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第 14 章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
第 2 课时 两角及其夹边分别相等的两个三角形
如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？如果可以，带哪块去合适
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Ⅰ
Ⅱ
思考：观察上面图形变换，你认为应该带哪块去，猜想下这是为什么？
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问题1：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？
A
B
C
A
B
C
图一
图二
“两角及夹边”
“两角和其中一角的对边”
它们能判定两个三角形全等吗？
三角形全等的判定（“角边角”）
作图探究
先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′， 使 A′B′ = AB， ∠A′ =∠A， ∠B′ =∠B (即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A′B′C′ 剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？
A
C
B
作法：
（1）画线段 A'B' = AB；
（2）在 A'B' 的同旁画∠DA'B' =∠A，∠EB'A' =∠B，
A'D，B'E 相交于点 C'.
A′
B′
C′
E
D
想一想：从中你能发现什么规律？
A
C
B
知识要点
“角边角”判定方法
文字语言：有两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简记为“角边角”或“ASA”）.
几何语言：
∠A =∠A′ (已知)，
AB = A′B′ (已知)，
∠B =∠B′ (已知)，
在△ABC 和△A′B′C′ 中，
∴△ABC≌△A′B′C′ (ASA).
A
B
C
A′
B′
C′
例1 已知：如图，点 A，F，E，C 在同一条直线上，AB∥DC，AB = CD，∠B =∠D.
求证：△ABE≌△CDF.
证明： ∵ AB∥DC，
∴ ∠A =∠C.
在△ABE 和△CDF 中，
∴ △ABE≌△CDF (ASA).
∠A =∠C，
AB = CD，
∠B =∠D，
典例精析
已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求证：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知），
证明：
在△ABC 和△DCB 中，
∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
练一练
B
C
A
D
如图，已知∠ACB =∠DBC，∠ABC =∠CDB，判别图中的两个三角形是否全等，并说明理由.
不全等，因为 BC 虽然是公共边，但不是对应边.
A
B
C
D
议一议
易错点：判定全等的条件中，必须是对应边相等，对应角相等，否则不能判定.
例2 如图， ∠1＝∠2，∠ 3＝∠4，求证：DB＝CB.
证明：∵ ∠DBA +∠3 =180°，
∠ABC +∠4 =180°，∠3＝∠4，
∴∠ABD＝∠ABC(等角的补角相等).
在△ABD 和△ABC 中，
∠1＝ ∠2 (已知)，
AB＝AB(公共边)，
∠ABD＝∠ABC(已证)，
∴ △ABD≌△ABC(ASA).
∴ DB＝CB .
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“ASA”的判定与性质的综合运用
例3 如图，为测量河宽 AB，小军从河岸的 A 点沿着和 AB 垂直的方向走到 C 点，并在 AC 的中点 E 处立一根标杆，然后从 C 点沿着与 AC 垂直的方向走到 D 点，使 D，E，B 恰好在一条直线上. 于是小军说：“CD 的长就是河的宽”
你能说出这个
道理吗？
A
B
E
C
D
解：在△AEB 和△CED 中，
∠A＝∠C＝ 90°，
AE＝CE，
∠AEB＝∠CED (对顶角相等)，
∴ △AEB≌△CED（ASA）.
∴ AB＝CD (全等三角形的对应边相等).
因此，CD 的长就是河的宽度.
A
B
C
D
E
F
1. 如图，∠ACB =∠DFE，BC = EF，那么应补充一个条件 ，才能使△ABC≌△DEF (写出一个即可).
∠B =∠E
（ASA）
AB∥DE
或 AC = DF
（SAS）
D′
∠B =∠E
2. 如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AB = AC，∠B =∠C. 求证：AD = AE.
证明：在△ACD 和△ABE 中，
∠A =____（ ），
_______ ( )，
∠C =____( )，
∴△ACD≌△ABE( )，
∴AD = AE（ ）.
分析：只要找出 ≌ ，得 AD = AE.
△ACD
△ABE
∠A
公共角
AB = AC
∠B
ASA
全等三角形的对应边相等
已知
已知
A
D
B
C
O
E
∵
3. 已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，CF，C′F′ 分别是∠ACB 和∠A′C′B′ 的平分线. 求证：CF = C′F′.
证明：∵△ABC≌△A′B′C′，
∠A =∠A′，
∠ACB =∠A′C′B′.
∴ AC = A′C′，
∴ CF = C′F′.
又∵CF，C′F′ 分别是∠ACB 和∠A′C′B′ 的平分线，
∴ ∠ACF =∠A′C′F′.
∴ △ACF≌△A′C′F′ (ASA).
4.如图，已知 AB = AE，∠1 =∠2，∠B =∠E，
求证：BC = ED.
证明：∵∠1=∠2，
∴ ∠1 +∠BAD =∠2 +∠BAD，
即∠EAD =∠BAC.
在△AED 和△ABC 中，
∠E =∠B，
AE = AB，
∠EAD =∠BAC，
A
B
E
C
D
1
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∴△AED≌△ABC(ASA).
∴ BC = ED.
学以致用：如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢 如果可以，带哪块去合适 你能说明其中理由吗
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1
答：可以带 1 去，因为两角且夹边分别相等的两个三角形全等.
两角及其夹边分别相等的两个三角形
应用：证明角相等，边相等
三角形全等的“ASA”判定：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
