23.2相似图形 华东师大版初中数学九年级上册同步练习（含解析）

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23.2相似图形华东师大版初中数学九年级上册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列叙述正确的是( )
A. 任意两个等腰三角形相似 B. 任意两个平行四边形相似
C. 任意两个矩形相似 D. 任意两个正方形相似
2.下列两个图形一定相似的是( )
A. 两个菱形 B. 两个矩形 C. 两个正方形 D. 两个等腰梯形
3.已知五边形∽五边形，五边形的最短边为，最长边为，五边形的最长边是，则五边形的最短边是( )
A. B. C. D.
4.在如图所示的三个矩形中，相似的是( )
A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 甲、乙和丙
5.如图，三个矩形中相似的是
( )
A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 没有相似矩形
6.下列四个命题：所有的正方形都相似；所有的菱形都相似；所有的矩形都相似；边长相等的两个菱形相似，其中真命题的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.如图，在长为、宽为的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形阴影部分与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )
A. B. C. D.
8.如图，把一张矩形纸片对折两次得到四个小矩形，如果每个小矩形都与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为( )
A. B. C. D.
9.如图，矩形被分成个正方形和个小矩形后形成一个中心对称图形，如果矩形∽矩形，那么的值为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图所示是、、、、、六点在菱形四边上的位置图，其中，，将菱形分成甲、乙、丙、丁、戊、己六个平行四边形．若：：：：，：：，则下列哪一图形与菱形相似
( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.如图，在矩形中，点、分别在、上，四边形是正方形，矩形∽矩形，则：的值为______ ．
12.如图，已知五边形与五边形相似且相似比为：，，则 ______ ．
13.秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则的值为____．
14.如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，四边形的面积是 若四边形与四边形相似，则四边形的面积是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.本小题分
下面各点的位置在方格图上描出各点，再按的顺序连起来，四边形是______ 形，图中每个小格的面积是平方厘米，四边形的面积是______ 平方厘米．
，，，．
请画出图形关于的对称图形．
请将图形按：放大画在右边．
16.本小题分
我们知道，如果两个四边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形．仅有对应角相等的两个四边形不一定相似，如正方形与两邻边长为和的矩形就不是相似四边形．
仅有对应边成比例的两个四边形______相似填“一定”、“不一定”或“一定不”；
如图，在四边形和四边形中，，，，，求证：四边形∽四边形．
17.本小题分
如图，矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，剩下的矩形的长与宽的比与原矩形长与宽的比相等，求原矩形的长与宽的比．
18.本小题分
在，的矩形花坛四周修筑小路．
如果四周的小路的宽均相等，都是，如图，那么小路四周所围成的矩形和矩形相似吗？请说明理由；
如果相对着的两条小路的宽均相等，宽度分别为，，如图，试问小路的宽与的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形和矩形相似？请说明理由．
19.本小题分
在，的矩形花坛四周修筑小路．
如果四周的小路的宽均相等，都是，如图，那么小路四周所围成的矩形和矩形相似吗请说明理由
如果相对着的两条小路的宽均相等，宽度分别为，，如图，试问小路的宽与的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形和矩形相似请说明理由．
20.本小题分
阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形．请你解决下列问题：
当矩形的长和宽分别为和时，它是否存在“减半”矩形？请做出判断，如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出“减半”矩形的长宽．
边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、任意两个等腰三角形不一定满足三边对应成比例，三个角分别对应相等，不一定相似，故选项不符合题意；
B、任意两个平行四边形不一定满足边对应成比例，四个角对应相等，不一定相似，故选项不符合题意；
C、任意两个矩形不一定满足边对应成比例，不一定相似，故选项不符合题意；
D、任意两个两个正方形满足相似图形的定义，故选项符合题意．
故选：．
利用相似图形的定义逐一判断后即可得到答案．
本题考查了相似图形的定义，掌握“对应角相等、对应边成比例的两个图形相似”是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
B、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；
C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；
D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；
故选：．
根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解．
本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形对应边的比相等是解题的关键．根据相似多边形对应边的比相等即可求解．
【解答】
解：五边形∽五边形，
五边形的最短边为，最长边为，五边形的最长边是，
，
五边形的最短边是．
故选A．
4.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了相似多边形的判定．注意对应角相等，对应边成比例，则可判定多边形相似．
由都是矩形，可得所有对应角相等；然后由对应边成比例，即可判定三个矩形中相似的是甲和乙．
【解答】
解：都是矩形，
所有对应角相等；
甲与乙：，故相似；
甲与丙：，故不相似；
乙与丙也不相似．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了相似多边形的判定．注意对应角相等，对应边成比例，则可判定多边形相似由都是矩形，可得所有对应角相等；然后由对应边成比例，即可判定三个矩形中相似的是甲和丙．
【解答】
解：都是矩形，
所有对应角相等，
甲与乙：，故不相似，
甲与丙：，故相似，
乙与丙也不相似．
故选C．
6.【答案】
【解析】解：所有的正方形都相似，正确，是真命题，符合题意；
所有的菱形对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定都相似，错误，是假命题，不符合题意；
所有的矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，不一定都相似，故错误，是假命题，不符合题意；
边长相等的两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，不一定相似，故错误，是假命题，不符合题意．
真命题有个，
故选：．
利用相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似图形的定义，难度不大．
7.【答案】
【解析】略
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似图形：把形状相同的图形称为相似图形．相似图形面积的比等于相似比的平方．也考查了中心对称图形．
设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则，，，，利用相似的性质得到，即，则，所以，，然后根据相似的性质求的值．
【解答】
解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为，
则，，，，
，，
矩形∽矩形，
，即，
，
，，
矩形∽矩形，
．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了相似菱形的判定：所有对应角相等，所有对应边的比相等．
根据题意可设，，，，，可得：，，所以因为，，将菱形分成甲、乙、丙、丁、戊、己六个平行四边形，所以各四边形的对应角相等；又因为甲邻边边长为：，，即，，与菱形不相似；乙邻边边长为：，，即，，与菱形相似；丙邻边边长为：，，即，，与菱形不相似；丁邻边边长为：，，即，，与菱形不相似．
【解答】
解：根据题意可设，，，，，
，，
．
，，将菱形分成甲、乙、丙、丁、戊、己六个平行四边形，
各四边形的对应角相等；
甲邻边边长为：，，即，，与菱形不相似；
乙邻边边长为：，，即，，与菱形相似；
丙邻边边长为：，，即，，与菱形不相似；
丁邻边边长为：，，即，，与菱形不相似．
故选B．
11.【答案】
【解析】解：矩形∽矩形，
，
设正方形的边长为，，
则，
，
，
，，
，
：．
故答案为：．
根据相似多边形的性质可得，设正方形的边长为，，那么，求出，代入：计算即可．
此题主要考查了相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形对应边的比相等．
12.【答案】
【解析】解：五边形与五边形相似且相似比为：，
，
，
，
，经检验符合题意；
故答案为：
利用相似五边形的对应边之比等于相似比建立方程求解即可．
本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边的比即为相似比是解本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由两个枫叶图案的形状相同，可知两个枫叶图案相似，
可得，
解得，
即的值为．
故答案为：．
根据两个枫叶图案的形状相同，可知两个图形相似，再根据相似多边形的对应边的比等于相似比可得结果．
此题考查的是相似多边形的性质，即两个多边形相似，其对应边、对角线的比等于相似比．
14.【答案】

【解析】解：根据题意，得
．
又四边形与四边形相似，
：，
．
故答案为：；．
根据题意求得四边形的面积，再利用相似多边形的性质求解即可．
本题考查相似多边形的性质，三角形的面积等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】平行四边
【解析】解：四边形是平行四边形，四边形的面积；
如图，四边形为所作；
故答案为：平行四边，；
如图，四边形为所作．
先描点得到四边形，再根据平行四边形的判定方法可得到四边形为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算它的面积；
利用网格特点和轴对称的性质分别画出点、、、关于直线的对称点即可；
向右平移四边形，然后把各边扩大倍即可．
本题考查了作图轴对称变换：先确定图形的关键点；再利用轴对称性质作出关键点的对称点；然后按原图形中的方式顺次连接对称点．也考查了相似变换．
16.【答案】不一定
【解析】解：仅有对应边成比例的两个四边形不一定相似；
故答案为：不一定；
连接，，如图，
，
∽，
，，，
，，
，
，
，
同理，
∽，
，
，
，，，
四边形∽四边形．
直接判断即可；
只要证明各角对应相等、各边对应成比例即可．
本题考查的多边形的相似，解题的关键是证明各边对应成比例，各角对应相等．
17.【答案】解：设矩形的长是，宽是，
则，
矩形∽矩形，
，
即，
整理得：，
两边同除以，得，
解得或舍去．
长与宽的比为：．
【解析】利用相似多边形的相似比相等列出方程求解．
本题考查了相似多边形的性质，根据相似得到方程，解方程是解决本题的关键．
18.【答案】解： 如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形和矩形不相似
设四周的小路的宽为，
，，
，
小路四周所围成的矩形和矩形不相似
当时，小路四周所围成的矩形和矩形相似，
解得：，
路的宽与的比值为时，能使小路四周所围成的矩形和矩形相似．
【解析】此题考查了相似多边形的判定此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
首先设四周的小路的宽为，易得，则可判定：小路四周所围成的矩形和矩形不相似
由相似多边形的性质可得：当时，小路四周所围成的矩形和矩形相似，继而求得答案．
19.【答案】解：如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形和矩形不相似理由如下：
设四周的小路的宽为；
，；
；
小路四周所围成的矩形和矩形不相似
当时，小路四周所围成的矩形和矩形相似，
解得；
小路的宽与的比值为时，能使小路四周所围成的矩形和矩形相似．

【解析】此题考查了相似多边形的判定此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
首先设四周的小路的宽为，易得，则可判定：小路四周所围成的矩形和矩形不相似
由相似多边形的性质可得：当时，小路四周所围成的矩形和矩形相似，继而求得答案．
20.【答案】解：存在，理由如下：
设减半矩形的长为，因为周长为，则宽为
由题知
解得：，舍去
所以存在减半矩形，且长宽分别为，
不存在．
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是，
所以正方形不存在“减半”正方形．
【解析】本题考查矩形的性质和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系．
存在，设“减半”矩形的长和宽分别为和，根据存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程求解．
两个正方形是相似图形，周长比是，面积比就应该是，所以不存在“减半”正方形．
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