第14章 勾股定理教案
图片预览
文档简介
第14章 勾股定理
14.1勾股定理
14．1．1.直角三角形三边的关系（1）
教学目标：
１．知识目标：．经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
２．能力目标：探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
3. 德育目标：培养学生爱国主义精神。
教学重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
教学难点：勾股定理的发现。
教学方法：启发式教育，探究式教育
教学过程:
一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题
书中Ｐ2图１—２）并回答：
1．观察图1一２正方形Ａ中有 个小方格，即Ａ的面积为 个面积单位。
正方形B中有 个小方格，即B的面积为 个面积单位。
正方形C中有 个小方格，即C的面积为 个面积单位。
2．你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问：
3．图1—2中，A，B，C之间的面积之间有什么关系？
学生交流后形成共识老师板书。A＋B＝C，接着提出图1—1中A、B、C的关系呢？
二、做一做
提问：1．图1—3中，A、B（之间有什么关系？
2．图l—4中，A、B（之间有什么关系？
3．从图1—1、1－2、1—3、1—4中你发现了什么？
在学生讨论、交流形成共识后，老师总结：
以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积。
三、议一议
1．图1—1、1—2、1一3、1—4中，你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？
2．你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？
在同学的交流基础上，老师板书：
直角三角边的两直角边的平方和等于 ( http: / / www.21cnjy.com )斜边的平方。这就是著名的“勾股定理”。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a为b，斜边为c。那么 a2＋b2＝c2
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。
3．分别以5厘米和12厘米为直角边作出一个 ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形，并测量斜边的长度（学生测量后回答斜边为13）请大家想一想（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？（回答是肯定的：成立。）
四、想一想
这里的29英寸（74厘米）的电视机，指的是屏幕的长吗？指的屏幕的宽吗？那它指的是什么呢？
五、巩固练习
1．错例辨析： △ABC的两边为3和4，求第三边。
解：由于△ABC的两边为3、4。
所以它的第三边C应满足C2＝32十42＝25
即：C＝5
辨析：（1）要用勾股定理解题，首先 ( http: / / www.21cnjy.com )应具备直角三角形这个必不可少的条件，可本题bABC并未说明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就没有依据。
（2）若告诉△ABC是直角三角形，第三边c也不一定满足c2＝a2十b2，因为这第三边未必就是斜边。
综上所述这个题目条件不足，第三边无法求得。
2．练习：练习 1、2题
六、作业
习题1 2、3、4。
课后反思：
14．1．1.直角三角形三边的关系（2）
教学目标：
1．知识目标：经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。
2．能力目标：掌握勾股定理和它的简单应用。
3．德育目标：培养学生爱国主义精神
教学重点：能熟练应用拼图法证明勾股定理。
教学难点：用面积证勾股定理。
教学方法：启发式教育，探究式教育
教学过程
一、创设问题情境，激发学生学习热情，导入课题
我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边C为边长的正方形，并与同学交流。在同学操作的过程中，教师展示投影1（书中 P7图 l—7）接着提问：大正方形的面积可表示为什么？（同学们回答有两种可能。（l）（a＋b）2（2）ab·4十c2）
在同学交流形成共识后教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。
（a＋b）2＝ ab·4十 c2请同学们对上式进行化简，得到：
a2＋2ab十 b2＝2ab十 c2 即 a2十b2＝c2
这就可以从理论上说明了勾股定理存在。
请同学们回去用别的拼图方法说明勾股定理。
二、讲例
例1 飞机在空中水 ( http: / / www.21cnjy.com )平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？
分析：根据题意，可以先画出符合题意的图 ( http: / / www.21cnjy.com )形。如右图，图中△ABC的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000米，欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道飞机在20秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于直角△ABC的斜边 AB＝5000米，AC＝4000米，这样 BC 就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算。
解：由勾股定理得BC2＝AB2一AC2＝52一42＝9（千米’）
即BC＝3千米
飞机20秒飞行3千米，那么它1小时飞行的距离为：
×3＝540（千米／时）
答：飞机每小时飞行540千米。
三、议一议
展示投影2。（书中图1—9）
观察上图应用数格子方法判断图中的三角形的三边长是否满足a2＋b2＝c2
同学在议论交流形成共识后，老师总结。
勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。
四、作业
课文P9 练习1、2。
课后反思：
14.1.2直角三角形的判定
教学目标：
1．知识目标：经历直角三角形判别条件的探索过程，在有关活动中发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯。
2．能力目标：探索并掌握直角三角形判别条件、三边长a、b、c，满足a2十b2＝c2的三角形是直角三角形，掌握勾股数及其应用。
3．德育目标：培养学生爱国注意精神
教学重点：探索并掌握直角三角形的判别条件。
教学难点：运用直角三角形判别条件解题。
教学方法：启发式教育，探究式教育
教学过程
一、创设惰境，激发学生兴趣、导入课题
展示一根用13个等距的结把它分成等长的12段的绳子，请三个同学上台，按老师的要求操作。
甲：同时握住绳子的第一个结和第十三个结。
乙：握住第四个结。丙：握住第八个结。
拉紧绳子，让一个同学用量角器，测出这三角形其中的最大角。
问：发现这个角是多少？（直角）
教师道白：这是古埃及人曾经用过这种 ( http: / / www.21cnjy.com )方法得到直角，这个三角形的三边长分别为多少？（3、4、5），这三边满足了哪些条件？（32＋42＝52），是不是只有三边长为3、4、5的三角形才可以成为直角三角形呢？现在请同学们做一做。
二、做一做
下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b、c。
5、12、13 7、24、25 8、15、17
1．这三组数都满足32＋42＝52吗？
同学们在运算、交流形成共识后，教师要学生完成。
2．分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
同学们在操作中发现它们都是直角三角形。老师在学生形成共识后板书：
如果三角形的三边长 a、b、c满足32＋42＝52，那么这个三角形是直角三角形。
满足32＋42＝52的三个正整数，称为勾股数。
大家可以想这样的勾股数是很多的。
今后我们可以利用“三角形三 ( http: / / www.21cnjy.com )边 a、b、c满足32＋42＝52时，三角形为直角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直的方法。三、讲例
例l 一个零件的形状如图，按规定这个 ( http: / / www.21cnjy.com )零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD＝4，AB＝3，DB＝5，DC＝12，BC＝13，这个零件符合要求吗？
分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ABC和△DBC是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。
解：在△ABC中，AB2＋AD2＝32＋42＝9＋16＝25＝BD2
所以△ABC为直角三角形，∠A＝90°
在△DBC中，BD2＋DC2＝52＋122＝25＋144＝169＝132＝BC2
所以△DBC是直角三角形，∠CDB＝90°
因此这个零件符合要求。
四、随堂练习
P11 1
五、读一读
Pll 勾股数组与费马大定理。
六、作业
课本P12 §1.3 1、2、3。
课后反思：
14.1.3反证法
教学目标
知识与能力：通过实例，体会反证法的含义；培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。
过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。
情感、态度、价值观：在观察 ( http: / / www.21cnjy.com )、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。
教学重难点
重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题。
难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”。
教学过程
一、学前准备
1、复习回顾
两点确定 直线；
过直线外 有且只有 条直线与已知直线平行；
过一点有且只有 条直线与已知直线垂直。
2、看故事并回答：中国古 ( http: / / www.21cnjy.com )代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的吗 答： 。
他运用了怎样的推理方法 答： 。
3、自学课本114页-115页，写下摘要疑惑：
（1）摘要：
反证法：在证明一个命题时,人们有时先假 ( http: / / www.21cnjy.com )设 不成立,从这样的假设出发,经过 得出和已知条件矛盾,或者与等矛盾,从而得出假设的结论不成立,即所求证的命题的结论正确.这种证明方法叫做反证法.
反证法证题的基本步骤：
1．命题的结论的反面是正确的；（反设）
2．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与 矛盾；
3．由 判定假设不正确，从而 命题的结论是正确的.（结论）
（2）疑惑：
二、合作探究
1、用具体例子体会反证法的含义及思路
思考：在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°.
求证；a2＋b2≠c2.
有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论是很困难的，因此，人们想出了一种证明这种命题的方法，即反证法.
假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆 ( http: / / www.21cnjy.com )定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设a2＋b2＝c2是错误的.所以a2＋b2≠c2是正确的.
什么叫反证法 （A、B 组自己归纳;C、D组看课本）
2、由上述的例子归纳反证法的步骤（A、B组自己归纳; C、D组看课本）
1．
2．
3．
4、学以至用
已知：在△ABC中，AB≠AC
求证：∠B ≠ ∠ C
证明：假设 ，则 （ ）
这与 矛盾．假设不成立．
∴ ．
三、例题讲解
例1．求证：两条直线相交只有一个交点.
已知： ；
求证： ；
证明：假设AB，CD相交于两个交点O ( http: / / www.21cnjy.com )与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点 ”矛盾，所以假设不成立，
则 ．
例2．试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.
已知： ；
求证： ；
证明：假设 ，则可设它们相交于点A。那么过点A 就有 条直线与直线c平行，这与“过直线外一点 ”。矛盾,则假设不成立。
∴ 。
例3.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。
已知： ；
求证： ；
证明：假设 ，则 。
∴ ，
即 。
这与 矛盾．假设不成立．
∴ ．
四、学习体会
通过本节课的学习，同学们体会了 ( http: / / www.21cnjy.com )在证明命题另一种方法，即反证法，它是当有的命题从已知条件出发，经过推理，很难得出结论时，人们想出的一种 （填间接或直接）证明命题的方法，反证法证题的基本步骤是 、 、 （用六个字概括）；希望同学们能运用这种方法证明一些简单的命题.
五、自我测试
1、用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角。（C、D组完成）
（1）已知：
（2）求证：
（3）三角形的内角和等于
（4）这个命题如果不成立，那么其“反面”
2.求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也不等. （A、B组完成）
3．否定下列命题的结论：
（1） 在⊿ABC中如果AB=AC，那么∠B=∠C。 。（C、D组完成）
（2） 如果点P在⊙O外，则d>r（d为P到O的距离，r为半径） （C、D组完成）
（3） 在⊿ABC中，至少有两个角是锐角。 （A、B组完成）
（4） 在⊿ABC中，至多有只有一个直角。 （A、B组完成）
4、选择题：
证明“在⊿ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设：（ ）
A，三角形中至少有一个直角或钝角 B，三角形中至少有两个直角或钝角
C，三角形中没有直角或钝角 D，三角形中三个角都是直角或钝角
用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
六、自我提高
1．“a A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b
2．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（ ）
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C．a⊥b D．a与b相交
3．用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，应假设 ．
4．用反证法证明“若│a│<2，则a<4”时，应假设 ．
5．请说出下列结论的反面:（1）d是正数; （2）a≥0; （3）a<5． 。
6．完成下列证明．
如右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．
证明：假设结论不成立，则∠B是______或______．
当∠B是 时，则 ，这与 矛盾；
当∠B是 时，则 ，这与 矛盾．
综上所述，假设不成立．
∴∠B一定是锐角．
8． 若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设 ．
9. 求证：三角形内角中至多有一个内角是钝角（A、B组完成）
10. 求证：一个三角形中不能有两个直角. （C、D组完成）
七、拓展 应用
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。
求证：PB≠PC
作业练习1、2
课后反思：
14．2. 勾股定理的应用（1）
教学目标：
知识目标：准确运用勾股定理及其逆定理。
2．能力目标：让学生进一步经历和体验运用勾股定理以及直角三角形判定方法解决实际问题的过程，培养学生数学的应用能力。
3. 情感目标：培养学生克服困难积极思考的精神
教学重点：掌握勾股定理及其逆定理，准确运用勾股定理及其逆定理解题。
教学难点；准确运用勾股定理及其过定理。
教学方法：启发式教育，探究式教育
教学过程
一、创设问题情境，激发学生对学习的兴趣
展示投影1（书中P13 图l—13）。
教师道白：图1—3是一个圆柱， ( http: / / www.21cnjy.com )它的高等于12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点相对的B点处食物，需要爬行的最短路程是多少？（π取3）
1．蚂蚁从A爬到B有几条路程？你觉得哪条路线最近？
同学在动手操作时，也可以讨论，请各组派代表阐述道理。
在同学讨论形成共识后，展示投影2。（书中P13图1—4）
教师道白：把圆柱侧面剪开展成如上图一个长方形，从A到B的最短路程是什么？这样画对吗？
同学们经过动手操作后，可以得到一个正确答案。
现在请大家计算，蚂蚁从A点出发，想吃到B点的食物的最短路程是多少？
AB2＝92＋122＝225＝152
即爬行的最短距离为15cm。
二、做一做
展示投影3。（书中P14图）
教师道白：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺。
1．你能替他想办法完成任务吗？
大家可以用直尺检验课桌的相邻边缘是否垂直，然后再提出帮助李叔叔完成任务的方法。
2．李叔叔量得AD长为30cm，AB长为40cm，BD长为50cm，AD边垂直于AB吗？
回答是肯定的，因为 BD2＝25 ( http: / / www.21cnjy.com )00cm2，AB2＋AD2＝ 900cm2＋1600cm2＝2500cm2，所以，BD2＝AB2＋AD2，因此 AD⊥AB
3．如果小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，你也帮助小明想办法检验AD与BA，BC与AB垂直吗？
同学们可以动手操作，操作过程可以互相讨论，然后老师请一个同学把他想法告诉全班同学。
三、随堂练习
1．甲、乙两位探险者 ( http: / / www.21cnjy.com )在沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6千米／时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米／时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙两人相距多远？
分析：要求甲、乙两人的距离，就要确 ( http: / / www.21cnjy.com )定甲、乙两人在平面的位置关系，由于甲往东、乙往北，所以甲所走的路线与乙所走的路线互相垂直，然后求出甲、乙走的路程，利用勾股定理，即可求得甲、乙两人的距离。
解：甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，走了12千米。
乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，走了5千米。
那么10：00甲、乙两人相距为：122十52＝169＝132
答：这时甲、乙两人相距13千米。
四、作业
练习1、2 习题1、2、3。
课后反思：
14．2.直角三角形的应用（2）
教学目标
1．知识目标：掌握直角三角形的边、角之间分别存在着的关系，熟练地运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题。
2．能力目标：正确使用勾股定理的逆定理，准确地判断三角形的形状。
3．德育目标：熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发学生的爱国热情，培养探索知识的良好习惯。
教学重点：掌握勾股定理及其逆定理。
教学难点：准确应用勾股定理及其逆定理。
教学方法：启发式教育
教学过程
一、回顾与思考
1．直角三角形的边存在着什么关系？ 2．直角三角形的角存在着什么关系？
3．直角三角形还有哪些性质？ 4．如何判断一个三角形是直角三角形？
5．你知道勾股定理的历史吗？
二、讲例
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，D在BA上，且DA＝DB，M、N分别在AC和BC上，且∠MDN＝90
求证：MN2＝ AM2＋NB2
分析：欲证 MN2＝AM2＋BN2
可MN、AM、BN不在同一三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形之中，若能进行等量搬动，使之在同一三角形之中，只需证得这三角形是直角三角形，MN的等线段是这个直角三角形的斜边即可，由于D为AB的中点，∠MDN＝90°所以我们可以通过创造全等三角形法把有关线段进行等量搬动。
证明：延长 ND到 N’使DN’＝DN
连AN’、MN，由于AD＝DB，∠1＝∠2
所以△AN’D≌△BND
即AN’＝BN，∠B＝∠3，又MD⊥NN’
故MN’＝MN’
因为∠A十∠B＝90°，所以∠3＋∠4＝90°
那么MN’2＝AM2＋AN’2
即 MN2＝AM2＋BN2
例2 议一议P19 拼图与勾股定理
观察图 2 验证：c2＝a2＋b2
证明：大正方形面积可表示为c2，也可以表示为ab·4＋（b—a）2
所以c2＝ab·4＋（b—a）2
＝2ab＋b2－2ab＋a2
＝a2＋b2
故c2＝a2十b2
三、作业
练习1、2 习题 3、4
课后反思：
A
B
C
D
B
A
3
4
5
12
C
13
14.1勾股定理
14．1．1.直角三角形三边的关系（1）
教学目标：
１．知识目标：．经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
２．能力目标：探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
3. 德育目标：培养学生爱国主义精神。
教学重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
教学难点：勾股定理的发现。
教学方法：启发式教育，探究式教育
教学过程:
一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题
书中Ｐ2图１—２）并回答：
1．观察图1一２正方形Ａ中有 个小方格，即Ａ的面积为 个面积单位。
正方形B中有 个小方格，即B的面积为 个面积单位。
正方形C中有 个小方格，即C的面积为 个面积单位。
2．你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问：
3．图1—2中，A，B，C之间的面积之间有什么关系？
学生交流后形成共识老师板书。A＋B＝C，接着提出图1—1中A、B、C的关系呢？
二、做一做
提问：1．图1—3中，A、B（之间有什么关系？
2．图l—4中，A、B（之间有什么关系？
3．从图1—1、1－2、1—3、1—4中你发现了什么？
在学生讨论、交流形成共识后，老师总结：
以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积。
三、议一议
1．图1—1、1—2、1一3、1—4中，你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？
2．你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？
在同学的交流基础上，老师板书：
直角三角边的两直角边的平方和等于 ( http: / / www.21cnjy.com )斜边的平方。这就是著名的“勾股定理”。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a为b，斜边为c。那么 a2＋b2＝c2
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。
3．分别以5厘米和12厘米为直角边作出一个 ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形，并测量斜边的长度（学生测量后回答斜边为13）请大家想一想（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？（回答是肯定的：成立。）
四、想一想
这里的29英寸（74厘米）的电视机，指的是屏幕的长吗？指的屏幕的宽吗？那它指的是什么呢？
五、巩固练习
1．错例辨析： △ABC的两边为3和4，求第三边。
解：由于△ABC的两边为3、4。
所以它的第三边C应满足C2＝32十42＝25
即：C＝5
辨析：（1）要用勾股定理解题，首先 ( http: / / www.21cnjy.com )应具备直角三角形这个必不可少的条件，可本题bABC并未说明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就没有依据。
（2）若告诉△ABC是直角三角形，第三边c也不一定满足c2＝a2十b2，因为这第三边未必就是斜边。
综上所述这个题目条件不足，第三边无法求得。
2．练习：练习 1、2题
六、作业
习题1 2、3、4。
课后反思：
14．1．1.直角三角形三边的关系（2）
教学目标：
1．知识目标：经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。
2．能力目标：掌握勾股定理和它的简单应用。
3．德育目标：培养学生爱国主义精神
教学重点：能熟练应用拼图法证明勾股定理。
教学难点：用面积证勾股定理。
教学方法：启发式教育，探究式教育
教学过程
一、创设问题情境，激发学生学习热情，导入课题
我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边C为边长的正方形，并与同学交流。在同学操作的过程中，教师展示投影1（书中 P7图 l—7）接着提问：大正方形的面积可表示为什么？（同学们回答有两种可能。（l）（a＋b）2（2）ab·4十c2）
在同学交流形成共识后教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。
（a＋b）2＝ ab·4十 c2请同学们对上式进行化简，得到：
a2＋2ab十 b2＝2ab十 c2 即 a2十b2＝c2
这就可以从理论上说明了勾股定理存在。
请同学们回去用别的拼图方法说明勾股定理。
二、讲例
例1 飞机在空中水 ( http: / / www.21cnjy.com )平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？
分析：根据题意，可以先画出符合题意的图 ( http: / / www.21cnjy.com )形。如右图，图中△ABC的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000米，欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道飞机在20秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于直角△ABC的斜边 AB＝5000米，AC＝4000米，这样 BC 就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算。
解：由勾股定理得BC2＝AB2一AC2＝52一42＝9（千米’）
即BC＝3千米
飞机20秒飞行3千米，那么它1小时飞行的距离为：
×3＝540（千米／时）
答：飞机每小时飞行540千米。
三、议一议
展示投影2。（书中图1—9）
观察上图应用数格子方法判断图中的三角形的三边长是否满足a2＋b2＝c2
同学在议论交流形成共识后，老师总结。
勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。
四、作业
课文P9 练习1、2。
课后反思：
14.1.2直角三角形的判定
教学目标：
1．知识目标：经历直角三角形判别条件的探索过程，在有关活动中发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯。
2．能力目标：探索并掌握直角三角形判别条件、三边长a、b、c，满足a2十b2＝c2的三角形是直角三角形，掌握勾股数及其应用。
3．德育目标：培养学生爱国注意精神
教学重点：探索并掌握直角三角形的判别条件。
教学难点：运用直角三角形判别条件解题。
教学方法：启发式教育，探究式教育
教学过程
一、创设惰境，激发学生兴趣、导入课题
展示一根用13个等距的结把它分成等长的12段的绳子，请三个同学上台，按老师的要求操作。
甲：同时握住绳子的第一个结和第十三个结。
乙：握住第四个结。丙：握住第八个结。
拉紧绳子，让一个同学用量角器，测出这三角形其中的最大角。
问：发现这个角是多少？（直角）
教师道白：这是古埃及人曾经用过这种 ( http: / / www.21cnjy.com )方法得到直角，这个三角形的三边长分别为多少？（3、4、5），这三边满足了哪些条件？（32＋42＝52），是不是只有三边长为3、4、5的三角形才可以成为直角三角形呢？现在请同学们做一做。
二、做一做
下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b、c。
5、12、13 7、24、25 8、15、17
1．这三组数都满足32＋42＝52吗？
同学们在运算、交流形成共识后，教师要学生完成。
2．分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
同学们在操作中发现它们都是直角三角形。老师在学生形成共识后板书：
如果三角形的三边长 a、b、c满足32＋42＝52，那么这个三角形是直角三角形。
满足32＋42＝52的三个正整数，称为勾股数。
大家可以想这样的勾股数是很多的。
今后我们可以利用“三角形三 ( http: / / www.21cnjy.com )边 a、b、c满足32＋42＝52时，三角形为直角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直的方法。三、讲例
例l 一个零件的形状如图，按规定这个 ( http: / / www.21cnjy.com )零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD＝4，AB＝3，DB＝5，DC＝12，BC＝13，这个零件符合要求吗？
分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ABC和△DBC是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。
解：在△ABC中，AB2＋AD2＝32＋42＝9＋16＝25＝BD2
所以△ABC为直角三角形，∠A＝90°
在△DBC中，BD2＋DC2＝52＋122＝25＋144＝169＝132＝BC2
所以△DBC是直角三角形，∠CDB＝90°
因此这个零件符合要求。
四、随堂练习
P11 1
五、读一读
Pll 勾股数组与费马大定理。
六、作业
课本P12 §1.3 1、2、3。
课后反思：
14.1.3反证法
教学目标
知识与能力：通过实例，体会反证法的含义；培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。
过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。
情感、态度、价值观：在观察 ( http: / / www.21cnjy.com )、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。
教学重难点
重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题。
难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”。
教学过程
一、学前准备
1、复习回顾
两点确定 直线；
过直线外 有且只有 条直线与已知直线平行；
过一点有且只有 条直线与已知直线垂直。
2、看故事并回答：中国古 ( http: / / www.21cnjy.com )代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的吗 答： 。
他运用了怎样的推理方法 答： 。
3、自学课本114页-115页，写下摘要疑惑：
（1）摘要：
反证法：在证明一个命题时,人们有时先假 ( http: / / www.21cnjy.com )设 不成立,从这样的假设出发,经过 得出和已知条件矛盾,或者与等矛盾,从而得出假设的结论不成立,即所求证的命题的结论正确.这种证明方法叫做反证法.
反证法证题的基本步骤：
1．命题的结论的反面是正确的；（反设）
2．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与 矛盾；
3．由 判定假设不正确，从而 命题的结论是正确的.（结论）
（2）疑惑：
二、合作探究
1、用具体例子体会反证法的含义及思路
思考：在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°.
求证；a2＋b2≠c2.
有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论是很困难的，因此，人们想出了一种证明这种命题的方法，即反证法.
假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆 ( http: / / www.21cnjy.com )定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设a2＋b2＝c2是错误的.所以a2＋b2≠c2是正确的.
什么叫反证法 （A、B 组自己归纳;C、D组看课本）
2、由上述的例子归纳反证法的步骤（A、B组自己归纳; C、D组看课本）
1．
2．
3．
4、学以至用
已知：在△ABC中，AB≠AC
求证：∠B ≠ ∠ C
证明：假设 ，则 （ ）
这与 矛盾．假设不成立．
∴ ．
三、例题讲解
例1．求证：两条直线相交只有一个交点.
已知： ；
求证： ；
证明：假设AB，CD相交于两个交点O ( http: / / www.21cnjy.com )与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点 ”矛盾，所以假设不成立，
则 ．
例2．试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.
已知： ；
求证： ；
证明：假设 ，则可设它们相交于点A。那么过点A 就有 条直线与直线c平行，这与“过直线外一点 ”。矛盾,则假设不成立。
∴ 。
例3.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。
已知： ；
求证： ；
证明：假设 ，则 。
∴ ，
即 。
这与 矛盾．假设不成立．
∴ ．
四、学习体会
通过本节课的学习，同学们体会了 ( http: / / www.21cnjy.com )在证明命题另一种方法，即反证法，它是当有的命题从已知条件出发，经过推理，很难得出结论时，人们想出的一种 （填间接或直接）证明命题的方法，反证法证题的基本步骤是 、 、 （用六个字概括）；希望同学们能运用这种方法证明一些简单的命题.
五、自我测试
1、用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角。（C、D组完成）
（1）已知：
（2）求证：
（3）三角形的内角和等于
（4）这个命题如果不成立，那么其“反面”
2.求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也不等. （A、B组完成）
3．否定下列命题的结论：
（1） 在⊿ABC中如果AB=AC，那么∠B=∠C。 。（C、D组完成）
（2） 如果点P在⊙O外，则d>r（d为P到O的距离，r为半径） （C、D组完成）
（3） 在⊿ABC中，至少有两个角是锐角。 （A、B组完成）
（4） 在⊿ABC中，至多有只有一个直角。 （A、B组完成）
4、选择题：
证明“在⊿ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设：（ ）
A，三角形中至少有一个直角或钝角 B，三角形中至少有两个直角或钝角
C，三角形中没有直角或钝角 D，三角形中三个角都是直角或钝角
用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
六、自我提高
1．“a
2．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（ ）
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C．a⊥b D．a与b相交
3．用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，应假设 ．
4．用反证法证明“若│a│<2，则a<4”时，应假设 ．
5．请说出下列结论的反面:（1）d是正数; （2）a≥0; （3）a<5． 。
6．完成下列证明．
如右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．
证明：假设结论不成立，则∠B是______或______．
当∠B是 时，则 ，这与 矛盾；
当∠B是 时，则 ，这与 矛盾．
综上所述，假设不成立．
∴∠B一定是锐角．
8． 若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设 ．
9. 求证：三角形内角中至多有一个内角是钝角（A、B组完成）
10. 求证：一个三角形中不能有两个直角. （C、D组完成）
七、拓展 应用
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。
求证：PB≠PC
作业练习1、2
课后反思：
14．2. 勾股定理的应用（1）
教学目标：
知识目标：准确运用勾股定理及其逆定理。
2．能力目标：让学生进一步经历和体验运用勾股定理以及直角三角形判定方法解决实际问题的过程，培养学生数学的应用能力。
3. 情感目标：培养学生克服困难积极思考的精神
教学重点：掌握勾股定理及其逆定理，准确运用勾股定理及其逆定理解题。
教学难点；准确运用勾股定理及其过定理。
教学方法：启发式教育，探究式教育
教学过程
一、创设问题情境，激发学生对学习的兴趣
展示投影1（书中P13 图l—13）。
教师道白：图1—3是一个圆柱， ( http: / / www.21cnjy.com )它的高等于12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点相对的B点处食物，需要爬行的最短路程是多少？（π取3）
1．蚂蚁从A爬到B有几条路程？你觉得哪条路线最近？
同学在动手操作时，也可以讨论，请各组派代表阐述道理。
在同学讨论形成共识后，展示投影2。（书中P13图1—4）
教师道白：把圆柱侧面剪开展成如上图一个长方形，从A到B的最短路程是什么？这样画对吗？
同学们经过动手操作后，可以得到一个正确答案。
现在请大家计算，蚂蚁从A点出发，想吃到B点的食物的最短路程是多少？
AB2＝92＋122＝225＝152
即爬行的最短距离为15cm。
二、做一做
展示投影3。（书中P14图）
教师道白：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺。
1．你能替他想办法完成任务吗？
大家可以用直尺检验课桌的相邻边缘是否垂直，然后再提出帮助李叔叔完成任务的方法。
2．李叔叔量得AD长为30cm，AB长为40cm，BD长为50cm，AD边垂直于AB吗？
回答是肯定的，因为 BD2＝25 ( http: / / www.21cnjy.com )00cm2，AB2＋AD2＝ 900cm2＋1600cm2＝2500cm2，所以，BD2＝AB2＋AD2，因此 AD⊥AB
3．如果小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，你也帮助小明想办法检验AD与BA，BC与AB垂直吗？
同学们可以动手操作，操作过程可以互相讨论，然后老师请一个同学把他想法告诉全班同学。
三、随堂练习
1．甲、乙两位探险者 ( http: / / www.21cnjy.com )在沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6千米／时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米／时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙两人相距多远？
分析：要求甲、乙两人的距离，就要确 ( http: / / www.21cnjy.com )定甲、乙两人在平面的位置关系，由于甲往东、乙往北，所以甲所走的路线与乙所走的路线互相垂直，然后求出甲、乙走的路程，利用勾股定理，即可求得甲、乙两人的距离。
解：甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，走了12千米。
乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，走了5千米。
那么10：00甲、乙两人相距为：122十52＝169＝132
答：这时甲、乙两人相距13千米。
四、作业
练习1、2 习题1、2、3。
课后反思：
14．2.直角三角形的应用（2）
教学目标
1．知识目标：掌握直角三角形的边、角之间分别存在着的关系，熟练地运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题。
2．能力目标：正确使用勾股定理的逆定理，准确地判断三角形的形状。
3．德育目标：熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发学生的爱国热情，培养探索知识的良好习惯。
教学重点：掌握勾股定理及其逆定理。
教学难点：准确应用勾股定理及其逆定理。
教学方法：启发式教育
教学过程
一、回顾与思考
1．直角三角形的边存在着什么关系？ 2．直角三角形的角存在着什么关系？
3．直角三角形还有哪些性质？ 4．如何判断一个三角形是直角三角形？
5．你知道勾股定理的历史吗？
二、讲例
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，D在BA上，且DA＝DB，M、N分别在AC和BC上，且∠MDN＝90
求证：MN2＝ AM2＋NB2
分析：欲证 MN2＝AM2＋BN2
可MN、AM、BN不在同一三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形之中，若能进行等量搬动，使之在同一三角形之中，只需证得这三角形是直角三角形，MN的等线段是这个直角三角形的斜边即可，由于D为AB的中点，∠MDN＝90°所以我们可以通过创造全等三角形法把有关线段进行等量搬动。
证明：延长 ND到 N’使DN’＝DN
连AN’、MN，由于AD＝DB，∠1＝∠2
所以△AN’D≌△BND
即AN’＝BN，∠B＝∠3，又MD⊥NN’
故MN’＝MN’
因为∠A十∠B＝90°，所以∠3＋∠4＝90°
那么MN’2＝AM2＋AN’2
即 MN2＝AM2＋BN2
例2 议一议P19 拼图与勾股定理
观察图 2 验证：c2＝a2＋b2
证明：大正方形面积可表示为c2，也可以表示为ab·4＋（b—a）2
所以c2＝ab·4＋（b—a）2
＝2ab＋b2－2ab＋a2
＝a2＋b2
故c2＝a2十b2
三、作业
练习1、2 习题 3、4
课后反思：
A
B
C
D
B
A
3
4
5
12
C
13