人教A版2019选择性必修第一册3.3.2抛物线的简单几何性质 第2课时同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版2019选择性必修第一册3.3.2抛物线的简单几何性质 第2课时同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-30 11:19:16 | ||
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文档简介
3.3.2抛物线的简单几何性质（第2课时）（分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
题型1 直线与抛物线的位置关系
1.已知点为抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切，已知B(2，1)，则|MA|+|MB|的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则（ ）
A． B． C． D．
4.设斜率为2的直线l过抛物线（）的焦点F，且和y轴交于点A，若（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5.两条直线和分别与抛物线交于异于原点的 两点，且直线过点，则（ ）
A． B．1 C． D．2
题型2弦长问题
6.是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到 轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
7.已知点是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
8.已知直线与抛物线交于，两个点，求线段长（ ）
A．4 B． C．2 D．20
9.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，为垂足，若直线的斜率，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
10.已知抛物线的焦点为F，过F的直线与E交于A，B两点，且.则的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型3抛物线的中点弦问题
11.设经过点的直线与抛物线相交于两点，若线段中点的横坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
12.P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有（ ）
A．|PP1||AA1|+|BB1| B．|PP1||AB|
C．|PP1||AB| D．|PP1||AB|
13.抛物线的焦点为，对称轴为，过且与的夹角为的直线交于，两点，的中点为，线段的中垂线交于点．若的面积等于，则等于（ ）
A． B．4 C．5 D．8
14.已知抛物线C：的焦点，直线与该抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D.若，则点E到y轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
15.已知为抛物线的焦点，为上任意一点，且点到点距离的最小值为．若直线过交于，两点，且，则线段中点的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【能力提升】
单选题
1.已知椭圆：与抛物线：交于两点，为坐标原点，若的外接圆经过点，则等于（ ）
A． B． C．2 D．4
2.已知直线与抛物线交于不同的两点，，直线，的斜率分别为，，且，则直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【点睛】本题考查直线恒过定点问题,考查直线与抛物线的位置关系的应用
3.在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线的焦点，A、B是抛物线上两个不同的点．若，则线段AB的中点到y轴的距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
4.已知抛物线的焦点为，是抛物线的准线上的一点，且的纵坐标为正数，是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5.已知抛物线的焦点为F，点A在C上．O为坐标原点，若，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
6.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l 过点M(2，0)且与C交于A，B两点，，若|AM|＝λ|BM|，则λ＝( )
A． B．2 C．4 D．6
7.已知F为抛物线的焦点，过F且斜率为的直线交C于A，B两点，过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为，，线段交y轴于，线段交y轴于，，则p的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
8.设，是抛物线上异于原点的不同两点，则的最小值为( )
A．1 B．－1 C．－2 D．－4
多选题
9.(多选)顶点在坐标原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（ ）
A．x2＝6y B．y2＝－6x
C．x2＝12y D．x2＝－12y
10.已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
11.对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，准线方程为y＝－
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1,0)
D．开口向右，准线方程为y＝－1
12.(多选)经过抛物线(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法中正确的是（ ）
A．当AB与x轴垂直时，|AB|最小 B．＋＝
C．以弦AB为直径的圆与直线相离 D．y1y2＝－p2
填空题
13.已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，过点，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，线段的中点为，且，则 .
14.已知抛物线与经过该抛物线焦点的直线在第一象限的交点为在轴和准线上的投影分别为点 ，，则直线的斜率为 ．
15.以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点.已知，，则的顶点到准线的距离为 .
16.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则的最小值是 ．
解答题
17.已知抛物线经过点，F为抛物线的焦点，且．
（1）求的值；
（2）点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，试求点M的轨迹方程．
18.离心率为的双曲线上的动点到两焦点的距离之和的最小值为，抛物线的焦点与双曲线的上顶点重合．
(1)求抛物线的方程；
(2)过直线为负常数）上任意一点向抛物线引两条切线，切点分别为，坐标原点恒在以为直径的圆内，求实数的取值范围．
19.抛物线的焦点到准线的距离为.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点的直线（斜率存在且不为0）交抛物线于两点，线段的中垂线交抛物线的对称轴于点，求.
20.已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点分别作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于与，记的面积分别为，求的最小值.
3.3.2抛物线的简单几何性质（第2课时）（分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
题型1 直线与抛物线的位置关系
1.已知点为抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义可得，结合抛物线方程，计算即可.
【详解】如图所示，由抛物线的定义可知，，因为抛物线方程为，可得，所以，所以的最小值为.
故选：A
2.在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切，已知B(2，1)，则|MA|+|MB|的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】求出点M的轨迹方程，再利用求得的轨迹的几何意义求解而得.
【详解】设M(x，y)，以MA为直径的圆的圆心为，
又由动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切，则有，
整理得：y2＝4x，
则M的轨迹是抛物线，其焦点为A(1，0)，准线l为x＝-1，
如图，过M作MD⊥l于D，|MA|=|MD|，
|MA|+|MB|=|MD|+|MB|≥|BD|，当且仅当B、M、D三点共线时取“=”，
|MA|+|MB|取得最小值为|BD|＝2-(-1)＝3．
故选：C
【点睛】抛物线上动点到其焦点及另一定点距离的和最小问题，可以借助抛物线定义转化求解.
3.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作，根据共线向量可确定为中点，根据三角形中位线性质可求得，根据抛物线定义可求得，进而得到.
【详解】由抛物线方程知：，，
设准线与轴交于点，作，垂足为，
，为中点，又，，
由抛物线定义知：，.
故选：C.
4.设斜率为2的直线l过抛物线（）的焦点F，且和y轴交于点A，若（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的方程写出焦点坐标，求出直线的方程、点的坐标，最后根据三角形面积公式进行求解即可.
【详解】抛物线的焦点的坐标为，
所以直线的方程为：，
令，解得，因此点的坐标为：，
因为的面积为4，
所以有，即，，
因此抛物线的方程为.
故选：B.
5.两条直线和分别与抛物线交于异于原点的 两点，且直线过点，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】联立直线的方程与抛物线的方程，可得，的坐标，由两点斜率可得的值．
【详解】联立，由于，可得，，即，
同理可得，
由直线经过,所以 ，化简得，
由于 所以，
故选：C
题型2弦长问题
6.是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到 轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出A,B的中点横坐标的和,求出线段AB的中点到y轴的距离
【详解】是抛物线的焦点, ,准线方程, 设,
, ,
线段AB的中点横坐标为, 线段AB的中点到y轴的距离为所以D选项是正确的
【点睛】抛物线的弦长问题一般根据第一定义可简化运算．
7.已知点是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【分析】设直线的倾斜角为，用表示出，再应用基本不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件.
【详解】抛物线，焦点，设直线的倾斜角为，得：，则，.
当且仅当时等号成立.故选：D
8.已知直线与抛物线交于，两个点，求线段长（ ）
A．4 B． C．2 D．20
【答案】D
【分析】由抛物线的方程及直线的方程，可得直线过抛物线的焦点，联立直线与抛物线的方程，求出两根之和，由抛物线的性质可得弦长的大小．
【详解】由抛物线的方程，可得焦点，而直线的方程也过，可得直线过抛物线的焦点，设，，，，
联立，整理可得，
可得，所以，
由抛物线的性质可得．故选：D
9.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，为垂足，若直线的斜率，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由抛物线的方程，求得焦点与准线，根据焦点与斜率写得直线方程，求得点坐标，结合抛物线方程，求得点坐标，利用抛物线定义，可得答案.
【详解】∵抛物线的方程为，∴焦点，准线的方程为.
∵直线的斜率，
∴直线的方程为，当时，，即.
∵为垂足，
∴点的纵坐标为，代入到抛物线方程得，点的坐标为.
∴.故选：C.
10.已知抛物线的焦点为F，过F的直线与E交于A，B两点，且.则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】不妨设点A在第一象限，根据题意联立方程结合韦达定理求，进而可求结果.
【详解】由题意可知：抛物线的焦点F为，
不妨设点A在第一象限，设直线，
联立方程，消去y得，
则，
∵，可得，联立方程，解得，
代入可得，解得或（舍去），
可得，故的面积.故选：A.
题型3抛物线的中点弦问题
11.设经过点的直线与抛物线相交于两点，若线段中点的横坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用抛物线焦点弦长公式直接求解即可.
【详解】由抛物线方程知：为抛物线的焦点；设，线段中点的横坐标为，，直线过抛物线的焦点，.故选：B.
12.P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有（ ）
A．|PP1||AA1|+|BB1| B．|PP1||AB|
C．|PP1||AB| D．|PP1||AB|
【答案】B
【解析】根据题意可得PP1是梯形AA1B1B的中位线，利用梯形的性质以及抛物线的焦半径公式即可求解.
【详解】根据题意，PP1是梯形AA1B1B的中位线，
故|PP1|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|.故选：B
13.抛物线的焦点为，对称轴为，过且与的夹角为的直线交于，两点，的中点为，线段的中垂线交于点．若的面积等于，则等于（ ）
A． B．4 C．5 D．8
【答案】D
【分析】依题意不妨设抛物线为，不妨设直线的倾斜角为，直线，设，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出的坐标，从而求出直线的方程，则的坐标可求，再根据三角形面积求出，最后根据焦半径公式计算可得.
【详解】解：依题意不妨设抛物线为，则，
根据对称性不妨设直线的倾斜角为，则直线，
设，，则，消去整理得，
所以，则，
所以，则直线的方程为，令，解得，即，
所以，解得或（舍去），
所以，则，所以.故选：D
14.已知抛物线C：的焦点，直线与该抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D.若，则点E到y轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设直线的方程与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式、直线和圆相切的条件可得的值，结合等腰三角形的性质可得直线的倾斜角为，从而可求得的值，由此确定的坐标，即可得点E到y轴的距离．
【详解】过作垂直于准线为
抛物线的焦点为，所以，即，抛物线为
准线方程为，
设直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，
设,，,，可得，
则，
所以的中点为，
，
由圆与准线相切，可得，
两边平方，化简可得，
即直线的方程为，可得直线经过焦点，则
由圆与准线相切于，可得，
由准线，且，
可得，
即，
由，可得，
即有，，
直线的斜率为，所以，则
所以点E到y轴的距离为.故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查求抛物线焦点弦性质运用，解题关键是设直线方程，将直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理求出，从而得焦点弦中点坐标．再根据切线性质与弦长关系，得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
15.已知为抛物线的焦点，为上任意一点，且点到点距离的最小值为．若直线过交于，两点，且，则线段中点的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】设，由表示为关于的函数，结合二次函数的性质可得的值，利用弦长公式即可得结果.
【详解】设，则满足，
则
即当时，的最小值为，
解得（舍负），
即抛物线，焦点，
设，，
则，即，
即线段中点的横坐标为3，故选：B.
【能力提升】
单选题
1.已知椭圆：与抛物线：交于两点，为坐标原点，若的外接圆经过点，则等于（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】根据椭圆和抛物线的对称性知的外接圆的圆心必在x轴，设圆心为，结合圆的性质可得、进而得，代入椭圆方程计算即可求解.
【详解】设，则，.
由题意知，四点共圆，
由椭圆和抛物线的对称性，知的外接圆的圆心必在x轴，
设与x轴相交于点D，则，在圆D中，有，即，又，所以，解得，①
代入，得，②将①②代入椭圆方程，得，
整理，得，解得.经检验，时，符合题意.故实数p的值为.故选：A.
2.已知直线与抛物线交于不同的两点，，直线，的斜率分别为，，且，则直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设直线为,与抛物线方程联立可得,即,利用斜率公式代入中即可求得,进而得出结论
【详解】设直线为,联立,消去可得,
设,,所以,
因为,即,所以,
所以,所以,所以直线一定过点,故选:C
【点睛】本题考查直线恒过定点问题,考查直线与抛物线的位置关系的应用
3.在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线的焦点，A、B是抛物线上两个不同的点．若，则线段AB的中点到y轴的距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】本题先设，两点，并判断线段AB的中点到y轴的距离为，再求，最后求解.
【详解】解：设，，则线段AB的中点到y轴的距离为：，
根据抛物线的定义：，
整理得：，
故线段AB的中点到y轴的距离为：，
故选：B.
【点睛】本题考查抛物线的定义，是基础题.
4.已知抛物线的焦点为，是抛物线的准线上的一点，且的纵坐标为正数，是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义求出直线的斜率得解.
【详解】过点作于，
因为，由抛物线的定义得，所以在中，，
所以，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，故选B.
【点睛】本题关键在于根据抛物线的定义，将线段的关系转化到角的关系，属于中档题.
5.已知抛物线的焦点为F，点A在C上．O为坐标原点，若，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】作图，利用题目所给的条件，计算出A点的坐标即可.
【详解】依题意作下图：
,
抛物线C的准线为x=-1，过A点作准线的垂线，垂足为B，
过点F作直线AB的垂线，垂足为D，由条件得 ，
设 ，则 ，
由于A在抛物线C上， ，解得 或 （不符合题意，舍），
， ；
故选：C.
6.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l 过点M(2，0)且与C交于A，B两点，，若|AM|＝λ|BM|，则λ＝( )
A． B．2 C．4 D．6
【答案】C
【分析】先计算点B的坐标为和直线 的方程，联立方程解得，代入式子得到.
【详解】由题意得抛物线的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，
由及抛物线的定义知点B的横坐标为，
代入抛物线方程得，根据抛物线的对称性，
不妨取，则l 的方程为，
联立，得，于是，
故选C.
【点睛】本题考查了直线与抛物线位置关系，分别计算出B、A坐标是解题的关键.
7.已知F为抛物线的焦点，过F且斜率为的直线交C于A，B两点，过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为，，线段交y轴于，线段交y轴于，，则p的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】设，，由题意可知为的中位线，则，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求解即可.
【详解】设，，
由题意可知为的中位线，则，
过F且斜率为的直线方程为：，
联立得，则，，
则，解得．
故选：C．
8.设，是抛物线上异于原点的不同两点，则的最小值为( )
A．1 B．－1 C．－2 D．－4
【答案】B
【分析】设直线的方程为，代入抛物线方程，消去，得到的方程，设，运用韦达定理和判别式大于0，结合向量的数量积的坐标表示，转化为的函数，由配方即可得到所求最小值．
【详解】设直线的方程为，代入抛物线，可得，由题意可得，且，设 则，可得当时，取得最小值．故选:B．
多选题
9.(多选)顶点在坐标原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（ ）
A．x2＝6y B．y2＝－6x
C．x2＝12y D．x2＝－12y
【答案】CD
【分析】根据题意，这是求抛物线的标准版方程，只有一个未知数，因此列一个方程即可
【详解】由题意，设抛物线方程为x2＝±2py
可列方程：＝3
解得：p＝6，
故，抛物线的标准方程为：x2＝±12y.
故选：CD
10.已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】分别求出选项中各抛物线的焦点坐标，代入直线检验即可得结果.
【详解】对于A，抛物线开口向右，焦点坐标为，在直线上；
对于B，抛物线开口向下，焦点坐标为，在直线上；
对于C，抛物线开口向上，焦点坐标为，不在直线上；
对于D，抛物线开口向上，焦点坐标为，不在直线上；
故选：AB.
11.对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，准线方程为y＝－
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1,0)
D．开口向右，准线方程为y＝－1
【答案】AB
【分析】根据抛物线方程写出焦点、准线方程，并判断开口方向即可.
【详解】由题设，抛物线可化为，∴开口向上，焦点为，准线方程为.故选：AB
12.(多选)经过抛物线(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法中正确的是（ ）
A．当AB与x轴垂直时，|AB|最小 B．＋＝
C．以弦AB为直径的圆与直线相离 D．y1y2＝－p2
【答案】AD
【分析】设过焦点的直线方程并代入抛物线方程，运用韦达定理及抛物线的性质可得解.
【详解】设过抛物线焦点的直线方程为：，代入得，
，则
，，
，
当直线AB与x轴垂直时，，|AB|最小，∴A正确；
，∴B错；
以AB为直径的圆：圆心，半径为
圆心与准线的距离
圆与准线相切，∴C错，，∴D正确；故选：AD.
填空题
13.已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，过点，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，线段的中点为，且，则 .
【答案】16
【分析】设直线的方程为，直线和抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式即可求解.
【详解】由题意得，易知直线的斜率存在且不为0（当直线的斜率不存在时，点为的准线与轴的交点，此时，不符合题意；当直线的斜率为0时，直线与只有一个交点，不符合题意），
故设直线的方程为，与联立，消去得，
设，，则，因为线段的中点为，
所以，由，得，得，
解法一：所以.
解法二：所以，设直线的倾斜角为，则，故.
故答案为：16.
14.已知抛物线与经过该抛物线焦点的直线在第一象限的交点为在轴和准线上的投影分别为点 ，，则直线的斜率为 ．
【答案】
【分析】设，则，由抛物线的定义可得，从而得点的坐标，再求斜率即可.
【详解】设，则，由，所以，又焦点，所以直线的斜率为．故答案为：.
15.以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点.已知，，则的顶点到准线的距离为 .
【答案】2
【分析】设抛物线和圆的方程为，，根据和抛物线圆的对称性得到，分别代入抛物线和圆的方程得到，根据和勾股定理得到，联立方程得到即可得到的顶点到准线的距离.
【详解】
设抛物线的方程为，圆的方程为，
因为，所以，分别代入抛物线和圆的方程得①，
因为，所以②，联立①②得，，所以的顶点到准线的距离为.
故答案为：2.
16.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则的最小值是 ．
【答案】9
【分析】根据抛物线的定义，设出直线方程与抛物线方程联立消元，求出韦达定理即可求解.
【详解】依题意，
因为抛物线的焦点为，所以，
①当斜率存在时：因为直线交抛物线于，两点，所以，
设过的直线的直线方程为：，，
由抛物线定义得：，
由消整理得：，
所以，即，
所以；
②当不存在时，直线为，此时，
所以；
综上可知，的最小值为：9.
故答案为：9.
解答题
17.已知抛物线经过点，F为抛物线的焦点，且．
（1）求的值；
（2）点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，试求点M的轨迹方程．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据题意，由，可得，解得，再由点，代入即可得解；
（2），设，，根据点M为线段的中点，可得：
，由点Q为抛物线C上，代入即可得解，
【详解】（1）由抛物线经过点可得：，
又，可得，
解得，；
（2）由（1）知，则，
设，，
根据点M为线段的中点，可得：
，即，
由点Q为抛物线C上，所以，
整理可得点M的轨迹方程为.
18.离心率为的双曲线上的动点到两焦点的距离之和的最小值为，抛物线的焦点与双曲线的上顶点重合．
(1)求抛物线的方程；
(2)过直线为负常数）上任意一点向抛物线引两条切线，切点分别为，坐标原点恒在以为直径的圆内，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据双曲线离心率、焦距求顶点坐标，结合题设即可得抛物线方程.
（2）设，，，根据题设条件可得，是方程的两个不同的根，应用韦达定理及坐标表示求参数范围.
【详解】（1）由已知：双曲线焦距为，离心率为，则长轴长为2，
故双曲线的上顶点为，即为抛物线焦点.
∴抛物线的方程为；
（2）设，，，故直线的方程为，即，
所以，同理可得：，
∴，是方程的两个不同的根，则，
，由恒在以为直径的圆内，
，即．
19.抛物线的焦点到准线的距离为.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点的直线（斜率存在且不为0）交抛物线于两点，线段的中垂线交抛物线的对称轴于点，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义即可得解；
（2）不妨取抛物线的方程为，设直线的方程为，、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出，再求出中垂线方程，即可求出点坐标，即可求出，从而得解.
【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，
根据建系方案的不同，抛物线的标准方程有四种可能，
分别是，，，.
（2）在平面直角坐标系中，抛物线的位置并不影响的取值，因此不妨取抛物线的方程为，此时焦点，
根据题意，直线的斜率存在且不为，因此设直线的方程为，
与抛物线联立，得关于的一元二次方程，
则，设、，
则，，，
，
则，
线段的中点坐标为，中垂线方程为，
令，解得，即中垂线与轴交于，
所以，则.
20.已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点分别作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于与，记的面积分别为，求的最小值.
【答案】(1)
(2)32
【分析】（1）利用定义法求出抛物线的方程；
（2）抛物线焦点弦的性质：过抛物线的焦点的直线与抛物线交于点，设其方程为，与抛物线联立，利用韦达定理，求出面积的表达式，然后将式子代入，利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由，知，
所以，所以抛物线的方程为.
（2）由题意知直线与的斜率均不为0，
设，
联立消去得，则，
因为，用替换得
所以，
，
所以
，当且仅当时等号成立.
所以的最小值为32.
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
题型1 直线与抛物线的位置关系
1.已知点为抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切，已知B(2，1)，则|MA|+|MB|的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则（ ）
A． B． C． D．
4.设斜率为2的直线l过抛物线（）的焦点F，且和y轴交于点A，若（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5.两条直线和分别与抛物线交于异于原点的 两点，且直线过点，则（ ）
A． B．1 C． D．2
题型2弦长问题
6.是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到 轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
7.已知点是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
8.已知直线与抛物线交于，两个点，求线段长（ ）
A．4 B． C．2 D．20
9.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，为垂足，若直线的斜率，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
10.已知抛物线的焦点为F，过F的直线与E交于A，B两点，且.则的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型3抛物线的中点弦问题
11.设经过点的直线与抛物线相交于两点，若线段中点的横坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
12.P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有（ ）
A．|PP1||AA1|+|BB1| B．|PP1||AB|
C．|PP1||AB| D．|PP1||AB|
13.抛物线的焦点为，对称轴为，过且与的夹角为的直线交于，两点，的中点为，线段的中垂线交于点．若的面积等于，则等于（ ）
A． B．4 C．5 D．8
14.已知抛物线C：的焦点，直线与该抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D.若，则点E到y轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
15.已知为抛物线的焦点，为上任意一点，且点到点距离的最小值为．若直线过交于，两点，且，则线段中点的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【能力提升】
单选题
1.已知椭圆：与抛物线：交于两点，为坐标原点，若的外接圆经过点，则等于（ ）
A． B． C．2 D．4
2.已知直线与抛物线交于不同的两点，，直线，的斜率分别为，，且，则直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【点睛】本题考查直线恒过定点问题,考查直线与抛物线的位置关系的应用
3.在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线的焦点，A、B是抛物线上两个不同的点．若，则线段AB的中点到y轴的距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
4.已知抛物线的焦点为，是抛物线的准线上的一点，且的纵坐标为正数，是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5.已知抛物线的焦点为F，点A在C上．O为坐标原点，若，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
6.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l 过点M(2，0)且与C交于A，B两点，，若|AM|＝λ|BM|，则λ＝( )
A． B．2 C．4 D．6
7.已知F为抛物线的焦点，过F且斜率为的直线交C于A，B两点，过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为，，线段交y轴于，线段交y轴于，，则p的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
8.设，是抛物线上异于原点的不同两点，则的最小值为( )
A．1 B．－1 C．－2 D．－4
多选题
9.(多选)顶点在坐标原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（ ）
A．x2＝6y B．y2＝－6x
C．x2＝12y D．x2＝－12y
10.已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
11.对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，准线方程为y＝－
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1,0)
D．开口向右，准线方程为y＝－1
12.(多选)经过抛物线(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法中正确的是（ ）
A．当AB与x轴垂直时，|AB|最小 B．＋＝
C．以弦AB为直径的圆与直线相离 D．y1y2＝－p2
填空题
13.已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，过点，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，线段的中点为，且，则 .
14.已知抛物线与经过该抛物线焦点的直线在第一象限的交点为在轴和准线上的投影分别为点 ，，则直线的斜率为 ．
15.以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点.已知，，则的顶点到准线的距离为 .
16.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则的最小值是 ．
解答题
17.已知抛物线经过点，F为抛物线的焦点，且．
（1）求的值；
（2）点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，试求点M的轨迹方程．
18.离心率为的双曲线上的动点到两焦点的距离之和的最小值为，抛物线的焦点与双曲线的上顶点重合．
(1)求抛物线的方程；
(2)过直线为负常数）上任意一点向抛物线引两条切线，切点分别为，坐标原点恒在以为直径的圆内，求实数的取值范围．
19.抛物线的焦点到准线的距离为.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点的直线（斜率存在且不为0）交抛物线于两点，线段的中垂线交抛物线的对称轴于点，求.
20.已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点分别作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于与，记的面积分别为，求的最小值.
3.3.2抛物线的简单几何性质（第2课时）（分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
题型1 直线与抛物线的位置关系
1.已知点为抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义可得，结合抛物线方程，计算即可.
【详解】如图所示，由抛物线的定义可知，，因为抛物线方程为，可得，所以，所以的最小值为.
故选：A
2.在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切，已知B(2，1)，则|MA|+|MB|的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】求出点M的轨迹方程，再利用求得的轨迹的几何意义求解而得.
【详解】设M(x，y)，以MA为直径的圆的圆心为，
又由动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切，则有，
整理得：y2＝4x，
则M的轨迹是抛物线，其焦点为A(1，0)，准线l为x＝-1，
如图，过M作MD⊥l于D，|MA|=|MD|，
|MA|+|MB|=|MD|+|MB|≥|BD|，当且仅当B、M、D三点共线时取“=”，
|MA|+|MB|取得最小值为|BD|＝2-(-1)＝3．
故选：C
【点睛】抛物线上动点到其焦点及另一定点距离的和最小问题，可以借助抛物线定义转化求解.
3.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作，根据共线向量可确定为中点，根据三角形中位线性质可求得，根据抛物线定义可求得，进而得到.
【详解】由抛物线方程知：，，
设准线与轴交于点，作，垂足为，
，为中点，又，，
由抛物线定义知：，.
故选：C.
4.设斜率为2的直线l过抛物线（）的焦点F，且和y轴交于点A，若（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的方程写出焦点坐标，求出直线的方程、点的坐标，最后根据三角形面积公式进行求解即可.
【详解】抛物线的焦点的坐标为，
所以直线的方程为：，
令，解得，因此点的坐标为：，
因为的面积为4，
所以有，即，，
因此抛物线的方程为.
故选：B.
5.两条直线和分别与抛物线交于异于原点的 两点，且直线过点，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】联立直线的方程与抛物线的方程，可得，的坐标，由两点斜率可得的值．
【详解】联立，由于，可得，，即，
同理可得，
由直线经过,所以 ，化简得，
由于 所以，
故选：C
题型2弦长问题
6.是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到 轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出A,B的中点横坐标的和,求出线段AB的中点到y轴的距离
【详解】是抛物线的焦点, ,准线方程, 设,
, ,
线段AB的中点横坐标为, 线段AB的中点到y轴的距离为所以D选项是正确的
【点睛】抛物线的弦长问题一般根据第一定义可简化运算．
7.已知点是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【分析】设直线的倾斜角为，用表示出，再应用基本不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件.
【详解】抛物线，焦点，设直线的倾斜角为，得：，则，.
当且仅当时等号成立.故选：D
8.已知直线与抛物线交于，两个点，求线段长（ ）
A．4 B． C．2 D．20
【答案】D
【分析】由抛物线的方程及直线的方程，可得直线过抛物线的焦点，联立直线与抛物线的方程，求出两根之和，由抛物线的性质可得弦长的大小．
【详解】由抛物线的方程，可得焦点，而直线的方程也过，可得直线过抛物线的焦点，设，，，，
联立，整理可得，
可得，所以，
由抛物线的性质可得．故选：D
9.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，为垂足，若直线的斜率，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由抛物线的方程，求得焦点与准线，根据焦点与斜率写得直线方程，求得点坐标，结合抛物线方程，求得点坐标，利用抛物线定义，可得答案.
【详解】∵抛物线的方程为，∴焦点，准线的方程为.
∵直线的斜率，
∴直线的方程为，当时，，即.
∵为垂足，
∴点的纵坐标为，代入到抛物线方程得，点的坐标为.
∴.故选：C.
10.已知抛物线的焦点为F，过F的直线与E交于A，B两点，且.则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】不妨设点A在第一象限，根据题意联立方程结合韦达定理求，进而可求结果.
【详解】由题意可知：抛物线的焦点F为，
不妨设点A在第一象限，设直线，
联立方程，消去y得，
则，
∵，可得，联立方程，解得，
代入可得，解得或（舍去），
可得，故的面积.故选：A.
题型3抛物线的中点弦问题
11.设经过点的直线与抛物线相交于两点，若线段中点的横坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用抛物线焦点弦长公式直接求解即可.
【详解】由抛物线方程知：为抛物线的焦点；设，线段中点的横坐标为，，直线过抛物线的焦点，.故选：B.
12.P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有（ ）
A．|PP1||AA1|+|BB1| B．|PP1||AB|
C．|PP1||AB| D．|PP1||AB|
【答案】B
【解析】根据题意可得PP1是梯形AA1B1B的中位线，利用梯形的性质以及抛物线的焦半径公式即可求解.
【详解】根据题意，PP1是梯形AA1B1B的中位线，
故|PP1|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|.故选：B
13.抛物线的焦点为，对称轴为，过且与的夹角为的直线交于，两点，的中点为，线段的中垂线交于点．若的面积等于，则等于（ ）
A． B．4 C．5 D．8
【答案】D
【分析】依题意不妨设抛物线为，不妨设直线的倾斜角为，直线，设，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出的坐标，从而求出直线的方程，则的坐标可求，再根据三角形面积求出，最后根据焦半径公式计算可得.
【详解】解：依题意不妨设抛物线为，则，
根据对称性不妨设直线的倾斜角为，则直线，
设，，则，消去整理得，
所以，则，
所以，则直线的方程为，令，解得，即，
所以，解得或（舍去），
所以，则，所以.故选：D
14.已知抛物线C：的焦点，直线与该抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D.若，则点E到y轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设直线的方程与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式、直线和圆相切的条件可得的值，结合等腰三角形的性质可得直线的倾斜角为，从而可求得的值，由此确定的坐标，即可得点E到y轴的距离．
【详解】过作垂直于准线为
抛物线的焦点为，所以，即，抛物线为
准线方程为，
设直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，
设,，,，可得，
则，
所以的中点为，
，
由圆与准线相切，可得，
两边平方，化简可得，
即直线的方程为，可得直线经过焦点，则
由圆与准线相切于，可得，
由准线，且，
可得，
即，
由，可得，
即有，，
直线的斜率为，所以，则
所以点E到y轴的距离为.故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查求抛物线焦点弦性质运用，解题关键是设直线方程，将直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理求出，从而得焦点弦中点坐标．再根据切线性质与弦长关系，得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
15.已知为抛物线的焦点，为上任意一点，且点到点距离的最小值为．若直线过交于，两点，且，则线段中点的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】设，由表示为关于的函数，结合二次函数的性质可得的值，利用弦长公式即可得结果.
【详解】设，则满足，
则
即当时，的最小值为，
解得（舍负），
即抛物线，焦点，
设，，
则，即，
即线段中点的横坐标为3，故选：B.
【能力提升】
单选题
1.已知椭圆：与抛物线：交于两点，为坐标原点，若的外接圆经过点，则等于（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】根据椭圆和抛物线的对称性知的外接圆的圆心必在x轴，设圆心为，结合圆的性质可得、进而得，代入椭圆方程计算即可求解.
【详解】设，则，.
由题意知，四点共圆，
由椭圆和抛物线的对称性，知的外接圆的圆心必在x轴，
设与x轴相交于点D，则，在圆D中，有，即，又，所以，解得，①
代入，得，②将①②代入椭圆方程，得，
整理，得，解得.经检验，时，符合题意.故实数p的值为.故选：A.
2.已知直线与抛物线交于不同的两点，，直线，的斜率分别为，，且，则直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设直线为,与抛物线方程联立可得,即,利用斜率公式代入中即可求得,进而得出结论
【详解】设直线为,联立,消去可得,
设,,所以,
因为,即,所以,
所以,所以,所以直线一定过点,故选:C
【点睛】本题考查直线恒过定点问题,考查直线与抛物线的位置关系的应用
3.在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线的焦点，A、B是抛物线上两个不同的点．若，则线段AB的中点到y轴的距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】本题先设，两点，并判断线段AB的中点到y轴的距离为，再求，最后求解.
【详解】解：设，，则线段AB的中点到y轴的距离为：，
根据抛物线的定义：，
整理得：，
故线段AB的中点到y轴的距离为：，
故选：B.
【点睛】本题考查抛物线的定义，是基础题.
4.已知抛物线的焦点为，是抛物线的准线上的一点，且的纵坐标为正数，是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义求出直线的斜率得解.
【详解】过点作于，
因为，由抛物线的定义得，所以在中，，
所以，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，故选B.
【点睛】本题关键在于根据抛物线的定义，将线段的关系转化到角的关系，属于中档题.
5.已知抛物线的焦点为F，点A在C上．O为坐标原点，若，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】作图，利用题目所给的条件，计算出A点的坐标即可.
【详解】依题意作下图：
,
抛物线C的准线为x=-1，过A点作准线的垂线，垂足为B，
过点F作直线AB的垂线，垂足为D，由条件得 ，
设 ，则 ，
由于A在抛物线C上， ，解得 或 （不符合题意，舍），
， ；
故选：C.
6.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l 过点M(2，0)且与C交于A，B两点，，若|AM|＝λ|BM|，则λ＝( )
A． B．2 C．4 D．6
【答案】C
【分析】先计算点B的坐标为和直线 的方程，联立方程解得，代入式子得到.
【详解】由题意得抛物线的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，
由及抛物线的定义知点B的横坐标为，
代入抛物线方程得，根据抛物线的对称性，
不妨取，则l 的方程为，
联立，得，于是，
故选C.
【点睛】本题考查了直线与抛物线位置关系，分别计算出B、A坐标是解题的关键.
7.已知F为抛物线的焦点，过F且斜率为的直线交C于A，B两点，过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为，，线段交y轴于，线段交y轴于，，则p的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】设，，由题意可知为的中位线，则，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求解即可.
【详解】设，，
由题意可知为的中位线，则，
过F且斜率为的直线方程为：，
联立得，则，，
则，解得．
故选：C．
8.设，是抛物线上异于原点的不同两点，则的最小值为( )
A．1 B．－1 C．－2 D．－4
【答案】B
【分析】设直线的方程为，代入抛物线方程，消去，得到的方程，设，运用韦达定理和判别式大于0，结合向量的数量积的坐标表示，转化为的函数，由配方即可得到所求最小值．
【详解】设直线的方程为，代入抛物线，可得，由题意可得，且，设 则，可得当时，取得最小值．故选:B．
多选题
9.(多选)顶点在坐标原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（ ）
A．x2＝6y B．y2＝－6x
C．x2＝12y D．x2＝－12y
【答案】CD
【分析】根据题意，这是求抛物线的标准版方程，只有一个未知数，因此列一个方程即可
【详解】由题意，设抛物线方程为x2＝±2py
可列方程：＝3
解得：p＝6，
故，抛物线的标准方程为：x2＝±12y.
故选：CD
10.已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】分别求出选项中各抛物线的焦点坐标，代入直线检验即可得结果.
【详解】对于A，抛物线开口向右，焦点坐标为，在直线上；
对于B，抛物线开口向下，焦点坐标为，在直线上；
对于C，抛物线开口向上，焦点坐标为，不在直线上；
对于D，抛物线开口向上，焦点坐标为，不在直线上；
故选：AB.
11.对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，准线方程为y＝－
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1,0)
D．开口向右，准线方程为y＝－1
【答案】AB
【分析】根据抛物线方程写出焦点、准线方程，并判断开口方向即可.
【详解】由题设，抛物线可化为，∴开口向上，焦点为，准线方程为.故选：AB
12.(多选)经过抛物线(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法中正确的是（ ）
A．当AB与x轴垂直时，|AB|最小 B．＋＝
C．以弦AB为直径的圆与直线相离 D．y1y2＝－p2
【答案】AD
【分析】设过焦点的直线方程并代入抛物线方程，运用韦达定理及抛物线的性质可得解.
【详解】设过抛物线焦点的直线方程为：，代入得，
，则
，，
，
当直线AB与x轴垂直时，，|AB|最小，∴A正确；
，∴B错；
以AB为直径的圆：圆心，半径为
圆心与准线的距离
圆与准线相切，∴C错，，∴D正确；故选：AD.
填空题
13.已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，过点，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，线段的中点为，且，则 .
【答案】16
【分析】设直线的方程为，直线和抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式即可求解.
【详解】由题意得，易知直线的斜率存在且不为0（当直线的斜率不存在时，点为的准线与轴的交点，此时，不符合题意；当直线的斜率为0时，直线与只有一个交点，不符合题意），
故设直线的方程为，与联立，消去得，
设，，则，因为线段的中点为，
所以，由，得，得，
解法一：所以.
解法二：所以，设直线的倾斜角为，则，故.
故答案为：16.
14.已知抛物线与经过该抛物线焦点的直线在第一象限的交点为在轴和准线上的投影分别为点 ，，则直线的斜率为 ．
【答案】
【分析】设，则，由抛物线的定义可得，从而得点的坐标，再求斜率即可.
【详解】设，则，由，所以，又焦点，所以直线的斜率为．故答案为：.
15.以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点.已知，，则的顶点到准线的距离为 .
【答案】2
【分析】设抛物线和圆的方程为，，根据和抛物线圆的对称性得到，分别代入抛物线和圆的方程得到，根据和勾股定理得到，联立方程得到即可得到的顶点到准线的距离.
【详解】
设抛物线的方程为，圆的方程为，
因为，所以，分别代入抛物线和圆的方程得①，
因为，所以②，联立①②得，，所以的顶点到准线的距离为.
故答案为：2.
16.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则的最小值是 ．
【答案】9
【分析】根据抛物线的定义，设出直线方程与抛物线方程联立消元，求出韦达定理即可求解.
【详解】依题意，
因为抛物线的焦点为，所以，
①当斜率存在时：因为直线交抛物线于，两点，所以，
设过的直线的直线方程为：，，
由抛物线定义得：，
由消整理得：，
所以，即，
所以；
②当不存在时，直线为，此时，
所以；
综上可知，的最小值为：9.
故答案为：9.
解答题
17.已知抛物线经过点，F为抛物线的焦点，且．
（1）求的值；
（2）点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，试求点M的轨迹方程．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据题意，由，可得，解得，再由点，代入即可得解；
（2），设，，根据点M为线段的中点，可得：
，由点Q为抛物线C上，代入即可得解，
【详解】（1）由抛物线经过点可得：，
又，可得，
解得，；
（2）由（1）知，则，
设，，
根据点M为线段的中点，可得：
，即，
由点Q为抛物线C上，所以，
整理可得点M的轨迹方程为.
18.离心率为的双曲线上的动点到两焦点的距离之和的最小值为，抛物线的焦点与双曲线的上顶点重合．
(1)求抛物线的方程；
(2)过直线为负常数）上任意一点向抛物线引两条切线，切点分别为，坐标原点恒在以为直径的圆内，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据双曲线离心率、焦距求顶点坐标，结合题设即可得抛物线方程.
（2）设，，，根据题设条件可得，是方程的两个不同的根，应用韦达定理及坐标表示求参数范围.
【详解】（1）由已知：双曲线焦距为，离心率为，则长轴长为2，
故双曲线的上顶点为，即为抛物线焦点.
∴抛物线的方程为；
（2）设，，，故直线的方程为，即，
所以，同理可得：，
∴，是方程的两个不同的根，则，
，由恒在以为直径的圆内，
，即．
19.抛物线的焦点到准线的距离为.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点的直线（斜率存在且不为0）交抛物线于两点，线段的中垂线交抛物线的对称轴于点，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义即可得解；
（2）不妨取抛物线的方程为，设直线的方程为，、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出，再求出中垂线方程，即可求出点坐标，即可求出，从而得解.
【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，
根据建系方案的不同，抛物线的标准方程有四种可能，
分别是，，，.
（2）在平面直角坐标系中，抛物线的位置并不影响的取值，因此不妨取抛物线的方程为，此时焦点，
根据题意，直线的斜率存在且不为，因此设直线的方程为，
与抛物线联立，得关于的一元二次方程，
则，设、，
则，，，
，
则，
线段的中点坐标为，中垂线方程为，
令，解得，即中垂线与轴交于，
所以，则.
20.已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点分别作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于与，记的面积分别为，求的最小值.
【答案】(1)
(2)32
【分析】（1）利用定义法求出抛物线的方程；
（2）抛物线焦点弦的性质：过抛物线的焦点的直线与抛物线交于点，设其方程为，与抛物线联立，利用韦达定理，求出面积的表达式，然后将式子代入，利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由，知，
所以，所以抛物线的方程为.
（2）由题意知直线与的斜率均不为0，
设，
联立消去得，则，
因为，用替换得
所以，
，
所以
，当且仅当时等号成立.
所以的最小值为32.