇数面朝上”，事件B=“第二枚骰子偶数面朝上”，事件C=“两枚骰子向上点数之和为7”.则下列结论正确的是（　　）
A．A与B对立 B．A与C互斥 C． D．B与C独立
13．（2023高三上·吉林开学考）在射击比赛中，甲乙两人对同一目标各进行一次射击，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，在目标被击中的情况下，甲击中目标的概率为（　　）
A． B． C． D．
14．（2023高二下·十堰期末）已知有编号为的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个2号球，两个3号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在两次取球编号不同的条件下（　　）
A．第二次取到1号球的概率最大
B．第二次取到2号球的概率最大
C．第二次取到3号球的概率最大
D．第二次取到号球的概率都相同
15．（2023高一下·苏州期末）已知事件，，且，，如果与互斥，那么，如果与相互独立，那么，则，分别为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
16．（2023高一下·湖南期末）一个电路如图所示，A，B，C，D为4个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率为（　　）
A． B． C． D．
17．（2023高一下·河南月考）在一次考试中，小明同学将比较难的第8题、第12题、第16题留到最后做，做每道题的结果相互独立．假设小明同学做对第8、12、16题的概率从小到大依次为，，，做这三道题的次序随机，小明连对两题的概率为p，则（　　）
A．p与先做哪道题次序有关 B．第8题定为次序2，p最大
C．第12题定为次序2，p最大 D．第16题定为次序2，p最大
18．（2023高二下·福州期末）甲乙两人通过考试的概率分别为和，两人同时参加考试，其中恰有一人通过的概率是（　　）
A． B． C． D．
19．（2023高一下·海南期末）甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，现两人玩射击游戏，规则如下：每次由1人进行射击，若射击一次不中，则原射击人继续射击，若射击一次命中，则换对方接替射击，且第一次由甲射击.则前4次中甲恰好射击3次的概率为（　　）
A． B． C． D．
20．（2023高一下·天河期末）甲、乙两人独立地破译一份密码，密码被成功破译的概率为，已知甲单独破译密码的概率为，则乙单独破译密码的概率为（　　）
A． B． C． D．
21．（2023高二下·上虞月考）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果定义事件：“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的个数是（　　）
与互斥与对立与相互独立
A． B． C． D．
22．（2023高二下·上虞月考）从甲袋内摸出个红球的概率是，从乙袋内摸出个红球的概率是，从两袋内各摸出个球，则等于（　　）
A．个球不都是红球的概率 B．个球都是红球的概率
C．至少有个红球的概率 D．个球中恰好有个红球的概率
23．设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率等于（　　）
A． B． C． D．
24．掷一颗骰子一次，设事件：“掷出偶数点”，事件：“掷出点或点”，则事件，的关系是（　　）
A．互斥但不相互独立 B．相互独立但不互斥
C．互斥且相互独立 D．既不相互独立也不互斥
25．（2023高二下·浙江期中）概率论起源于博弈游戏.17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．问这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是
A．甲48枚，乙48枚 B．甲64枚，乙32枚
C．甲72枚，乙24枚 D．甲80枚，乙16枚
26．（2023·陕西模拟），，，四人之间进行投票，各人投自己以外的人票的概率都是（个人不投自己的票），则仅一人是最高得票者的概率为（　　）
A． B． C． D．
27．（2023·桂林模拟）甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，则其中恰有1人击中目标的概率是(　　)
A．0.32 B．0.56 C．0.44 D．0.68
28．（2023·河北会考）某足球队进行点球训练，假设守门员不变，球员甲进球的概率为0.9，球员乙、丙进球的概率均为0.8．若3人各踢点球1次，且进球与否相互独立，则至少进2球的概率是（　　）
A．0.784 B．0.864 C．0.928 D．0.993
29．（2023·周至模拟）某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛.决赛规则如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束.若经抽签，已知第一场甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，则（　　）
A．甲获得冠军的概率最大
B．甲比乙获得冠军的概率大
C．丙获得冠军的概率最大
D．甲、乙、丙3人获得冠军的概率相等
30．（2023高三下·浙江月考）班级举行知识竞猜闯关活动，设置了三个问题．答题者可自行决定答三题顺序．甲有60%的可能答对问题，80%的可能答对问题，50%的可能答对问题．记答题者连续答对两题的概率为，要使得最大，他应该先回答（　　）
A．问题 B．问题
C．问题和都可以 D．问题
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：记事件A表示“清明节当天下雨”，B表示“第二天下雨”，
由题意可知：，所以．
故答案为：B.
【分析】直接利用条件概率公式计算得到答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】根据题意可知，甲去参观市博物馆的概率0.6，乙去参观市博物馆的概率为0.5，
所以甲不去参观的概率0.4，乙不去参观的概率为0.5，
可以下面先求出甲乙两人都不去参观博物馆的概率为：
，
所以甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率为：
，
故选：C.
【分析】为了求甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率，逆向思考，可以先求出甲乙两人都不去参观的概率，在用1减去这个概率，间接求出至少有一个去参观博物馆的概率.
3．【答案】B
【解析】【解答】由题意可得：事件“两次都摸到红色球”的概率.
故答案为：B.
【分析】根据独立事件概率乘法公式运算求解.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：，，，，，
A.∵，，
∴，
故A错误；
B.∵，
∴与不对立，
故B错误；
C.，故C错误；
D.，，
，
所以，故D正确．
故选：D．
【分析】 首先列出抛掷三枚质地均匀的硬币的所有可能，计算出每种随机事件对应的概率，再逐一选项进行分析．
5．【答案】D
【解析】【解答】生育三个孩子的家庭的样本空间Ω={（男，男，男），（男，女，男），（女，男，男），（男，男，女），（女，女，男），（女，男，女），（男，女，女），（女，女，女）}；
事件A={（男，女，男），（女，男，男），（男，男，女），（女，女，男），（女，男，女），（男，女，女）}；
事件B={（女，女，男），（女，男，女），（男，女，女），（女，女，女）}；
事件C={（男，男，男），（男，女，男），（女，男，男），（男，男，女）}；
A.因为且所以事件B与事件C是对立事件，所以A选项相信不正确.
B.事件A与事件B不是互斥的，所以B选项错误.
C.因为P(BC)=0，所以事件B与事件C不独立，即C选项错误.
D.且事件A与事件B相互独立，即D选项正确.
故答案为：D
【分析】利用互斥、对立事件的定义可判断A，B 选项，再利用相互独立事件的定义可判断C，D选项.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可知此事件为二项分布，
根据二项分布的性质可知，
故答案为：B.
【分析】主要考查二项分布列的问题，根据题意可知符合二项分布，概率和为1.
7．【答案】A
【解析】【解答】由题意，该厂生产的口罩中任选一个，选到绑带式口罩的概率为.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出选到绑带式口罩的概率。
8．【答案】B
【解析】【解答】设从10支中任取一支取得校准枪支为事件，取得未校准枪支为事件，中靶为事件，
则， ，
所以.
故答案为：B
【分析】设从10支中任取一支取得校准枪支为事件，取得未校准枪支为事件，中靶为事件，求出， ，再利用全概率公式，即可求出答案.
9．【答案】B
【解析】【解答】事件甲与事件丁为互斥事件，但事件取得的3个球为2个红球，1个白球发生时，事件甲与事件丁都不发生，所以事件甲与事件丁不对立，A项错误；事件甲的概率，事件乙的概率，事件丙的概率，事件丁的概率，，故B项正确；事件丙和事件丁同时发生的概率，故C项错误；因为事件甲与事件丙同时发生的事件为甲事件，且，所以事件甲与事件丙不相互独立，故D项错误．
故答案为：B．
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断A，求出事件甲，乙，丙，丁的概率，由此判断B，结合独立事件的定义判断C，D.
10．【答案】A
【解析】【解答】设该小组三人能同时进入决赛为事件A，
则该小组三人能同时进入决赛即前两轮比赛三人都顺利通过，
则，
故答案为：A．
【分析】根据相互独立事件的乘法公式即可求得答案.
11．【答案】C
【解析】【解答】对于A，事件A和事件B为对立事件，则A，B中必然有一个发生， ，正确；
对于B，根据独立事件的性质知 ，正确；
对于C，由 ，并不能得出A与B是对立事件，举例说有a，b，c，d4个小球，
选中每个小球的概率是相同的，事件A表示选中a，b两球，则 ，事件B表示选中b，c两球，则 ，
，但A，B不是对立事件，错误；、
对于D，由独立事件的性质知：正确；
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合对立事件、独立事件的定义和对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，进而得出说法错误的选项。
12．【答案】D
【解析】【解答】解：对于A：事件A，B可以同时发生，且事件AB为“第一枚骰子奇数面朝上，第二枚骰子偶数面朝上”，所以A与B不是对立事件，故A错误；
对于B：事件A，C可以同时发生，例如“第一枚骰子为1点，第二骰子为6点”，
所以A与C不是互斥事件，故B错误.
对于C：由题意可知：基本事件的总数为，
事件C=”“，共6个基本事件，
所以，故C错误；
对于D：因为，事件BC=“第二枚骰子偶数面朝上，两枚骰子向上点数之和为7”=”(5，2)，(3，4)，(1，6)“，
共3个基本事件，则，
且，可知，所以B与C独立，故D正确.
故答案为：D.
【分析】对于AB：根据互斥事件以及对立事件的概念分析判断；对于C：根据古典概型分析判断；对于D：分别求，结合独立事件的概念分析判断.
13．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可知： 目标被击中的对立事件为”甲，乙均未击中“，概率分别为，
所以目标被击中的情况下，甲击中目标的概率为.
故答案为：C.
【分析】根据对立事件求 目标被击中的 概率，在结合条件概率运算求解.
14．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得：第二次取到1号球的概率；
第二次取到2号球的概率；
第二次取到3号球的概率.
因为，所以第二次取到2号球的概率最大.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合独立事件概率乘法公式分别求第二次取到1号球，2号球，3号球的概率，进而比较大小即可.
15．【答案】A
【解析】【解答】解： 如果与互斥，则事件A，B不可能同时发生，所以如果与相互独立，则A与也相互独立，
故答案为：A
【分析】利用互斥事件不可能同时发生可得，再由相互独立事件的性质和乘法公式即可求解.
16．【答案】A
【解析】【解答】解：开关A，B所在的分支不通电的概率为，
开关C，D所在的分支不通电的概率为，
所以灯亮的概率为.
故答案为：A.
【分析】先根据题意求出灯不亮的概率，再结合对立事件运算求解.
17．【答案】D
【解析】【解答】解：小明连对两题，则第二题为必对题，
若小明做的第二题为第8题，则做题顺序为12、8、16与16、8、12，且其概率均为，
记此时连对两题的概率为，
则
；
同理可得：若小明做的第二题为第12题，记连对两题的概率为，则；
若小明做的第二题为第16题，记连对两题的概率为，则；
可得：，
，
所以，
所以小明做的第二题为第16题，对于的最大.
故答案为：D.
【分析】先判断得小明连对两题，则第二题为必对题；再分别求得小明做的第二题为第8题、第12题与第16题对应的概率，从而利用作差法分析判断.
18．【答案】B
【解析】【解答】 记甲乙两人通过考试分别为事件M、N，则有，
则恰有一人通过的概率为P=P()P(N)+ P(M)P()=
故选： B.
【分析】 利用事件的独立性和互斥性公式，即可求出其中恰有一人通过的概率.
19．【答案】C
【解析】【解答】记第次射击由甲射击，且命中为事件，第次射击由乙射击，且命中为事件.
由题知，第一次由甲射击且前4次中甲恰好射击3次有3种情况：
，
所以所求概率
故答案为：C.
【分析】先分类，然后利用相互独立事件的概率公式结合互斥事件概率加法公式可得.
20．【答案】A
【解析】【解答】设出乙单独破译密码的概率为P，
甲乙合作破译密码有三种情况：
一种是甲破译乙未破译，一种是乙破译甲未破译，还有一种甲乙都破译，
所以我们可以反过来思考，只需要剔除甲乙同时未破译的概率
所以
所以.
故选：A.
【分析】根据独立事件密码破译的概率，相当于1减去甲乙同时未破译的概率，从而得到乙单独密码破译的概率.
21．【答案】C
【解析】【解答】 事件：“”包含的基本事件有： (1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，事件 “ 为奇数 ”包含的基本事件有：(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，A与B不能同时发生，是互斥事件，故 正确；
A与B不能同时发生，能同时不发生，不是对立事件，故 错误；
(x， y)的所有可能结果如下表：
　 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) 1，5) (1.6)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3.4) (3，5) (3，6)
4 (4，1) (4，2) (4.3) (4，4) (4，5) (4，6)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6)
6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) {6，5) (6，6)
，，，故 错误；
，，
则P(AC)=P(A)P(C)，A与C相互独立，故正确.
故选：C.
【分析】 利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的定义逐个进行求解判断，可得答案.
22．【答案】C
【解析】【解答】 2个球不都是红球的概率为，故A错误；
2个球都是红球的概率为，故B错误；
2个球中至少有1个红球的概率为，故C正确；
2个球中恰好有1个红球的概率为，故D错误.
故选：C.
【分析】 利用相互独立事件概率乘法公式逐项进行计算，可得答案.
23．【答案】D
【解析】【解答】由已知得：即，
即，
即，
即，
所以，所以
故选：D.
【分析】利用相互独立事件的乘法公式即可得解。
24．【答案】B
【解析】【解答】由已知得：，，，
所以，所以事件A、事件B相互独立，
因为事件A、事件B可能同时发生，即掷出6点，所以事件A、事件B不互斥，
故选B.
【分析】利用事件相互独立、互斥事件的概念即可得解。
25．【答案】C
【解析】【解答】根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为，
假设两人继续进行比赛，甲获取96枚金币的概率，
乙获取96枚金币的概率，
则甲应该获得枚金币；乙应该获得枚金币；
故答案为：C．
【分析】根据题意，计算甲乙两人获得96枚金币的概率，由此分析可得答案.
26．【答案】C
【解析】【解答】若仅一人是最高得票者，
则的票数为，．
若的票数为，则；
若的票数为，则，，三人中有两人投给，剩下的一人与不能投同一个人，．
所以仅一人是最高得票者的概率为，
故答案为：C.
【分析】确定A的得票数，分情况计算概率，求和即可得答案.
27．【答案】B
【解析】【解答】恰好有1人击中，表示甲击中乙没有击中或甲没有击中乙击中，这两个是互斥事件，
根据相互独立事件和互斥事件的概率公式可得.
故答案为：B.
【分析】根据相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得答案.
28．【答案】C
【解析】【解答】由题意知：由相互独立事件的概率公式得，
3人都进球的概率为，
3人中恰有2人进球的概率，
故至少进2球的概率为，
故答案为：C.
【分析】利用相互独立事件的概率公式，求出3人都进球和3人中恰有2人进球的概率即可计算求解.
29．【答案】C
【解析】【解答】根据决赛规则，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，
（1）甲获得冠军有两种情况：
①共比赛四场结束，甲四连胜夺冠，概率为
②共比赛五场结束，并且甲获得冠军．则甲的胜、负、轮空结果共有四种情况∶胜胜胜负胜，
胜胜负空胜，胜负空胜胜，负空胜胜胜，概率分别为，即，
因此，甲最终获得冠军的概率为；
（2）乙获得冠军，与（1）同理，概率也为；
(3)丙获得冠军，概率为，
由此可知丙获得冠军的概率最大，即A，B，D不符合题意，C符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出甲最终获得冠军的概率和乙最终获得冠军的概率，再结合对立事件求概率公式，进而得出丙获得冠军的概率，再结合比较法得出丙获得冠军的概率最大。
30．【答案】D
【解析】【解答】①若先回答问题，则答题顺序可能为和，
当答题顺序为且连对两题时，；
当答题顺序为且连对两题时，；
先回答问题，连对两题的概率为；
②若先回答问题，则答题顺序可能为和，
当答题顺序为且连对两题时，；
当答题顺序为且连对两题时，；
先回答问题，连对两题的概率为；
③若先回答问题，则答题顺序可能为和，
当答题顺序为且连对两题时，；
当答题顺序为且连对两题时，；
先回答问题，连对两题的概率为；
，要使最大，应先回答问题.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式、互斥事件求概率公式，再结合比较法得出要使最大，应先回答问题。
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