第24章 解直角三角形教案
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第24章 解直角三角形
24、1 测量
教学目标
使学生了解测量是现实生活中必不可少的，能利用图形的相似测量物体的高度，培养学生动手知识解决问题的能力和学习数学的兴趣。
教学过程
一、引入新课
测量在现实生活中随处可见，筑路、修桥等建 ( http: / / www.21cnjy.com )设活动都需要测量。当我们走进校园，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，我们也许会想，高高的旗杆到底有多高，能否运用我们所学的知识把旗杆的高度测量出来呢
二、新课
1．根据同学们课前预习的，书上阐述 ( http: / / www.21cnjy.com )的测量旗杆高度的方法有几种 你是如何理解的呢 (待同学们回答完毕后再阐述，这里重要的是让同学们画出示意图)
课上阐述测量旗杆的方法。
第一种方法：选一个阳光明媚的日子，请你的同 ( http: / / www.21cnjy.com )学量出你在太阳下的影子的长度和旗杆影子的长度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度。(如图所示)
由于太阳光可以把它 ( http: / / www.21cnjy.com )看成是平行的，所以有∠BAC＝∠B1A1C1，又因为旗杆和人都是垂直与地面的，所以∠ACB＝∠A1C1B1＝90°，所以，△ACB∽△A1C1 B1，因此，＝，则BC＝，即可求得旗杆BC的高度。
如果遇到阴天，就你一个人，是否可以用其他方法测出旗杆的高度呢
第二种方法：如图所示，站在离旗杆的底部 ( http: / / www.21cnjy.com )10米处的D点，用所制作的测角仪测出视线与水平线的夹角∠BAC=34°,并且已知目高AD为1米,现在请你按1:500(根据具体情况而定,选合适的即可)比例将△ABC画在纸上，并记作△A1B1Cl，用刻度尺量出纸上BlCl的长度,便可以计算旗杆的实际高度。
由画图可知:
∵∠BAC＝∠BlAlCl＝34°，∠ABC＝∠A1B1Cl＝90°
∴△ABC∽△AlB1Cl
∴BlC1＝
∴BC＝500BlCl，CE＝BC＋BE，即可求得旗杆的高度。
2．带领同学们到操场上分别用两种方法测得相应的数据，并做好记录。(指导学生使用测角仪测出角度)
三、小结
本节课是用相似三角形的性质来测量旗杆的高度，同学们在学习中应掌握其原理，并学会应用知识解决问题的方法。
四、作业
1．课本第87页习题24．1。
2．写出今天测量旗杆高度的步骤，画出图形，并根据测量数据计算旗杆的高度。
教学反思：
24、2 锐角三角函数
1．锐角三角函数
第一课时 锐角三角函数(一)
教学目标
使学生了解在直角三角形中，锐角的对 ( http: / / www.21cnjy.com )边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的；通过实例认识正弦、余弦、正切、余切四个三角函数的定义。并能应用这些概念解决一些实际问题。
教学过程
一、复习
由上节课例题若加改变得，若AC＝160cm，∠C＝31°，那么，AB的长度为多少呢
同学们现在或许不能解决上述问题，但是通过这节课的学习，以上问题自然很容易得到解决。
二、新课
1．明确直角三角形边角关系的名称。
直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，我们已经知道∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别为∠A的对边与邻边，用a、b表示。
如右图，在Rt△EFG中，请同学们分别写出∠E、∠F的对边和邻边。
2．在直角三角形中，锐角的对边与斜 ( http: / / www.21cnjy.com )边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的。问题1如右图，△ABC和△A1B1C1中，若∠C＝∠C1＝∠90°， ∠A＝∠A1，那么△ABC和△A1B1C1相似吗 与相等吗 和相等吗？
显然△ABC∽△A1BlCl，＝，这说明在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变，那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与斜边的比值是一个固定值。
这说明，在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的。
3．锐角三角函数的概念。
Rt△ABC中
(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝
(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝
(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝
(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cota＝
同学们想一想，在Rt△ABC中，∠B的正弦、余弦、正切、余切是哪一边与那一边的比值。
问题2．锐角三角函数都是正实数吗 为什么
若∠A是锐角，0＜sinA＜l，0＜cosA＜l，tanAcotA＝1，为什么
4．例题讲解。
例1．求出右图所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值。
例2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a:b＝3:2，c＝，求∠A、∠B的四个三角函数值。
三、练习 课本第109页练习的第1、2两题。
四、小结
在直角三角形中，当锐角一定 ( http: / / www.21cnjy.com )时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的，这几个比值称为锐角的三角函数，它反映的是两条线段的比值，对于三角函数的概念，同学们必须深刻理解后再记忆，不要混淆。
五、作业 课本第91页1 2
教学反思：
第二课时 锐角三角函数(二)
教学目标
使学生进一步掌握三角函数的概念，并能熟练运用此概念探索30°、45°、60°等角度的三角函数值，培养学生运用知识解决问题的能力。
教学过程
一、引入新课
如图，这是一块三角形草皮 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠A＝60°，AB＝2米，AC＝1.8米，那么这块三角形的草皮面积为多少呢 让同学们思考并加以引导，过C点作AB的垂线CD，垂足为D，我们知道，＝sinA，CD＝ACsin60°，AC是已知的，假如sin60°能够知道，那么CD就可求，那么这个问题就得到解决。本节课我们一同来探讨30°、45°、60°的三角函数值。
二、新课
1．通过测量，计算sin30°的值，进而求出30°的其他三角函数值
请每位同学画一个含有30°的角 ( http: / / www.21cnjy.com )的直角三角形，而后用刻度尺量出它的对边和斜边，计算sin30°的值，并与同伴交流，看看这个值是多少。
通过测量计算，我们可以得到si ( http: / / www.21cnjy.com )n30°＝＝,即斜边等于对边的两倍。因此，我们还可以得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。从图中看，即c＝2a，由勾股定理得到b＝＝＝a所以cos30°＝＝＝,tan30°＝＝,cot30°＝＝
2．由上面测量得到的sin30°值，推出60°角的四个三角函数值。
如右图，若∠A＝30°，则 ( http: / / www.21cnjy.com )∠B＝60°，c＝2a，b＝＝＝a,则sin60°＝＝＝,cos60°＝＝＝,tan60°＝＝,cot60°＝＝
a sina cosa tana cota
30°
45° 1 1
60°
3．用同样的方法，求出45°角的三角函数值。
4．用表格列出30°、45°、60°角的四个三角函数值。
5．例题。
计算：(1)sin30°＋cos45°－(cot60°－1)＋tan37°cot37°
(2)cos245°＋tan60°－
(3)已知：cos(a＋28°)＝，求a的度数．
三、课堂练习
1．课本第110页练习的第4题．
2．如右图，Rt△ABC中，∠A＝15°，你是否能够通过添加辅助线，构造适当的三角形，求得它的正切值和余切值.
四、小结
本节课我们通过测量，计算求出了30°、4 ( http: / / www.21cnjy.com )5°、60°角的四个三角函数值，同学们应该记住这些特殊角的三角函数值，这在今后的学习中有很大的帮助，同时，在求这些三角函数值时的方法也显得相当的重要，应领会其实质．
五、作业 课本第93页习题24.2 1 2 3
教学反思：
2．用计算器求锐角三角函数值
教学目标
使学生能用计算器求锐角三角函数值，并能初步运用锐角三角函数解决一些简单解直角三角形的问题。
教学过程
一、由问题引入新课
问题：小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成60°的角，他的风筝有多高 (精确到1米)
根据题意画出示意图，如右图所示，在Rt△ABC中，AB＝125米，∠B＝60°，求AC的长。(待同学回答后老师再给予解答)
在上节课，我们学习了30°、45°、 ( http: / / www.21cnjy.com )60°的三角函数值，假如把上题的 ∠B＝60°改为∠B＝63°，这个问题是否也能得到解决呢 回答是肯定的。
二、用计算器求任务任意锐角的三角函数值
1.求已知锐角的三角函数值。
例1.求sin63°52′41″的值(精确到0.0001)
例2．求cot70°45′的值(精确到0.0001)
2．由锐角三角函数值求锐角。
例3．已知tanx＝0.7410，求锐角x(精确到l′)。
例4．已知cotx＝0.1950，求锐角工(精确到1′)。
分析：根据tanx＝，可以求出tanx的值，然后根据例3的方法就可以求出锐角x的值。
通过以上的学习，我们可以利用计算器求出任何锐角的三角函数值，那么对于上述提出的问题不难得到解决。
三、课堂练习
1．课本第93页练习的第1、2题．
2．如图是一块平行四边形的地皮，已知AB＝43米，AD＝34米，∠A＝67°26′53″，求这块地皮的面积。
四、小结
1．我们可以利用计算器求出任意锐角的三角函数值，反过来，知道某个锐角的三角函数值，可以求出这个锐角。
2．我们可以利用直角三角形的边角关系解决一些实际的问题．
五、作业 课本第93页习题24．2第4、5题。
教学反思：
24、3 解直角三角形
第一课时 解直角三角形
教学目标
使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形。
教学过程
一、引入新课
如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处。问大树在折断之前高多少米
显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分的长度为＝26 26＋10＝36所以，大树在折断之前的高为36米。
二、新课
1．解直角三角形的定义。
任何一个三角形都有六个元素，三条边、三 ( http: / / www.21cnjy.com )个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出末知元素的过程，叫做解直角三角形。像上述的就是由两条直角边这两个元素，利用勾股定理求出斜边的长度，我们还可以利用直角三角形的边角关系求出两个锐角，像这样的过程，就是解直角三角形。
2．解直角三角形的所需的工具。
(1)两锐角互余∠A＋∠B＝90°
(2)三边满足勾股定理a2＋b2＝c2
(3)边与角关系sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝cotB＝，cotA＝tanB＝。
3．例题讲解。
例1．如图，东西两炮台A、B相 ( http: / / www.21cnjy.com )距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离(精确到l米)。
分析：本题中，已知条件是什么 (AB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )2000米，∠CAB＝90°－ ∠CAD＝50°)，那么求AC的长是用“弦”还是用“切”呢 求BC的长呢 显然，AC是直角三角形的斜边，应该用余弦函数，而求BC的长可以用正切函数，也可以用余切函数。
讲解后让学生思考以下问题：
(1)在求出后，能否用勾股定理求得BC；
(2)在这题中，是否可用正弦函数求AC，是否可以用余切函数求得BC。
通过这道例题的分析和挖掘，使学生明确在求解直角三角形时可以根据题目的具体条件选择不同的“工具”以达到目的。
4．从上面的两道题可以看出，若知道两条边利 ( http: / / www.21cnjy.com )用勾股定理就可以求出第三边，进而求出两个锐角，若知道一条边和一个锐角，可以。利用边角关系求出其他的边与角。所以，解直角三角形无非以下两种情况：
(1)已知两条边，求其他边和角。
(2)已知一条边和一个锐角，求其他边角。
三、练习 课本第95页练习的第l、2题(帮助学生画出第2题的图形)。
四、小结
本节课我们利用直角三角形的边 ( http: / / www.21cnjy.com )与边、角与角、边与角的关系，由已知元素求出未知元素，在做题目时，学生们应根据题目的具体条件，正确选择上述的“工具”，求出题目中所要求的边与角。
五、作业 课本第98页习题第1、2题
教学反思：
第二课时 解直角三角形(二)
教学目标
使学生进一步掌握解直角三角形的方法，比 ( http: / / www.21cnjy.com )较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
教学过程
一、给出仰角、俯角的定义
在本章的开头，我们曾经用自制的测角仪测出视线(眼睛与旗杆顶端的连线)与水平线的夹角，那么把这个角称为什么角呢
如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。右图中的∠1就是仰角， ∠2就是俯角。
二、例题讲解
例1．如图，为了测量电线杆的高度A ( http: / / www.21cnjy.com )B，在离电线杆22.7米的C处，用1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高度。
分析：因为AB＝AE＋BE，AE＝CD＝ ( http: / / www.21cnjy.com )1.20米，所以只要求出BE的长度，问题就得到解决,在△BDE中,已知DE＝CA＝22.7米，∠BDE＝22°，那么用哪个三角函数可解决这个问题呢 显然正切或余切都能解决这个问题。
例2．如图，A、B是两幢地平高度相等、隔 ( http: / / www.21cnjy.com )岸相望的建筑物，B楼不能到达，由于建筑物密集，在A楼的周围没有开阔地带，为测量B楼的高度，只能充分利用A楼的空间，A楼的各层都可到达且能看见B楼，现仅有测量工具为皮尺和测角器(皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线的夹角)。
(1)你设计一个测量B楼高度的方法，要求写出测量步骤和必需的测量数据 (用字母表示)，并画出测量图形。
(2)用你测量的数据(用字母表示)写出计算B楼高度的表达式。
分析：如右图，由于楼的各层都能到达， ( http: / / www.21cnjy.com )所以A楼的高度可以测量，我们不妨站在A楼的顶层测B楼的顶端的仰角，再测B楼的底端的俯角，这样在Rt△ABD中就可以求出BD的长度，因为AE＝BD，而后Rt△ACE中求得CE的长度，这样CD的长度就可以求出．
请同学们想一想，是否还能用其他的方法测量出B楼的高度。
三、练习 课本第98页练习。
四、小结
本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题选用适当的数学知识加以解决。
五、作业 课本98页3、4题
教学反思：
第三课时 解直角三角形(三)
教学目标
使学生知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡 ( http: / / www.21cnjy.com )度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
教学过程
一、引入新课
如右图所示，斜坡AB和斜坡A1B1 ( http: / / www.21cnjy.com )哪一个倾斜程度比较大 显然，斜坡A1Bl的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A。从图形可以看出，＞，即tanAl＞tanA。
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。
二、新课
1．坡度的概念，坡度与坡角的关系。
如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的 ( http: / / www.21cnjy.com )设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝，坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。
2．例题讲解。
例1．如图，一段路基的横断面是梯形，高 ( http: / / www.21cnjy.com )为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽。(精确到 0.1米)
分析：四边形ABCD是梯形， ( http: / / www.21cnjy.com )通常的辅助线是过上底的两个顶点引下底的垂线，这样，就把梯形分割成直角三角形和矩形，从题目来看，下底AB＝AE＋EF＋BF，EF＝CD＝12.51米．AE在直角三角形AED中求得，而BF可以在直角三角形BFC中求得，问题得到解决。
例2．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角。和坝底宽AD。(i＝CE:ED，单位米，结果保留根号)
三、练习 课本第98页的练习。
四、小结
会知道坡度、坡角的概念能利 ( http: / / www.21cnjy.com )用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决。
五、作业 补充习题
教学反思：
回顾与思考
第一课时 回顾与思考(一)
教学目标
通过复习，使学生系统地掌握本章知识。由于本 ( http: / / www.21cnjy.com )章的概念比较多，需要记忆的知识也比较多，因此，课前应该让学生先看看书本，以求得较高的复习效率。在系统复习知识的同时，使学生能够灵活运用知识解决问题。
教学过程
一、知识回顾
1．应用相似测量物体的高度(1)
如图(一)，利用光线的平行和物体在地面的投影和物体构成的两个直角三角形相似，从而求得物体的高度。
(2)如图(二)，我们可以利用测角仪测出∠E ( http: / / www.21cnjy.com )CB的度数，用皮尺量出CE的长度，而后按一定的比例尺(例如1:500)画出图形，进而求出物体的高度。
2．勾股定理。
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即AB2＝AC2＋BC2，勾股定理揭示了直角三角形的边与边的关系。如 (三)
3．锐角三角函数。(如图三)
(1)定义：sinA＝，cosA＝，tanA＝，cota＝。
(2)若∠A是锐角，则0＜sinA＜l，0＜cosA＜1，tinA×cotA＝1，sin2A＋cos2A＝1，你知道这是为什么吗
a sina cosa tana cota
30°
45° 1 1
60°
(3)特殊角的三角函数值。
同学们在记忆这些三角函数值时，一方面能由角度求出它的各个三角函数值，另一方面，要能由三角函数值求出相应的角度。
(4)熟练应用计算器求出锐角三角函数值。
(5)正弦、正切值是随着角度的增大而增大，余弦、余切值是随着角度的增大而减少．
(6)一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值，一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值。正切、余切也一样。
即若a是锐角,a的余角为(90°－a)则
sin(90°－a)＝cosa， cos(90°－a)＝sina，tan(90°－a)＝cota， cot(90°－a)＝tana，
二、例题讲解
例1．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，两直角边的和为14，求这个直角三角形的面积。
例2．如图，AC⊥BC，cos∠ADC＝，∠B＝30°AD＝10，求 BD的长。
三、练习
1．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c，则a：b：c＝( )
A1:2:3 B．1: : C．1: :2 D．1:2:
2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2.1cm，BC＝2.8cm。求:(1)△ABC的面积； (2)斜边的长；(3)高CD.
3．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，∠A的平分线AD＝，求∠B的度数以及边BC、AB的长。
四、小结
本节课我们系统地复习了三角函数的定义、勾股定 ( http: / / www.21cnjy.com )理等内容，同学们在理解、记忆知识的基础上，应做到灵活地运用这些知识解决问题，这就要求同学们在课后要做一定量的练习才能达到。
五、作业
补充习题
教学反思：
第二课时 回顾与思考(二)
教学目标
使学生掌握直角三角形的边与边，角与角，边与角的关系，能应用这些关系解决相关的问题，进一步培养学生应用知识解决问题的能力。
教学过程
一、知识回顾解直角三角形应用的知识。
1．边与边关系：a2＋b2＝c2
2．角与角关系：∠A＋∠B＝90°
3．边与角关系，sinA＝，cosA＝，tanA＝，cota＝
4．仰角、俯角的定义：如右图 ( http: / / www.21cnjy.com )，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。
坡角、坡度的定义：坡面的铅垂高度 ( http: / / www.21cnjy.com )与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比)，读作i，即i＝，坡度通常用1:m的形式，例如上图的1:2的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB。显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。
二、例题讲解
例1．北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地 ( http: / / www.21cnjy.com )A的正东方向且距离A地40海里的B处训练。突然接到基地命令，要该舰前往C岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治。已知C岛在A的北偏东方向60°，且在B的北偏西45°方向，军舰从B处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院 (精确到0.1小时)
例2．如图，城市规划期间，要拆除一电线 ( http: / / www.21cnjy.com )杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i＝2:1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2米的人行道．请问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上 请说明理由(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域)。
三、练习
1．甲、乙两船同时从港口O出发，甲 ( http: / / www.21cnjy.com )船以16.1海里／小时的速度向东偏南32°方向航行，乙船向西偏南58°方向航行，航行了两个小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度(精确到0.1海里/小时)
2．如图，MN表示某引水工程的一 ( http: / / www.21cnjy.com )段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心、500m为半径的圆形区域为居民区。取MN上的另一点B，测得BA的方向为南偏东75°。已知MB＝400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水管道是否会穿过居民区。
四、小结
这节课进一步学习了应用解直角三角形的知 ( http: / / www.21cnjy.com )识解决实际问题，在解决这样的问题时，一方面，根据题意能够画出图形，另一方面，要把问题归结到直角三角形中来解决。
五、作业
补充习题
教学反思：
24、1 测量
教学目标
使学生了解测量是现实生活中必不可少的，能利用图形的相似测量物体的高度，培养学生动手知识解决问题的能力和学习数学的兴趣。
教学过程
一、引入新课
测量在现实生活中随处可见，筑路、修桥等建 ( http: / / www.21cnjy.com )设活动都需要测量。当我们走进校园，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，我们也许会想，高高的旗杆到底有多高，能否运用我们所学的知识把旗杆的高度测量出来呢
二、新课
1．根据同学们课前预习的，书上阐述 ( http: / / www.21cnjy.com )的测量旗杆高度的方法有几种 你是如何理解的呢 (待同学们回答完毕后再阐述，这里重要的是让同学们画出示意图)
课上阐述测量旗杆的方法。
第一种方法：选一个阳光明媚的日子，请你的同 ( http: / / www.21cnjy.com )学量出你在太阳下的影子的长度和旗杆影子的长度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度。(如图所示)
由于太阳光可以把它 ( http: / / www.21cnjy.com )看成是平行的，所以有∠BAC＝∠B1A1C1，又因为旗杆和人都是垂直与地面的，所以∠ACB＝∠A1C1B1＝90°，所以，△ACB∽△A1C1 B1，因此，＝，则BC＝，即可求得旗杆BC的高度。
如果遇到阴天，就你一个人，是否可以用其他方法测出旗杆的高度呢
第二种方法：如图所示，站在离旗杆的底部 ( http: / / www.21cnjy.com )10米处的D点，用所制作的测角仪测出视线与水平线的夹角∠BAC=34°,并且已知目高AD为1米,现在请你按1:500(根据具体情况而定,选合适的即可)比例将△ABC画在纸上，并记作△A1B1Cl，用刻度尺量出纸上BlCl的长度,便可以计算旗杆的实际高度。
由画图可知:
∵∠BAC＝∠BlAlCl＝34°，∠ABC＝∠A1B1Cl＝90°
∴△ABC∽△AlB1Cl
∴BlC1＝
∴BC＝500BlCl，CE＝BC＋BE，即可求得旗杆的高度。
2．带领同学们到操场上分别用两种方法测得相应的数据，并做好记录。(指导学生使用测角仪测出角度)
三、小结
本节课是用相似三角形的性质来测量旗杆的高度，同学们在学习中应掌握其原理，并学会应用知识解决问题的方法。
四、作业
1．课本第87页习题24．1。
2．写出今天测量旗杆高度的步骤，画出图形，并根据测量数据计算旗杆的高度。
教学反思：
24、2 锐角三角函数
1．锐角三角函数
第一课时 锐角三角函数(一)
教学目标
使学生了解在直角三角形中，锐角的对 ( http: / / www.21cnjy.com )边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的；通过实例认识正弦、余弦、正切、余切四个三角函数的定义。并能应用这些概念解决一些实际问题。
教学过程
一、复习
由上节课例题若加改变得，若AC＝160cm，∠C＝31°，那么，AB的长度为多少呢
同学们现在或许不能解决上述问题，但是通过这节课的学习，以上问题自然很容易得到解决。
二、新课
1．明确直角三角形边角关系的名称。
直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，我们已经知道∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别为∠A的对边与邻边，用a、b表示。
如右图，在Rt△EFG中，请同学们分别写出∠E、∠F的对边和邻边。
2．在直角三角形中，锐角的对边与斜 ( http: / / www.21cnjy.com )边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的。问题1如右图，△ABC和△A1B1C1中，若∠C＝∠C1＝∠90°， ∠A＝∠A1，那么△ABC和△A1B1C1相似吗 与相等吗 和相等吗？
显然△ABC∽△A1BlCl，＝，这说明在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变，那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与斜边的比值是一个固定值。
这说明，在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的。
3．锐角三角函数的概念。
Rt△ABC中
(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝
(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝
(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝
(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cota＝
同学们想一想，在Rt△ABC中，∠B的正弦、余弦、正切、余切是哪一边与那一边的比值。
问题2．锐角三角函数都是正实数吗 为什么
若∠A是锐角，0＜sinA＜l，0＜cosA＜l，tanAcotA＝1，为什么
4．例题讲解。
例1．求出右图所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值。
例2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a:b＝3:2，c＝，求∠A、∠B的四个三角函数值。
三、练习 课本第109页练习的第1、2两题。
四、小结
在直角三角形中，当锐角一定 ( http: / / www.21cnjy.com )时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的，这几个比值称为锐角的三角函数，它反映的是两条线段的比值，对于三角函数的概念，同学们必须深刻理解后再记忆，不要混淆。
五、作业 课本第91页1 2
教学反思：
第二课时 锐角三角函数(二)
教学目标
使学生进一步掌握三角函数的概念，并能熟练运用此概念探索30°、45°、60°等角度的三角函数值，培养学生运用知识解决问题的能力。
教学过程
一、引入新课
如图，这是一块三角形草皮 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠A＝60°，AB＝2米，AC＝1.8米，那么这块三角形的草皮面积为多少呢 让同学们思考并加以引导，过C点作AB的垂线CD，垂足为D，我们知道，＝sinA，CD＝ACsin60°，AC是已知的，假如sin60°能够知道，那么CD就可求，那么这个问题就得到解决。本节课我们一同来探讨30°、45°、60°的三角函数值。
二、新课
1．通过测量，计算sin30°的值，进而求出30°的其他三角函数值
请每位同学画一个含有30°的角 ( http: / / www.21cnjy.com )的直角三角形，而后用刻度尺量出它的对边和斜边，计算sin30°的值，并与同伴交流，看看这个值是多少。
通过测量计算，我们可以得到si ( http: / / www.21cnjy.com )n30°＝＝,即斜边等于对边的两倍。因此，我们还可以得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。从图中看，即c＝2a，由勾股定理得到b＝＝＝a所以cos30°＝＝＝,tan30°＝＝,cot30°＝＝
2．由上面测量得到的sin30°值，推出60°角的四个三角函数值。
如右图，若∠A＝30°，则 ( http: / / www.21cnjy.com )∠B＝60°，c＝2a，b＝＝＝a,则sin60°＝＝＝,cos60°＝＝＝,tan60°＝＝,cot60°＝＝
a sina cosa tana cota
30°
45° 1 1
60°
3．用同样的方法，求出45°角的三角函数值。
4．用表格列出30°、45°、60°角的四个三角函数值。
5．例题。
计算：(1)sin30°＋cos45°－(cot60°－1)＋tan37°cot37°
(2)cos245°＋tan60°－
(3)已知：cos(a＋28°)＝，求a的度数．
三、课堂练习
1．课本第110页练习的第4题．
2．如右图，Rt△ABC中，∠A＝15°，你是否能够通过添加辅助线，构造适当的三角形，求得它的正切值和余切值.
四、小结
本节课我们通过测量，计算求出了30°、4 ( http: / / www.21cnjy.com )5°、60°角的四个三角函数值，同学们应该记住这些特殊角的三角函数值，这在今后的学习中有很大的帮助，同时，在求这些三角函数值时的方法也显得相当的重要，应领会其实质．
五、作业 课本第93页习题24.2 1 2 3
教学反思：
2．用计算器求锐角三角函数值
教学目标
使学生能用计算器求锐角三角函数值，并能初步运用锐角三角函数解决一些简单解直角三角形的问题。
教学过程
一、由问题引入新课
问题：小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成60°的角，他的风筝有多高 (精确到1米)
根据题意画出示意图，如右图所示，在Rt△ABC中，AB＝125米，∠B＝60°，求AC的长。(待同学回答后老师再给予解答)
在上节课，我们学习了30°、45°、 ( http: / / www.21cnjy.com )60°的三角函数值，假如把上题的 ∠B＝60°改为∠B＝63°，这个问题是否也能得到解决呢 回答是肯定的。
二、用计算器求任务任意锐角的三角函数值
1.求已知锐角的三角函数值。
例1.求sin63°52′41″的值(精确到0.0001)
例2．求cot70°45′的值(精确到0.0001)
2．由锐角三角函数值求锐角。
例3．已知tanx＝0.7410，求锐角x(精确到l′)。
例4．已知cotx＝0.1950，求锐角工(精确到1′)。
分析：根据tanx＝，可以求出tanx的值，然后根据例3的方法就可以求出锐角x的值。
通过以上的学习，我们可以利用计算器求出任何锐角的三角函数值，那么对于上述提出的问题不难得到解决。
三、课堂练习
1．课本第93页练习的第1、2题．
2．如图是一块平行四边形的地皮，已知AB＝43米，AD＝34米，∠A＝67°26′53″，求这块地皮的面积。
四、小结
1．我们可以利用计算器求出任意锐角的三角函数值，反过来，知道某个锐角的三角函数值，可以求出这个锐角。
2．我们可以利用直角三角形的边角关系解决一些实际的问题．
五、作业 课本第93页习题24．2第4、5题。
教学反思：
24、3 解直角三角形
第一课时 解直角三角形
教学目标
使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形。
教学过程
一、引入新课
如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处。问大树在折断之前高多少米
显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分的长度为＝26 26＋10＝36所以，大树在折断之前的高为36米。
二、新课
1．解直角三角形的定义。
任何一个三角形都有六个元素，三条边、三 ( http: / / www.21cnjy.com )个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出末知元素的过程，叫做解直角三角形。像上述的就是由两条直角边这两个元素，利用勾股定理求出斜边的长度，我们还可以利用直角三角形的边角关系求出两个锐角，像这样的过程，就是解直角三角形。
2．解直角三角形的所需的工具。
(1)两锐角互余∠A＋∠B＝90°
(2)三边满足勾股定理a2＋b2＝c2
(3)边与角关系sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝cotB＝，cotA＝tanB＝。
3．例题讲解。
例1．如图，东西两炮台A、B相 ( http: / / www.21cnjy.com )距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离(精确到l米)。
分析：本题中，已知条件是什么 (AB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )2000米，∠CAB＝90°－ ∠CAD＝50°)，那么求AC的长是用“弦”还是用“切”呢 求BC的长呢 显然，AC是直角三角形的斜边，应该用余弦函数，而求BC的长可以用正切函数，也可以用余切函数。
讲解后让学生思考以下问题：
(1)在求出后，能否用勾股定理求得BC；
(2)在这题中，是否可用正弦函数求AC，是否可以用余切函数求得BC。
通过这道例题的分析和挖掘，使学生明确在求解直角三角形时可以根据题目的具体条件选择不同的“工具”以达到目的。
4．从上面的两道题可以看出，若知道两条边利 ( http: / / www.21cnjy.com )用勾股定理就可以求出第三边，进而求出两个锐角，若知道一条边和一个锐角，可以。利用边角关系求出其他的边与角。所以，解直角三角形无非以下两种情况：
(1)已知两条边，求其他边和角。
(2)已知一条边和一个锐角，求其他边角。
三、练习 课本第95页练习的第l、2题(帮助学生画出第2题的图形)。
四、小结
本节课我们利用直角三角形的边 ( http: / / www.21cnjy.com )与边、角与角、边与角的关系，由已知元素求出未知元素，在做题目时，学生们应根据题目的具体条件，正确选择上述的“工具”，求出题目中所要求的边与角。
五、作业 课本第98页习题第1、2题
教学反思：
第二课时 解直角三角形(二)
教学目标
使学生进一步掌握解直角三角形的方法，比 ( http: / / www.21cnjy.com )较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
教学过程
一、给出仰角、俯角的定义
在本章的开头，我们曾经用自制的测角仪测出视线(眼睛与旗杆顶端的连线)与水平线的夹角，那么把这个角称为什么角呢
如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。右图中的∠1就是仰角， ∠2就是俯角。
二、例题讲解
例1．如图，为了测量电线杆的高度A ( http: / / www.21cnjy.com )B，在离电线杆22.7米的C处，用1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高度。
分析：因为AB＝AE＋BE，AE＝CD＝ ( http: / / www.21cnjy.com )1.20米，所以只要求出BE的长度，问题就得到解决,在△BDE中,已知DE＝CA＝22.7米，∠BDE＝22°，那么用哪个三角函数可解决这个问题呢 显然正切或余切都能解决这个问题。
例2．如图，A、B是两幢地平高度相等、隔 ( http: / / www.21cnjy.com )岸相望的建筑物，B楼不能到达，由于建筑物密集，在A楼的周围没有开阔地带，为测量B楼的高度，只能充分利用A楼的空间，A楼的各层都可到达且能看见B楼，现仅有测量工具为皮尺和测角器(皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线的夹角)。
(1)你设计一个测量B楼高度的方法，要求写出测量步骤和必需的测量数据 (用字母表示)，并画出测量图形。
(2)用你测量的数据(用字母表示)写出计算B楼高度的表达式。
分析：如右图，由于楼的各层都能到达， ( http: / / www.21cnjy.com )所以A楼的高度可以测量，我们不妨站在A楼的顶层测B楼的顶端的仰角，再测B楼的底端的俯角，这样在Rt△ABD中就可以求出BD的长度，因为AE＝BD，而后Rt△ACE中求得CE的长度，这样CD的长度就可以求出．
请同学们想一想，是否还能用其他的方法测量出B楼的高度。
三、练习 课本第98页练习。
四、小结
本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题选用适当的数学知识加以解决。
五、作业 课本98页3、4题
教学反思：
第三课时 解直角三角形(三)
教学目标
使学生知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡 ( http: / / www.21cnjy.com )度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
教学过程
一、引入新课
如右图所示，斜坡AB和斜坡A1B1 ( http: / / www.21cnjy.com )哪一个倾斜程度比较大 显然，斜坡A1Bl的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A。从图形可以看出，＞，即tanAl＞tanA。
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。
二、新课
1．坡度的概念，坡度与坡角的关系。
如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的 ( http: / / www.21cnjy.com )设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝，坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。
2．例题讲解。
例1．如图，一段路基的横断面是梯形，高 ( http: / / www.21cnjy.com )为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽。(精确到 0.1米)
分析：四边形ABCD是梯形， ( http: / / www.21cnjy.com )通常的辅助线是过上底的两个顶点引下底的垂线，这样，就把梯形分割成直角三角形和矩形，从题目来看，下底AB＝AE＋EF＋BF，EF＝CD＝12.51米．AE在直角三角形AED中求得，而BF可以在直角三角形BFC中求得，问题得到解决。
例2．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角。和坝底宽AD。(i＝CE:ED，单位米，结果保留根号)
三、练习 课本第98页的练习。
四、小结
会知道坡度、坡角的概念能利 ( http: / / www.21cnjy.com )用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决。
五、作业 补充习题
教学反思：
回顾与思考
第一课时 回顾与思考(一)
教学目标
通过复习，使学生系统地掌握本章知识。由于本 ( http: / / www.21cnjy.com )章的概念比较多，需要记忆的知识也比较多，因此，课前应该让学生先看看书本，以求得较高的复习效率。在系统复习知识的同时，使学生能够灵活运用知识解决问题。
教学过程
一、知识回顾
1．应用相似测量物体的高度(1)
如图(一)，利用光线的平行和物体在地面的投影和物体构成的两个直角三角形相似，从而求得物体的高度。
(2)如图(二)，我们可以利用测角仪测出∠E ( http: / / www.21cnjy.com )CB的度数，用皮尺量出CE的长度，而后按一定的比例尺(例如1:500)画出图形，进而求出物体的高度。
2．勾股定理。
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即AB2＝AC2＋BC2，勾股定理揭示了直角三角形的边与边的关系。如 (三)
3．锐角三角函数。(如图三)
(1)定义：sinA＝，cosA＝，tanA＝，cota＝。
(2)若∠A是锐角，则0＜sinA＜l，0＜cosA＜1，tinA×cotA＝1，sin2A＋cos2A＝1，你知道这是为什么吗
a sina cosa tana cota
30°
45° 1 1
60°
(3)特殊角的三角函数值。
同学们在记忆这些三角函数值时，一方面能由角度求出它的各个三角函数值，另一方面，要能由三角函数值求出相应的角度。
(4)熟练应用计算器求出锐角三角函数值。
(5)正弦、正切值是随着角度的增大而增大，余弦、余切值是随着角度的增大而减少．
(6)一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值，一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值。正切、余切也一样。
即若a是锐角,a的余角为(90°－a)则
sin(90°－a)＝cosa， cos(90°－a)＝sina，tan(90°－a)＝cota， cot(90°－a)＝tana，
二、例题讲解
例1．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，两直角边的和为14，求这个直角三角形的面积。
例2．如图，AC⊥BC，cos∠ADC＝，∠B＝30°AD＝10，求 BD的长。
三、练习
1．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c，则a：b：c＝( )
A1:2:3 B．1: : C．1: :2 D．1:2:
2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2.1cm，BC＝2.8cm。求:(1)△ABC的面积； (2)斜边的长；(3)高CD.
3．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，∠A的平分线AD＝，求∠B的度数以及边BC、AB的长。
四、小结
本节课我们系统地复习了三角函数的定义、勾股定 ( http: / / www.21cnjy.com )理等内容，同学们在理解、记忆知识的基础上，应做到灵活地运用这些知识解决问题，这就要求同学们在课后要做一定量的练习才能达到。
五、作业
补充习题
教学反思：
第二课时 回顾与思考(二)
教学目标
使学生掌握直角三角形的边与边，角与角，边与角的关系，能应用这些关系解决相关的问题，进一步培养学生应用知识解决问题的能力。
教学过程
一、知识回顾解直角三角形应用的知识。
1．边与边关系：a2＋b2＝c2
2．角与角关系：∠A＋∠B＝90°
3．边与角关系，sinA＝，cosA＝，tanA＝，cota＝
4．仰角、俯角的定义：如右图 ( http: / / www.21cnjy.com )，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。
坡角、坡度的定义：坡面的铅垂高度 ( http: / / www.21cnjy.com )与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比)，读作i，即i＝，坡度通常用1:m的形式，例如上图的1:2的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB。显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。
二、例题讲解
例1．北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地 ( http: / / www.21cnjy.com )A的正东方向且距离A地40海里的B处训练。突然接到基地命令，要该舰前往C岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治。已知C岛在A的北偏东方向60°，且在B的北偏西45°方向，军舰从B处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院 (精确到0.1小时)
例2．如图，城市规划期间，要拆除一电线 ( http: / / www.21cnjy.com )杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i＝2:1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2米的人行道．请问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上 请说明理由(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域)。
三、练习
1．甲、乙两船同时从港口O出发，甲 ( http: / / www.21cnjy.com )船以16.1海里／小时的速度向东偏南32°方向航行，乙船向西偏南58°方向航行，航行了两个小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度(精确到0.1海里/小时)
2．如图，MN表示某引水工程的一 ( http: / / www.21cnjy.com )段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心、500m为半径的圆形区域为居民区。取MN上的另一点B，测得BA的方向为南偏东75°。已知MB＝400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水管道是否会穿过居民区。
四、小结
这节课进一步学习了应用解直角三角形的知 ( http: / / www.21cnjy.com )识解决实际问题，在解决这样的问题时，一方面，根据题意能够画出图形，另一方面，要把问题归结到直角三角形中来解决。
五、作业
补充习题
教学反思：