15.2 线段的垂直平分线 课件 (共28张PPT)数学沪科版八年级上册

(共28张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.2 线段的垂直平分线
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A、B、C 之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
A
B
C
问题：怎样作出线段的垂直平分线？
做一做：
在半透明纸上画一条线段 AB，折纸使 A 与 B 重合，得到的折痕 l 就是线段 AB 的垂直平分线.
想一想：
这样折纸怎么就是垂直平分线呢？
A
B
A(B)
A
B
l
O
l
C
O
线段垂直平分线的尺规作图
A
B
C
D
作法：
(1) 分别以点 A，B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧交于 C，D 两点；
(2) 作直线 CD. CD 即为所求.
特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点.
A
B
l
P1
P2
P3
如图，直线l垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么，
请猜想点P1，P2，P3，… 到点 A 与
点 B 的距离之间的数量关系．
探究发现
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
线段垂直平分线的性质
猜想：
点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离分别相等．
定理：线段垂直平分线上的点和线段两端的距离相等.
由此你能得到什么结论？
你能验证这一结论吗？
已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = CB，点 P 在 l 上．
求证：PA = PB．
证明：∵ l⊥AB，
∴∠PCA =∠PCB．
又 AC = CB，PC = PC，
∴ △PCA≌△PCB (SAS)．
∴ PA = PB．
P
A
B
l
C
验证结论
例1 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　)
A．5 cm
B．10 cm
C．15 cm
D．17.5 cm
典例精析
A
B
C
D
E
解析：∵ △DBC 的周长为 BC＋BD＋CD ＝ 35 cm，又 DE 垂直平分 AB，
∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm.
∵ AC＝AD＋DC＝20 cm，
∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
A
B
C
D
E
练一练：1. 如图①所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为（ ）
A. 6 B. 5
C. 4 D. 3
B
P
A
B
C
D
图①
2.如图②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 .
10 cm
A
B
C
D
E
图②
例2 如图，已知点 A、点 B 以及直线 l.
(1)用尺规作图的方法在直线 l 上求作一点 P，使 PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；
(2)在(1)中所作的图中，若 AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.
M
N
A
B
l
解：(1)如图所示.
(2) 在△AMP 和△BNP 中，
AM＝PN，
AP＝PB，
PM＝BN，
∴△AMP≌△PNB(SSS).
∴∠MAP＝∠NPB.
M
N
A
B
l
P
例3 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，BE⊥AE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F. 求证：(1) FC＝AD；(2) AB＝BC＋AD.
解析：(1) 根据 AD∥BC 可知∠ADC＝∠ECF，再根据 E 是 CD 的中点可得出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质证得结论；
(2) 先根据线段垂直平分线的性质得出
AB＝BF，再结合 (1) 即可得证．
A
B
C
D
E
F
证明：(1) ∵ AD∥BC，∴∠ADC＝∠FCE.
∵ E 是 CD 的中点，∴ DE＝CE.
又∵∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△FCE，∴ FC＝AD.
(2) ∵△ADE≌△FCE，
∴ AE＝FE.
又∵ BE⊥AE，∴ BE 是线段 AF 的垂直平分线.
∴ AB＝BF＝BC＋CF.
∵ AD＝CF，∴ AB＝BC＋AD.
A
B
C
D
E
F
定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
逆
命
题
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
它是真命题吗？你能证明吗？
线段垂直平分线的判定
已知：PA = PB，
求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.
证明：作 PC⊥AB，垂足为 C.
∴ ∠ACP =∠BCP = 90°.
在Rt△ACP 和 Rt△BCP 中，
∴ Rt△ACP≌Rt△BCP（HL）.
∴ AC = BC.
∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.
PA = PB，
PC = PC，
l
C
A
B
P
知识要点
线段垂直平分线的判定
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
应用格式：
∵ PA = PB，
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
例4 如图，已知△ABC 的边 AB，AC 的垂直平分线相交于点 P. 求证：点 P 在 BC 的垂直平分线上.
B
C
A
P
证明：连接 PA，PB，PC.
∵ 点 P 在 AB，AC 的垂直平分线上，
∴ PA = PB，PA = PC.
∴ PB = PC.
∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上.
总结归纳
三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.
现在你能回答讲课前提出的问题吗？
你知道购物中心应该建在何处了吗？
1. 如图，在△ABC 中，分别以点 A，B 为圆心，大于
AB 长为半径画弧，两弧分别交于点 D，E，则直
线 DE 是（　　）
A．∠A 的平分线
B．AC 边的中线
C．BC 边的高线
D．AB 边的垂直平分线
D
A
B
C
2. 在锐角△ABC 内有一点 P，满足 PA = PB = PC，则点
P 是△ABC 的 ( )
A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条高的交点 D. 三边垂直平分线的交点
D
3. 已知线段 AB，在平面上找到三个点 D、E、F，使
DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样的点的组合有
　　　种.
无数
4. 下列说法：
① 若点 P、E 是线段 AB 的垂直平分线上两点，
则 EA＝EB，PA＝PB；
② 若 PA＝PB，EA＝EB，则直线 PE 垂直平分线段 AB；
③ 若 PA＝PB，则点 P 必是线段 AB 的垂直平分线上的点；
④ 若 EA＝EB，则经过点 E 的直线垂直平分线段 AB．
其中正确的有 (填序号).
①②③
5.如图，△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交AC 于 E，连接 BE，AB + BC = 16 cm，则△BCE 的周长是 cm.
A
B
C
D
E
16
6.已知：如图，点 C，D 是线段 AB 外的两点，且 AC = BC， AD = BD，AB 与 CD 相交于点 O.
求证：AO = BO.
证明： ∵ AC = BC，AD = BD，
∴ CD 为线段 AB 的垂直平分线.
又∵AB 与 CD 相交于点 O，
∴ AO = BO.
∴点 C 和点 D 在线段 AB 的垂直平分线上.
7.如图，有 A，B，C 三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.
B
C
学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处.
A
8. 如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，试说明 AD 与 EF 的关系.
解：∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°.
又∵ AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF(AAS).
∴ AE＝AF，DE＝DF.
∴ A、D 均在线段 EF 的垂直平分线上，
即直线 AD 垂直平分线段 EF.
A
B
C
D
E
F
线段的垂直平分的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上