22.2一元二次方程的解法 华东师大版初中数学九年级上册同步练习（含解析）

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22.2一元二次方程的解法华东师大版初中数学九年级上册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.方程的解是( )
A. B.
C. ， D. ，
2.方程的根是( )
A. B. C. ， D. ，
3.已知实数满足，则代数式的值是
( )
A. B. C. 或 D. 或
4.关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.等腰三角形一边长为，它的另外两条边的长度是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值是( )
A. B. C. 或 D.
6.用配方法解方程时，下列配方错误的是( )
A. 化为
B. 化为
C. 化为
D. 化为
7.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知可取任何实数，试求二次三项式的值的范围．
解：
．
无论取何实数，总有，
．
即无论取何实数，的值总是不小于的实数．
问题：已知可取任何实数，则二次三项式的最值情况是
( )
A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值
8.一元二次方程根的情况是( )
A. 有一个正根，一个负根 B. 有两个负根
C. 无实数根 D. 有两个正根
9.当时，关于的一元二次方程的根的情况为( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
10.欧几里德在几何原本中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，一张边长为的正方形的纸片，先折出、的中点、，再折出线段，然后通过沿线段折叠使落在线段上，得到点的新位置，并连接、，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程的一个正根，则这条线段是( )
A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则________．
12.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值是______ ．
13.若，则______．
14.一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为______
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：无论实数取何值，方程总有两个实数根；
若方程两个根均为正整数，求负整数的值．
16.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
若方程有一个根是，求方程的另一个根．
17.本小题分
若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”．
若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值；
若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求该方程的根．
18.本小题分
小刚按照某种规律写出个方程：
第个方程：．
第个方程：．
第个方程：．
第个方程：．
按照此规律，请你写出第个方程：______ ．
按此规律写出第个方程：______ 这个方程是否有实数解？若有，请求出它的解；若没有，请说明理由．
19.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
求的取值范围；
若，求的值．
20.本小题分
老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌握住了一部分，形式如图：
当时，求所捂部分的值；
若所捂的值为，求的值；
若所捂的值为，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．通过提取公因式对等式的左边进行因式分解，然后解两个一元一次方程即可．
【解答】解：，
，
或，
，，
故选D．
2.【答案】
【解析】【解答】
解：，
，
，
则或，
解得，．
故选：．
【分析】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
本题可利用因式分解法求解．
3.【答案】
【解析】解：，
，
或，
或．
当时，，
，
此方程无实数解．
当时，，
故选A．
由整体思想，用因式分解法解一元二次方程求出的值就可以求出结论．
本题考查了整体思想在一元二次方程的解法中的运用，因式分解法解一元二次方程的运用，代数式求值的运用，解答时用因式分解法解一元二次方程是关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【解答】
解：根据题意得，
解得．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，三角形的三边关系等．
分两种情况等腰三角形的底边长为，等腰三角形的腰长为，分别求解即可．
【解答】
解：当等腰三角形底边长为时，
则关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
此时两腰长为，符合题意；
当等腰三角形腰长为时，
此时是方程的一个根，
，
，
此时方程的另一个根为，
，
不能组成三角形，
综上所述，．
故选B．
6.【答案】
【解析】解：、，
移项得：，
配方得：，即，本选项正确；
B、，
移项得：，
配方得：，即，本选项错误；
C、，
移项得：，
配方得：，即，本选项错误；
D、，
方程化简得：，
配方得：，即，本选项错误，
故选：．
将各项中的方程二次项系数化为，常数项移到方程右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程配方法，利用此方法解方程时，首先将方程二次项系数化为，常数项移到右边，然后两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解．
7.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了配方法的应用，解题时要根据配方法的步骤进行解答，注意在变形的过程中不要改变式子的值．
通过配方可得，即可知其最值情况
【解答】解：
，
无论取何实数，总有，
，
，
即无论取何实数，二次三项式有最大值，
故选C．
8.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
方程有个正根．
故选D．
根据题目中的方程，可以求得该方程的根，从而可以解答本题．
本题考查公式法解一元二次方程，以及根的判别式．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
由可得出，根据方程的系数结合根的判别式可得出，由偶次方的非负性可得出，即，由此即可得出关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
【解答】
解：，
．
．
，
，
，
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：设，则．
由题意可知：≌，是的中点，
，，
，
，
．
的解为，
取正值为．
这条线段是线段．
故选：．
首先根据方程解出正根为，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设，则，从而可以用表示等式．
本题考查了一元二次方程的解法、正方形的性质、翻折变换．
11.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，关键是熟练掌握：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．同时考查了学生的阅读理解能力．由是“凤凰”方程，可得，即，又因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式，将代入，求出，再求出，则可求．
【解答】解：是“凤凰”方程，
，即．
又方程有两个相等的实数根，
，
将代入，得，
解得，
，
．
故答案为．
12.【答案】
【解析】解：根据题意得且，即，
，
所以原式，
故答案为．
先根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到且，则，再将代数式变形后把代入计算即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
13.【答案】
【解析】解：设，则原方程转化为，
即，
解得，，
，
．
故答案为．
本题主要考查换元法解一元二次方程．
设，则原方程转化为关于的一元二次方程，解一元二次方程即可．
14.【答案】
【解析】解：．
这个二次函数图象开口向下．
当时，升到最高点．
故答案为：．
把二次函数的一般式写成顶点式，找出顶点坐标，即可知道多长时间后得到最高点．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15.【答案】解：证明：，
无论取何值，原方程总有两个实数根；
解：由求根公式，得，
，，
方程的两个根均为正整数，
，
，
又为负整数，
．

【解析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，及解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和公式法解一元二次方程．
先找出，和，再证明根的判别式恒大于或等于即可；
根据公式法求出方程的解，根据方程的两个根为正整数，列不等式求解即可．
16.【答案】解：根据题意得且，
解得且，
所以的取值范围为且；
把代入方程得，解得，
此时方程变形为，
设方程的另一个根为，
根据根与系数的关系得，
解得，
即方程的另一个根为．
【解析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
利用根的判别式的意义得到且，然后解不等式组即可；
先把代入方程得，此时方程变形为，再设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，然后求出即可．
17.【答案】解：设这个方程的两个根分别为和，
则，
解得，
即这个方程的一个根为，
将代入方程得：，
解得．
设这个方程的两个根分别为和，
由题意得：，
整理得：，
，
将代入得：，
解得，
，
所以该方程的根为或．
【解析】设这个方程的两个根分别为和，根据一元二次方程的根与系数的关系可求出，再将代入方程即可得；
设这个方程的两个根分别为和，根据“倍根方程”的定义可得，由此即可得．
本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，理解“倍根方程”的概念是解题关键．
18.【答案】
【解析】解：第个方程：，
第个方程：，
第个方程：，
第个方程：，
第个方程：，
当时，．
故答案为：；
第个方程为，且这个方程有实数解，理由如下：
，
，
或．
故答案为：．
根据小刚写出的个方程，易发现其规律是：第个方程是，所以第方程是；
由可知第个方程是，利用因式分解法可得：进而即可解答．
本题主要考查因式分解法解一元二次方程、数字规律等知识点，将方程右边化为，左边化为积的形式，由利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
19.【答案】解：根据题意得，
解得，
即的取值范围为；
当时，方程化为，
所以．
【解析】利用根的判别式的意义得到，然后解不等式得到的范围；
直接利用根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，也考查了根的判别式．
20.【答案】解：当时，所捂部分的值为
；
根据题意得：，
整理得：，
，
即，
，
解得：，；
根据题意得：，
整理得：，
，
或，
解得：，．
【解析】把代入，即可求解；
根据题意可得，再利用配方法解答，即可求解；
根据题意可得，再利用因式分解法解答，即可求解．
本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
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