23.4中位线 华东师大版初中数学九年级上册同步练习（含解析）

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23.4中位线华东师大版初中数学九年级上册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在中，，点，分别是，的中点，是斜边上一点，则添加下列条件可以使四边形成为矩形的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，在 中，对角线，相交于点，为的中点，连接，过点作于点，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
3.如图， 中，，平分，交于点，，点，分别是和的中点，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，已知矩形，，，平分交于点，点、分别为、的中点，则( )
A. B. C. D.
5.如图 的周长为，点，都在边上， 的平分线垂直于，垂足为， 的平分线垂直于，垂足为若，则的长为( )
A. B. C. D.
6.如图，已知中，，平分，，垂足为，点为的中点，连结则的度数为( )
A. B. C. D.
7.如图，在四边形中，点，分别是，的中点，，分别是，的中点，，满足什么条件时，四边形是菱形( )
A. B. C. D.
8.如图，点是内任一点，点，，分别为，，的中点，则图中的相似三角形有( )
A. 对
B. 对
C. 对
D. 对
9.如图在平行四边形中，平分，，连接，是的中点，连接，若，则( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在中，，，，若是的中位线，延长，交的外角的平分线于点，则线段的长为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.要测池塘、两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点，得到线段、，并取、的中点、，连接，测得米，则 ______ 米
12.如图，是池塘两端，设计一方案测量的距离，首先取一点，连接，，再取它们的中点，，测得米，则______米．
13.如图，菱形中，对角线交于，，是的中点，则的长等于___________．
14.如图，在正中，，，、分别为、的中点，则 ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.本小题分
如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点．
如果设，，，那么 ， ， 含、、的式子表示；
求作：．
请在原图上作图，不要求写作法，但要写出结论
16.本小题分
如图，平行四边形中，是的中点请你在线段上截取，连接交于点，求的值．
17.本小题分
如图，在中，，点是的中点，，．
求证：∽；
若，，求的面积．
18.本小题分
如图，小明在乙楼前方的点处，眼睛贴地观察，恰好看到甲、乙两楼楼顶上的点和重合为一点，若、相距米，、相距米，乙楼高为米，于点，已知、、在一条直线上，甲与均垂直于，求甲楼的高提示：，
19.本小题分
如图，四边形是平行四边形，对角线，交于点，，，．
求证：四边形是菱形．
若，，求四边形的面积．
20.本小题分
已知：如图，在菱形中，点，，分别为，，的中点，连接，，，．
求证：≌；
当时，请判断四边形的形状，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平行四边形的判定，矩形的判定等知识添加后利用三角形中位线定理和平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，再根据，得出四边形成为矩形．
【解答】
解：添加，
点，点分别是，的中点，，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形．
故选B．
2.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
为的中点，
，
是的中位线，
，
，，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得出，进而利用三角形的中位线定理得出，进而利用含角的直角三角形的性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出解答．
3.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
点，分别是和的中点，
是的中位线，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得出，进而利用平行线的性质和三角形中位线定理解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出解答．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形中位线的定理，求的长是解本题的关键．
由矩形的性质和角平分线的定义可得，可得，由勾股定理可求，由三角形中位线定理可求的长．
【解答】
解：连接，
四边形是矩形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
点、分别为、的中点，
．
故选B．
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】解：如图，延长与相交于点，
，平分，
．
又，
，，
．
．
又为中点，
是的中位线，
，
．
故选：．
延长与相交于点，根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的中位线平行于第三边并可得，则由平行线的性质求解．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的判定与性质，作辅助线构造出以为中位线的三角形是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：当时，四边形是菱形．理由如下：
点，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
同理，，，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形是菱形．
故选：．
证是的中位线，得，，同理，，，，则，，得四边形是平行四边形，再证，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的判定和三角形中位线定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，，分别为，，的中点，
，，，
∽，∽，∽，
，，
，
，
，，
，
，
∽，
图中共有对相似三角形，
故选：．
由三角形的中位线定理证明，，，即可根据“平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”证明∽，∽，∽，再由平行线的性质推导出，，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明∽，于是得到问题的答案．
此题重点考查三角形的中位线定理、平行线的性质、相似三角形的判定等知识，根据三角形的中位线定理证明，，是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：在平行四边形中，，
．
平分，
，
，
．
，
．
是的中点，
是的中位线，
，
，
．
故选：．
根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解，即可得，利用等腰三角形的性质可得，进而可得是的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．
本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明是的中位线是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：在中，，
是的中位线，
，，，
，
是的平分线，
，
，
，
，
故选：．
根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理得到，，根据角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：点、分别是、的中点，
是的中位线，
米，
故答案为：．
根据三角形中位线定理解答．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
米，
米，
故答案为：．
证明是的中位线，根据中位线定理可得米．
本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质和三角形的中位线定理的应用根据菱形的性质得出，根据三角形的中位线性质得出，代入求出即可．
【解答】
解：四边形是菱形，，
，
是的中点，
是的中位线，
，
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：取的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，
是等边三角形，，，
，，
，
、分别为、的中点，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
作于点，则，
，，
，
，
故答案为：．
取的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，由等边三角形的性质得，，则，由三角形的中位线定理得，，，，则四边形是平行四边形，所以，作于点，则，，所以，由勾股定理得，于是得到问题的答案．
此题重点考查等边三角形的性质、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
15.【答案】解：，，
如图：即为所求．

【解析】【分析】
本题考查的是平面向量的加减法，三角形中位线定理有关知识．
根据图形直接进行解答
要求作，只要作出．
【解答】
解：，
，
，
，是，的中点，
．
见答案．
16.【答案】解：过点作交于 分
点是的中点，
点是的中点．
是的中位线．
分
四边形是平行四边形，
，．
，．
，
．
．
，
∽ 分
．
点是的中点，
分
【解析】由平行四边形的性质易证两三角形相似，然后由相似三角形和平行线分线段成比例得出比例式求解即可．
本题考查了相似三角形的性质，其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．
17.【答案】证明：，
，
，，
，
∽．
解：点是的中点，，
，
在中，，，
，
，
由可得∽，
，即，
．
【解析】根据可得，即可求证∽；
先求出，，再求出相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握：有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方．
18.【答案】解：，，
，
，
、相距米，、相距米，
米，
，
≌，
，
，
米．
答：甲楼的高是米．
【解析】由图可知，，，推出，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了三角形的中位线的性质，平行线的性质，全等三角形，解题的关键是仔细分析数据特点，将原题转化为关于三角形中位线的问题解答．
19.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是菱形；
解：四边形是平行四边形，
，，
连接交于，
由知，四边形是菱形，
、互相垂直平分，
，
，
，
四边形的面积．
【解析】根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，推出，得到四边形是菱形；
根据平行四边形的性质得到，，连接交于，根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、菱形面积的计算等知识，熟练掌握平行四边形和菱形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
点，，分别为，，的中点，
，
在和中，
，
≌；
解：当时，四边形是正方形，理由如下：
四边形是菱形，
，，
点，，分别为，，的中点，
，，，，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
四边形是正方形．
【解析】由菱形的性质得出，，由已知证出，由证明≌即可；
由三角形中位线定理证出，，，得到，证出四边形是菱形，再证出，四边形是正方形．
本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定是解答本题的关键．
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