24.2直角三角形的性质 华东师大版初中数学九年级上册同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
24.2直角三角形的性质华东师大版初中数学九年级上册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为
( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点，若，，则的面积为( )
A. B. C. D.
3.如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是( )
A. B. C. D.
4.若等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则顶角的度数为( )
A. B. C. 或 D. 或
5.给出下列说法：有一个角为的等腰三角形是等边三角形三边长分别为，，的三角形是直角三角形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半三个角之比为的三角形是直角三角形，其中正确的有( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，点、点分别是，的中点，点是上一点，且，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
7.如图，边长为的正方形，对角线，相交于，为边上一动点不与，重合，交于，为中点给出如下四个结论：；点在运动过程中，面积不变化；周长的最小值为；点在运动过程中，与始终相等，其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
8.定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点，使得为“智慧三角形”，则点的坐标为( )
A. 或
B. 或
C. 或或
D. 或或
9.如图，在中，，于点，为边的中点，，则的度数为( )
A. B. C. D.
10.如图，一根木棒斜靠在墙上，木棒与它在墙壁及地板上的影子，构成一个直角三角形，若与的角平分线交于点，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点，使得为“智慧三角形”，则点的坐标为：______．
12.如图，在四边形中，，，，，则的长为 ．
13.如图，在中，，将边沿斜边上的中线折叠到处若，则
14.如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则_____．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.本小题分
如图，为的中线，为的中线．
，，求的度数；
若的面积为，，则中边上的高为多少？若，求中边上的高为多少？
16.本小题分
如图，在中，，，将绕点顺时针旋转能与重合．
请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为；不要求写作法，保留作图痕迹
在问情况下，连接，求证：≌填空．
证明：点是边中点，
______ ，
，，
，
______ ，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
______ ，
在和中，
≌．
17.本小题分
求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在中，，求证：．
请用两种方法完成证明．
18.本小题分
我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做常态三角形例如：某三角形三边长分别是，和，因为，所以这个三角形是常态三角形．
若三边长分别是，和，试判断此三角形是否为常态三角形；
如图，在中，点在边上，连接，，，，若是常态三角形，求的长．
19.本小题分
如图，在中，，分别是，边上的高线，，分别是线段，的中点．
求证：．
连结，，猜想与之间的关系，并说明理由．
若将锐角三角形变为钝角三角形，其余条件不变，如图，则中的结论是否仍成立请说明理由．
20.本小题分
如图，在中，，为边的中点，点在线段上，于点，连结，已知，．
求证：．
若，求线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解： 公路，互相垂直，，
为的中点， ，，，
即，两点间的距离为，
故选B．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，难点在于作辅助线构造出直角三角形．连接、，根据正方形的性质求出、，并判断出是直角三角形，再利用勾股定理列式求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求解．
【解答】
解：如图，连接、，
在正方形和正方形中，，，
，
所以，，
所以，是直角三角形，
由勾股定理得，，
是的中点，
．
故选B．
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
【解答】
解：点、点分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
在中，，点是的中点，，
，
，
故选B．
7.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，、相交于点，
，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
是等腰直角三角形；
，故正确；
的值随着点在运动，先变大，后减少，
面积也先变大，后减少；故错误；
≌，
，
，
设，则，
，
当时，有最小值，最小值为，
周长的最小值为；故正确；
，为中点．
，
点在运动过程中，与始终相等，故正确；
综上，正确，
故选：．
易证得≌，则可证得结论正确；
由的值随着点在运动，先变大，后减少，根据三角形面积公式即可判断选项错误；
先求得，设，则，利用勾股定理得到，利用非负数的性质求得的最小值，即可求得选项正确；
利用直角三角形斜边中线的性质，即可得出选项正确．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线以及等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：如图，是的中线，，
，
，，
，
“智慧三角形”是直角三角形．
如图，为“智慧三角形”，且，
四边形是矩形，，，点，
，，，
，
∽，
，
，
；
如图、图，为“智慧三角形”，且，
，
，
∽，
，
，，
，
，
解得或，
或；
点在边上，点在边上，
，
，
不能是以为直角的“智慧三角形”，
综上所述，点的坐标为或或，
故选：．
先根据“智慧三角形”的定义及等腰三角形的性质证明“智慧三角形”是直角三角形，再分三种情况讨论，一是为“智慧三角形”，且，可证明∽，则，可求得，则；二是为“智慧三角形”，且，可证明∽，则，于是得，可求得或，则或；三是说明，则不能是以为直角的“智慧三角形”，于是得到问题的答案．
此题重点考查图形与坐标、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，证明∽及∽是解题的关键．
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】解：在中，，而，
．
、平分与，
，，
，
在中，．
故选：．
可将与的和作为一个整体看待，根据已知条件先求出的度数，根据、平分与，求出的度数，进而求得的度数；根据木棒向上或向下滑动，的大小不变，可知、的值均不变，由此可得结论．
本题考查的是直角三角形的性质和角平分线的定义、三角形的内角和定理，熟知直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，或，
设，则，；
若，在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
，
又，
，
，
解得：或，
或；
若，在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
解得：．
综上，或或．
故答案为：．
由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，或，设，则，；分两种情况：若，若，根据勾股定理分别求出、、，并根据图形列出关于的方程，解得的值，则可得答案．
本题考查了矩形的性质及勾股定理在几何图形坐标计算中的应用，数形结合、分类讨论并根据题意正确地列式是解题的关键．
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余根据旋转的性质可得，，然后根据等腰三角形两底角相等求出，再利用直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】
解：绕点逆时针旋转得到，
，，
在中，，
，
，
．
故答案为．
15.【答案】解：是的外角，
；
解：如图，
为的中线，为的中线，
的面积的面积，的面积的面积，
，即，
，
，即，
．
【解析】利用三角形外角和内角的关系，直接求出；
根据中线把三角形分成面积相等的两个三角形，知的面积可求出的面积、的面积，利用三角形的面积公式，知底可求出该底上的高．
本题考查了三角形的内外角关系、中线的性质及三角形的面积公式．解题时注意：三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形．
16.【答案】
【解析】解：如图，分别以点、为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点、，过点、作直线，交于点，则直线即为所求作的垂直平分线；
证明：点是边中点，
，
，，
，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
在和中，
，
≌．
故答案为：，，，．
分别以点、为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点、，过点、作直线，交于点，则直线即为所求作的垂直平分线；
先根据中点的定义和含角的直角三角形性质证明，再根据旋转的性质和直角三角形性质得到，根据“边角边”即可证明≌．
本题考查了尺规作图作已知线段的垂直平分线，旋转的性质，含角的直角三角形的性质等知识，理解题意，熟知相关知识，并根据已知条件灵活应用是解题关键．
17.【答案】略
【解析】略
18.【答案】解：，
此三角形是常态三角形．
在中，，
，，
而，即，
，故．
是直角三角形．
已知是常态三角形，分和两种情况进行讨论：
当时，由，可得时，
解得：，
则，
在中，．
当时，由，可得，
解得：，
则，
在中，，，不符合题意，舍去．
故AC的长为．
【解析】根据常态三角形的定义判定即可；
先证明是直角三角形，再由是常态三角形，分和两种情况求出出的长，从而解决问题．
本题考查了新定义题，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，读懂题意，进行分类讨论是解题的关键．
19.【答案】略
A.理由略
中的结论仍成立，中的结论不成立理由略

【解析】略
20.【答案】略

【解析】略
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)