人教A版2019选择性必修第一册3.3.2抛物线的简单几何性质 （第2课时） 导学案（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版2019选择性必修第一册3.3.2抛物线的简单几何性质 （第2课时） 导学案（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-30 12:05:03 | ||
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文档简介
3.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时
导学案
学习目标
1.了解抛物线的简单几何性质,培养数学抽象的核心素养．
2.能利用性质解决与抛物线有关的问题．
3.能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题,培养数学运算的核心素养.
重点难点
重点：解决抛物线综合问题和体会抛物线在实际生活中的应用；
难点：解决抛物线综合问题的解题思维培养
课前预习 自主梳理
知识点一 和抛物线有关的轨迹方程
根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，并求动点的轨迹方程．
知识点二 直线与抛物线的位置关系
设直线,抛物线:,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程.
(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若,直线与抛物线有 个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
注意点：
(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况.
知识点三 直线和抛物线弦长问题
1．弦长公式：若直线(斜率为k)与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝ =· .
2．抛物线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为2p.
3．抛物线的焦点弦：过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝ ，x1x2＝ |AB|＝ ＋p，＋＝ .
自主检测
判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)抛物线是无中心的圆锥曲线. （ ）
(2)抛物线过焦点且垂直于对称轴的弦长是. （ ）
(3)抛物线的准线方程为. （ ）
2.抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3.抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
4.已知抛物线的焦点为F，点在该抛物线上，且P的横坐标为4，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5.已知直线l过点且垂直于x轴.l被抛物线（）截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
我们已经知道了抛物线的定义，并根据抛物线的定义得到了标准方程，通过定义和方程及图像得到了抛物线的几何性质，现请同学完成下列表格.
焦点位置 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 范围 对称性 顶点
焦点在正半轴上 y2＝2px(p>0) 关于轴对称 坐标原点
焦点在负半轴上 y2＝－2px(p>0) 关于轴对称
焦点在正半轴上 x2＝2py(p>0) 关于轴对称
焦点在负半轴上 x2＝－2py(p>0) 关于轴对称
【师生活动】教师用多媒体展示表格，学生填写.
【设计意图】让学生回忆旧知识，以建立新旧知识之间的联系。
环节二 观察分析，感知概念
例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．
分析：
环节三 抽象概括，形成概念
追问1 你还有其他证明方法码？
解法二：
环节四 辨析理解 深化概念
例6如图3.3-6，已知定点，轴于点，是线段上任意一点，轴于点 ，于点，与相交于点，求点的轨迹方程．
解：
追问2 问题2中，若设点关于轴的对称点为，求点的轨迹方程，其轨迹是什么？你能在生活中找到实际例子吗？
环节五 概念应用，巩固内化
例6中，设点关于轴的对称点为，则方程．对应的轨迹是常见的抛物拱(图3.3-7)．抛物拱在现实中有许多原型，如桥拱(图3.3-8)、卫星接收天线等，抛掷出的铅球在空中划过的轨迹也是抛物拱的一部分．
教师提出问题，学生思考：
(1)解决抛物线的综合问题时，一般的基本解题思路是什么？，
(2) 生活中还有哪些事物与抛物线有关？
师生活动：学生思考、小组谈论，推选代表发言. 教师引导学生对所学知识、数学思想进行小结，并对学生回答情况进行评价和补充.
环节六 归纳总结,反思提升
问题7请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1．知识清单：
(1)直线和抛物线的位置关系．
(2)抛物线中的弦长问题．
(3)中点弦问题．
2．方法归纳：直接法、定义法、代数法．
3．常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误．
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：
第138页1-5题；
备用练习1.若点为抛物线上的动点，为该抛物线的焦点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到轴的距离为2，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.已知抛物线上一点到其 的焦点的距离为，则点在第一象限的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
4.如图，我市某地一拱桥垂直轴截面是抛物线，已知水利人员在某个时刻测得水面宽，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为（ ）
A． B． C． D．
5.过抛物线的焦点的直线交于，两点，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．1
3.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时
导学案
学习目标
1.了解抛物线的简单几何性质,培养数学抽象的核心素养．
2.能利用性质解决与抛物线有关的问题．
3.能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题,培养数学运算的核心素养.
重点难点
重点：解决抛物线综合问题和体会抛物线在实际生活中的应用；
难点：解决抛物线综合问题的解题思维培养
课前预习 自主梳理
知识点一 和抛物线有关的轨迹方程
根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，并求动点的轨迹方程．
知识点二 直线与抛物线的位置关系
设直线,抛物线:,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程.
(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
注意点：
(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况.
知识点三 直线和抛物线弦长问题
1．弦长公式：若直线(斜率为k)与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝·＝·.
2．抛物线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为2p.
3．抛物线的焦点弦：过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2，x1x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p，＋＝.
自主检测
判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)抛物线是无中心的圆锥曲线. （ ）
(2)抛物线过焦点且垂直于对称轴的弦长是. （ ）
(3)抛物线的准线方程为. （ ）
【答案】(1)√(2)√
2.抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把抛物线的方程化为标准形式，即可求解.
【详解】因为抛物线，所以抛物线，所以抛物线的焦点在轴上，则焦点坐标为.
故选：D.
3.抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线方程确定p的值，进而确定准线方程.
【详解】由，得，
故所求准线方程为,
故选：C.
4.已知抛物线的焦点为F，点在该抛物线上，且P的横坐标为4，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】直接根据抛物线焦半径公式计算得到答案.
【详解】抛物线的准线方程为，
因为点在抛物线上，P的横坐标为4，抛物线的焦点为F，
所以等于点到直线的距离，
所以，
故选：D.
5.已知直线l过点且垂直于x轴.l被抛物线（）截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意令，可得，求得p的值，可得抛物线方程，即可得答案.
【详解】由题意令，则，
故，
所以抛物线（）为，其焦点坐标为，
故选：B.
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
我们已经知道了抛物线的定义，并根据抛物线的定义得到了标准方程，通过定义和方程及图像得到了抛物线的几何性质，现请同学完成下列表格.
焦点位置 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 范围 对称性 顶点
焦点在正半轴上 y2＝2px(p>0) 关于轴对称 坐标原点
焦点在负半轴上 y2＝－2px(p>0) 关于轴对称
焦点在正半轴上 x2＝2py(p>0) 关于轴对称
焦点在负半轴上 x2＝－2py(p>0) 关于轴对称
【师生活动】教师用多媒体展示表格，学生填写.
【设计意图】让学生回忆旧知识，以建立新旧知识之间的联系。
环节二 观察分析，感知概念
例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．
【师生活动】
教师：如果使用坐标法来证明这个结论，怎么转化这个问题？
学生：只要证明证明点的纵坐标和点的纵坐标相等即可.
教师：、两点的坐标与问题中的哪些几何量有关？
学生：、两点的坐标与点的坐标和直线有关，
【分析】既然 、两点的坐标与有关，我们可以先把点坐标设出来，然后用点的坐标表示、B的坐标.
教师引导和板书，学生思考：
分析：我们用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系．建立如图3.3-5所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可．
证明：如图3.3-5，以抛物线的对称轴为轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系．设抛物线的方程为
①
点的坐标为，则直线的方程为
②
抛物线的准线方程是． ③
联立②③，可得点的纵坐标为．
因为焦点的坐标是，当时，直线的方程为 ④
联立①④，消去，可得，即．
可得点的纵坐标为，与点的纵坐标相等，于是平行于轴．
当时，易知结论成立．
所以，直线平行于抛物线的对称轴．
环节三 抽象概括，形成概念
追问1 你还有其他证明方法码？
学生回答：由于点、的坐标还和直线有关，我们还可以先设直线的方程.
学生解答：
解法二：以抛物线的对称轴为轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系．设抛物线的方程为，，设直线的方程为，将其代入，得
，，设，，则，，
过作垂直于抛物线的准线，垂足为，则，
则，，，即三点共线，所以与重合，从而直线平行于抛物线的对称轴．
环节四 辨析理解 深化概念
例6如图3.3-6，已知定点，轴于点，是线段上任意一点，轴于点 ，于点，与相交于点，求点的轨迹方程．
【师生活动】
教师：求轨迹方程的一般方法是什么？
学生：建系，设点，找点满足的关系.
学生解答：
解：设点，，其中，则点的坐标为．
由题意，直线的方程为
①
因为点在上，将点的坐标代入①，得
， ②
所以点的横坐标满足②．
直线的方程为
③
因为点在上，所以点的坐标满足③．
将②代入③，消去，得，即点的轨迹方程．
追问2 问题2中，若设点关于轴的对称点为，求点的轨迹方程，其轨迹是什么？你能在生活中找到实际例子吗？
学生回答：轨迹方程为,其轨迹为抛物线的一部分，即为抛物拱，生活中的拱桥、卫星接受天线等都是抛物拱，抛出的铅球在空中划过的轨迹也是抛物拱的一部分.
【师生活动】教师展示问题，待学生回答问题后，用网络画板演示点的轨迹，最后让学生根据直观轨迹图像联想到生活中的实例.
网络画板动画演示地址： https://.cn/resource_web/course/#/641692
【设计意图】师生活动目的是复习求轨迹方程的方法，提醒学生解题方向; 追问2目的是把抛物线联系到实际生活中，借助网络画板动态演示更加直观贴切.
环节五 概念应用，巩固内化
例6中，设点关于轴的对称点为，则方程．对应的轨迹是常见的抛物拱(图3.3-7)．抛物拱在现实中有许多原型，如桥拱(图3.3-8)、卫星接收天线等，抛掷出的铅球在空中划过的轨迹也是抛物拱的一部分．
教师提出问题，学生思考：
(1)解决抛物线的综合问题时，一般的基本解题思路是什么？，
(2) 生活中还有哪些事物与抛物线有关？
师生活动：学生思考、小组谈论，推选代表发言. 教师引导学生对所学知识、数学思想进行小结，并对学生回答情况进行评价和补充.
环节六 归纳总结,反思提升
问题7请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1．知识清单：
(1)直线和抛物线的位置关系．
(2)抛物线中的弦长问题．
(3)中点弦问题．
2．方法归纳：直接法、定义法、代数法．
3．常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误．
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：
第138页1-5题；
备用练习1.若点为抛物线上的动点，为该抛物线的焦点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线的性质：焦半径最小时，抛物线上的点必为顶点；结合抛物线方程，即可知的最小值.
【详解】由抛物线的性质知：焦点到抛物线上点，距离最小的点为抛物线顶点，而，有，
∴的最小值为，
故选：D
【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，根据抛物线的解析式求焦半径的最小值，属于简单题.
2.已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到轴的距离为2，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线定义可得答案.
【详解】抛物线上一点P到x轴的距离为2，抛物线的准线方程为，
由抛物线的定义可知，,
故选:C．
3.已知抛物线上一点到其 的焦点的距离为，则点在第一象限的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离求解即可.
【详解】设，由抛物线的方程可得准线方程：，
由抛物线的性质可得，可得，代入抛物线方程可得，
故选：B．
4.如图，我市某地一拱桥垂直轴截面是抛物线，已知水利人员在某个时刻测得水面宽，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】代入计算即可.
【详解】设B点的坐标为 ，由抛物线方程 得 ，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为2米.
故选：D
5.过抛物线的焦点的直线交于，两点，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．1
【答案】C
【分析】方法一（几何法）：根据抛物线的概念，结合直角三角形相关知识和已知条件即可求解；方法二（代数法）：设直线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、抛物线的概念和已知条件即可求解.
【详解】方法一：如图，分别过点，作准线的垂线，，垂足分别为，，过点作于点，交轴于点．由已知条件及抛物线的定义，得，，所以．在中，因为，，所以，所以，所以焦点到准线的距离为，即．
方法二：依题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，将其代入抛物线的方程，得．设，，则．因为，所以，即，，所以，解得．
故选：C.
导学案
学习目标
1.了解抛物线的简单几何性质,培养数学抽象的核心素养．
2.能利用性质解决与抛物线有关的问题．
3.能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题,培养数学运算的核心素养.
重点难点
重点：解决抛物线综合问题和体会抛物线在实际生活中的应用；
难点：解决抛物线综合问题的解题思维培养
课前预习 自主梳理
知识点一 和抛物线有关的轨迹方程
根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，并求动点的轨迹方程．
知识点二 直线与抛物线的位置关系
设直线,抛物线:,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程.
(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若,直线与抛物线有 个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
注意点：
(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况.
知识点三 直线和抛物线弦长问题
1．弦长公式：若直线(斜率为k)与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝ =· .
2．抛物线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为2p.
3．抛物线的焦点弦：过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝ ，x1x2＝ |AB|＝ ＋p，＋＝ .
自主检测
判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)抛物线是无中心的圆锥曲线. （ ）
(2)抛物线过焦点且垂直于对称轴的弦长是. （ ）
(3)抛物线的准线方程为. （ ）
2.抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3.抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
4.已知抛物线的焦点为F，点在该抛物线上，且P的横坐标为4，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5.已知直线l过点且垂直于x轴.l被抛物线（）截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
我们已经知道了抛物线的定义，并根据抛物线的定义得到了标准方程，通过定义和方程及图像得到了抛物线的几何性质，现请同学完成下列表格.
焦点位置 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 范围 对称性 顶点
焦点在正半轴上 y2＝2px(p>0) 关于轴对称 坐标原点
焦点在负半轴上 y2＝－2px(p>0) 关于轴对称
焦点在正半轴上 x2＝2py(p>0) 关于轴对称
焦点在负半轴上 x2＝－2py(p>0) 关于轴对称
【师生活动】教师用多媒体展示表格，学生填写.
【设计意图】让学生回忆旧知识，以建立新旧知识之间的联系。
环节二 观察分析，感知概念
例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．
分析：
环节三 抽象概括，形成概念
追问1 你还有其他证明方法码？
解法二：
环节四 辨析理解 深化概念
例6如图3.3-6，已知定点，轴于点，是线段上任意一点，轴于点 ，于点，与相交于点，求点的轨迹方程．
解：
追问2 问题2中，若设点关于轴的对称点为，求点的轨迹方程，其轨迹是什么？你能在生活中找到实际例子吗？
环节五 概念应用，巩固内化
例6中，设点关于轴的对称点为，则方程．对应的轨迹是常见的抛物拱(图3.3-7)．抛物拱在现实中有许多原型，如桥拱(图3.3-8)、卫星接收天线等，抛掷出的铅球在空中划过的轨迹也是抛物拱的一部分．
教师提出问题，学生思考：
(1)解决抛物线的综合问题时，一般的基本解题思路是什么？，
(2) 生活中还有哪些事物与抛物线有关？
师生活动：学生思考、小组谈论，推选代表发言. 教师引导学生对所学知识、数学思想进行小结，并对学生回答情况进行评价和补充.
环节六 归纳总结,反思提升
问题7请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1．知识清单：
(1)直线和抛物线的位置关系．
(2)抛物线中的弦长问题．
(3)中点弦问题．
2．方法归纳：直接法、定义法、代数法．
3．常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误．
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：
第138页1-5题；
备用练习1.若点为抛物线上的动点，为该抛物线的焦点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到轴的距离为2，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.已知抛物线上一点到其 的焦点的距离为，则点在第一象限的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
4.如图，我市某地一拱桥垂直轴截面是抛物线，已知水利人员在某个时刻测得水面宽，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为（ ）
A． B． C． D．
5.过抛物线的焦点的直线交于，两点，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．1
3.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时
导学案
学习目标
1.了解抛物线的简单几何性质,培养数学抽象的核心素养．
2.能利用性质解决与抛物线有关的问题．
3.能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题,培养数学运算的核心素养.
重点难点
重点：解决抛物线综合问题和体会抛物线在实际生活中的应用；
难点：解决抛物线综合问题的解题思维培养
课前预习 自主梳理
知识点一 和抛物线有关的轨迹方程
根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，并求动点的轨迹方程．
知识点二 直线与抛物线的位置关系
设直线,抛物线:,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程.
(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
注意点：
(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况.
知识点三 直线和抛物线弦长问题
1．弦长公式：若直线(斜率为k)与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝·＝·.
2．抛物线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为2p.
3．抛物线的焦点弦：过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2，x1x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p，＋＝.
自主检测
判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)抛物线是无中心的圆锥曲线. （ ）
(2)抛物线过焦点且垂直于对称轴的弦长是. （ ）
(3)抛物线的准线方程为. （ ）
【答案】(1)√(2)√
2.抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把抛物线的方程化为标准形式，即可求解.
【详解】因为抛物线，所以抛物线，所以抛物线的焦点在轴上，则焦点坐标为.
故选：D.
3.抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线方程确定p的值，进而确定准线方程.
【详解】由，得，
故所求准线方程为,
故选：C.
4.已知抛物线的焦点为F，点在该抛物线上，且P的横坐标为4，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】直接根据抛物线焦半径公式计算得到答案.
【详解】抛物线的准线方程为，
因为点在抛物线上，P的横坐标为4，抛物线的焦点为F，
所以等于点到直线的距离，
所以，
故选：D.
5.已知直线l过点且垂直于x轴.l被抛物线（）截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意令，可得，求得p的值，可得抛物线方程，即可得答案.
【详解】由题意令，则，
故，
所以抛物线（）为，其焦点坐标为，
故选：B.
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
我们已经知道了抛物线的定义，并根据抛物线的定义得到了标准方程，通过定义和方程及图像得到了抛物线的几何性质，现请同学完成下列表格.
焦点位置 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 范围 对称性 顶点
焦点在正半轴上 y2＝2px(p>0) 关于轴对称 坐标原点
焦点在负半轴上 y2＝－2px(p>0) 关于轴对称
焦点在正半轴上 x2＝2py(p>0) 关于轴对称
焦点在负半轴上 x2＝－2py(p>0) 关于轴对称
【师生活动】教师用多媒体展示表格，学生填写.
【设计意图】让学生回忆旧知识，以建立新旧知识之间的联系。
环节二 观察分析，感知概念
例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．
【师生活动】
教师：如果使用坐标法来证明这个结论，怎么转化这个问题？
学生：只要证明证明点的纵坐标和点的纵坐标相等即可.
教师：、两点的坐标与问题中的哪些几何量有关？
学生：、两点的坐标与点的坐标和直线有关，
【分析】既然 、两点的坐标与有关，我们可以先把点坐标设出来，然后用点的坐标表示、B的坐标.
教师引导和板书，学生思考：
分析：我们用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系．建立如图3.3-5所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可．
证明：如图3.3-5，以抛物线的对称轴为轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系．设抛物线的方程为
①
点的坐标为，则直线的方程为
②
抛物线的准线方程是． ③
联立②③，可得点的纵坐标为．
因为焦点的坐标是，当时，直线的方程为 ④
联立①④，消去，可得，即．
可得点的纵坐标为，与点的纵坐标相等，于是平行于轴．
当时，易知结论成立．
所以，直线平行于抛物线的对称轴．
环节三 抽象概括，形成概念
追问1 你还有其他证明方法码？
学生回答：由于点、的坐标还和直线有关，我们还可以先设直线的方程.
学生解答：
解法二：以抛物线的对称轴为轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系．设抛物线的方程为，，设直线的方程为，将其代入，得
，，设，，则，，
过作垂直于抛物线的准线，垂足为，则，
则，，，即三点共线，所以与重合，从而直线平行于抛物线的对称轴．
环节四 辨析理解 深化概念
例6如图3.3-6，已知定点，轴于点，是线段上任意一点，轴于点 ，于点，与相交于点，求点的轨迹方程．
【师生活动】
教师：求轨迹方程的一般方法是什么？
学生：建系，设点，找点满足的关系.
学生解答：
解：设点，，其中，则点的坐标为．
由题意，直线的方程为
①
因为点在上，将点的坐标代入①，得
， ②
所以点的横坐标满足②．
直线的方程为
③
因为点在上，所以点的坐标满足③．
将②代入③，消去，得，即点的轨迹方程．
追问2 问题2中，若设点关于轴的对称点为，求点的轨迹方程，其轨迹是什么？你能在生活中找到实际例子吗？
学生回答：轨迹方程为,其轨迹为抛物线的一部分，即为抛物拱，生活中的拱桥、卫星接受天线等都是抛物拱，抛出的铅球在空中划过的轨迹也是抛物拱的一部分.
【师生活动】教师展示问题，待学生回答问题后，用网络画板演示点的轨迹，最后让学生根据直观轨迹图像联想到生活中的实例.
网络画板动画演示地址： https://.cn/resource_web/course/#/641692
【设计意图】师生活动目的是复习求轨迹方程的方法，提醒学生解题方向; 追问2目的是把抛物线联系到实际生活中，借助网络画板动态演示更加直观贴切.
环节五 概念应用，巩固内化
例6中，设点关于轴的对称点为，则方程．对应的轨迹是常见的抛物拱(图3.3-7)．抛物拱在现实中有许多原型，如桥拱(图3.3-8)、卫星接收天线等，抛掷出的铅球在空中划过的轨迹也是抛物拱的一部分．
教师提出问题，学生思考：
(1)解决抛物线的综合问题时，一般的基本解题思路是什么？，
(2) 生活中还有哪些事物与抛物线有关？
师生活动：学生思考、小组谈论，推选代表发言. 教师引导学生对所学知识、数学思想进行小结，并对学生回答情况进行评价和补充.
环节六 归纳总结,反思提升
问题7请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1．知识清单：
(1)直线和抛物线的位置关系．
(2)抛物线中的弦长问题．
(3)中点弦问题．
2．方法归纳：直接法、定义法、代数法．
3．常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误．
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：
第138页1-5题；
备用练习1.若点为抛物线上的动点，为该抛物线的焦点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线的性质：焦半径最小时，抛物线上的点必为顶点；结合抛物线方程，即可知的最小值.
【详解】由抛物线的性质知：焦点到抛物线上点，距离最小的点为抛物线顶点，而，有，
∴的最小值为，
故选：D
【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，根据抛物线的解析式求焦半径的最小值，属于简单题.
2.已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到轴的距离为2，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线定义可得答案.
【详解】抛物线上一点P到x轴的距离为2，抛物线的准线方程为，
由抛物线的定义可知，,
故选:C．
3.已知抛物线上一点到其 的焦点的距离为，则点在第一象限的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离求解即可.
【详解】设，由抛物线的方程可得准线方程：，
由抛物线的性质可得，可得，代入抛物线方程可得，
故选：B．
4.如图，我市某地一拱桥垂直轴截面是抛物线，已知水利人员在某个时刻测得水面宽，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】代入计算即可.
【详解】设B点的坐标为 ，由抛物线方程 得 ，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为2米.
故选：D
5.过抛物线的焦点的直线交于，两点，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．1
【答案】C
【分析】方法一（几何法）：根据抛物线的概念，结合直角三角形相关知识和已知条件即可求解；方法二（代数法）：设直线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、抛物线的概念和已知条件即可求解.
【详解】方法一：如图，分别过点，作准线的垂线，，垂足分别为，，过点作于点，交轴于点．由已知条件及抛物线的定义，得，，所以．在中，因为，，所以，所以，所以焦点到准线的距离为，即．
方法二：依题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，将其代入抛物线的方程，得．设，，则．因为，所以，即，，所以，解得．
故选：C.