高二数学圆锥曲线之椭圆培优压轴专题 导学案

椭圆
椭 圆 的 定 我们把平面内与两个定点 F1， F2的距离的和等于常数（大于 | F1F2 |）的点的轨
义
迹叫做椭圆．
图形
标准方程
x2 y2 x2 y2
2 2 1(a b 0) 2 2 1(a b 0)a b b a
范围 x [ a，a]； y [ b，b] x [ b，b]； y [ a，a]
顶点坐标
半轴长
离心率
对称性
a、b、c的
关系
通径
焦 点 三 角
形
与椭圆有关的二级结论：
2
F x y
2
1. 已知 1， F2为椭圆 2 2 1(a b 0)的两个焦点，P是椭圆上的动点，则△PF1F2的面积a b
S b2 tan ( F PF )
2 1 2
x2 y2
2. 已知 F1，F2为椭圆 2 2 1(a b 0)的两个焦点，P是椭圆上的动点，则当点 P为椭圆短轴的端点时，a b
∠F1PF2最大
x2 y2
3. 已知 A、B为椭圆 2 2 1(a b 0)长轴上的两个顶点，Q为椭圆上任意一点，则当点 Q为椭圆短轴a b
的端点时，∠AQB最大.
x2 y2
4. 已知M、N是椭圆 2 2 1(a b 0)上的两个动点，P是椭圆上异于M、N的一点，当M、N关于原a b
b2
点对称时，有 kPM kPN a2
x2 y2 b2
5. 已知 A、B是椭圆 2 2 1(a b 0)上两个不重合的两点，P为弦 AB的中点，则有 k k a b OP AB a2

6. 设圆锥曲线 C的焦点 F在 x轴上，过点 F且斜率为 k的直线 l交曲线 C于 A、B两点，若AF FB( 0)，
e 1 1则 k 2 | |
1
x2 y2 xx yy
7.过椭圆外一点 P(x0,y0)作椭圆 2 2 1(a b 0)的切线，则切点弦的方程为
0 02 2 1a b a b
典型例题
一．圆锥曲线基本运算
例 1 2 2若方程 x ky 1表示焦点在 y轴上的椭圆，则实数 k的取值范围为( )
A. (0, ) B. (0,2) C.(1, ) D.(0,1)
x2 y2 x2 y2
例 2椭圆 2 2 1和 2 k(k 0)具有( )a b a b2
A.相同的率心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长、短轴
x2
例 3 P 2 2 2设 、Q分别是 x (y 6) 2和 y 1上的点，则 PQ两点间的最大距离是( )
10
A. 5 2 B. 46 2 C. 7+ 2 D.6 2
二．离心率问题
x2 y2
例 1已知椭圆 2 2 1(a b 0)的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B在椭圆上，且 BF⊥x轴，直线 AB交 ya b

轴于点 P，若PA 2PB，则椭圆的离心率是( )
3 2 1 1
A. B. C. D.
2 2 3 2
x2F F y
2
例 2已知 1， 2为椭圆 2 2 1(a b 0)
0
的两个焦点，若椭圆上存在点 P使 F1PF2 60 ，则椭圆离心a b
率的取值范围是___________
改 1：若 F1PF2 90
0
，则离心率的取值范围是_________
0
改 2：若 F1PF2 120 ,则离心率的取值范围是_________
x2 y2
例 3已知椭圆 2 2 1(a b 0)，长轴两端点为 A、B，如果椭圆上存在一点 Q满足∠AQB=120°，则这a b
个椭圆的离心率为______
x2 y2
例 4 已知椭圆 2 2 1(a b 0)的左右焦点分别为F1( c,0),F2 (c,0)，若椭圆上存在一点 P 使a b
a c
，则该椭圆的离心率的取值范围为_______
sin PF1F2 sin PF2F1
x2 y2
例 5已知椭圆 2 2 1(a b 0)的左焦点为 F，C与过原点的直线相交于 A、B两点，连接 AF、BF，若a b
4
AB=10，AF=6， cos ABF 则离心率 e=_______
5
三．焦点三角形
x2 y2 0
例 1 P为椭圆 1上一点，F1，F2为左右焦点，若 F1PF2 60 ，则三角形 F1PF2的面积为________,P25 9
的纵坐标为______
x2 y2
例 2 F1， F2为椭圆 2 2 1(a b 0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且PFa b 1
PF2 ，若三角形 F1PF2的面
积为 9，则 b=_____.

x2 y2 PF PF 1
例 3已知 P是椭圆 1上的点，F 1 21、F2分别是椭圆的左右焦点，若 ，则△F1PF2的面
25 9 | PF1 | | PF2 | 2
积为( )
3
A. 3 3 B. 2 3 C. 3 D.
3
x2 y2
例 4已知椭圆 E： 2 2 1(a b 0)的右焦点为 F(3,0),过点 F的直线交椭圆于 A、B两点，若 AB的中点a b
坐标为(1,-1),则 E的方程为( )
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
45 36 36 27 27 18 18 9
x2 y2
例 5设M、N分别为椭圆 1的长轴的两个端点，点 P在椭圆上，则 k k
4 3 PM PN
为( )
3 4 3 4
A. B. C. D.
4 3 4 3
x2 y2
例 6椭圆 C： 1的左右顶点分别为 A1、A2，点 P在 C上且直线 PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么
4 3
直线 PA1斜率的取值范围是( )
1 3 3 3 1 3
A. [ ， ] B.[ ， ] C.[ ，1 ] D.[ ，1 ]
2 4 8 4 2 4
x2 2
例 7 已知椭圆 y 1，求斜率为 2的平行弦中点的轨迹方程.
2
x2 y2 9
例 8 已知椭圆 1上不同的三点 A( x1, y1 )、B(4， )、C( x2 , y2 )与焦点 F(4,0)的距离成等差数列，若25 9 5
线段 AC的垂直平分线与 x轴的交点为 T，求直线 BT的斜率 k.
补充练习
x2 y2
1.椭圆 2 2 1(a b 0)的左右焦点 F1、F2，焦距为 2c，若直线 y 3(x c)与椭圆的一个交点M满足a b
∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率为____

2.设 AB是椭圆 P的长轴，点 C在 P上，且∠CBA= ，若 AB=4，BC= 2 ，则 P的两个焦点之间的距离为_______
4
x2 y2 3
3. 已知椭圆 C: 2 2 1(a b 0)的离心率为 ，过右焦点 F且斜率为 k(k>0)的直线与 C相交于 A、Ba b 2

两点，若AF 3FB，则 k=( )
A.1 B. 2 C. 3 D.2
x2 9y2
4. （多选）已知 P（x1，y1），Q（x2，y2）是椭圆 1上两个不同点，且满足 x1x2+9y1y2＝﹣2，则
4 4
下列说法正确的是（ ）
A．|2x1+3y1﹣3|+|2x2+3y2﹣3|的最大值为6 2 5
B．|2x1+3y1﹣3|+|2x2+3y2﹣3|的最小值为 3 5
2 10
C．|x1﹣3y1+5|+|x2﹣3y2+5|的最大值为 2 5
5
D．|x1﹣3y1+5|+|x2﹣3y2+5|的最小值为10 2 2
x2 y2
5. （多选）在平面直角坐标系 xOy中，由直线 x＝﹣4上任一点 P向椭圆 1作切线，切点分别为 A，
4 3
B，点 A在 x轴的上方，则（ ）
A．∠APB恒为锐角
1
B．当 AB垂直于 x轴时，直线 AP的斜率为
2
C．|AP|的最小值为 4

D．存在点 P，使得 (PA PO) OA 0＝0
x2 y2
6. （多选）已知椭圆 C： 1的左右焦点为 F1，F2，若 P为椭圆 C上一动点，记△PF1F2的内心为 I，
4 3
外心为 M，重心为 G，且△PF1F2内切圆 I的半径为 r，△PF1F2外接圆 M的半径为 R，则（ ）

A．∠F1PF2的最大值为 B．r的最大值为 3
3

C．PI PG R 为定值 D． 的最小值为 2
r
x2 y2
7. （多选）在椭圆 C: 2 2 1(a b 0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x
2+y2＝a2+b2上，称
a b
x2 y2
此圆为该椭圆的蒙日圆．该圆由法国数学家 G Monge（1746﹣1818）最先发现．若椭圆 C: 1，则
16 9
下列说法正确的有（ ）
A．椭圆 C外切矩形面积的最小值为 48
B．椭圆 C外切矩形面积的最大值为 48
C．点 P（x，y）为蒙日圆Γ上任意一点，点 M（﹣10，0），N（0，10），当∠PMN取最大值时，tan∠PMN
＝2+ 3
D．若椭圆 C的左、右焦点分别为 F1，F2，过椭圆 C上一点 P和原点作直线 l与蒙日圆相交于点 M，N，则
PF1 PF2＝PM PN
参考答案
圆锥曲线的基本运算
2
例 1 D. x2 y 1 1 1，焦点在 y轴上，故 1，故 0k
例 2A. 例 3 A.
离心率问题
[1 ,1) [ 2 3 6 51. D 2. ,1) [ ,1) 3.[ ,1) 4. ( 2 1,1) 5.
2 2 2 3 7
焦点三角形
1. 3 3 3 3 1 5 2.3 3.3 3 4.D 5.A 6.B 7. y x 8.
4 4 4
补充练习
4 6
1. 3 1 2. 3.B 4.AD 5.ABD 6.ACD 7.ACD
3