人教A版2019选择性必修第一册3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时）教学设计（含解析）

3.3.2　抛物线的简单几何性质（第2课时）
教学设计
课时教学内容
通过解决具体问题体会经过抛物线的焦点和顶点的直线的重要性以及抛物线在实际生活动中的应用举例.
课时教学目标
1.了解抛物线的简单几何性质,培养数学抽象的核心素养．
2.能利用性质解决与抛物线有关的问题．
3.能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题,培养数学运算的核心素养.
教学重点、难点
重点：解决抛物线综合问题和体会抛物线在实际生活中的应用；
难点：解决抛物线综合问题的解题思维培养
教学过程设计
环节一 创设情境，引入课题
我们已经知道了抛物线的定义，并根据抛物线的定义得到了标准方程，通过定义和方程及图像得到了抛物线的几何性质，现请同学完成下列表格.
焦点位置 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 范围 对称性 顶点
焦点在正半轴上 y2＝2px(p>0) 关于轴对称 坐标原点
焦点在负半轴上 y2＝－2px(p>0) 关于轴对称
焦点在正半轴上 x2＝2py(p>0) 关于轴对称
焦点在负半轴上 x2＝－2py(p>0) 关于轴对称
【师生活动】教师用多媒体展示表格，学生填写.
【设计意图】让学生回忆旧知识，以建立新旧知识之间的联系。
环节二 观察分析，感知概念
例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．
【师生活动】
教师：如果使用坐标法来证明这个结论，怎么转化这个问题？
学生：只要证明证明点的纵坐标和点的纵坐标相等即可.
教师：、两点的坐标与问题中的哪些几何量有关？
学生：、两点的坐标与点的坐标和直线有关，
【分析】既然 、两点的坐标与有关，我们可以先把点坐标设出来，然后用点的坐标表示、B的坐标.
教师引导和板书，学生思考：
分析：我们用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系．建立如图3.3-5所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可．
证明：如图3.3-5，以抛物线的对称轴为轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系．设抛物线的方程为
①
点的坐标为，则直线的方程为
②
抛物线的准线方程是． ③
联立②③，可得点的纵坐标为．
因为焦点的坐标是，当时，直线的方程为 ④
联立①④，消去，可得，即．
可得点的纵坐标为，与点的纵坐标相等，于是平行于轴．
当时，易知结论成立．
所以，直线平行于抛物线的对称轴．
环节三 抽象概括，形成概念
追问1 你还有其他证明方法码？
学生回答：由于点、的坐标还和直线有关，我们还可以先设直线的方程.
学生解答：
解法二：以抛物线的对称轴为轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系．设抛物线的方程为，，设直线的方程为，将其代入，得
，，设，，则，，
过作垂直于抛物线的准线，垂足为，则，
则，，，即三点共线，所以与重合，从而直线平行于抛物线的对称轴．
环节四 辨析理解 深化概念
例6如图3.3-6，已知定点，轴于点，是线段上任意一点，轴于点 ，于点，与相交于点，求点的轨迹方程．
【师生活动】
教师：求轨迹方程的一般方法是什么？
学生：建系，设点，找点满足的关系.
学生解答：
解：设点，，其中，则点的坐标为．
由题意，直线的方程为
①
因为点在上，将点的坐标代入①，得
， ②
所以点的横坐标满足②．
直线的方程为
③
因为点在上，所以点的坐标满足③．
将②代入③，消去，得，即点的轨迹方程．
追问2 问题2中，若设点关于轴的对称点为，求点的轨迹方程，其轨迹是什么？你能在生活中找到实际例子吗？
学生回答：轨迹方程为,其轨迹为抛物线的一部分，即为抛物拱，生活中的拱桥、卫星接受天线等都是抛物拱，抛出的铅球在空中划过的轨迹也是抛物拱的一部分.
【师生活动】教师展示问题，待学生回答问题后，用网络画板演示点的轨迹，最后让学生根据直观轨迹图像联想到生活中的实例.
网络画板动画演示地址： https://.cn/resource_web/course/#/641692
【设计意图】师生活动目的是复习求轨迹方程的方法，提醒学生解题方向; 追问2目的是把抛物线联系到实际生活中，借助网络画板动态演示更加直观贴切.
环节五 概念应用，巩固内化
例6中，设点关于轴的对称点为，则方程．对应的轨迹是常见的抛物拱(图3.3-7)．抛物拱在现实中有许多原型，如桥拱(图3.3-8)、卫星接收天线等，抛掷出的铅球在空中划过的轨迹也是抛物拱的一部分．
教师提出问题，学生思考：
(1)解决抛物线的综合问题时，一般的基本解题思路是什么？，
(2) 生活中还有哪些事物与抛物线有关？
师生活动：学生思考、小组谈论，推选代表发言. 教师引导学生对所学知识、数学思想进行小结，并对学生回答情况进行评价和补充.
环节六 归纳总结,反思提升
问题7请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1．知识清单：
(1)直线和抛物线的位置关系．
(2)抛物线中的弦长问题．
(3)中点弦问题．
2．方法归纳：直接法、定义法、代数法．
3．常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误．
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：
第138页1-5题；
练习（第138页）
1．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点关于准线的对称点为；
（2）关于轴对称，与直线相交所得线段的长为12；
（3）关于轴对称，以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形．
1．解析：（1）由题意知，可设抛物线标准方程为，，准线方程为，
又∵焦点关于准线的对称点为，，，
∴所求抛物线的标准方程为．
（2）由题意可设抛物线的标准方程为：，因为直线与抛物线相交所得线段的长为12，所以点在抛物线上，代入得：，解得：，
所以所求抛物线的标准方程为：．
（3）如图所示，当焦点在轴正半轴时，设方程为．为正三角形，且，
则，∴所求抛物线的标准方程为．
同理可求当抛物线的焦点在轴的负半轴时，抛物线的标准方程为．
2．点在抛物线上，为焦点，直线与准线相交于点，求．
2．解析：因点在抛物线上，则，即，而焦点，
直线，即，而抛物线的准线为，
由，得点，，所以．
3．设抛物线上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为，求抛物线的方程和点的坐标．
3．解析：抛物线的准线方程为，设点的纵坐标为，
由已知结合抛物线定义得，又点到轴的距离为，
于是得点，而点在抛物线上，
从而有，整理得，而，解得，
所以抛物线的方程为，点的坐标为．
4．两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的，两点，为何值时，直线经过抛物线的焦点
4．解析：直线和斜率互为相反数，且都过原点，则两直线关于轴对称，
又抛物线关于轴对称，焦点坐标为，
则，两点关于轴对称，
由可得，即，则，
要使直线经过抛物线的焦点，则，解得，
所以当时，直线AB经过抛物线的焦点．
5．已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于，两个动点，求点的轨迹方程．
5．解析：因圆心在轴上移动，且该圆过点和，则线段是圆的直径，圆心，
而点在圆上，则，即，化简整理得，
所以点的轨迹方程．
习题3.3 （第138页）
1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）；（2）；（3）；（4）．
1．解析：（1）焦点坐标为，准线方程为；
（2）焦点坐标为，准线方程为；
（3）焦点坐标为，准线方程为；
（4）焦点坐标为，准线方程为．
2．填空题．
（1）准线方程为的抛物线的标准方程是 ；
（2）抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是 ．
2．解析：（1）；
（2）抛物线的焦点为，准线为直线．设是到焦点距离等于6的点，由抛物线定义知，，解得，此时，，
即点的坐标为或．
3．抛物线上一点与焦点的距离，求点的坐标．
3．解析：设是抛物线上满足条件的点，由题意知，焦点为准线方程为．
因为，由抛物线定义知，，解得，
将代入，得，
因此，点的坐标为，．
4．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出图形：
（1）顶点在原点，对称轴是轴，并且顶点与焦点的距离等于6；
（2）顶点在原点，对称轴是轴，并经过点．
4．解析：（1）∵抛物线的焦点可能在轴的正半轴，也可能在轴的负半轴，不妨设抛物线的标准方程为，由题意，得即，∴所求抛物线的标准方程为或．
图形如图所示．
(2)设抛物线的方程为，把点代入得，解得，
∴所求抛物线的标准方程为．图形如图所示．
5．如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，求．
5．解析：（解法一）由抛物线的方程可知，焦点的坐标为．因为，所以线段所在直线的斜率，因此直线的方程为，与抛物线的方程联立，
得，消去，得，解得，，所以，．
由题图知不合题意，舍去，所以点的坐标为．
因此．
（解法二）抛物线的准线为，过作垂直于直线，垂足为，作于点，直线与轴交于点，如图：
则轴，即，四边形是矩形，中，，
由抛物线定义知，，而，，则，解得．
（解法三）．
6．如图，直线与抛物线相交于，两点，求证：．
6．证明：将代入中，得，即，
解得，，则，，
所以．所以．
(方法2)同方法1得方程．
设，，由一元二次方程根与系数的关系，可知，．
因为，，所以
所以，所以．
7．如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段，宽为7m，高为0．7m．根据图中的坐标系，求这条抛物线的方程．
7．解：设所求抛物线的方程为，依题意，知点在抛物线上，
代入方程，得，解得，
∴所求抛物线的方程为．
8．图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水面下降1m后，水面宽多少 (精确到0.1m)
8．解：在抛物线形拱桥上，以拱顶为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系，如图．设该抛物线的方程为．
∵拱顶离水面2m，水面宽4m，∴点在抛物线上，
∴，解得，∴抛物线的方程为．
当水面下降1m时，，代入，
得，即．这时水面宽为．
9．从抛物线上各点向轴作垂线段，求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线．
9．解析：如图，设是抛物线上的任一点，轴，垂足为，则，设线段的中点为，则，即，
因为在抛物线上，所以，即．即垂线段中点的轨迹方程为，其轨迹是焦点坐标为，顶点在坐标原点的抛物线．
10．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长．
10．解析：由对称性可设等边三角形的另两个顶点为，，
依题意，得．于是有，即，解得或．
显然不合题意，由，得，即，．
所以等边三角形的边长为．
11．已知，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2，求点的轨迹方程．
11．解析：设，则，整理，得．
动点的轨迹方程是．
12．已知抛物线的方程为，直线绕点旋转，讨论直线与抛物线的公共点个数，并回答下列问题：
（1）画出图形表示直线与抛物线的各种位置关系，从图中你发现直线与抛物线只有一个公共点时是什么情况
（2）与直线的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系
12．解析：（1）如图所示．
直线与抛物线只有一个公共点时，直线与抛物线相切或直线与抛物线相交于一个公共点（此时直线与轴平行）．
（2）直线的斜率存在时，设直线的斜率为，方程为，即，
由，消去得：，
时，直线的方程为，，方程组只有一个解，由图知直线与抛物线相交，只有一个公共点，直线的斜率为0；
时，，
当，即或时，方程组有两个相同的实数解，由图知直线与抛物线相切，只有一个公共点，直线的斜率分别为；
当，即时，方程组有两个不同的实数解，由图知直线与抛物线交于两点，直线的斜率；
当，即时，方程组没有实数解，由图知直线与抛物线相离，没有公共点，直线的斜率；
直线的斜率不存在时，的方程为，显然方程组没有实数解，由图知直线与抛物线相离，没有公共点，直线的斜率不存在；
所以抛物线与直线的方程组成的方程组解的个数与抛物线与直线公共点的个数相等．
13．设抛物线的焦点为，从点发出的光线经过抛物线上的点(不同于抛物线的顶点)反射，证明反射光线平行于抛物线的对称轴．
13．解析：如图，设直线与抛物线有唯一公共点，从焦点发出的光线经过点反射，反射光线为，将代入， 得．
整理得关于的方程．于是即．
可得点的坐标为．
过点作直线垂直于，与轴交于点，
则直线的方程为，可得，又，
得，， 所以，
因此．由于光线的入射角等于反射角， 所以，
因此， 于是轴．所以反射光线平行于抛物线的对称轴．
复习参考题3（第145页）
1．如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆．已知它的近地点（离地面最近的点）A距地面439km，远地点（离地面最远的点）B距地面2384km，并且，A，B在同一直线上，地球半径约为6371km．求：
（1）卫星运行的轨道方程（精确到1km）；
（2）卫星轨道的离心率．
1．【答案】（1）；（2）
【解析】根据题意，以中点为坐标原点，，，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设卫星运行的轨道的椭圆方程为，
则由题知，解得，
所以，
由于，
所以所求椭圆方程为．
（2）由（1）得，故此时卫星轨道的离心率．
2．选择题
（1）曲线与曲线的　　
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
（2）与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）
A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上
C．一条抛物线 D．一个圆上
2．【答案】（1）D （2）B
【解析】（1）曲线表示焦点在轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8．
曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，
离心率为，焦距为8．对照选项，则D正确．
（2）设动圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为 ，半径为1；
圆，即的圆心为，半径为2．
依题意得， ，则，
所以点的轨迹是双曲线的一支．故选：B．
3．当从0到变化时，方程表示的曲线怎样变化？
3．【解析】（1）当时，，曲线即，表示两条直线；
（2）当时，，曲线，表示圆；
（3）当时，，曲线表示椭圆；
（4）当时，，曲线表示双曲线．
4．如果直线与双曲线没有公共点，求的取值范围．
4．【答案】或
【解析】直线方程与双曲线方程联立：得：，
当时，即时，直线与渐近线平行，有一个公共点，舍去；
当时，，即或，无公共点．
综上所述：或．
5．设抛物线的顶点为，经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于，两点，经过抛物线上一点 且垂直于轴的直线与轴交于点．求证：．
5．【解析】设抛物线方程为，则焦点为，
联立解得，则，，，
设，则，且，，，
则．
6．已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长．
6．【解析】因为抛物线关于轴对称，
设等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点，在抛物线上，
所以两个顶点，关于轴对称，所以设，，
由于抛物线的焦点坐标为，所以等边三角形的边长为，高为，
所以，解方程得，所以等边三角形的边长为．
解法二：因为抛物线关于轴对称，
设等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点，在抛物线上，
设正三角形的边长为，则，将点坐标代入，得
，配方，得，，所以等边三角形的边长为．
7．已知点是椭圆上一点，且在轴上方，，分别是椭圆的左、右焦点，直线斜率为，求的面积．
7．【解析】椭圆化成标准形式为．
，是椭圆的左、右焦点，，，
设是椭圆上一点，则，且
消去，得，，．
当时，，不满足，舍去．由，得．
的面积．
8．从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且，，求此椭圆方程．
8．【解析】由椭圆方程可知：，，设椭圆焦点，又，则，
，，，整理可得：，
又，，，，，
此椭圆的方程为：．
9．已知点，的坐标分别是，． 直线，相交于的，且它们的斜率之和是2，求点的轨迹方程．
9．【解析】设，，的斜率存在，，又，，
∴由，得：，
整理得：，∴点的轨迹方程为：．
10．如图，已知直线与抛物线交于，两点，且，交于点，点的坐标为，求的值．
10．【解析】，，
，，则直线的方程为：，即，
设两点的坐标分别为，，联立，消得：，
，，，．
11．已知的两个顶点，的坐标分别是，，且，所在直线的斜率之积等于，试探求顶点的轨迹．
11．【解析】设点的坐标为，
由已知得：直线的斜率，直线的斜率，
由题意知，整理得，
当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点，；
当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点，；
当时，顶点的轨迹是圆，并除去两点，；
当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点，．
12．在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短．
12．【解析】根据题意设，
所以点到直线的距离为：
当且仅当时等号成立，此时
所以当时，点到直线的距离最短，为．
13．当变化时，指出方程表示的曲线的形状．
13．【解析】对于方程，
当时，方程为，即，表示轴；
当时，方程为，即，表示轴；
当且时，方程为，
若，即时，方程为圆，，表示以原点为圆心的单位圆；
若，即或时，方程表示双曲线；
若且时，即且时，方程表示椭圆；
综上，当时，表示轴；当时，表示轴；时，方程表示以原点为圆心的单位圆；或时，方程表示双曲线；且时，方程表示椭圆．
14．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m．已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度是多少米？（精确到0.1 m）
14．【解析】取隧道截面，抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，，
设抛物线方程，将点代入抛物线方程得，
∴抛物线方程为，行车道总宽度，
将代入抛物线方程，，所以限制高度为．
答：车辆通过隧道的限制高度是3.25米．
15．综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜．这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚．例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为2 m的反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线的一个分支．已知，是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸（单位mm），分别求抛物线和双曲线的方程．
15．【解析】解：对于双曲线，有，，，，
双曲线的方程为；
，抛物线的顶点的横坐标是，
抛物线的方程为．
16．过抛物线的焦点作直线与抛物线交于，两点，以为直径画圆，观察它与抛物线的准线的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如何？你能证明你的结论吗？
16．【解析】取的中点，分别过、、作准线的垂线、、，垂足分别为、、，如图所示：
由抛物线的定义可知，，，
在直角梯形中，，
故圆心到准线的距离等于半径，∴以为直径的圆与抛物线的准线相切．
相应于椭圆、双曲线，如图所示，
圆半径为，则 ，分别过点，做准线的垂线，则构成一个直角梯形，
两底长分别为 ，（为离心率）
圆心到准线的距离为梯形的中位线长，即
∵椭圆，，∴相离；
双曲线，可得，相交．