1.3 正方形的性质与判定 同步练习（无答案） 北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定
一、选择题
1. 下列说法正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．由两个全等的三角形拼成的四边形是矩形
C．四个角都是直角的平行四边形是正方形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
2. 下列命题的逆命题正确的是（ ）
A．平行四边形的两组对边分别平行 B．对顶角相等
C．矩形是平行四边形 D．全等三角形的对应角相等
3. 下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．邻边相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．邻边相等的平行四边形是正方形
4. 下列说法错误的是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．每组邻边都相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．四个角都相等的四边形是矩形
5. 下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
6. 在四边形中，连接与，若，且，，则四边形的面积是（ ）
A．24 B．18 C．15 D．12
7. 如图，正方形木板的面积是，在这个木板上截出面积为的正方形，连接，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
8. 下列四个命题中不正确的是（ ）
A．有两边相等的平行四边形是菱形 B．一组邻边相等的矩形是正方形
C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角互补的平行四边形是矩形
9. 如图，已知正方形的边长为4，点在上，，点是上的一个动点，那么的最小值是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
10. 如图，正方形的边长为4，E是的中点，点P是边上的一个动点，连结，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
11. 如图，正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至，延长交边于点G，连接、．下列结论：①；②；③；④；⑤ ．其中正确结论的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12. 如图，四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到，再以对角线为边作第三个正方形连接，得到；再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到；…设，，，…的面积分别为，，…，依此下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13. 如图，在正方形内作，交于点交于点，连接，过点作，垂足为，将绕点顺时针旋转得到，若，，则的长为______．

14. 小颖将图1所示七巧板的其中几块拼成如图2所示的一个四边形．
（1）___．
（2）四边形的最长边长与最短边长的比值为___．
15. 如图，在边长为4的正方形中，点E、F分别为边上的动点（不与端点重合），连接，点E、F在运动过程中，始终保持，连接．过点B作，垂足为H，连接，则的最小值为______．

16. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形．如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为9，中间的小正方形为正方形，面积为2，连结，交于点，交于点，①，②，③，④，以上说法正确的是______．（填写序号）
三、解答题
17. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，．求证：四边形是正方形．

18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．

(1)在图①、图②中，以线段为一边，分别画一个平行四边形和菱形．（要求两个四边形不全等）
(2)在图③中，以点A为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
19. 如图1，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如图2，若，请猜想线段与的数最关系并加以证明；
(3)如图1，若的面积为72，，请直接写出的长．
20. 已知，如图，矩形中，，，菱形的三个顶点E，G，H分别在矩形的边，，上，，连接．

(1)若，求证四边形为正方形；
(2)若，求的面积；
(3)当为何值时，的面积最小．
21. 【感知】如图1，已知四边形中，．求证：A、B、C、D四点在同一个圆上．聪明的李明同学在小卡片上给出了正确的解法：
证明：连接，取的中点O，连结、，∵，O是的中点，∴，，∴，即A、B、C、D四点在以O为圆心的同一个圆上．
【拓展】如图，在正方形中，，点F是中点，点E是边上一点，于点P．（注：下述证明过程中可直接使用李明的结论）
(1)如图2，当点P在线段上时，证明：；
(2)如图3，过点P分别作、的垂线，垂足分别为N、M．求的最小值．