16．1 二次根式
教案序号：1 时间：
教学内容
二次根式的概念及其运用
教学目标
理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．
提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．
教学重难点关键
1．重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；
2．难点与关键：利用“（a≥0）”解决具体问题．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题：
二、探索新知
很明显、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
（学生活动）议一议：
1．-1有算术平方根吗？
2．0的算术平方根是多少？
3．当a<0，有意义吗？
老师点评:（略）
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．
分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．
解：二次根式有：、（x>0）、、-、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、．
例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．
解：由3x-1≥0，得：x≥
当x≥时，在实数范围内有意义．
三、巩固练习
教材P5练习1、2、3．
四、应用拓展
例3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？
分析：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0．
解：依题意，得
由①得：x≥-
由②得：x≠-1
当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．
例4(1)已知y=++5，求的值．(答案:2)
(2)若+=0，求a2004+b2004的值．(答案:)
五、归纳小结（学生活动，老师点评）
本节课要掌握：
1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．
六、布置作业
1．教材P5 1，2，3，4
2．选用课时作业设计．
第一课时作业设计
一、选择题
1．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．- B． C． D．x
2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）
A．5 B． C． D．以上皆不对
二、填空题
1．形如________的式子叫做二次根式．
2．面积为a的正方形的边长为________．
3．负数________平方根．
三、综合提高题
1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
2．当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？
3．若+有意义，则=_______．
4.使式子有意义的未知数x有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．无数
5.已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值．
第一课时作业设计答案:
一、1．A 2．D 3．B
二、1．（a≥0） 2． 3．没有
三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x=．
2．依题意得：，
∴当x>-且x≠0时，＋x2在实数范围内没有意义．
3.
4．B
5．a=5，b=-4
16.1 二次根式导学案(1)
一、学习目标
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：和
二、学习重点、难点
重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．
难点：综合运用性质和。
三、学习过程
（一）复习引入：
（1）已知x2 = a，那么a是x的______; x是a的________, 记为______,
a一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；
正数a的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；
式子的意义是 。
（二）提出问题
1、式子表示什么意义? 2、什么叫做二次根式？
3、如何确定一个二次根式有无意义？
（三）自主学习
自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
，，，，，
2、计算 ：
(1) (2) （3） （4）
根据计算结果，你能得出结论： ，其中,
的意义是 。
3、当a为正数时指a的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a才有算术平方根。所以，在二次根式中，字母a必须满足 , 才有意义。
（三）合作探究
1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ：
x取何值时，下列各二次根式有意义？
① ② ③
2、（1）若有意义，则a的值为___________．
（2）若 在实数范围内有意义，则x为（ ）。
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
（四）拓展延伸
1、(1)在式子中，x的取值范围是 ____________.
(2)已知+＝0，则x-y＝ _____________.
(3)已知y＝+,则= _____________。
2、由公式，我们可以得到公式a= ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：5? 0.35
(2)在实数范围内因式分解
① ② 4a-11
（五）达标测试 A组
(一)填空题： 1、 =________;
2、 在实数范围内因式分解：
（1）x2-9= x2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____)
（2） x2 - 3 = x2 - ( ) 2 = (x+ _____) (x- _____)
（二）选择题：
1、计算 （ ）
A. 169 B.-13 C±13 D.13
2、已知
A. x>-3 B. x<-3 C.x=-3 D x的值不能确定
3、下列计算中，不正确的是 （ ）。
A. 3= B 0.5= C .=0.3 D =35
B组
（一）选择题：
1、下列各式中，正确的是（ ）。
A. B
C D
2、 如果等式= x成立，那么x为（ ）。
A x≤0; B.x=0 ; C.x<0; D.x≥0
（二）填空题:
1、 若，则 = 。
2、分解因式： X4 - 4X2 + 4= ________.
3、当x= 时，代数式有最小值，
其最小值是 。
训练案
一、选择题
1.下列式子中，是二次根式的是（ ）
A.- B. C. D.x
2.下列式子中，不是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）
A.5 B. C. D.以上皆不对
二、综合提高题
1.某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
2.当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？
3.若+有意义，则=_______.
4.使式子有意义的未知数x有（ ）个.
A.0 B.1 C.2 D.无数
5.已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值.
二次根式(2)
一、学习目标
1、掌握二次根式的基本性质：
2、能利用上述性质对二次根式进行化简.
二、学习重点、难点
重点：二次根式的性质．
难点：综合运用性质进行化简和计算。
三、学习过程
（一）复习引入：
（1）什么是二次根式，它有哪些性质？
（2）二次根式有意义，则x 。
（3）在实数范围内因式分解：
x2-6= x2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____)
（二）提出问题
1、式子表示什么意义?
2、如何用来化简二次根式?
3、在化简过程中运用了哪些数学思想?
（三）自主学习
自学课本第3页的内容，完成下面的题目：
1、计算：
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：
当
2、计算：
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当
3、计算： 当
（四）合作交流
1、归纳总结
将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：
2、化简下列各式：
3、请大家思考、讨论二次根式的性质与有什么区别与联系。
（五）展示反馈
1、化简下列各式
（1） (2)
2、化简下列各式
（1） （2）（x＜-2）
（六）精讲点拨
利用可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a”的取值。
（七）拓展延伸
(1)a、b、c为三角形的三条边，则 ____________.
(2) 把(2-x)的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（ ）
A、B、 C、 D、
(3) 若二次根式有意义，化简│x-4│-│7-x│。
（八）达标测试：
A组
1、填空：（1）、-=_________.
（2）、=
2、已知2＜x＜3，化简：
B组
1、 已知0 ＜x＜1，化简：－
2、 边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．
训练案
一、选择题
1.下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（ ）.
A.4 B.3 C.2 D.1
2.数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）.
A.a>0 B.a≥0 C.a<0 D.a=0
二、填空题
1.（-）2=________. 2.已知有意义，那么x+1是一个_______数.
三、综合提高题
1.计算（1）（）2 （2）-（）2 （3）（）2
(5) 2.已知+=0，求xy的值.
3.在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-2 （2）x4-9 （3）3x2-5
4 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。
学习要求
掌握二次根式的概念和意义，会根据算术平方根的意义进行二次根式的运算．
课堂学习检验
一、填空题
1．表示二次根式的条件是______．
2．当x______时，有意义，当x______时，有意义．
3．若无意义，则x的取值范围是______．
4．直接写出下列各式的结果：
(1)＝_______； (2)_______； (3)_______；
(4)_______； (5)_______；(6) _______．
二、选择题
5．下列计算正确的有( )．
① ② ③ ④
A．①、② B．③、④ C．①、③ D．②、④
6．下列各式中一定是二次根式的是( )．
A． B． C． D．
7．当x=2时，下列各式中，没有意义的是( )．
A． B． C． D．
8．已知那么a的取值范围是( )．
A． B． C． D．
三、解答题
9．当x为何值时，下列式子有意义?
(1) (2)
(3) (4)
10．计算下列各式：
(1) (2) (3) (4)
综合、运用、诊断
一、填空题
11．表示二次根式的条件是______．
12．使有意义的x的取值范围是______．
13．已知，则xy的平方根为______．
14．当x=－2时，＝________．
二、选择题
15．下列各式中，x的取值范围是x＞2的是( )．
A． B． C． D．
16．若，则x－y的值是( )．
A．－7 B．－5 C．3 D．7
三、解答题
17．计算下列各式：
(1) (2) (3) (4)
18．当a=2，b=－1，c=－1时，求代数式的值．
拓广、探究、思考
19．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简：的结果是：______________________．
20．已知△ABC的三边长a，b，c均为整数，且a和b满足试求△ABC的c边的长．
课件16张PPT。⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 回忆⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于a，则
这个数就叫做a的平方根。用 (a≥0)表示。若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平方根。a的平方根是±2第1课时 二次根式的概念400.53口答：看谁最棒1.二次根式的概念16.1二次根式萨拉齐第四中学：郜志雁.2014.12.20 1.面积为3的正方形的边长为 ，面积为S的正方形的边长为_____。2.一长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130，则它的宽为______自学效果检测3.h=5t2,则t=_______你认为所得的各式有哪些共同点？自学效果检测表示一些正数的算术平方根形如 的式子叫做二次根式.a叫被开方数定义包含三个内容:1.必需含有二次根号 “ ”.2.被开方数a≥0.3.a可以是数,也可以是含有字母的式子.自学归纳说一说:
下列各式是二次根式吗? ?是是是是是二次根式中字母的取值范围被开方数a≥0有意义 ，被开方数a可以是数也可以是式(1) (2)(3) 解：由 得解：由 得(a为任何实数)例1 a取何值时,下列根式有意义?10(3)总结:被开方数不小于零；变式：(1)(2)(a为任何实数)(a=1)11练习： x取何值时,下列二次根式有意义?求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数大于等于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零。解：由３－x≥０ 得 x≤３
由｜x｜－４≠０ 得 x≠±４求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数大于等于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零。③多个条件组合时，应用不等式组求解x ≤３且x≠－４时，[归纳总结] (1).确定二次根式中被开方
数所含字母的取值范围是根据二次根
式中被开方数的取值范围列不等式
(或不等式组)求解的．
(2). 二次根式中被开方数的条件限制：
二次根式中的被开方数、分式的分母、
零指数幂、负整数指数幂的条件限制．(3).实际问题中二次根式的条件限
制：在实际问题中求字母的取值
范围要从两个方面来思考，一是
求字母所在的式子有意义时字母
必须满足的条件，二是求字母所
在的实际问题有意义时字母必须
满足的条件．作业：《基础小练习》1.2题；预习：1.看书二次根式的性质；
2.完成《听课手册》；
3.把自己的疑问和同学交流一下。谢谢合作课件19张PPT。1.数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）.
A.a>0 B.a≥0 C.a<0 D.a=02.下列各式中，是二次根式的有____________________. C3.a取什么实数时，下列各式有意义？a≥－2a为任意实数a＞0知识回顾2练习１.已知 ，求x、y的值.x=2，y=3a≥4２.已知 ，求a的值. a-4=9，则 a=1316.1二次根式的性质（二）萨拉齐第四中学：郜志雁
2014.12.24练:利用算术平方根的意义填空:(a≥0)040.0140.010(a≥0)观测上述等式的两边,你能得到什么启示? ?5二次根式的两个简单性质：-a (a＜0)a (a>0)=0 (a=0)合作探究:2.从取值范围来看,
a≥0a取任何实数1:从运算顺序来看,先开方,后平方先平方,后开方区别:3.从运算结果来看:=aa (a≥ 0)-a (a＜0)==∣a∣例:10练习:用心算一算:5718(x﹤y)11把式子反过来，就得到5.把下列非负数写成一个数的平方的形式:
（1）5 （2）3.4
（3） （4）x（x≥0）
12在实数范围内分解因式:4 - 3 ?试试你的反应∵∴解:13能力小测验已知a.b为实数，且满足 求a 的值.14 ?若a.b为实数,且求 的值解:
试试你的反应知识纵横15已知 有意义,那A(a, )
在 象限.二 ?试试你的反应∵由题意知a＜0∴点A(－,＋)知识纵横16点击中考:实数p在数轴上的位置如图所示，化简 17二次根式的定义:二次根式的性质:a (a≥ 0)-a (a＜0)==∣a∣18作业1、练习册16.12、一课一练P1-2再见
