高中数学人教A版（2019）选修1 1.3 空间向量及其运算的坐标表示章节综合练习题（答案+解析）

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1.3 空间向量及其运算的坐标表示
一、选择题
1．（2022高二上·辽宁期中）已知点，，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022高二上·通州期中）在长方体中，可以作为空间向量一个基底的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．已知空间内 ， ， 为三个两两垂直的单位向量，若 ， ，则 的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
4．在空间直角坐标系中，点 与点 （　　）
A．关于 平面对称 B．关于 平面对称
C．关于 平面对称 D．关于 轴对称
5．已知点A在基底{，，}下的坐标为（8，6，4），其中=+，=+，=+，则点A在基底{，，}下的坐标为（　　）
A．（12，14，10） B．（10，12，14）
C．（14，10，12） D．（4，2，3）
6．设M（5，﹣1，2），A（4，2，﹣1），O（0，0，0），若=，则点B的坐标应为（　　）
A．（﹣1，3，﹣3） B．（1，﹣3，3）
C．（9，1，1） D．（﹣9，﹣1，﹣1）
7．若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2）．，夹角的余弦值是，则λ的值为（　　）
A．2 B．-2 C．-3 D．3
8．（2023高二上·三明期末）若向量，，且，则的值为（　　）
A． B．0 C．6 D．8
9．（2023高二下·北仑开学考）已知空间向量，，，若，则（　　）
A．2 B．-2 C．14 D．-14
10．（2023高二上·汕尾期末）已知空间向量，则（　　）
A． B． C． D．
11．（2022高二上·沂水期中）已知空间向量，，则（　　）
A． B．6 C．36 D．40
12．（2022高二上·柳州期中）已知向量，若，则实数的值为（　　）
A．8 B．7 C．-7 D．14
13．（2022高二上·东海期中）已知三点，且，则实数的值为（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
14．（2022高二上·东光期中）已知则（　　）
A．2 B． C．1 D．0
15．（2022高二上·黔东南期中）已知向量，，则的值为（　　）
A． B．9 C．－7 D．7
16．（2022高二上·黔东南期中）已知向是，，且，则实数m的值为（　　）
A．2 B．4 C．－2或4 D．
17．（2022高二上·房山期中）已知，且，则的值是（　　）
A． B． C． D．2
18．（2022高二上·绍兴月考）设，，与垂直，则等于（　　）
A．6 B．14 C．-14 D．-6
19．（2022高二下·汕尾期末）如图，平行六面体中，为的中点.若，则（　　）
A． B．
C． D．
20．（2022·济南二模）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且 ，E为线段AD上一点，若 与 的面积相等，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
21．（2022高二上·黑龙江期末）已知向量，，且与互相平行，则的值为（　　）
A．-2 B． C． D．
22．（2022高二上·南宁期末）已知三维数组，，且，则实数（　　）
A．-2 B．-9 C． D．2
23．（2021高二上·河北期中）已知 ，则点A到直线 的距离为（　　）
A． B． C． D．
24．（2021高二上·太原期中）已知 ， ，且 ，则实数 （　　）
A．-2 B．2 C．-8 D．8
25．（2021高二上·河北期中）已知点 ， 分别与点 关于 轴和 轴对称，则 （　　）
A． B． C． D．
26．（2022高二上·定远月考）已知 ， ， ，若 四点共面，则实数 （　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
27．（2021高二上·河东期中）已知直线 的一个方向向量 ，且直线 过 和 两点，则 （　　）
A．0 B．1 C． D．3
28．（2021高二上·深圳期中）已知向量 ，若 ，则 的值等于（　　）
A．1 B． C． D．
29．（2021高二上·河北月考）设直线 、 的方向向量分别为 ， ，能得到 的是（　　）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
30．（2021高二上·葫芦岛月考）若空间向量 ， ，则 （　　）
A． B．3 C． D．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】由点，，则。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算，进而得出向量的坐标。
2．【答案】C
【解析】【解答】如图所示：
A. 因为，且，，共面，故，，不能作为基底，A不符合题意；
B. 因为=+，且 ，，共面，故，，不能作为基底，B不符合题意；
C. 因为，，不共面，故，，可以作为基底，C符合题意；
D. 因为，，共面，且，故，，共面，所以，，不能作为基底，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据正方体的性质，结合空间基底的定义和判定方法，逐项判定，即可求解.
3．【答案】A
【解析】【解答】令 ， ， ，
原式等价于 ，
令 ， ，
因为 ， ，所以 在 平面内，即（平面 ）.
在 ， ， 平面内的任意一点，
所以问题等价于求 的最小值，显然 点取 在各平面内的投影时最小.
往下可分三种情况求解：
①当 在平面 内时，作 的垂面 ，作 ， 为 投影在 上投影，易得： 作 的平面图， ，
此时， ， ，所以 ，
所以 ，所以当 在 点时 最小为 .
同理：②当 在平面 内时， 在 上，可得平面图：
此时： ， ， ，
所以 ，
同理③当 在平面 内时， ， ， ，
当 时， 最小.
所以 ， ，
.
综上： 最小为 .
故答案为：A.
【分析】令 ， ， ，令 ， ，问题等价于求 的最小值，讨论 在平面 内， 在平面 内， 在平面 内三种情况，分别计算得到的答案.
4．【答案】C
【解析】【解答】两个点 和 ， 两个坐标相同， 坐标相反，故关于 平面对称，故选C.
【分析】利用“关于哪个对称，哪个坐标就相同”，得出正确选项.
5．【答案】A
【解析】【解答】∵8+6+4=8（+）+6（+）+4（+）
=12+14+10，
∴点A在{{，，}下的坐标为（12，14，10）．
故选A．
【分析】利用空间向量的坐标运算即可得出．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：设点B的坐标为（x，y，z）；
则=（5，﹣1，2）
=（x﹣4，y﹣2，z+1），
则由=，得
x﹣4=5，y﹣2=﹣1，z+1=2，
解得，x=9，y=1，z=1，
故选C．
【分析】设点B的坐标为（x，y，z）；表示出，，由=解出B的坐标．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：设向量，的夹角为θ，则
∵向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），
∴cosθ=
解得λ=﹣2，
故选B．
【分析】设向量，的夹角为θ，可得cosθ=，解这个关于λ的方程即可．
8．【答案】D
【解析】【解答】依题意，向量，，且，
通过观察横坐标可知，
所以，
所以.
故答案为：D
【分析】根据题意，得到，列出方程，即可求解.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，
所以，
所以m-n=6-(-8)=14，
故选：C
【分析】利用空间向量平行的性质，列出方程组，解得m，n即可得答案.
10．【答案】C
【解析】【解答】.
故答案为：C
【分析】利用空间向量坐标的线性运算法则得到答案.
11．【答案】B
【解析】【解答】由题意，.
故答案为：B
【分析】写出两向量的差，求出模即可.
12．【答案】B
【解析】【解答】已知向量，因为，
所以，解得．
故答案为：B．
【分析】根据空间向量的数量积的坐标运算公式，列出方程，即可求解.
13．【答案】A
【解析】【解答】由两点间的距离公式，及可得：，解得.
故答案为：A
【分析】根据两点间的距离公式和，列出方程，即可求解.
14．【答案】D
【解析】【解答】由可得
∵，故，
∴，，
∴，
故答案为：D
【分析】根据向量的坐标运算，求得，根据，列出方程，即可求解.
15．【答案】D
【解析】【解答】.
故答案为：D
【分析】根据空间向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.
16．【答案】C
【解析】【解答】，由，
得，解得或－2．
故答案为：C.
【分析】先求得，结合，列出方程，即可求解.
17．【答案】A
【解析】【解答】因为，且，
所以，解得，
故答案为：A
【分析】根据，列出方程，即可求解.
18．【答案】C
【解析】【解答】由题设，，
∴，
∴.
故答案为：C
【分析】根据已知向量坐标求的坐标，再由空间向量垂直的坐标表示求.
19．【答案】A
【解析】【解答】，故，，，即
故答案为：A.
【分析】根据题意由向量的加减运算性质，结合已知条件代入数值计算出结果即可。
20．【答案】D
【解析】【解答】∵D在线段BC上，且 ，
∴ ，又 为线段AD上一点，若 与 的面积相等，
∴ ， 为 的中点，
如图建立平面直角坐标系，
则 ，
∴ ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】如图建立平面直角坐标系，得到A，B，C，D，E，坐标，由向量数量积的坐标表示即可求解。
21．【答案】A
【解析】【解答】由题设， ， ，
∵ 与 互相平行，
∴ 且 ，则 ，可得 .
故答案为：A
【分析】根据空间向量的坐标运算，求得 ， ，结合 与 互相平行，列出方程组，即可求解.
22．【答案】D
【解析】【解答】∵，，，，，，且，
∴，解得．
故答案为：D．
【分析】根据题意由数量积的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
23．【答案】A
【解析】【解答】由 ，可得 ，
则向量 在 方向上的投影为 ，
所以点A到直线 的距离 ．
故答案为：A.
【分析】根据题意由点的坐标求出向量的坐标，然后由投影公式计算出投影的值，再由点到直线的距离公式计算出结果即可。
24．【答案】C
【解析】【解答】解：因为 ，所以存在实数 ，使得 ，
所以 ，解得 .
故答案为：C
【分析】由空间向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
25．【答案】A
【解析】【解答】依题意，点 关于 轴对称点 ，关于 轴对称点 ，
所以 .
故答案为：A
【分析】根据题意由空间向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
26．【答案】D
【解析】【解答】若 四点共面，则存在实数 使得 成立，
则 解得
故答案为：D．
【分析】根据题意由四点共面的性质，结合向量线性运算的坐标公式，整理由此即可求出的值。
27．【答案】D
【解析】【解答】∵ 和 ， ，
∵直线 的一个方向向量为 ，故设 ，
∴ ，即 ， ，∴ ，
故答案为：D.
【分析】 由已知条件即可得出先求出，由直线方向向量的定义列出方程，求出a，b的值，由此求出a+b的值。
28．【答案】D
【解析】【解答】
， ，
，则 ，
即 ，解得 .
故答案为：D
【分析】根据题意由空间向量的坐标和向量模的坐标公式计算出向量的模，再把数值代入到数量积的坐标公式结合已知条件，计算出k的值即可。
29．【答案】B
【解析】【解答】对于A，因 ， ，则 ，A不能；
对于B，因 ， ，则 ，B能；
对于C，因 ， ，则 ，C不能；
对于D，因 ， ，则 ，则D不能.
故答案为：B
【分析】根据题意由数量积的坐标公式代入数值计算出结果，再由数量积的性质即可得到向量垂直，由此得到直线的垂直，对选项逐一判断即可得出答案。
30．【答案】D
【解析】【解答】解： ，
.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合向量加法坐标运算和向量模长的坐标表示，可以算出模长.
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