第11章 数的开方教案
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第11章 数 的 开 方
11．1平方根与立方根
11.1.1平方根（1）
目的要求：
初步了解学习数的开方的意义，了解一个数的平方根的意义，会用根号表示一个数的平方根。
教学重点：平方根与算术平方根的概念。
教学难点：弄清平方根与算术平方根的意义。
教学方法：启发式
教学过程：
一、复习提问：
1.我们已经学过那些数的运算？
2.加法与减法这两种运算之间有什么关系 乘法与除法之间呢
3.那么乘方是不是有逆运算呢 我们来看下面的问题。
如：课本章前页图中是一个面积为 50 平方米的正方形展厅，它的边长应是多少
一只容积为 0.125立方米的正方体木箱，它的棱长应是多少
一个数的平方等于1000，这个数是多少
这些问题的共同特点是：已知乘方的结果的值, 求底数的值。 为了解决这些问题，就要进行乘方运算的逆运算，也就是要进行开方运算。
在这一章里, 我们来学习数的开方和实数的初步知识。
二、新课讲解：
一个数的平方是9，那么这个数是什么数
因为3 2= 9， ( －3 ) 2= 9 ，所以这个数是 3 或－3。
又如 ，一个数的平方是，因为、，所以这个数是或－。
一般的，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做 a 的平方根 ( 或二次方根 )。就是说，如果，x 就叫做 a 的平方根。
上面，3与－3 都是 9 的平方根，与－都是的平方根。
例1 求100的平方根.
试一试：（1）、144的平方根是什么？
（2）、0的平方根是什么？
（3）、－4有没有平方根？为什么？
进一步，总结一般结论：
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
0有一个平方根，它是0本身；
负数没有平方根。
求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。
我们看到，3与－3 的平方都是 ( http: / / www.21cnjy.com )9 ， 9 的平方根是 3与－3。就是说，平方与开平方互为逆运算。根据这种运算关系，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根。
一个正数 a 的正的平方根， 用符号“” 表示，a 叫做被开方数，2 叫做根指数。正数a 的负的平方根，用符号“－ ”表示。这两个平方根合起来可以记作“±”。这里，符号“”读作“二次根式”，±读作“二次根号 a”。根指数是 2 时，通常将这个 2 省略不写，如，记作，读作“根号 a”；±记作±，读作“正、负根号 a ”。
例2 求下列各数的平方根：
( 1 ) 49 ( 2 ) ( 3 )
课堂练习：
课本4页练习 1、2
写出下列各数的平方根：36 ，0.25 ，2.89 ， ， 0 ， －16
课堂小结：
这一节课的主要内容是：乘方的逆运算是开方； 平方根的定义； 正数、0、负数的平方根的个数；平方根的符号表示与读法。
课外作业：习题11.1 第1 、2 题。
课后反思：
12.1.1平方根（2）
【目的要求】
1、了解一个数的算数平方根的意义； 2、会用根号表示一个数的算术平方根。3、会用计算器计算平方根和算术平方根。
【教学重点】会用根号表示一个数的算术平方 根及理解算数平方根的意义。
【教学难点】理解算术平方根的意义。
【教学方法】启发式
【教学过程】复习提问：
1、什么叫做一个数的平方根？ 2、正数的平方根有几个？它们之间有什么关系？
3、0 的平方根有几个？负数有平方根吗？
新课讲解：
我们知道，正数 a 有两个平方根，其中正数 a 的正的平方根，也叫做 a 的算术平方根，记作。例如 9 的算术平方根是 3，即＝3。有如＝ 4 ，＝ 0.1 等。
在提出算术平方根的概念后，可指出两点：( 1 ) 当已知一个数的算术平方根时由于其两个平方根互为相反数，可以立即写出其负平方根。( 2 ) 表示非负数 a 的算术平方根。
0 的平方根也叫 0 的算术平方根。即 0 的算术平方根是 0 ，表示为 ＝0 。
例3 求下列各数的算术平方根：
( 1 ) 100 ； ( 2 ) ； ( 3 ) 0. 81
解：( 1 ) ∵102＝100 ，
∴100 的算术平方根是10，即＝10 ；
( 2 ) ∵，
∴ 的算术平方根是，即；
( 3 ) ∵ 0. 92＝ 0. 81，
∴ 0. 81 的算术平方根是 0. 9 ，即＝ 0. 9
例4 求下列各式的值：
( 1 ) ； ( 2 ) －； ( 3 ) ； ( 4 )－； ( 5 ) ±；
解：( 1 ) ＝10 ； ( 2 ) －＝－12； ( 3 ) ＝；
( 4 ) －＝－0. 01 ； ( 5 ) ±＝±25 ；
注意：
由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将它 们概括成：非负数的算术平方根是非负数。
课堂练习：
教科书第7页练习 1、2
例5 用计算器求下列各数的算术平方根
( 1 ) 529； ( 2 ) －44.81；
课堂小结 ：
这一堂课主要讲算术平方根，包括算术 ( http: / / www.21cnjy.com )平方根的概念及根号表示，如何根据带根号的式子的形式来判断它所表示的是算术平方根、负平方根还是平方根，提出非负数的概念和“非负数的算术平方根也是非负数”这一性质。
课本4页练习3、4
课外作业：练习册
课后反思：
11.1.2 立方根
教学目标：
1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。
2、能用立方运算求某数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算。
从实际问题引入立方根的概念，说明学习的立方根的意义，立方根的计算有着广泛的应用，空间形体都是三维的，有关空间形体的计算经常涉及开方。
教学过程：
立方根
问题：要做一积这216cm3的正方形盒子，正方形的棱长是多少？
一般地，如果一个数x的容立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（cube root，也叫做三次方根）。
如2是8的立方根，－，0是0的立方根。
做一做
（1）2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8？
（2）－3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27？
通过具体数的计算，让学生体会一个数的立方根的惟一性。
议一议
正数是几个立方根？
0有几个立方根
负数呢？
这样提问题，是为了空出平方根与立方根的对比，以利于弄清两者的区别和联系。
每个数a都只有一个立方根，记为“”，读作“砰欠根号a”。例如x3＝7时，x是7的立方根，即＝2/
正数的立方根是正；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
不为0的数的立方根与平方根的情况很不同，但0的平方根和立方根都是0本身，在这一点上它们是一致的。
求一个数a的立方根的运算叫做开立方（extraction of cubic root）， 其中a叫做被开方数。
例1 求下列各数的立方根：
（1）－27； （2） （3）0.126; （4）－5.
解：（1）因为
（2）因为
（3）因为0.63＝0.126，所以0.126的立方根是0.6，即
（4）－5的立方根是.
着眼于弄清立方根的概念，因此这里不仅用立方的方法求立方根，而且书写上采用了语言叙述和符号表示互相补充的做法，学生在熟练以后可以简化写法。
想一想
表示a的立方根，那么（）3等于什么？呢？
应抓住立方根的定义去分析：如果x3＝a，那么x就是a的立方根，即x＝，所以x3
＝()3＝a，同样，根据定义，a3是a的三次方，所以a3的立方根就是a，即
例2 求下列各式的值：
（1） （2） （3）； （4）.
解：（1）＝； （2）＝；
（3）＝； （4）＝9
随堂练习
1、求下列各式的值：
2、一个正方体，它的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？
3、求下列各式的值：
.
例5 用计算器求下列各数的算术平方根
（1）1331 （2）9.263(精确到0.010
试一试：一个正方体的体积变为原来的n倍，它的棱长变为原来的多少倍？
小结：
课外作业：练习册
课后反思：
11.2 实数（1）
教学目的：1、使学生了解无理数和实数的意义。2、使学生了解有理数的运算律在实数范围内仍然适用。
教学重点：无理数及实数的概念及实数运算律。
教学难点：实数概念。
教学过程：复习提问：
1、什么叫有理数？有理数和小数的关系是什么？
2、什么叫有理数的相反数？什么叫有理数的绝对值？怎样表示的？
3、有理数有哪几条运算律？
4、什么叫数轴？怎样比较有理数的大小？
新课讲解：
1、实数概念
我们知道，有理数包括整数和分数。任何一个有理数都可以写成有限小数 (整数可看作小数点后面是0的小数 )或者循环小数的形式。例如，3 = 3. 0 ，－=－0. 6 ，－ =。
反过来，任何有限小数或循环小数也都是有理数。是不是所有的数都可以写成有限小数或循环小数的形式呢？不是的，例如：
= 1. 41421356 …， = 1. 73205080 …，－= 2. 64575131…，
= 1. 2599210 …， π= 3. 14159265 …。
这些小数的小数位数是无限的，而且是不循环的。这样的小数叫做无限不循环小数，又叫做无理数。无理数的小数是无限多的。
注意：用根号形式表示的数并不都是无理数。例如、就不是无理数。无理数可分为正无理数和负无理数。例如、、π…是正无理数；－、－、－π… 是负无理数。
有理数和无理数统称实数。
有理数
实数
无理数
实数还可按大小分类如下：
实数
课堂练习：
教科书第11页 练习第1、2、3题
做练习时，可采用提问和讨论的方式，以便于发 ( http: / / www.21cnjy.com )现问题。在做完练习后，可总结一下有理数和无理数的区别：前者是有限小数和无限循环小数，可以化成分数；后者是无限不循环小数，不能化成分数。还可指出，有限小数、无限循环小数与分数可以互化在高中数学中讲给于证明。
新课讲解：
如果 a表示一个正实数，－ ( http: / / www.21cnjy.com )a 就表示一个负实数。a与－a互为相反数，另外规定：0的相反数仍是0。实数的绝对值意义也和有理数一样：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
课堂练习：教科书第155页 练习第5、6题
课堂小结：
有理数的意义，无理数的意义，两者的区别；实数的意义及其两种分类，分类的方法；实数的绝对值与相反数的意义与有理数一样。
课外作业：教科书第156页习题10.7A组的1、3题、B组的1题。
课后反思：
12．2 实数（2）
【教学目的】
1、使学生了解无理数和实数的意义。
2、使学生了解有理数的运算律在实数范围内仍然适用。
【教学重点】无理数及实数的概念及实数运算律。
【教学难点】实数概念。
【教学过程】
复习提问：
1、什么叫无理数？有理数和无理数的关系是什么？
2、什么叫无理数的相反数？什么叫无理数的绝对值？怎样表示的？
3、无理数有哪几条运算律？
4、什么叫数轴/怎样比较无理数的大小？
新课讲解：
我们知道，每个有理数，都可以用数轴上的 ( http: / / www.21cnjy.com )点来表示。但是数轴上的点并不都表示有理数，每个无理数也都可以用数轴 上的点来表示。我们可以运用几何作图的办法，在数轴上表示某些无理数。如图3-1所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，那么根据勾股定理，以数轴的原点为圆心，正方形对角线为半径画弧与数轴正半轴的交点就表示 。
把数从有理数扩充到实数以后，实数和 ( http: / / www.21cnjy.com )数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示。建立了实数和数轴上的这种联系以后，就可以利用这种联系来研究和解决问题。
如何在数轴上表示。
. . . . . .
-3 -2 -1 0 1 2
例1 试比较+与π的大小
例 2 计算：（结果保留三个有效数字）。
( 2 )∵ ≈2. 449， ≈2. 646，∴ < .∴ > 。
课堂练习：－│-│（精确到0.01）
教科书第155页 练习第7、8题
课堂小结：
实数与数轴上的点具有一一对应关系； ( http: / / www.21cnjy.com )有理数的运算律和运算性质在实数范围内仍然适用，注意在实数范围内负数不能开平方。对于涉及无理数的计算，通常是按照所要求得精度取近似值，将它们转化成有理数进行计算。
课外作业：教科书第11页习题11 4 练习册
课后反思：
11．1平方根与立方根
11.1.1平方根（1）
目的要求：
初步了解学习数的开方的意义，了解一个数的平方根的意义，会用根号表示一个数的平方根。
教学重点：平方根与算术平方根的概念。
教学难点：弄清平方根与算术平方根的意义。
教学方法：启发式
教学过程：
一、复习提问：
1.我们已经学过那些数的运算？
2.加法与减法这两种运算之间有什么关系 乘法与除法之间呢
3.那么乘方是不是有逆运算呢 我们来看下面的问题。
如：课本章前页图中是一个面积为 50 平方米的正方形展厅，它的边长应是多少
一只容积为 0.125立方米的正方体木箱，它的棱长应是多少
一个数的平方等于1000，这个数是多少
这些问题的共同特点是：已知乘方的结果的值, 求底数的值。 为了解决这些问题，就要进行乘方运算的逆运算，也就是要进行开方运算。
在这一章里, 我们来学习数的开方和实数的初步知识。
二、新课讲解：
一个数的平方是9，那么这个数是什么数
因为3 2= 9， ( －3 ) 2= 9 ，所以这个数是 3 或－3。
又如 ，一个数的平方是，因为、，所以这个数是或－。
一般的，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做 a 的平方根 ( 或二次方根 )。就是说，如果，x 就叫做 a 的平方根。
上面，3与－3 都是 9 的平方根，与－都是的平方根。
例1 求100的平方根.
试一试：（1）、144的平方根是什么？
（2）、0的平方根是什么？
（3）、－4有没有平方根？为什么？
进一步，总结一般结论：
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
0有一个平方根，它是0本身；
负数没有平方根。
求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。
我们看到，3与－3 的平方都是 ( http: / / www.21cnjy.com )9 ， 9 的平方根是 3与－3。就是说，平方与开平方互为逆运算。根据这种运算关系，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根。
一个正数 a 的正的平方根， 用符号“” 表示，a 叫做被开方数，2 叫做根指数。正数a 的负的平方根，用符号“－ ”表示。这两个平方根合起来可以记作“±”。这里，符号“”读作“二次根式”，±读作“二次根号 a”。根指数是 2 时，通常将这个 2 省略不写，如，记作，读作“根号 a”；±记作±，读作“正、负根号 a ”。
例2 求下列各数的平方根：
( 1 ) 49 ( 2 ) ( 3 )
课堂练习：
课本4页练习 1、2
写出下列各数的平方根：36 ，0.25 ，2.89 ， ， 0 ， －16
课堂小结：
这一节课的主要内容是：乘方的逆运算是开方； 平方根的定义； 正数、0、负数的平方根的个数；平方根的符号表示与读法。
课外作业：习题11.1 第1 、2 题。
课后反思：
12.1.1平方根（2）
【目的要求】
1、了解一个数的算数平方根的意义； 2、会用根号表示一个数的算术平方根。3、会用计算器计算平方根和算术平方根。
【教学重点】会用根号表示一个数的算术平方 根及理解算数平方根的意义。
【教学难点】理解算术平方根的意义。
【教学方法】启发式
【教学过程】复习提问：
1、什么叫做一个数的平方根？ 2、正数的平方根有几个？它们之间有什么关系？
3、0 的平方根有几个？负数有平方根吗？
新课讲解：
我们知道，正数 a 有两个平方根，其中正数 a 的正的平方根，也叫做 a 的算术平方根，记作。例如 9 的算术平方根是 3，即＝3。有如＝ 4 ，＝ 0.1 等。
在提出算术平方根的概念后，可指出两点：( 1 ) 当已知一个数的算术平方根时由于其两个平方根互为相反数，可以立即写出其负平方根。( 2 ) 表示非负数 a 的算术平方根。
0 的平方根也叫 0 的算术平方根。即 0 的算术平方根是 0 ，表示为 ＝0 。
例3 求下列各数的算术平方根：
( 1 ) 100 ； ( 2 ) ； ( 3 ) 0. 81
解：( 1 ) ∵102＝100 ，
∴100 的算术平方根是10，即＝10 ；
( 2 ) ∵，
∴ 的算术平方根是，即；
( 3 ) ∵ 0. 92＝ 0. 81，
∴ 0. 81 的算术平方根是 0. 9 ，即＝ 0. 9
例4 求下列各式的值：
( 1 ) ； ( 2 ) －； ( 3 ) ； ( 4 )－； ( 5 ) ±；
解：( 1 ) ＝10 ； ( 2 ) －＝－12； ( 3 ) ＝；
( 4 ) －＝－0. 01 ； ( 5 ) ±＝±25 ；
注意：
由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将它 们概括成：非负数的算术平方根是非负数。
课堂练习：
教科书第7页练习 1、2
例5 用计算器求下列各数的算术平方根
( 1 ) 529； ( 2 ) －44.81；
课堂小结 ：
这一堂课主要讲算术平方根，包括算术 ( http: / / www.21cnjy.com )平方根的概念及根号表示，如何根据带根号的式子的形式来判断它所表示的是算术平方根、负平方根还是平方根，提出非负数的概念和“非负数的算术平方根也是非负数”这一性质。
课本4页练习3、4
课外作业：练习册
课后反思：
11.1.2 立方根
教学目标：
1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。
2、能用立方运算求某数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算。
从实际问题引入立方根的概念，说明学习的立方根的意义，立方根的计算有着广泛的应用，空间形体都是三维的，有关空间形体的计算经常涉及开方。
教学过程：
立方根
问题：要做一积这216cm3的正方形盒子，正方形的棱长是多少？
一般地，如果一个数x的容立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（cube root，也叫做三次方根）。
如2是8的立方根，－，0是0的立方根。
做一做
（1）2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8？
（2）－3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27？
通过具体数的计算，让学生体会一个数的立方根的惟一性。
议一议
正数是几个立方根？
0有几个立方根
负数呢？
这样提问题，是为了空出平方根与立方根的对比，以利于弄清两者的区别和联系。
每个数a都只有一个立方根，记为“”，读作“砰欠根号a”。例如x3＝7时，x是7的立方根，即＝2/
正数的立方根是正；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
不为0的数的立方根与平方根的情况很不同，但0的平方根和立方根都是0本身，在这一点上它们是一致的。
求一个数a的立方根的运算叫做开立方（extraction of cubic root）， 其中a叫做被开方数。
例1 求下列各数的立方根：
（1）－27； （2） （3）0.126; （4）－5.
解：（1）因为
（2）因为
（3）因为0.63＝0.126，所以0.126的立方根是0.6，即
（4）－5的立方根是.
着眼于弄清立方根的概念，因此这里不仅用立方的方法求立方根，而且书写上采用了语言叙述和符号表示互相补充的做法，学生在熟练以后可以简化写法。
想一想
表示a的立方根，那么（）3等于什么？呢？
应抓住立方根的定义去分析：如果x3＝a，那么x就是a的立方根，即x＝，所以x3
＝()3＝a，同样，根据定义，a3是a的三次方，所以a3的立方根就是a，即
例2 求下列各式的值：
（1） （2） （3）； （4）.
解：（1）＝； （2）＝；
（3）＝； （4）＝9
随堂练习
1、求下列各式的值：
2、一个正方体，它的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？
3、求下列各式的值：
.
例5 用计算器求下列各数的算术平方根
（1）1331 （2）9.263(精确到0.010
试一试：一个正方体的体积变为原来的n倍，它的棱长变为原来的多少倍？
小结：
课外作业：练习册
课后反思：
11.2 实数（1）
教学目的：1、使学生了解无理数和实数的意义。2、使学生了解有理数的运算律在实数范围内仍然适用。
教学重点：无理数及实数的概念及实数运算律。
教学难点：实数概念。
教学过程：复习提问：
1、什么叫有理数？有理数和小数的关系是什么？
2、什么叫有理数的相反数？什么叫有理数的绝对值？怎样表示的？
3、有理数有哪几条运算律？
4、什么叫数轴？怎样比较有理数的大小？
新课讲解：
1、实数概念
我们知道，有理数包括整数和分数。任何一个有理数都可以写成有限小数 (整数可看作小数点后面是0的小数 )或者循环小数的形式。例如，3 = 3. 0 ，－=－0. 6 ，－ =。
反过来，任何有限小数或循环小数也都是有理数。是不是所有的数都可以写成有限小数或循环小数的形式呢？不是的，例如：
= 1. 41421356 …， = 1. 73205080 …，－= 2. 64575131…，
= 1. 2599210 …， π= 3. 14159265 …。
这些小数的小数位数是无限的，而且是不循环的。这样的小数叫做无限不循环小数，又叫做无理数。无理数的小数是无限多的。
注意：用根号形式表示的数并不都是无理数。例如、就不是无理数。无理数可分为正无理数和负无理数。例如、、π…是正无理数；－、－、－π… 是负无理数。
有理数和无理数统称实数。
有理数
实数
无理数
实数还可按大小分类如下：
实数
课堂练习：
教科书第11页 练习第1、2、3题
做练习时，可采用提问和讨论的方式，以便于发 ( http: / / www.21cnjy.com )现问题。在做完练习后，可总结一下有理数和无理数的区别：前者是有限小数和无限循环小数，可以化成分数；后者是无限不循环小数，不能化成分数。还可指出，有限小数、无限循环小数与分数可以互化在高中数学中讲给于证明。
新课讲解：
如果 a表示一个正实数，－ ( http: / / www.21cnjy.com )a 就表示一个负实数。a与－a互为相反数，另外规定：0的相反数仍是0。实数的绝对值意义也和有理数一样：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
课堂练习：教科书第155页 练习第5、6题
课堂小结：
有理数的意义，无理数的意义，两者的区别；实数的意义及其两种分类，分类的方法；实数的绝对值与相反数的意义与有理数一样。
课外作业：教科书第156页习题10.7A组的1、3题、B组的1题。
课后反思：
12．2 实数（2）
【教学目的】
1、使学生了解无理数和实数的意义。
2、使学生了解有理数的运算律在实数范围内仍然适用。
【教学重点】无理数及实数的概念及实数运算律。
【教学难点】实数概念。
【教学过程】
复习提问：
1、什么叫无理数？有理数和无理数的关系是什么？
2、什么叫无理数的相反数？什么叫无理数的绝对值？怎样表示的？
3、无理数有哪几条运算律？
4、什么叫数轴/怎样比较无理数的大小？
新课讲解：
我们知道，每个有理数，都可以用数轴上的 ( http: / / www.21cnjy.com )点来表示。但是数轴上的点并不都表示有理数，每个无理数也都可以用数轴 上的点来表示。我们可以运用几何作图的办法，在数轴上表示某些无理数。如图3-1所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，那么根据勾股定理，以数轴的原点为圆心，正方形对角线为半径画弧与数轴正半轴的交点就表示 。
把数从有理数扩充到实数以后，实数和 ( http: / / www.21cnjy.com )数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示。建立了实数和数轴上的这种联系以后，就可以利用这种联系来研究和解决问题。
如何在数轴上表示。
. . . . . .
-3 -2 -1 0 1 2
例1 试比较+与π的大小
例 2 计算：（结果保留三个有效数字）。
( 2 )∵ ≈2. 449， ≈2. 646，∴ < .∴ > 。
课堂练习：－│-│（精确到0.01）
教科书第155页 练习第7、8题
课堂小结：
实数与数轴上的点具有一一对应关系； ( http: / / www.21cnjy.com )有理数的运算律和运算性质在实数范围内仍然适用，注意在实数范围内负数不能开平方。对于涉及无理数的计算，通常是按照所要求得精度取近似值，将它们转化成有理数进行计算。
课外作业：教科书第11页习题11 4 练习册
课后反思：