高中数学人教A版（2019）必修2 10.3 频率与概率章节综合练习题（答案+解析）

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10.3 频率与概率
一、选择题
1．（2021高二上·金台期中）为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是（　　）
A．9 B．12 C．8 D．6
2．分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．（2018高二下·甘肃期末）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（　　）
A．2 B．3 C．10 D．15
4．下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是（　　）
A．旋转的次数的多少不会影响估计的结果
B．旋转的次数越多，估计的结果越精确
C．旋转时可以按规律旋转
D．转盘的半径越大，估计的结果越精确
5．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口3出来，那么你取胜的概率为（　　）
A． B． C． D．都不对
6．关于圆周率，数学史上出现过很多有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，可通过设计如下实验来估计值：先请100名同学每人随机写下一组正实数对，且要求，均小于1；再统计、和1作为三边长能形成钝角三角形的数对的个数；最后利用统计结果估计值．假如某次实验结果得到，那么本次实验可以将值估计为（　　）
A． B． C． D．
7．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2、3表示没有击中目标， 4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，根据以下数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（　　）
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55
8．已知P是△ABC所在平面内﹣点， ，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（2019高二上·湖北期中）为了了解奥运五环及其内部所占面积与单独五个圆环及其内部面积之和的比值P，某同学设计了如右图所示的数学模型，通过随机模拟的方法，在长为8，宽为5的矩形内随机取了 个点，经统计落入五环及其内部的点的个数为 ，若圆环的半径为1，则比值 的近似值为（　　）
A． B． C． D．
10．哈六中数学兴趣小组的同学们为了计算六中数学组二维码中黑色部分的面积，在如图一个边长为 的正方形区域内随机投掷 个点，其中落入黑色部分的有 个点，据此可估计黑色部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．（2018·河北模拟）如图所示，分别以正方形ABCD两邻边AB、AD为直径向正方形内做两个半圆，交于点O．若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为（　　）
A． B． C． D．
12．（2018·兰州模拟）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，若曲线 的方程为 ，则落入阴影部分的点的个数的估计为（　　）
A． B． C． D．
13．（2018·宣城模拟）通过模拟试验，产生了20组随机数
7130 3013 7055 7430 7740
4122 7884 2604 3346 0952
6107 9706 5774 5725 6576
5929 1768 6071 9138 6254
每组随机数中，如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为（　　）
A． B． C． D．
14．（2018·安徽模拟）2018年行平昌冬季奥运会与2月9~2月25日举行，为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例P，某学生设计了如下的计算机模拟，通过计算机模拟项长为8，宽为5的长方形内随机取了N个点，经统计落入五环及其内部的点数为 个，圆环半径为1，则比值 的近似值为（　　）
A． B． C． D．
15．（2018高一下·南阳期中）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算机给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据统计该运动员射击4次至少击中3次的概率为（　　）
A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75
16．矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分内的黄豆数为204颗，以此实验数据为依据可以估计出阴影部分的面积约为 （　　）
A．16 B．16.32 C．16.34 D．15.96
17．（2017高三上·郫县期中）《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（　　）
A． B． C． D．
18．（2017高一下·滨海期末）如图，在边长为a的正方形内有图形Ω，现向正方形内撒豆子，若撒在图形Ω内核正方形内的豆子数分别为m，n，则图形Ω面积的估计值为（　　）
A． B． C． D．
19．在区间 内随机取两个数分别为 ，则使得方程 有实根的概率为（　　）
A． B． C． D．
20．（2017·长春模拟）下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为（　　）
A．图1 B．图2 C．图3 D．图4
21．（2016高一下·福州期中）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（　　）
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
22．（2016·淮南模拟）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（　　）
A． B． C． D．
23．（2017高一上·深圳期末）为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是（　　）
A．12 B．9 C．8 D．6
二、填空题
24．（2017高一上·邢台期末）如图，面积为10的矩形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在矩形中随机撒一粒种子，它落在阴影区域内的概率为 ，则阴影区域的面积为　 　．
25．如图，在平放的边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到红心阴影部分上，据此估计红心阴影部分的面积为　 　．
26．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为400颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为　 　平方米．（用分数作答）
27．（2017·凉山模拟）已知单位圆内有一封闭图形，现向单位圆内随机撒N颗黄豆，恰有n颗落在该封闭图形内，则该封闭图形的面积估计值为　 　．
28．（2017高二上·抚州期末）已知△ABC是一个面积较大的三角形，点P是△ABC所在平面内一点且 + +2 = ，现将3000粒黄豆随机抛在△ABC内，则落在△PBC内的黄豆数大约是　 　．
29．（2016高二上·昌吉期中）如图所示，分别以A，B，C为圆心，在△ABC内作半径为2的扇形（图中的阴影部分），在△ABC内任取一点P，如果点P落在阴影内的概率为 ，那么△ABC的面积是　 　．
三、解答题
30．一份测试题包括6道选择题，每题只有一个选项是正确的．如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案，用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意，设阴影部分的面积为S，则正方形的面积为36
向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，
则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率
而，则
解得，S=9.
故答案为：A
【分析】根据用模拟方法估计概率的大小及几何概型的应用求解即可.
2．【答案】B
【解析】【解答】设正方形的边长为 ，那么图中阴影的面积应为 ，而正方形的面积是 ，所以若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 ，
故答案为：B.
【分析】则点落在阴影区域的概率为： 图中阴影的面积/正方形的面积。
3．【答案】C
【解析】【解答】设阴影部分的面积是s，由题意得 ，
故答案为：C.
【分析】结合几何概率的计算公式，阴影部分的面积所占比大致等于随机点的概率，即可得出答案。
4．【答案】B
【解析】【解答】旋转时要无规律旋转，否则估计的结果与实际有较大的误差，所以C不正确；转盘的半径与估计的结果无关，所以D不正确；旋转的次数越多，估计的结果越精确，所以A不正确．
故答案为：B
【分析】利用旋转时要无规律旋转，转盘的半径与估计的结果无关，旋转的次数越多，估计的结果越精确，分别判断，即可得出结论。
5．【答案】A
【解析】【解答】所求的概率为 ，故选A.
【分析】分析可得从A到3总共有5个岔口，每一岔口走法的概率都是，而从A到3总共有C52=10种走法，计算可得答案．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：因为 ，均小于1 ，即，构成一个边长为1的正方形，又、和1作为三边长能形成钝角三角形，则，其围成的阴影部分面积为，
由几何概型的概率计算公式得形成钝角三角形的概率为，解得.
故答案为：C.
【分析】作出示意图，利用几何概型的概率计算公式求出、和1作为三边长能形成钝角三角形的概率即可得到的估计值.
7．【答案】A
【解析】【解答】在20组数据中，至少击中3次的为7527、9857、8636、6947、4698、8045、9597、7424，共 次，故该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 .
故答案为：A
【分析】根据20组随机数，计算出至少击中3次的次数，由此估计出该射击运动员射击4次至少击中3次的概率.
8．【答案】B
【解析】【解答】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，
则 = ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，
∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的 ．
∴S△PBC= S△ABC．
∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：
P= = ．
故选B．
【分析】推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的 ．从而S△PBC= S△ABC．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率．
9．【答案】C
【解析】【解答】设“五环及其内部所占面积”为 ，则 ，故 ，
故答案为：C.
【分析】由已知随机模拟的方法 ，得到，即可求出 的近似值 .
10．【答案】C
【解析】【解答】设黑色部分的面积为 ，
正方形二维码边长为4,
在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，
，解得 ，
据此可估计黑色部分的面积为9，
故答案为：C.
【分析】利用模拟方法估计概率，由几何概型公式列式，即可估计黑色部分的面积.
11．【答案】C
【解析】【解答】法一：设正方形的边长为2.则这两个半圆的并集所在区域的面积为 ，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区城内的概率为 .
法二：设正方形的边长为2.过O作OF垂直于AB，OE垂直于AD.则这两个半圆的并集所在区域的面积为 ，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区域的概率为 ，
故答案为：C.
【分析】先设正方形的边长为2，求出两个半圆的并集所在区域的面积，再与正方形的面积求比值，即可得概率.
12．【答案】B
【解析】【解答】由题意，阴影部分的面积为 ，正方形的面积为1.
∵正方形中随机投掷10000个点，
∴落入阴影部分的点的个数的估计值为
故答案为：B.
【分析】求出阴影部分面积，得出点落入阴影的概率，从而得出入阴影部分的点的个数．在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频率来估计其发生的概率，但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验，既费时又费力，并且有时很难实现．因此我们可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．
13．【答案】B
【解析】【解答】20组随机数中恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，有3013， 2604，5725，6576四组，因此四次射击中恰有三次击中目标的概率约为
故答案为：B.
【分析】计算20组随机数中符合条件的随机数组数即可得出答案．在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频率来估计其发生的概率，但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验，既费时又费力，并且有时很难实现．因此我们可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．
14．【答案】C
【解析】【解答】设奥运五环所占的面积为 ，矩形的面积为 ，
由在长方形内随机取了 个点，经统计落入五环及其内部的点数为 个，
根据面积比的几何概型概率公式得 ，则 ，
单独五个圆的面积为 ，
所以奥运会所占面积与单独五个环面积和的比例为 ，
故答案为：C.
【分析】求出五个圆的面积，利用模拟方法估计概率，即可求出答案．
15．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：
7527 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698
6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共15组随机数，
∴所求概率为0.75．
故答案为：D．
【分析】本题主要是根据模拟方法求解概率的问题，根据题意知道模拟四次的结果，随机产生了20组随机数，在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有15次，根据概率公式即可求解。
16．【答案】B
【解析】【解答】 设阴影部分的面积为 ，则由几何概型概率公式可得 即 ，
故答案为：B.
【分析】由模拟方法估计概率的计算方法易得阴影部分的面积.
17．【答案】D
【解析】【解答】解：直角三角形的斜边长为 =17，
设内切圆的半径为r，则8﹣r+15﹣r=17，解得r=3．
∴内切圆的面积为πr2=9π，
∴豆子落在内切圆外部的概率P=1﹣ =1﹣ ．
故答案为：D．
【分析】求出内切圆半径，注意直角三角形内切圆半径等于两直角边和减去斜边的差的一半。计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案．
18．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，在边长为a的正方形内有图形Ω，则正方形的面积为a2，
现向正方形内撒豆子，
若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m，n，
则图形Ω面积的估计值为： = ．
故答案为：C．
【分析】根据几何概型由概率反推出面积.
19．【答案】D
【解析】【解答】 有实根 由图形可知,
，
故答案为：D.
【分析】根据题意由数形结合法得出其概率的值。
20．【答案】A
【解析】【解答】解：据残差图显示的分布情况即可看出图1显示的残差分布集中，拟合度较好，
故选A．
【分析】据残差图显示的分布情况即可看出图1显示的残差分布集中，拟合度较好，可得结论．
21．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，
∴所求概率为 ．
故选B．
【分析】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果．
22．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意，直角三角形，斜边长为17，由等面积，可得内切圆半径r= =3，
∴向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是 = ，
故选C．
【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，然后分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率公式即可求出所求．
23．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意，设阴影部分的面积为S，则正方形的面积为36，
向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，
则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P= = ；
而P= ，则 = ，
解可得，S=9；
故选B．
【分析】设阴影部分的面积为S，根据题意，可得向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P= ；，又由几何概型可得P= ，可得 = ，解可得答案．
24．【答案】6
【解析】【解答】解：由题意， = ，
∴S阴影=10× =6，
故答案为6．
【分析】根据概率之比等于面积之比可得。
25．【答案】0.38
【解析】【解答】正方形的面积S＝1，设阴影部分的面积为S，
∵随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，
∴由几何槪型的概率公式进行估计得 ，
即S＝0.38，
故答案为：0.38．
【分析】利用模拟方法估计概率，由几何槪型的概率公式列式，即可估计红心阴影部分的面积.
26．【答案】
【解析】【解答】记“黄豆落在正方形区域内”为事件 ，则 ， 平方米.
【分析】利用模拟随机变量的方法估计概率进而求出不规则图形的面积。
27．【答案】
【解析】【解答】解：由题意，符合几何概型，
故设阴影部分的面积为S，则 ，
∴S= ．
故答案为 ．
【分析】设阴影部分的面积为S，则 ，即可得出结论．
28．【答案】1500粒
【解析】【解答】解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则 + = ，
∵ + +2 = ，
∴ + =﹣2 ，
得： =﹣2 ，
由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，
点P到BC的距离等于A到BC的距离的 ．
∴S△PBC= S△ABC．
将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P= ，
将3000粒黄豆随机抛在△ABC内，则落在△PBC内的黄豆数大约是1500粒．
故答案为1500粒．
【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是△ABC边BC上的中线AO的中点．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得概率，即可得到本题的答案．
29．【答案】6π
【解析】【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，
∵试验发生包含的所有事件是直角三角形的面积S，
阴影部分的面积S1= π22=2π．
点P落在区域M内的概率为P= = ．
故S=6π，
故答案为：6π．
【分析】由题意知本题是一个几何概型，先试验发生包含的所有事件是三角形的面积S，然后求出阴影部分的面积，代入几何概率的计算公式即可求解．
30．【答案】解： 我们通过设计模拟试验的方法来解决问题．利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数．我们用0表示猜的选项正确，1，2，3表示猜的选项错误，这样可以体现猜对的概率是25%.因为共猜6道题，所以每6个随机数作为一组．例如，产生25组随机数：
330130　302220　133020　022011　313121　222330
231022　001003　213322　030032　100211　022210
231330　321202　031210　232111　210010　212020
230331　112000　102330　200313　303321　012033
321230
就相当于做了25次试验，在每组数中，如果恰有3个或3个以上的数是0，则表示至少答对3道题，它们分别是001003，030032，210010，112000，即共有4组数，我们得到该同学6道选择题至少答对3道题的概率近似为 ＝0.16.
【解析】【分析】利用随机模拟方法，估计概率，即可得出答案。
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