人教版七年级下册数学 第8章 复习与测试 方程组整数解问题 教案

二元一次方程（组）的整数解
学习目标：
1、理解二元一次方程整数解存在的条件
2、掌握二元一次方程整数解的求法
一、知识回顾
1、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，
若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即
如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解，显然a,b互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1,　 5x－2y=7,　 9x+3y=6都有整数解。
反过来也成立，方程9x+3y=10和 4x－2y=1都没有整数解，
∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。
2、二元一次方程整数解的求法：
若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。
方法一：整除法：求方程5x+11y=1的整数解
解：x== (1) ,
设是整数），则y=1－5k (2) ,　　
把（2）代入（1）得x=k－2(1－5k)=11k－2
∴原方程所有的整数解是（k是整数）
方法二：公式法：
设ax+by=c有整数解则通解是（x0,y0可用观察法）
3、求二元一次方程的正整数解：
（1）求出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值
（2）用观察法直接写出。
二、例题辨析
例1、我们知道方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数【解析】由，得，（、为正整数）
，则有.
又为正整数，则为正整数.
由2与3互质，可知：为3的倍数，从而，代入.
的正整数解为
问题：（1）请你写出方程的一组正整数解：
（2）若为自然数，则满足条件的值有 个
A、2 B、3 C、4 D、5
（3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？
变式练习：求方程的正整数解：5x+7y=87；
例2、求方程5x+6y=100的正整数解
变式练习：求11x+15y=7的整数解．
例3、甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？
变式练习: 一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？
例5、a取什么值时，方程组 的解是正数？
变式练习m取何整数值时，方程组的解x和y都是整数？
例6、（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？
三、归纳总结
1、方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
2、求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。
四、拓展延伸
二元一次方程组的解的情况有以下三种：
（1）当时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效）
（2）当时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的）
（3）当（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：
例1 选择一组a,c值使方程组
（1）有无数多解，　（2）无解，　（3）有唯一的解
变式练习：不解方程组，判定下列方程组解的情况：
（1）　　　（2）　　（3）
变式练习：当a、b满足什么条件时，关于、的方程(2-18)x=3①与方程组
都无解？请说明理由.
五、课后作业
1、已知关于的方程组有整数解,即都是整数,是正整数,求的值.
2、一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多对几题？
3、王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得8877;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2351.王老师家的电话号码是 .
4、有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为.已知a,b,c都小于10,a,b,c依次为 , , .
5、a取什么值时方程组的解是正数？
6、a取哪些正整数值，方程组的解x和y都是正整数？
7、要使方程组的解都是整数， k应取哪些整数值？
8、（古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？