24.4解直角三角形 华东师大版初中数学九年级上册同步练习（含解析）

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24.4解直角三角形华东师大版初中数学九年级上册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，菱形的边长为，，是的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则当取得最小值时，则的正弦值为( )
A. B. C. D.
2.小宇和小轲两位同学准备利用所学数学知识对勖艾亭的高度进行测量他们在临时搭建的一个坡度为：的钢板斜坡上的点测得亭顶点的仰角为，点到地面的垂直高度米，从钢板斜坡底的点向前走米到点，测得亭前阶梯的长度为米，坡度为：点到亭中心点的距离为米根据测量结果，勖艾亭的高度大约为米．( )
参考数据：，，，，，，，，，各点均在同一平面内
A. B. C. D.
3.如图，是某大桥主塔的正面示意图，，，则桥面宽度单位：是
( )
A. B. C. D.
4.如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为当时，则点到桌面的最大高度是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，四边形是菱形，且若直线把矩形和菱形组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线的解析式为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，从热气球处测得地面，两点的俯角分别为，，如果此时热气球的高度为，点，，在同一直线上，则，两点之间的距离是
( )
A. B. C. D.
7.某停车场入口栏杆如图，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则栏杆端点上升的垂直高度的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，平行四边形中，对角线为，且，以点为圆心，以适当长度为半径作弧，交、于点、两点，再分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线分别交、于，若，，则的长度为( )
A. B. C. D.
9.如图，在给出网格中，小正方形的边长为，点，，都在格点上，则( )
A. B. C. D.
10.如图，从热气球处测得地面、两点的俯角分别为、，如果此时热气球处的高度为，点、、在同一直线上，，则、两点的距离是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.如图，河坝横断面迎水坡的坡度为，坝高，则的长度为______ ．
12.在中，，，若点是的重心，则 ______ ．
13.将一个三角形经过放大后得到另一个三角形，如果所得三角形在原三角形的外部，这两个三角形各对应边平行且距离都相等，那么我们把这样的两个三角形叫做“等距三角形”，它们对应边之间的距离叫做“等距”如果两个等边三角形是“等距三角形”，它们的“等距”是，那么它们周长的差是 ．
14.如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，已知点，，点在轴负半轴上，连接，，若，以为边作等边三角形，则点的坐标为______ ；点的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.本小题分
在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的、号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点垂直起飞到达点处，测得号楼顶部的俯角为，测得号楼顶部的俯角为，此时航拍无人机的高度为米，已知号楼的高度为米，且和分别垂直地面于点和，点为的中点，求号楼的高度．结果精确到
参考数据，，，，，
16.本小题分
如图，小明与小颖在的小正方形网格中画出格点格点指小正方形的顶点，小正方形的边长为此时，细心的小颖发现利用网格可以提出下列问题，请你帮助小明解答小颖提出的问题：
求和的值；
在网格中存在格点∽，且与不全等，同一位置的格点只算一个，则符合条件的格点一共有______ 个
17.本小题分
热气球的探测器显示，从热气球底部处看一栋高楼顶部的俯角为，看这栋楼底部俯角为，热气球处与地面距离为米，求这栋楼的高度．
18.本小题分
如图，从空中点测得两建筑物，底部的俯角分别为和如果测得与之间的距离为，且点，，在同一直线上结果取整数
Ⅰ求点距地面的高度的值；
Ⅱ求建筑物，间的距离．
参考值：，，，，，
19.本小题分
如图，菱形的对角线、相交于点，为的中点，，求的长及的值．
20.本小题分
如图所示，为了知道楼房外墙上一广告屏的高度是多少，某数学活动小组利用测角仪和米尺等工具进行如下操作：在处测得，在处测得，点、、共线，于点，于点，为米，米，测角仪的高度、为米，根据测量数据，请求出的值结果精确到米，参考数据：，，，
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如图，过作交的延长线于，
菱形中，，，
，，
，
是边的中点，
，
由折叠的性质可得，
，
当在上时，取得最小值，
，
，
，，
在中，，
，
故选：．
过作交的延长线于，根据为定值，可知当在上时，取得最小值，结合勾股定理，问题随之得解．
本题考查了菱形的性质、折叠问题、勾股定理和解直角三角形等知识点，找出所在位置是解答本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：由题意可知，，的坡比是：，的坡比是：，，，，，，，米，
四边形是矩形，
，
在中，设，，
，
，
，
米，米，
在中，，，
，
米，
米，
在中，，
米，
米，
故选：．
由题意可知四边形是矩形，在中，根据勾股定理求得米，在中，根据条件可求得米，进而求出米，在中，根据三角函数的定义求出米，进而可求出．
本题主要考查了解直角三角形的应用，找出适当的直角三角形是解决问题的关键．
3.【答案】
【解析】解：过点作于点，
，
，
在中，
，，
，
，
，
故选：．
过点作于点，在中，利用三角函数求出，再利用等腰三角形性质即可求出．
本题考查解直角三角形的应用，解答时涉及等腰三角形性质，解题的关键是构造直角三角形，熟记三角函数定义．
4.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，过点作于，
在中，，
在中，，
点到桌面的最大高度，
故选：．
过点作于，过点作于，利用解直角三角形可得，，根据点到桌面的最大高度，即可求得答案
本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形解决问题．
5.【答案】
【解析】【分析】
分别求出矩形和菱形的中心的坐标，利用待定系数法求经过两中心的直线解析式即可得出结论．
【解答】
解：如图所示，连接，，设它们交于点，连接，，设它们交于点，作直线，则直线即为符合条件的直线．
四边形是矩形，
．
点的坐标为，
，，．
四边形为菱形，
．
过点作于点，
在中，，
，
设，则，
，
，
，
，，
．
．
点的坐标为，轴，
．
点为的中点，
．
设直线的解析式为，
将点，的坐标代入，得
解得：
直线的解析式为．
故选：．
【点评】
本题主要考查了矩形和菱形的性质，中点坐标的特征，锐角三角函数，待定系数法求一次函数解析式等知识，找出直线和点，的坐标是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查解直角三角形的应用．
根据平行线的性质可得，，再分别解直角三角形求出和即可．
【解答】
解：，
，，
又，
，，
，
．
7.【答案】
【解析】解：如图：过点作，垂足为，
由题意得：，，
在中，，
栏杆端点上升的垂直高度的长为，
故选：．
过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【解析】由作图痕迹可知平分，，
又，，
，
在中，，
，
，
，，
设得，
解得：，故选：．
9.【答案】
【解析】解：过点作于．
，
，
故选：．
过点作于利用勾股定理求出，可得结论．
本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
先根据从热气球处测得地面、两点的俯角分别为、可求出与的度数，再求出与的长，根据即可得出结论．
【解答】
解：从热气球处测得地面、两点的俯角分别为、，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
在中，
，，
，
．
11.【答案】
【解析】解：迎水坡的坡比为，
，即，
解得，，
由勾股定理得，，
故答案为：．
根据坡度的概念求出，根据勾股定理求出．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：如图，连接并延长交于，
点是的重心，
．
，
，
，
为等腰直角三角形，
，．
故答案为：．
连接并延长交于，根据重心的定义可知，可证为等腰直角三角形，最后根据锐角三角函数的定义进行求解．
本题考查了锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的判定与性质和三角形重心的知识点，解答本题的关键是掌握重心的定义和锐角特殊角的三角函数值．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质、解直角三角形，画出图形，利用等边三角形的性质得出直角三角形的较小的锐角是，那么它对边等于斜边的一半，然后解直角三角形即可得出答案．
【解答】
解：如图，
由题意可得四边形是矩形，
，
在中，，，，
，
同理，
所以这两个等边三角形的周长差为：，
故答案为．
14.【答案】 或
【解析】解：过点作于，如图：
点，，
由两点间的距离公式得：，
设，
，
在中，，
，
，
由勾股定理得：，
，，，
，
即：，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去，
，此时，
点的坐标为，
设点的坐标为，
由两点间的距离公式得：，，，
为等边三角形，
，
，
整理得：，
得：，
，
将代入得：，
整理得：，
解得：，
当时，，
当时，，
点的坐标为或．
故答案为：；或．
过点作于，先求处，再设，由得，进而得，由三角形的面积公式得，即，则，然后在中由勾股定理得，由此解出，不合题意，舍去，此时，故此可得点的坐标；设点的坐标为，由两点间的距离公式得：，，，由为等边三角形得，整理：，整理得，将代入整理得，解得，进而再求出即可得点的坐标．
此题主要考查了点的坐标，锐角三角函数，等边三角形的性质，三角形的面积公式，理解题意，熟练掌握正切函数的定义，灵活运用勾股定理及两点间的距离公式构造方程组是解答此题的关键
15.【答案】解：过点、分别作，，垂足分别为、，
由题意得，，，，，，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
答：号楼的高度约为米．
【解析】本题考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是常用的方法，掌握边角关系是正确解答的关键．
通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，分别求出，，进而计算出号楼的高度即可．
16.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点．
，，
，，
，
，
，；
所以使得∽的格点三角形一共有个．
故答案为：．
过点作于点，过点作于点利用面积法求出，再根据三角函数的定义求解即可；
根据网格画出使得∽同一位置的格点三角形只算一个的格点三角形即可．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17.【答案】解：过作，交的延长线于点，
在中，
，米，
米，
米．
在中，
，米，
米，
米，
答：这栋楼的高度为米．
【解析】本题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，在此类题目中常用的方法是利用作高线转化为直角三角形进行计算．
过作，交的延长线于点，先解，求出的长，则，再解，求出的长，然后根据即可得到这栋楼的高度．
18.【答案】解：Ⅰ在中，，，，
，
解得，
答：求点距地面的高度的值约；
Ⅱ在中，，，，
，
解得，
在中，，，，
，
，
．
答：之间的距离约为．
【解析】Ⅰ在中，，，，解直角三角形即可；
Ⅱ分别求出、即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是正确寻找直角三角形，利用三角函数的定义解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：四边形是菱形，
，，
，
，
是中点，
，
，
，
，
．
【解析】由菱形的性质得到，，由直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，由锐角的正切求出．
本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，解直角三角形，关键是应用菱形的性质求出的长，由直角三角形斜边中线的性质得到的长，由勾股定理求出的长，由正切定义即可求出．
20.【答案】解：由题意得：米，米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
的值约为米．
【解析】根据题意可得：米，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
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