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第 14 章 全等三角形
14.1 全等三角形
问题：观察下面各组图形，说说他们有什么共同特点.
（1）
（2）
我发现它们可以完全重合
做一做：如图是两组形状、大小完全相同的图形. 用透明纸描出每组中的一个图形，并剪下来与另一个图形放在一起，它们完全重合吗？
全等图形
观察思考：每组中的两个图形有什么特点？它们是不是全等图形？为什么？与同伴进行交流.
（1）
（2）
（3）
形状相同
大小不相同
大小相同
形状不相同
全等图形
归纳总结
全等形定义：
能够完全重合的两个图形叫做全等形.
全等形性质：
如果两个图形全等，它们的形状相同，大小相等 ！
下面哪些图形是全等形？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
看大小、形状是否完全相同
全等三角形的对应元素
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.
其中点 A 和 ，点B和 ，点C和_ 是对应顶点.
AB 和 ，BC 和 ，AC 和 是对应边.
∠A 和 ，∠B 和 ， ∠C 和 是对应角.
B
C
A
点 D
点 E
点 F
DE
EF
DF
∠D
∠E
∠F
E
F
D
△ABC≌△FDE
A
B
C
E
D
F
注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
全等的表示方法
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.
例1 如图，△ABC≌△CED， ∠B 和∠ DEC是对应角，BC 与ED 是对应边，说出另两组对应角和对应边.
A
B
C
E
D
解： ∠A 和∠DCE 是对应角，∠D 和∠ACB 是对应角；
AC 和 CD 是对应边，
AB 和 CE 是对应边.
典例精析
寻找对应元素的规律
1. 有公共边的，公共边一般是对应边；
2. 有公共角的，公共角一般是对应角；
3. 有对顶角的，对顶角一般是对应角；
4. 两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边；
5. 两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角.
方法总结
A
D
F
C
E
B
1
2
A
B
D
C
1
4
2
3
E
A
B
C
F
1
2
3
4
找一找下列全等图形的对应元素：
A
B
C
D
F
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
我们知道，能够完全重合的两条线段是相等的，能够完全重合的两个角是相等的，由此得到：
全等三角形的性质
二
∵△ABC≌△FDE
∴A B = F D，A C = F E，B C = D E
∠A =∠F，∠B =∠D，∠C =∠E
A
B
C
E
D
F
全等三角形的性质的几何语言
(全等三角形对应边相等)
(全等三角形对应角相等)
例2 如图，已知△ABC≌△DCB，AB = 3，DB = 4，∠A = 60°.
(1) 写出△ABC 和△DCB 的对应边和对应角；
(2) 求 AC，DC 的长及∠D 的度数.
解：(1) 对应边：AB 与 DC，AC 与 DB，
BC 与 CB；
∴ AC = DB = 4，DC = AB = 3，∠D =∠A = 60°.
(2) ∵ △ABC≌△DCB，
对应角：∠A 与∠D，∠ABC 与∠DCB，∠ACB 与∠DBC.
例3 如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠E 的度数和 CF 的长．
解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，
∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，
∴∠E＝∠B＝50°，BC＝EF＝7.
∴ CF＝BC－BF＝7－4＝3.
分析：根据全等三角形的对应边、对应角相等求∠DEF 的度数和 CF 的长．
例4 如图，△EFG≌△NMH，EF = 2.1 cm，EH = 1.1 cm，NH = 3.3 cm.
（1）试写出两三角形的对应边、对应角；
解：对应边有 EF 和 NM，FG 和 MH，EG 和 NH；
对应角有∠E 和∠N，∠F 和∠M，∠EGF 和∠NHM.
（2）求线段 NM 及 HG 的长度；
（3）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提出
一个正确的结论并说明理由.
解：∵ △EFG≌△NMH，
∴ EF = NM = 2.1 cm，
EG = NH = 3.3 cm.
∴ HG = EG - EH = 3.3 - 1.1 = 2.2 (cm).
解：结论：EF∥NM (答案不唯一).
理由：∵ △EFG≌△NMH，
∴∠E =∠N. ∴ EF∥NM.
想一想：你还能得出
其他结论吗？
1. 如图，△ABC≌△BAD，如果 AB = 4 cm，BD = 3 cm，
AD = 5 cm，那么 BC 的长是（ ）
A. 5 cm B. 4 cm
C. 3 cm D. 无法确定
2. 在上题中，∠CAB 的对应角是（ ）
A.∠DAB B.∠DBA C.∠DBC D.∠CAD
A
O
C
D
B
A
B
∠D
∠BAD
∠ABD
AD
BD
BA
B
C
D
A
角
角
角
边
边
边
AB =
AC =
BC =
∠BAC =
∠ABC =
∠C =
3. 如图，已知△ABC≌△BAD请指出图中的对应边和对应角.
有公共边的，公共边一般是对应边.
归纳
B
C
A
D
E
F
如图，平移后△ABC≌△EFD，若 AB＝6，AE＝2. 你能求出 AF 的长吗？说说你的理由.
解：∵△ _____≌△_____，
∴ AB＝____＝____.
∴ AB－_____＝EF－____.
∴ AF＝EB＝ .
变式：
ABC
EFD
EF
6
AE
AE
6 - 2＝4
∠ADE
∠E
∠A
ED
AD
AE
A
B
C
E
D
角
角
角
边
边
边
AB =
AC =
BC =
∠A =
∠B =
∠ACB =
4. 如图，已知△ABC≌△AED，请指出图中的对应边和对应角.
有公共角的，公共角一般是对应角.
归纳
如图，已知△ABC≌△AED，若 AB = 6，AC = 2，∠B = 25°，你还能说出△ADE 中其他角的大小和边的长度吗？
解：∵△ABC≌△AED，
∴∠E = ∠B = 25°
(全等三角形对应角相等)，
AD = AC = 2，AE = AB = 6
(全等三角形对应边相等).
变式：
A
B
C
E
D
5.如图，△ABC≌△AED，AB 是△ABC 的最大边，AE 是△AED 的最大边，∠BAC 与∠ EAD 是对应角，且∠BAC = 25°，∠B = 35°，AB = 3 cm，BC = 1 cm，求出∠E，∠ ADE 的度数和线段 DE，AE 的长度.
B
C
E
D
A
解：∵ △ABC≌△AED(已知)，
∴∠E =∠B = 35°(全等三角形对应角相等)，
∠ADE =∠ACB =180°－25°－35°=120°
(全等三角形对应角相等)，
DE = BC = 1 cm，AE = AB = 3cm
(全等三角形对应边相等).
摆一摆：利用平移，翻折，旋转等变换所得到的三角形与原三角形组成各种各样新的图形，你还能拼出什么不同的造型吗？比一比看谁更有创意！
拼接的图形展示
全等
三角形
定义
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
基本性质
对应边相等
对应角相等
对应元素确定方法
对应边
对应角
长对长，短对短，中对中
公共边一般是对应边
大角对大角，小角对小角
公共角一般是对应角
对顶角一般是对应角
