2007年全国各地中考试题压轴题精选全解之五

2007年全国各地中考试题压轴题精选全解之五
82.（四川省德阳市）25.如图，已知与轴交于点和的抛物线的顶点为，抛物线与关于轴对称，顶点为．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）已知原点，定点，上的点与上的点始终关于轴对称，则当点运动到何处时，以点为顶点的四边形是平行四边形？
（3）在上是否存在点，使是以为斜边且一个角为的直角三角形？若存，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）由题意知点的坐标为．
设的函数关系式为．
又点在抛物线上，
，解得．
抛物线的函数关系式为（或）．
（2）与始终关于轴对称，
与轴平行．
设点的横坐标为，则其纵坐标为，
，，即．
当时，解得．
当时，解得．
当点运动到或或或时，
，以点为顶点的四边形是平行四边形．
（3）满足条件的点不存在．理由如下：若存在满足条件的点在上，则
，（或），
．
过点作于点，可得．
，，．
点的坐标为．
但是，当时，．
不存在这样的点构成满足条件的直角三角形．
83.（绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．
（1）求m的值及抛物线的解析式；
（2）设∠DBC = ，∠CBE = ，求sin（－）的值；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意可知C（0，－3），，
∴ 抛物线的解析式为y = ax2－2ax－3（a＞0），
过M作MN⊥y轴于N，连结CM，则MN = 1，，
∴ CN = 2，于是m =－1．
同理可求得B（3，0），
∴ a×32－2－2a×3－3 = 0，得 a = 1，
∴ 抛物线的解析式为y = x2－2x－3．
（2）由（1）得 A（－1，0），E（1，－4），D（0，1）．
∴ 在Rt△BCE中，，，
∴ ，，∴ ，即 ，
∴ Rt△BOD∽Rt△BCE，得 ∠CBE =∠OBD =，
因此 sin（－）= sin（∠DBC－∠OBD）= sin∠OBC =．
（3）显然 Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1（0，0）．
过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，由Rt△CAP2 ∽Rt△BCE，得．
过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3（9，0）．
故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，1∕3），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似．
84.（南充市）25.如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线过点A和B，与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象．
（2）点Q（8，m）在抛物线上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ＋PB的最小值．
（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．
解：（1）由已知，得　A（2，0），B（6，0），
∵抛物线过点A和B，则
解得
则抛物线的解析式为．
故C（0，2）．
（说明：抛物线的大致图象要过点A、B、C，其开口方向、顶点和对称轴相对准确）…（3分）
（2）如图①，抛物线对称轴l是x＝4．
∵Q（8，m）抛物线上，∴m＝2．
过点Q作QK⊥x轴于点K，则K（8，0），QK＝2，AK＝6，
∴AQ＝．
又∵B（6，0）与A（2，0）关于对称轴l对称，
∴PQ＋PB的最小值＝AQ＝．
　　
（3）如图②，连结EM和CM．
由已知，得EM＝OC＝2．
CE是⊙M的切线，∴∠DEM＝90 ，则∠DEM＝∠DOC．
又∵∠ODC＝∠EDM．
故△DEM≌△DOC．
∴OD＝DE，CD＝MD．
又在△ODE和△MDC中，∠ODE＝∠MDC，∠DOE＝∠DEO＝∠DCM＝∠DMC．
则　OE∥CM．
设CM所在直线的解析式为y＝kx＋b，CM过点C（0，2），M（4，0），
∴解得
直线CM的解析式为．
又∵直线OE过原点O，且OE∥CM，
则OE的解析式为y＝x．
85.（内江市）25.如图（13），已知平行四边形的顶点的坐标是，平行于轴，三点在抛物线上，交轴于点，一条直线与交于点，与交于点，如果点的横坐标为，四边形的面积为．
（1）求出两点的坐标；
（2）求的值；
（3）作的内切圆，切点分别为，求的值．
解：（1）∵点A的坐标为（0，16），且AB∥x轴
∴B点纵坐标为4，且B点在抛物线上
∴点B的坐标为（10，16）
又∵点D、C在抛物线上，且CD∥x轴
∴D、C两点关于y轴对称
∴DN＝CN＝5.
∴D点的坐标为（－5,4）
（2）设E点的坐标为（a，16），则直线OE的解析式为：
∴F点的坐标为（）
由AE＝a，DF＝且，得
解得a＝5
（3）连结PH，PM，PK
∵⊙P是△AND的内切圆，H，M，K为切点
∴PH⊥AD，PM⊥DN，PK⊥AN
在Rt△AND中，由DN＝5，AN＝12，得AD＝13
设⊙P的半径为r，则，r＝2
在正方形PMNK中，PM＝MN＝2
∴
在Rt△PMF中，tan∠PMF＝
86.（资阳市）25.如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x … -3 -2 1 2 …
y … - -4 - 0 …
(1) 求A、B、C三点的坐标；
(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；
(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.
解：（1）解法一：设，
任取x,y的三组值代入，求出解析式，
令y=0，求出；令x=0，得y=-4，
∴ A、B、C三点的坐标分别是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) .
解法二：由抛物线P过点(1，-)，(-3，)可知，
抛物线P的对称轴方程为x=-1，
又∵ 抛物线P过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知，
点A、B、C的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) .
（2）由题意，，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，
又 ，EF=DG，得BE=4-2m，∴ DE=3m，
∴SDEFG=DG·DE=(4-2m) 3m=12m-6m2 (0＜m＜2) .
注：也可通过解Rt△BOC及Rt△AOC，或依据△BOC是等腰直角三角形建立关系求解.
(3)∵SDEFG=12m-6m2 (0＜m＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 .
当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)，
设直线DF的解析式为y=kx+b，易知，k=，b=-，∴，
又可求得抛物线P的解析式为：，
令=，可求出. 设射线DF与抛物线P相交于点N，
则N的横坐标为，过N作x轴的垂线交x轴于H，有
==，
点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是
k≠且k＞0.
说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分.
若选择另一问题：
(2)∵ HYPERLINK "http://www.1230.org" EMBED Equation.DSMT4 ，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2，
又∵， 而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3，
∴SDEFG=DG·FG=6.
87.（自贡市）26.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，抛物线y＝x2－2ax＋b2交x轴于两点M，N，交y轴于点P，其中M的坐标是(a＋c，0)．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）若S△MNP＝3S△NOP，①求cosC的值；②判断△ABC的三边长能否取一组适当的值，使三角形MND（D为抛物线的顶点）是等腰直角三角形？如能，请求出这组值；如不能，请说明理由．
解：（1）证明：∵抛物线y＝x2－2ax＋b2 经过点
∴
∴
∴
由勾股定理的逆定理得：
为直角三角形
（2）解：①如图所示；
∵
∴ 即
又 ∴
∴，是方程x2－2ax＋b2＝0的两根
∴
∴
由（1）知：在中，∠A＝90°
由勾股定理得
∴
②能
由（1）知
∴顶点
过D作DE⊥x轴于点 则NE＝EM DN＝DM
要使为等腰直角三角形，只须ED＝MN＝EM
∵
∴
∴ 又c＞0，∴c＝1
由于c＝a b＝a ∴a＝ b＝
∴当a＝，b＝，c＝1时，为等腰直角三角形。
88.（成都市）28.在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范围．
解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点和，
由 解得
此二次函数的表达式为 ．
（2）假设存在直线与线段交于点
（不与点重合），使得以为顶点的三角形
与相似．
在中，令，则由，
解得
．
令，得．．
设过点的直线交于点，过点作轴于点．
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
．
要使或，
已有，则只需， ①
或 ②
成立．
若是①，则有．
而．
在中，由勾股定理，得．
解得 （负值舍去）．
．
点的坐标为．
将点的坐标代入中，求得．
满足条件的直线的函数表达式为．
［或求出直线的函数表达式为，则与直线平行的直线的函数表达式为．此时易知，再求出直线的函数表达式为．联立求得点的坐标为．］
若是②，则有．
而．
在中，由勾股定理，得．
解得 （负值舍去）．
．
点的坐标为．
将点的坐标代入中，求得．
满足条件的直线的函数表达式为．
存在直线或与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似，且点的坐标分别为或．
（3）设过点的直线与该二次函数的图象交于点．
将点的坐标代入中，求得．
此直线的函数表达式为．
设点的坐标为，并代入，
得．
解得（不合题意，舍去）．
．
点的坐标为．
此时，锐角．
又二次函数的对称轴为，
点关于对称轴对称的点的坐标为．
当时，锐角；
当时，锐角；
当时，锐角．
89.（乐山市）28.如图（16），抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为；直线与抛物线交于点，与轴交于点，且．
（1）用表示点的坐标；
（2）求实数的取值范围；
（3）请问的面积是否有最大值？
若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由．
解：（1）抛物线过，
点在抛物线上，
，
点的坐标为．
（2）由（1）得，
，，．
（3）的面积有最大值，
的对称轴为，，点的坐标为，
由（1）得，
而
， 的对称轴是，
当时，取最大值，
其最大值为．
90.（巴中市）30.如图12，以边长为的正方形的对角线所在直线建立平面直角坐标系，抛物线经过点且与直线只有一个公共点．
（1）求直线的解析式．（3分）
（2）求抛物线的解析式．（3分）
（3）若点为（2）中抛物线上一点，过点作轴于点，问是否存在这样的点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（5分）
解：（1）直线AB的解析式为：
（2）抛物线的解析式为：
（3）存在这样的点P，使△PMC∽△ADC，P点的坐标为（0，-1）；（2，1）；
（，）；（，）。理由略。
91.（眉山市）26.如图，矩形是矩形（边在轴正半轴上，边在轴正半轴上）绕点逆时针旋转得到的，点在轴的正半轴上，点的坐标为．
（1）如果二次函数（）的图象经过，两点且图象顶点的纵坐标为，求这个二次函数的解析式；
（2）在（1）中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请求出点的坐标和的面积；若不存在，请说明理由；
解：（1）连结，
则，
，　
解得，，
所求二次函数的解析式为
（2）设存在满足题设条件的点
连结，，，过作轴于
则
，，
， 即
在二次函数的图象上
解得或
在对称轴的右支上
即是所求的点，连结，显然为等腰直角三角形．
为满足条件的点
满足条件的点是或
，
或
（3）设与的交点为
显然
在中
，即
解得，
设边所在直线的解析式为
则
解得，
所求直线解析式为
92.(内蒙古呼和浩特市) 26.如图，在矩形中，，．点在上，，交于，，交于于．点从点（不含）沿方向移动，直到使点与点重合为止．
（1）设，的面积为．
请写出关于的函数解析式，并确定的取值范围．
（2）点在运动过程中，的面积是否有最大值，若有，请求出最大值及此时的取值；若无，请说明理由．
（1）解：过点作，垂足为．
在矩形中，
又，，
又在中，
又
又在四边形中，
四边形为矩形
又
又
又
又
或
过点作，垂足为．
在中，由等积法可得
由题意可得当与重合时，与重合即，
由得即
的取值范围是
（2）面积有最大值
由（1）可得
当即时，
面积最大，即
93.(赤峰市)25. 如图，一元二次方程的二根（）是抛物线与轴的两个交点的横坐标，且此抛物线过点．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）设此抛物线的顶点为，对称轴与线段相交于点，求点和点的坐标．
（3）在轴上有一动点，当取得最小值时，求点的坐标．
解：（1）解方程
得
抛物线与轴的两个交点坐标为：
设抛物线的解析式为
在抛物线上
抛物线解析式为：
（2）由
抛物线顶点的坐标为：，对称轴方程为：
设直线的方程为：
在该直线上
解得直线的方程为：
将代入得
点坐标为
（3）作关于轴的对称点，连接；与轴交于点即为所求的点
设直线方程为
解得
直线：
令，则
点坐标为
94.(鄂尔多斯市)26. 如图17，抛物线（为常数）经过坐标原点和轴上另一点，顶点在第一象限．
（1）确定抛物线所对应的函数关系式，并写出顶点坐标；
（2）在四边形内有一矩形，点分别在上，点在轴上．当为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？
解（1）抛物线过点．
顶点在第一象限，
且
抛物线
顶点坐标为
（2）①点的坐标为
②如图所示，作轴于．设点的坐标为
由抛物线的对称性可知：
当时，
时，
答：等于时，矩形的最大面积是．
95.(乌兰察布市)24. 如图所示，菱形ABCD的边长为6cm，∠DAB＝60°，点M是边AD上一点，且DM＝2cm，点E、F分别从A、C同时出发，以1cm/s的速度分别沿边AB、CB向点B运动，EM、CD的延长线相交于G，GF交AD于O。设运动时间为x（s），△CGF的面积为y（）。
（1） 当x为何值时，GD的长度是2cm？
（2） 求y与x之间的函数关系式；
（3） 是否存在某一时刻，使得线段GF把菱形ABCD分成的上、下两部分的面积之比为1：5？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由。
( http: / / blog. / user / 925 / index.html )
解：（1）∵DC∥AB
∴△DMG∽△AME
∴
∴
即当x=4s时，GD的长度是2cm
（2）∵△DMG∽△AME
∴
∴
∴GC=
过F作FH⊥DC于H点
∴FH=
∴
＝
（3）设运动x（s）时，GF分菱形上、下两部分的面积比为1：5
此时△OGD∽△FGC
∴
∴
过D作DP⊥BC于P，则PD＝6×sin60°＝
即
解得： （舍去）
经检验：是原方程的解
∴当时，GF分菱形上、下两部分的面积比为1：5
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3
4
5
5
4
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图①
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图②
图（13）
图10
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图（16）
图12
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A（3，6）
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图17