23.3相似三角形 华东师大版初中数学九年级上册同步练习（含解析）

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23.3相似三角形华东师大版初中数学九年级上册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为( )
A. B. C. D.
2.如图，点，分别在的，边上，增加下列条件中的一个：，，，，，使与一定相似的有
( )
A. B. C. D.
3.在倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相此，三角形的周长( )
A. 没有发生变化 B. 放大了倍 C. 放大了倍 D. 放大了倍
4.大约在两千四五百年前，如图，墨子和他的学生做了世界上第个小孔成倒像的实验并在墨经中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是
( )

图 图
A. B. C. D.
5.如图，中，为边上一点，下列条件中，不能判定∽的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，在中，、分别在边、上，，交于，那么下列比例式中正确的是( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，是边上的高，在的内部，作一个正方形，若，，则正方形的边长为
( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，为边上一点，已知，为的中点，延长交于，则( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，点从点出发以个单位的速度向点运动，同时点从点出发以个单位的速度向点运动．当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为( )
A. B. C. 或 D. 以上均不对
10.如图，点，分别在的，边上，增加下列条件中的一个：，，，，，使与一定相似的有
( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则的长度为______．
12.如图，等边三角形的边长为，动点从点出发沿运动到点，连接，作，交于点．
若，则的长为______ ；
动点从点运动到点时，点的运动路径长为______ ．
13.如图，在边长为的正方形网格中，、、、、各点均为格点，则图中能用字母表示的各三角形______∽．
14.如图，在中，，，点在边上，点在上，，若，，则的长是_________．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.本小题分
如图，中，，点，在边上，，连接，，说明的理由．
16.本小题分
如图，在和中，，．
求证：∽；
若：：，，求的长．
17.本小题分
如图，在中，，翻折，使点落在斜边上的某一点处，折痕为点，分别在边，上．
若与相似，
当时，的长为
当，时，的长为 ．
当是的中点时，与相似吗请说明理由．
18.本小题分
如图，直线分别交的边，于点，，交的延长线于点，已知求证：．
19.本小题分
如图，在矩形中，是对角线上一点，过点作交于点，作交于点．
证明：∽；
已知，，当四边形是正方形时，求此正方形的边长．
20.本小题分
如图，设为锐角内一点，，过点作，，连接．
求的度数；
若，
求证：∽；
求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，可以假设，则，，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
平分，
，
，
，，
，
，
∽，
，
故选：．
由，可以假设，则，，证明，，再利用相似三角形的判定和性质即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
由两角相等的两个三角形相似得出正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出正确；不能证出与一定相似；即可得出结果．【解答】
解：，，
∽，正确；
，，
∽，正确；
，
，
∽，正确；
由，或，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明与相似，不正确．
故选A．
3.【答案】
【解析】解：在倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相似，相似比为：，
根据相似三角形的性质，三角形的周长比等于相似比，
三角形的周长被放大了倍．
故选：．
由倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相似，相似比为：，根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，即可得出结论．
本题考查相似三角形的性质在实际中的运用，掌握相似三角形的性质是解题关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的应用有关知识，直接利用相似三角形的对应边成比例解答．【解答】
解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形的性质得到：
解得．
即蜡烛火焰的高度是．
5.【答案】
【解析】解：，，
∽两角分别相等的两个三角形相似，
故本选项不符合题意；
B.，，
∽两角分别相等的两个三角形相似，
故本选项不符合题意；
C.，
，
又，
∽两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似，
故本选项不符合题意；
D.当，时，即两边对应成比例，其中一边的对角相等，此时两个三角形不一定相似，
故本选项符合题意．
故选：．
根据相似三角形的判定对四个选项逐个判断即可作出选择．
本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．根据相似三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理对各选项进行判断即可求解．
【解答】
解：，，
∽，∽，
，，
，故C选项符合题意；
，
，
∽，
，
，故A选项不符合题意；
，
，
，
，
，
，故B选项不符合题意；
∽，
，
，
，
，
不一定等于，
不一定等于，故D选项不符合题意
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．由四边形是正方形，可得，即可证得∽，设正方形的边长为，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，得方程：，解此方程即可求得答案．
【解答】
解：如图：
设正方形的边长为，
是的高，，
是的高，
则，
四边形是正方形，
，
∽，
，
，
解得：，
正方形的边长为．
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质熟练掌握通过作平行线构造相似是解题的关键．过作，相似三角形的性质得到，再由可得对应线段成比例，进而即可求解与的比值．
【解答】
解：过作交于，
，
，
又是的中点，
，
，
，，
，
，
，
．
故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定，注意数形结合思想与分类讨论思想．
首先设秒钟与以、、为顶点的三角形相似，则，，，然后分两种情况当∽和当∽讨论．
【解答】
解：设运动时间为秒．
，，，
当∽时，，
即，
解得；
当∽时，，
即，
解得，
综上所述，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为或，
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
由两角相等的两个三角形相似得出正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出正确；不能证出与一定相似；即可得出结果．【解答】
解：，，
∽，正确；
，，
∽，正确；
，
，
∽，正确；
由，或，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明与相似，不正确．
故选A．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
设，交于，根据正方形的性质得到，，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到，点，分别是，的中点，根据相似三角形的判定和性质列出比例式，即可得到结论．
【解答】
解：设，交于，
四边形是正方形，
，，
点，分别是边，的中点，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
点，分别是，的中点，
，
，，，
∽，
，
，
，，
，，
∽，
，
，
，
，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：是等边三角形，
，，
，，
，
∽，
：：，
，
，
：：，
，
故答案为：．
设，，
∽，
：：，
，
：：，
，
当时，有最大值，
当运动到中点时，最大是，
当从中点运动到时，又回到，
点的运动路径长为．
故答案为：．
由三角形外角的性质，等边三角形的性质，可以证明∽，即可求出的长．
设，，由∽，得到关于的函数关系式，即可求出的最大值，从而求出运动路径长．
本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，轨迹，关键是明白运动的轨迹．
13.【答案】
【解析】解：，，，，，，
，
∽．
故答案为：．
求出，的各边的长，利用三边成比例两三角形相似判断即可．
本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的有关知识，找出相似三角形是解题关键过点作，根据等腰直角三角形的性质得出，得出是等腰直角三角形，进而得出，然后得出∽，再根据相似三角形的性质得出和之间的关系，然后利用勾股定理求解即可．
【解答】
解：如图，过点作，
，，
是等腰直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，，
∽，
，
，
在中，，
即，
解得或不合题意，舍去，
故AB的长是．
故答案为．
15.【答案】证明：，，
，，
，，
，
又，
∽，
．
【解析】先利用勾股定理求得，得到，再证明∽，即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握“两边成比例且夹角相等两个三角形相似”是解题的关键．
16.【答案】解，
，
，
，
∽．
由得，，
：：，
，
，
．
【解析】根据相似三角形的判定，即可；
根据相似三角形的判定和性质，即可．
本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．
17.【答案】解：；
或．
相似理由：连结，与交于点．
是的中线，
，
B.
由折叠知，，
．
，
A.
又，
．
【解析】见答案
18.【答案】证明：，
．
，
∽．
．
，
∽．
．
．
【解析】先证明∽，从而得到对应角相等，再根据两角对应相等两三角形相似得到∽，根据相似三角形对应边成比例即可求得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判断方法和乘积和比例的相互转化是本题的关键．
19.【答案】证明：，
，
，
，
∽；
解：当四边形是正方形，设此正方形的边长为，则，
在矩形中，，，
，，
由知，∽，
，
，
，
即当四边形是正方形时，正方形的边长为．
【解析】由平行线的性质判断出，，即可得出结论；
设正方形的边长为，则，进而得出，，再由∽，得出，即，解方程即可求出答案．
此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，判断出∽是解本题的关键．
20.【答案】解：如图，延长交于，
，
，
，
．
；
，，
，
，，
，
∽；
如图，连接，
，，
是等腰直角三角形，
，
∽，
，，
，
∽，
，
．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是中，需要将比例式变形后才能得出结论．
根据三角形外角的性质可得结论；
根据两边成比例且夹角相等证明∽；
先根据等腰直角三角形的性质得：，证明∽，得，代入所求的式子可得结论．
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