高中数学人教A版（2019）选修1 1.4 空间向量应用1（点线面位置、距离、法向量）表示章节综合练习题（答案+解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选修1 1.4 空间向量应用1（点线面位置、距离、法向量）表示章节综合练习题（答案+解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 920.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-31 17:36:13 | ||
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文档简介
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1.4 空间向量应用1（点线面位置、距离、法向量）
一、选择题
1． 以下四个命题中，正确命题的个数是（ ）
①不共面的四点中，任意三点不共线；
②若点，，，共面，点，，，共面，则，，，，共面；
③若直线，共面，直线，共面，则直线，共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0 B．1 C．2 D．3
2． 如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，两个平面内以交点为顶点的两个三角形是（ ）
A．相似但不全等的三角形 B．全等三角形
C．面积相等的不全等三角形 D．以上结论都不对
3． 在下列条件中，可判断平面与平行的是（ ）
A．，都垂直于平面
B．内存在三点到的距离相等
C．，是内两条直线，且，
D．，是两条异面直线，且，，，
4． 如图所示，下列符号表示错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高二上·顺义期末）空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022高二上·丰台期中）在空间直角坐标系中，若有且只有一个平面，使点到的距离为1，且点到的距离为4，则的值为（ ）
A．2 B．1或3 C．2或4 D．或
7．（2022高二上·丰台期中）已知平面，其中点，向量，则下列各点中在平面内的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·内江模拟）如图，长方体
中，点E，F分别是棱
，
上的动点（异于所在棱的端点）.给出以下结论：①在F运动的过程中，直线
能与AE平行；②直线
与EF必然异面；③设直线AE，AF分别与平面A1B1C1D1相交于点P，Q，则点
可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．（2023高二下·成都期中）已知，，，则平面ABC的一个法向量可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·静安模拟）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使∥的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2023高二上·石景山期末）已知是直线l的方向向量，是平面的法向量．若，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023高二上·长春期末）已知平面α的法向量为=（1，2，-2），平面β的法向量为=（-2，-4，k），若α⊥β，则k等于（ ）
A．4 B．-4 C．5 D．-5
13．（2023高二上·官渡期末）直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A．-2 B．2 C．6 D．10
14．（2022高二上·博罗期中）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A． B． C． D．与斜交
15．（2022高二上·金华期中）若平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则实数（ ）
A．2 B． C． D．10
16．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2022高二上·河南期中）平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
18．（2022高三上·安阳月考）在长方体中，E是的中点，，且平面，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
19．（2022高二上·沧州月考）已知，则平面ABC的一个单位法向量是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2022·桂林模拟）已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（ ）
A． B．
C．与相交但不垂直 D．或
21．（2022高二上·河北期末）如图，在单位正方体中，以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面的法向量是（）
A．，1， B．，1， C．，， D．，1，
22．（2021高二上·慈溪期末）已知直线 的一个方向向量 ，平面 的一个法向量 ，若 ，则 （ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
23．（2022高三上·闵行模拟）若直线l的一个方向向量为，则l的法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
24．（2023高二上·临安开学考）已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
25．在空间直角坐标系中，已知，且平面的法向量为，则到平面的距离等于（ ）
A． B．4 C． D．
26．（2023高二上·辉南月考）已知空间中三点，，，那么点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
27．（2023高一下·房山期末）在三棱锥中，两两垂直，，则点到平面的距离等于（ ）
A．1 B． C． D．
28．（2023高二下·宁波期末）如图，直角梯形，，，，是边中点，沿翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
29．（2023高二下·浙江期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，是线段的中点，是线段的中点，则点到平面的距离是（ ）
A． B． C． D．
30．（2023·宜宾模拟）已知长方体中，，，为的中点，则下列判断不正确的是（ ）
A．平面
B．点到平面的距离是
C．平面
D．异面直线与所成角的余弦值为
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】①如果其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这种情况就四点共面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确。
②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则②不正确；
③直线，共面，直线，共面，不能得出直线，共面，所以③不正确；
④依次首尾相接的四条线段，可以是三棱锥，此时四边形的四条边不在一个平面上，所以④不正确；
故选：B.
【分析】本题主要考查真假命题，结合空间中的点、线、面的关系逐一分析，每个命题只要能举出反向例子就可以说此命题是错误的.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：结合图形，由题知，，
所以平面 ，平面 ，
根据面面平行的性质定理，可得 ，
则四边形为平行四边形， .
同理 ，
.
故答案为：B.
【分析】由面面平行的性质定理判断，得，从而可得出结论.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：对于A，若，都垂直于平面，，可以相交或平行，故A错误；
对于B，平面，可以相交，故B错误；
对于C，两条直线若平行，则与不一定平行，故C错误；
对于D，根据面面平行的判定定理，可以证明.故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据平面与平面平行的判定定理即可分析各选项得出结论.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：由图可知，点P在平面内，直线在平面内，且点P在直线外，
故有，，.故A错误，
故答案为：A.
【分析】由点、线、面的位置关系以及集合与元素的关系、集合与集合的关系即可求解.
5．【答案】B
【解析】【解答】点关于平面对称的点的坐标为，
故答案为：B
【分析】 空间直角坐标系中，点P(x， y， z)关于平面xOz对称的点的坐标为(x， -y， z).
6．【答案】B
【解析】【解答】因为有且只有一个平面，使点到的距离为1，且点到的距离为4，所以，且两点在平面同侧，，
，或m=3，
若，则线段与平面至少有下列两种位置关系，即平面至少有两个．
若，由上面的图形知，两点到平面的距离的差的绝对值不大于，与已知矛盾，即不存在平面满足题意．
故答案为：B．
【分析】利用有且只有一个平面，使点到的距离为1，且点到的距离为4，所以，且两点在平面同侧，得出AB的长，再利用空间两点距离公式得出m的值，若，则线段与平面至少有下列两种位置关系，即平面至少有两个，若，由上面的图形知，两点到平面的距离的差的绝对值不大于，与已知矛盾，即不存在平面满足题意，从而求出满足要求的m的值。
7．【答案】A
【解析】【解答】因为，
对于A，，故，即，故选项A中的点在平面内，故A正确；
对于B，，故，即不互相垂直，故选项B中的点不在平面内，故B错误；
对于C，，故，即不互相垂直，故选项C中的点不在平面内，故C错误；
对于D，，故，即不互相垂直，故选项D中的点不在平面内，故D错误.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合向量的坐标表示和点与平面的位置关系， 从而找出在平面内的点的坐标。
8．【答案】B
【解析】【解答】长方体 中， ，连接 ， ，当点E，F分别是棱 ， 中点时，由勾股定理得：
，故 ，同理可得： ，故四边形 是平行四边形，所以在F运动的过程中，直线 能与AE平行， 与EF相交，①正确，②错误；
以 为坐标原点， ， ， 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则当点E，F分别是棱 ， 中点且长方体为正方体时，设棱长为2，则 ， ， ，则 ， ，则 ，又两向量有公共点，所以 三点共线，故则点 可能在直线PQ上，③正确.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合长方体的结构特征，再结合线线平行的判断方法、异面直线的判断方法和点与直线的位置关系判断方法，进而由空间向量的方法得出正确结论的序号。
9．【答案】A
【解析】【解答】，，令法向量为，则，
，可取.
故答案为：A.
【分析】 根据已知条件，先求出，坐标，再结合法向量的定义，列出方程组，即可求解出答案.
10．【答案】C
【解析】【解答】由∥，则直线的方向向量为与平面的法向量为互相垂直，
A：，
A不正确；
B：，
B不正确；
C：，
C符合题意；
D：，
D不正确；
故答案为：C.
【分析】由∥，则直线的方向向量为与平面的法向量为互相垂直，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示得出正确的选项。
11．【答案】C
【解析】【解答】若，则，
即，解得，且，即.
故答案为：C.
【分析】根据题意，由线面垂直的判断方法可得，则有，求解出，可得答案.
12．【答案】D
【解析】【解答】由平面α的法向量为，平面β的法向量为，
∵α⊥β，∴，
∴，
∴。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合平面的法向量求解方法得出平面的法向量，再结合向量 垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而得出实数k的值。
13．【答案】D
【解析】【解答】因为，直线的方向向量为，平面的法向量为，
所以，即，，
解得，
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合直线的方向向量和平面的法向量的求解方法，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出实数k的值。
14．【答案】A
【解析】【解答】由题意得：，则，。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合直线的方向向量求解方法、平面的法向量求解方法，再结合线面垂直的判定定理，进而找出正确的选项。
15．【答案】B
【解析】【解答】若，则
则，
解得：。
故答案为：B.
【分析】利用平面的法向量求解方法，由，则，再结合数量积的坐标表示和数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出实数k的值。
16．【答案】B
【解析】【解答】由题意，符合条件的点应满足，
A：，则，故不在平面内，不满足；
B：同理，则，故在平面内，满足；
C：同理，则，故不在平面内，不满足；
D：同理，则，故不在平面内，不满足；
故答案为：B
【分析】根据题意，转化为符合条件的点应满足，逐项验证，即可求解.
17．【答案】D
【解析】【解答】设平面与平面夹角为，则，
则，
所以。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式，进而得出平面与平面夹角的正切值。
18．【答案】B
【解析】【解答】以为原点，分别以，，的方向为，，轴为正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
设，，，
则，，，，
所以，，，
因为，所以，所以，
所以，
设平面的法向量为，
所以，当时，，则，
因为平面，所以，
所以，解得，
故答案为：B
【分析】以为原点，分别以，，的方向为，，轴为正方向建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，集合，列出方程，即可求解.
19．【答案】B
【解析】【解答】因为
所以，
令平面ABC的一个法向量为
可得，即，令，则，所以
故平面ABC的单位法向量是，即或．
故答案为：B．
【分析】根据平面的法向量的特点，结合空间向量的数量积运算，即可求出平面的一个法向量。
20．【答案】D
【解析】【解答】，，或.
故答案为：D.
【分析】根据题意由数量积的坐标公式，计算出向量垂直，由平面的法向量的性质，即可得出直线与平面的位置关系。
21．【答案】A
【解析】【解答】在单位正方体 中，
以 为原点， ， ， 为坐标向量建立空间直角坐标系，
，0， ， ，1， ， ，1， ，
，1， ， ，0， ，
设平面 的法向量是 ， ， ，
则 ，取 ，得 ，1， ，
平面 的法向量是 ，1， 。
故答案为： .
【分析】在单位正方体 中，以 为原点， ， ， 为坐标向量建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合平面的法向量求解方法，进而得出平面 的法向量。
22．【答案】D
【解析】【解答】由 ，可知 ，则有 ，解之得
故答案为：D
【分析】利用线面垂直的性质直接求解，即可得答案。
23．【答案】C
【解析】【解答】，A错误.
，B错误.
，C正确.
，D错误.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合直线的方向向量求解方法，再结合直线的法向量的求解方法以及数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示得出直线l的法向量的坐标。
24．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，可得，
则，可得，
所以 点到直线的距离.
故答案为：D.
【分析】建系，利用空间向量求点到线的距离.
25．【答案】C
【解析】【解答】解：由距离公式可得到平面的距离.
故答案为：C.
【分析】直接利用空间向量的点到平面的距离公式计算即可.
26．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得 ， ，
，
点到直线的距离为.
故答案为：A.
【分析】结合空间向量利用公式求点到直线的距离.
27．【答案】D
【解析】【解答】 设点V到平面ABC的距离为h，
由 两两垂直， ，得AB=BC=AC=，
故，
又，，面VBC，
则面VBC
又由VA- VBC= Vv-ABC，得，即，解得
即点V到平面ABC的距离为
故选：D.
【分析】 利用等体积法求解可得答案.
28．【答案】B
【解析】【解答】根据题意建立空间直角坐标系，如图：
可得：C(0，0，0)、B(1，0，0)、A(1，1，0)、E(0，1，0)
设点D的坐标为（0，b，c），由题意可得：0＜b＜2，0＜c≤1，
所以
设平面的法向量为，可得：
即
令z=1，则x=c，
所以平面的一个法向量为
点C到平面的距离d=
又因为0＜c≤1，
所以，当c=1时，等号成立，
所以距离d的最大值是，
故选：B.
【分析】根据已知条件，建立空间直角坐标系，设出点的坐标（0，b，c），求出平面的法向量，利用空间向量中点到面的距离公式，得到距离d关于参数c的函数，求函数的最大值（即距离的最大值）。
29．【答案】A
【解析】【解答】，点到底面的距离，
所以，
，，
因为平面，平面，所以，且，
，平面，平面，所以平面，
且平面，所以，
所以，
因为是线段的中点，是线段的中点，所以，
因为，所以，
，
设点到平面的距离为，
则，即.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合三角形的面积公式得出的值，再结合中点的性质得出点到底面的距离，再结合三棱锥的体积公式得出的值，再利用中点的性质和勾股定理和线面垂直的定义，进而证出线线垂直，所以，且，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用勾股定理得出PC的长，再结合是线段的中点，是线段的中点，从而结合中点的性质得出EF的长，再利用勾股定理得出，再结合三角形的面积公式得出的值，再结合三棱锥的体积公式和等体积法得出点到平面的距离。
30．【答案】C
【解析】【解答】如图所示，以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设平面的法向量为，则，
取得到，
对A：，，平面，故平面，正确；
对B：，点到平面的距离是，正确；
对C：，与不平行，错误；
对D：，，与所成角的余弦值为，正确.
故答案为：C
【分析】以为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量为，再根据公式依次计算每个选项得到答案.
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1.4 空间向量应用1（点线面位置、距离、法向量）
一、选择题
1． 以下四个命题中，正确命题的个数是（ ）
①不共面的四点中，任意三点不共线；
②若点，，，共面，点，，，共面，则，，，，共面；
③若直线，共面，直线，共面，则直线，共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0 B．1 C．2 D．3
2． 如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，两个平面内以交点为顶点的两个三角形是（ ）
A．相似但不全等的三角形 B．全等三角形
C．面积相等的不全等三角形 D．以上结论都不对
3． 在下列条件中，可判断平面与平行的是（ ）
A．，都垂直于平面
B．内存在三点到的距离相等
C．，是内两条直线，且，
D．，是两条异面直线，且，，，
4． 如图所示，下列符号表示错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高二上·顺义期末）空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022高二上·丰台期中）在空间直角坐标系中，若有且只有一个平面，使点到的距离为1，且点到的距离为4，则的值为（ ）
A．2 B．1或3 C．2或4 D．或
7．（2022高二上·丰台期中）已知平面，其中点，向量，则下列各点中在平面内的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·内江模拟）如图，长方体
中，点E，F分别是棱
，
上的动点（异于所在棱的端点）.给出以下结论：①在F运动的过程中，直线
能与AE平行；②直线
与EF必然异面；③设直线AE，AF分别与平面A1B1C1D1相交于点P，Q，则点
可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．（2023高二下·成都期中）已知，，，则平面ABC的一个法向量可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·静安模拟）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使∥的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2023高二上·石景山期末）已知是直线l的方向向量，是平面的法向量．若，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023高二上·长春期末）已知平面α的法向量为=（1，2，-2），平面β的法向量为=（-2，-4，k），若α⊥β，则k等于（ ）
A．4 B．-4 C．5 D．-5
13．（2023高二上·官渡期末）直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A．-2 B．2 C．6 D．10
14．（2022高二上·博罗期中）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A． B． C． D．与斜交
15．（2022高二上·金华期中）若平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则实数（ ）
A．2 B． C． D．10
16．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2022高二上·河南期中）平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
18．（2022高三上·安阳月考）在长方体中，E是的中点，，且平面，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
19．（2022高二上·沧州月考）已知，则平面ABC的一个单位法向量是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2022·桂林模拟）已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（ ）
A． B．
C．与相交但不垂直 D．或
21．（2022高二上·河北期末）如图，在单位正方体中，以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面的法向量是（）
A．，1， B．，1， C．，， D．，1，
22．（2021高二上·慈溪期末）已知直线 的一个方向向量 ，平面 的一个法向量 ，若 ，则 （ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
23．（2022高三上·闵行模拟）若直线l的一个方向向量为，则l的法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
24．（2023高二上·临安开学考）已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
25．在空间直角坐标系中，已知，且平面的法向量为，则到平面的距离等于（ ）
A． B．4 C． D．
26．（2023高二上·辉南月考）已知空间中三点，，，那么点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
27．（2023高一下·房山期末）在三棱锥中，两两垂直，，则点到平面的距离等于（ ）
A．1 B． C． D．
28．（2023高二下·宁波期末）如图，直角梯形，，，，是边中点，沿翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
29．（2023高二下·浙江期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，是线段的中点，是线段的中点，则点到平面的距离是（ ）
A． B． C． D．
30．（2023·宜宾模拟）已知长方体中，，，为的中点，则下列判断不正确的是（ ）
A．平面
B．点到平面的距离是
C．平面
D．异面直线与所成角的余弦值为
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】①如果其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这种情况就四点共面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确。
②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则②不正确；
③直线，共面，直线，共面，不能得出直线，共面，所以③不正确；
④依次首尾相接的四条线段，可以是三棱锥，此时四边形的四条边不在一个平面上，所以④不正确；
故选：B.
【分析】本题主要考查真假命题，结合空间中的点、线、面的关系逐一分析，每个命题只要能举出反向例子就可以说此命题是错误的.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：结合图形，由题知，，
所以平面 ，平面 ，
根据面面平行的性质定理，可得 ，
则四边形为平行四边形， .
同理 ，
.
故答案为：B.
【分析】由面面平行的性质定理判断，得，从而可得出结论.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：对于A，若，都垂直于平面，，可以相交或平行，故A错误；
对于B，平面，可以相交，故B错误；
对于C，两条直线若平行，则与不一定平行，故C错误；
对于D，根据面面平行的判定定理，可以证明.故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据平面与平面平行的判定定理即可分析各选项得出结论.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：由图可知，点P在平面内，直线在平面内，且点P在直线外，
故有，，.故A错误，
故答案为：A.
【分析】由点、线、面的位置关系以及集合与元素的关系、集合与集合的关系即可求解.
5．【答案】B
【解析】【解答】点关于平面对称的点的坐标为，
故答案为：B
【分析】 空间直角坐标系中，点P(x， y， z)关于平面xOz对称的点的坐标为(x， -y， z).
6．【答案】B
【解析】【解答】因为有且只有一个平面，使点到的距离为1，且点到的距离为4，所以，且两点在平面同侧，，
，或m=3，
若，则线段与平面至少有下列两种位置关系，即平面至少有两个．
若，由上面的图形知，两点到平面的距离的差的绝对值不大于，与已知矛盾，即不存在平面满足题意．
故答案为：B．
【分析】利用有且只有一个平面，使点到的距离为1，且点到的距离为4，所以，且两点在平面同侧，得出AB的长，再利用空间两点距离公式得出m的值，若，则线段与平面至少有下列两种位置关系，即平面至少有两个，若，由上面的图形知，两点到平面的距离的差的绝对值不大于，与已知矛盾，即不存在平面满足题意，从而求出满足要求的m的值。
7．【答案】A
【解析】【解答】因为，
对于A，，故，即，故选项A中的点在平面内，故A正确；
对于B，，故，即不互相垂直，故选项B中的点不在平面内，故B错误；
对于C，，故，即不互相垂直，故选项C中的点不在平面内，故C错误；
对于D，，故，即不互相垂直，故选项D中的点不在平面内，故D错误.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合向量的坐标表示和点与平面的位置关系， 从而找出在平面内的点的坐标。
8．【答案】B
【解析】【解答】长方体 中， ，连接 ， ，当点E，F分别是棱 ， 中点时，由勾股定理得：
，故 ，同理可得： ，故四边形 是平行四边形，所以在F运动的过程中，直线 能与AE平行， 与EF相交，①正确，②错误；
以 为坐标原点， ， ， 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则当点E，F分别是棱 ， 中点且长方体为正方体时，设棱长为2，则 ， ， ，则 ， ，则 ，又两向量有公共点，所以 三点共线，故则点 可能在直线PQ上，③正确.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合长方体的结构特征，再结合线线平行的判断方法、异面直线的判断方法和点与直线的位置关系判断方法，进而由空间向量的方法得出正确结论的序号。
9．【答案】A
【解析】【解答】，，令法向量为，则，
，可取.
故答案为：A.
【分析】 根据已知条件，先求出，坐标，再结合法向量的定义，列出方程组，即可求解出答案.
10．【答案】C
【解析】【解答】由∥，则直线的方向向量为与平面的法向量为互相垂直，
A：，
A不正确；
B：，
B不正确；
C：，
C符合题意；
D：，
D不正确；
故答案为：C.
【分析】由∥，则直线的方向向量为与平面的法向量为互相垂直，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示得出正确的选项。
11．【答案】C
【解析】【解答】若，则，
即，解得，且，即.
故答案为：C.
【分析】根据题意，由线面垂直的判断方法可得，则有，求解出，可得答案.
12．【答案】D
【解析】【解答】由平面α的法向量为，平面β的法向量为，
∵α⊥β，∴，
∴，
∴。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合平面的法向量求解方法得出平面的法向量，再结合向量 垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而得出实数k的值。
13．【答案】D
【解析】【解答】因为，直线的方向向量为，平面的法向量为，
所以，即，，
解得，
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合直线的方向向量和平面的法向量的求解方法，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出实数k的值。
14．【答案】A
【解析】【解答】由题意得：，则，。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合直线的方向向量求解方法、平面的法向量求解方法，再结合线面垂直的判定定理，进而找出正确的选项。
15．【答案】B
【解析】【解答】若，则
则，
解得：。
故答案为：B.
【分析】利用平面的法向量求解方法，由，则，再结合数量积的坐标表示和数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出实数k的值。
16．【答案】B
【解析】【解答】由题意，符合条件的点应满足，
A：，则，故不在平面内，不满足；
B：同理，则，故在平面内，满足；
C：同理，则，故不在平面内，不满足；
D：同理，则，故不在平面内，不满足；
故答案为：B
【分析】根据题意，转化为符合条件的点应满足，逐项验证，即可求解.
17．【答案】D
【解析】【解答】设平面与平面夹角为，则，
则，
所以。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式，进而得出平面与平面夹角的正切值。
18．【答案】B
【解析】【解答】以为原点，分别以，，的方向为，，轴为正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
设，，，
则，，，，
所以，，，
因为，所以，所以，
所以，
设平面的法向量为，
所以，当时，，则，
因为平面，所以，
所以，解得，
故答案为：B
【分析】以为原点，分别以，，的方向为，，轴为正方向建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，集合，列出方程，即可求解.
19．【答案】B
【解析】【解答】因为
所以，
令平面ABC的一个法向量为
可得，即，令，则，所以
故平面ABC的单位法向量是，即或．
故答案为：B．
【分析】根据平面的法向量的特点，结合空间向量的数量积运算，即可求出平面的一个法向量。
20．【答案】D
【解析】【解答】，，或.
故答案为：D.
【分析】根据题意由数量积的坐标公式，计算出向量垂直，由平面的法向量的性质，即可得出直线与平面的位置关系。
21．【答案】A
【解析】【解答】在单位正方体 中，
以 为原点， ， ， 为坐标向量建立空间直角坐标系，
，0， ， ，1， ， ，1， ，
，1， ， ，0， ，
设平面 的法向量是 ， ， ，
则 ，取 ，得 ，1， ，
平面 的法向量是 ，1， 。
故答案为： .
【分析】在单位正方体 中，以 为原点， ， ， 为坐标向量建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合平面的法向量求解方法，进而得出平面 的法向量。
22．【答案】D
【解析】【解答】由 ，可知 ，则有 ，解之得
故答案为：D
【分析】利用线面垂直的性质直接求解，即可得答案。
23．【答案】C
【解析】【解答】，A错误.
，B错误.
，C正确.
，D错误.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合直线的方向向量求解方法，再结合直线的法向量的求解方法以及数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示得出直线l的法向量的坐标。
24．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，可得，
则，可得，
所以 点到直线的距离.
故答案为：D.
【分析】建系，利用空间向量求点到线的距离.
25．【答案】C
【解析】【解答】解：由距离公式可得到平面的距离.
故答案为：C.
【分析】直接利用空间向量的点到平面的距离公式计算即可.
26．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得 ， ，
，
点到直线的距离为.
故答案为：A.
【分析】结合空间向量利用公式求点到直线的距离.
27．【答案】D
【解析】【解答】 设点V到平面ABC的距离为h，
由 两两垂直， ，得AB=BC=AC=，
故，
又，，面VBC，
则面VBC
又由VA- VBC= Vv-ABC，得，即，解得
即点V到平面ABC的距离为
故选：D.
【分析】 利用等体积法求解可得答案.
28．【答案】B
【解析】【解答】根据题意建立空间直角坐标系，如图：
可得：C(0，0，0)、B(1，0，0)、A(1，1，0)、E(0，1，0)
设点D的坐标为（0，b，c），由题意可得：0＜b＜2，0＜c≤1，
所以
设平面的法向量为，可得：
即
令z=1，则x=c，
所以平面的一个法向量为
点C到平面的距离d=
又因为0＜c≤1，
所以，当c=1时，等号成立，
所以距离d的最大值是，
故选：B.
【分析】根据已知条件，建立空间直角坐标系，设出点的坐标（0，b，c），求出平面的法向量，利用空间向量中点到面的距离公式，得到距离d关于参数c的函数，求函数的最大值（即距离的最大值）。
29．【答案】A
【解析】【解答】，点到底面的距离，
所以，
，，
因为平面，平面，所以，且，
，平面，平面，所以平面，
且平面，所以，
所以，
因为是线段的中点，是线段的中点，所以，
因为，所以，
，
设点到平面的距离为，
则，即.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合三角形的面积公式得出的值，再结合中点的性质得出点到底面的距离，再结合三棱锥的体积公式得出的值，再利用中点的性质和勾股定理和线面垂直的定义，进而证出线线垂直，所以，且，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用勾股定理得出PC的长，再结合是线段的中点，是线段的中点，从而结合中点的性质得出EF的长，再利用勾股定理得出，再结合三角形的面积公式得出的值，再结合三棱锥的体积公式和等体积法得出点到平面的距离。
30．【答案】C
【解析】【解答】如图所示，以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设平面的法向量为，则，
取得到，
对A：，，平面，故平面，正确；
对B：，点到平面的距离是，正确；
对C：，与不平行，错误；
对D：，，与所成角的余弦值为，正确.
故答案为：C
【分析】以为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量为，再根据公式依次计算每个选项得到答案.
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