高中数学人教A版（2019）选修1 1.4 空间向量应用2（线线、线面夹角；点线、点面距离）章节综合练习题（答案+解析）
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| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选修1 1.4 空间向量应用2（线线、线面夹角；点线、点面距离）章节综合练习题（答案+解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-31 17:40:29 | ||
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文档简介
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1.4 空间向量应用2（线线、线面夹角；点线、点面距离）
一、选择题
1．（2023高二上·榆林期末）已知向量，分别为平面，的法向量，则平面与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二上·通州期中）设，分别是平面，的法向量，其中，，若，则（ ）
A． B． C．3 D．
3．（2021高二上·辽宁月考）若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则（ ）
A． B．
C． D． 与 斜交
4．若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则可能使 的是
A． ，0， ， ，0，
B． ，3， ， ，0，
C． ，2， ， ，0，
D． ， ， ， ，3，
5．若直线l的一个方向向量 ，平面α的一个法向量为 ，则（ ）
A． B．
C． D．A、C都有可能
6．（2023高二下·响水）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑”中，平面，，且，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二下·响水）已知直线，的方向向量分别为，，则直线，夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．给出以下命题，其中正确的是（ ）
A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
B．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α
C．平面α、β的法向量分别为，，则α∥β
D．平面α经过三个点A(1，0，-1)，B(0，-1，0)，C(-1，2，0)，向量是平面α的法向量，则u+t=1
9．（2022高二上·宿州期中）若向量是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（）
A．平行 B．垂直
C．直线在平面内 D．相交但不垂直
10．（2023高二下·镇巴县期末）如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023高二下·成都期中）如图，将的菱形ABCD沿对角线BD折起，使得平面平面CBD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023高二下·郫都期中）在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023高二下·大荔期末）已知直三棱柱的所有棱长都相等，M为的中点，则AM与所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·河北会考）如图所示的八面体的表面是由2个全等的等边三角形和6个全等的等腰梯形组成，设，，有以下四个结论：
①平面； ②平面；
③直线与成角的余弦值为④直线与平面所成角的正弦值为．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2023高三下·濮阳开学考）在直三棱柱中，，且，若直线与侧面所成的角为，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023高三上·江西期末）在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
17．（2023高二上·恩施期末）在正方体中，分别为，的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
18．（2023高二上·鄠邑期末）在正方体ABCD—中，异面直线AD，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
19．（2022高二上·云南月考）如图，在直三棱柱中，已知，D为的中点，，则，所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
20．（2022高二上·武汉期中）在正四面体中，点E在棱AB上，满足，点F为线段AC上的动点，则（ ）
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得
C．存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为
D．存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为
21．（2023高二下·安康月考）在正方体中，动点P在线段上，点E是的中点，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（ ）
A． B． C． D．
22．（2023高二下·响水）在正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
23．（2023高二下·浙江期中）若正方形ABCD的边长为a，E，F分别为CD，CB的中点（如图1），沿AE，AF将△ADE，△ABF折起，使得点B，D恰好重合于点P（如图2），则直线PA与平面PCE所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
24．（2023高二下·成都期中）若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线l与平面所成的角等于（ ）
A． B． C． D．
25．（2023·广西模拟）如图，在直三棱柱中，棱长均为．，，分别为，，的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
26．（2023·商洛模拟）在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
27．（2023·遂宁模拟）已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·河北会考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面底面，，四棱锥的体积为，为的中点．
28．线段的长是（ ）
A．3 B． C． D．6
29．平面与平面所成二面角的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．1
30．直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
31．（2020高三上·海淀期末）若点 为点 在平面 上的正投影，则记 .如图，在棱长为 的正方体 中，记平面 为 ，平面 为 ，点 是棱 上一动点（与 、 不重合） ， .给出下列三个结论：
①线段 长度的取值范围是 ；②存在点 使得 平面 ；③存在点 使得 .其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
32．（2023高一下·温州期末）如图，在长方体中，，，为棱上一点，且，平面上一动点满足，设是该长方体外接球上一点，则，两点间距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】，，，
，平面与平面的夹角为，
故答案为：A
【分析】根据题意，得到，得到，进而得到平面与平面的夹角.
2．【答案】D
【解析】【解答】，且分别是平面的法向量，则，
则有，故，则.
故答案为：D.
【分析】由 ， 得到，结合共线向量的概念，列出方程，即可求解.
3．【答案】D
【解析】【解答】 所以 与 不平行也不垂直，所以 与 斜交。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合方向向量的定义和法向量的定义，再结合线面的位置关系判断方法，从而找出正确的选项。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：若 ，则 ，
而 中 ，不满足条件；
中 ，不满足条件；
中 ，不满足条件；
中 ，满足条件．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法，再结合方向向量和法向量的求解方法，再利用数量积的坐标表示结合若 ，则 ，从而找出正确答案。
5．【答案】B
【解析】【解答】解: 直线的一个方向向量为 ，平面α的一个法向量为
则 ， ，
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法，再结合方向向量和法向量推出 ， 再利用向量共线定理，进而得出直线与平面的位置关系，从而找出正确答案。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，“鳖臑”A-BCD 是由正方体的四个顶点构成的，
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则 ， ， ， ， ，
则 ， ，
，
则异面直线BM与CD夹角的余弦值为 ．
故选：B．
【分析】将“鳖臑”A-BCD放在正方体内部，建立空间直角坐标系即可利用向量求异面直线BM与CD夹角的余弦值．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：因为直线 ，的方向向量分别为，，
所以 ，
则直线 ， 夹角的余弦值为 .
故选：B.
【分析】利用空间向量的夹角公式计算可得答案.
8．【答案】A
【解析】【解答】对于A，∵，
∴，∴l与m垂直，A符合题意；
对于B，∵与不共线，
∴直线l不垂直平面α，B不符合题意；
对于C，∵与不共线，
∴平面α与平面β不平行，C不符合题意；
对于D，=(-1，-1，1)，=(-1，3，0)，
由n·=-1-u+t=0，n·=-1+3u=0，解得u=，t=，∴u+t=，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据，可判定A符合题意；根据与不共线，可判定B不符合题意；根据与不共线，可判定C不符合题意；根据法向量的求法，求得的值，可判定D不符合题意.
9．【答案】D
【解析】【解答】 ， ， ，故 与 不垂直，即直线 与平面 不平行；
若 ，则 ，无解，故 与 不平行，即直线 与平面 不垂直.
故答案为：D.
【分析】根据题意，由，的坐标分析可得 与 不共线，不垂直，结合直线的方向向量和平面向量法向量的定义分析可得答案.
10．【答案】A
【解析】【解答】以为原点，，，为，，轴建立坐标系，如图
则，，，，，
，，
，
.
故答案为：A
【分析】以为原点，，，为，，轴建立坐标系，利用空间向量求解。
11．【答案】B
【解析】【解答】
如图，取BD中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
令，，，，，
则，，
，
，所成角的余弦值为.
故答案为：.
【分析】取BD中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，令，利用向量夹角公式，即可求出异面直线AB与CD所成角的余弦值.
12．【答案】A
【解析】【解答】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，
∴，
故答案为：A.
【分析】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，然后可求出点A，D1 ， D和B1点的坐标，进而得出向量，的坐标，根据向量夹角的余弦公式即可求出异面直线与所成角的余弦值 .
13．【答案】B
【解析】【解答】取线段的中点，则，设直三棱柱的棱长为，
以点为原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
所以，，，.
所以，.
则
故答案为：B.
【分析】取线段的中点，则，设直三棱柱的棱长为2，以点为原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得答案.
14．【答案】C
【解析】【解答】对于①. 如图所示，连接， 取中点取中点.连接.
由等边三角形的性质得，由等腰梯形的性质得. 又平面，所以平面.所以.同理又平面，所以平面，所以该结论正确；
对于②，首先计算等腰梯形的高，再计算几何体的高.
取AB中点O， 建立如图所示的空间直角坐标系，设是的中心，是的中心.过作，过作. .
.所以几何体的高为.
所以.
所以，
设平面的法向量为，则
，
所以，
所以平面不正确；
对于③，由题得.
所以直线与成角的余弦值为，所以该结论正确；
对于④，由题得.
.
设平面的法向量为，则
，
所以直线与平面所成角的正弦值为．所以该结论正确.
故答案为：C
【分析】对于①. 如图所示，连接， 取中点取中点.连接，证明，即可判断；对于②③④，设是的中心，是的中心.过作，过作，再利用向量法计算即可判断得解.
15．【答案】D
【解析】【解答】因为直三棱柱，所以底面，
又因为，所以两两垂直，
以为轴建立如图所示坐标系，
设，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，解得，
所以直线与侧面所成的角的正弦值，
解得，
所以，，
设异面直线与所成的角为，
则，
所以异面直线与所成的角的正弦值为.
故答案为：D
【分析】以B为原点，以为轴建立如图所示坐标系，设，利用线面角的向量求法求出，再求异面直线所成角即可.
16．【答案】A
【解析】【解答】在四棱锥中，平面，四边形是正方形，
以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
令，而分别是棱的中点，则，
由得：，则，，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：A
【分析】根据给定条件，以点A为原点，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量法可求出异面直线与所成角的余弦值.
17．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为2，则，0，，，1，，，2，，，0，，
．
则，
异面直线与所成角的正弦弦值为，
故答案为：D．
【分析】以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量法可求出异面直线与所成角的正弦弦值.
18．【答案】D
【解析】【解答】如图，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，
不妨设正方体边长为1，则，
则，
设异面直线AD，所成角为，
则.
故答案为：D
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，求得向量则的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解.
19．【答案】C
【解析】【解答】以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，
所以，，设，所成的角为，
则．
故答案为：C
【分析】以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量法可求出 ，所成角的余弦值 .
20．【答案】C
【解析】【解答】如下图所示，设正四面体的底面中心为点，连接，则平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，
设正四面体的棱长为2，
则，，，，，
设，其中，
对于A，若存在某个位置使得，，，
所以，解得，不满足题意，A不符合题意；
对于B，若存在某个位置使得，，，
则，该方程无解，B不符合题意；
对于C，设平面的一个法向量为，
，，
由，令，则，
若存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为，又，
则，
整理得，解得或（舍去），
所以存在，即为的中点，满足题意，C符合题意；
对于D，设平面的一个法向量为，
又，，
由，取，得，
设平面的一个法向量为，
，，
由，取，则，
若存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为，
则，
整理得，易得，所以该方程无解，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项进行判断，可得答案.
21．【答案】D
【解析】【解答】解：如图：
设正方体的边长为2，以D点为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，E(2，1，0)，设平面的法向量为
令z=1可得x=1，y=-1，所以
设直线与平面所成的角为，则（当时等号成立）故D选项正确.
故答案为：D
【分析】先建立空间直角坐标系，求出点和向量的坐标，用线面角的向量求法公式把表示成的式子，结合二次函数求出最大值即可.
22．【答案】A
【解析】【解答】解：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的边长为2.
则 ，，
由题得 .
设平面ACE的法向量为，则 .
取z=1，得 .
设直线与平面所成角为 ，
则 .
故选：A.
【分析】以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，利用向量法求出直线 与平面所成角的正弦值得解.
23．【答案】A
【解析】【解答】由，，可得，，
，则，
PA，PF，PE三线两两垂直，以P为坐标原点，PE，PF，PA分别为坐标轴建立如图所示的空直角坐标系，
可得，
设，由 ，，
有，解得，即得 ，
所以可得 ， ，
设平面PCE的一个法向量 ，
，令，则，
所以平面PCE的一个法向量为 ，
又 ，设PA与平面PCE所成角为，
所以 .
故答案为：A
【分析】由，，可得，，再利用勾股定理得出，所以PA，PF，PE三线两两垂直，以P为坐标原点，PE，PF，PA分别为坐标轴建立空直角坐标系，再由已知条件得出点的坐标，再结合勾股定理得出点C的坐标，再根据向量的坐标表示得出向量的坐标，从而由平面的法向量求解方法得出平面PCE的一个法向量，再利用 和数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线PA与平面PCE所成角的正弦值。
24．【答案】C
【解析】【解答】令直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的夹角为，
，，.
故答案为：C
【分析】根据线面角的正弦值等于线与面法向量夹角余弦值的绝对值，求解可得答案.
25．【答案】C
【解析】【解答】取中点，连接、，在直三棱柱中，棱长均为，
所以三棱柱为正三棱柱，则，，平面，
所以平面，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，令，则，，
所以，
所以直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值是.
故答案为：C
【分析】取中点，连接、，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量，利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值.
26．【答案】B
【解析】【解答】如图所示，
以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设直线与平面所成的角为，所以，
故答案为：B.
【分析】以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法可求出直线与平面所成角的正弦值.
27．【答案】C
【解析】【解答】因为点在底面的射影为中点，则平面，
又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的
正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为平面，平面，则，
因为，，则，
则、、、，
所以，，
易知平面的一个法向量为，
，
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：C.
【分析】由已知可得平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，，平面的一个法向量为，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【答案】28．D
29．B
30．D
【解析】【分析】（1）设，取中点，连接，证明出平面，即是四棱锥的高，，计算求解即可；
（2）分别取的中点为，连接，由底面，得出，，从而得到为平面与平面所成二面角的平面角，计算求解即可；
（3）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，，所以，所以，求出平面的法向量，从而可利用空间向量的坐标运算求得直线与平面所成角的正弦值.
28．由已知，设，则矩形的面积，
取中点，连接，
∵是等边三角形，，
∴，且，∵平面平面，
平面平面，平面，
∴平面，即是四棱锥的高，
∴四棱锥的体积
∴解得，，∴.
故答案为：D.
29．分别取的中点为，连接，
设，则.因为是等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，底面，
因为四棱锥的体积为，所以，
解得.则，，所以，，
又因为底面为矩形，所以，
所以为平面与平面所成二面角的平面角，.
故答案为：B
30．取中点为，中点为，连接，因为是等边三角形，为中点，所以，
因为平面底面，平面底面，平面，
所以平面，又平面，则，
如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
又，所以，
则，所以，
设平面的法向量为，又，
则，
令，则，
所以，
则直线与平面所成角的正弦值是.
故答案为：D.
31．【答案】D
【解析】【解答】取 的中点 ，过点 在平面 内作 ，再过点 在平面 内作 ，垂足为点 .
在正方体 中， 平面 ， 平面 ， ，
又 ， ， 平面 ，即 ， ，
同理可证 ， ，则 ， .
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，设 ，则 ， ， ， ， .
对于命题①， ， ，则 ，则 ，所以， ，命题①正确；
对于命题②， ，则平面 的一个法向量为 ，
，令 ，解得 ，
所以，存在点 使得 平面 ，命题②正确；
对于命题③， ，令 ，
整理得 ，该方程无解，所以，不存在点 使得 ，命题③错误.
故答案为：D.
【分析】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，设点 的坐标为 ，求出点 、 的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误.
32．【答案】B
【解析】【解答】解：以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
设Q(x，y，z) ，长方体外接球球心记为O .
则 ，
因为 ，所以①.
又动点Q在面A1BE上，所以可设 ，
则②.
将②代入①中整理得③.
在三棱锥A-A1BE中， AE=AB=AA1=6 且AE，AB，AA1两两互相垂直，
所以三棱锥A-A1BE为正三棱锥且底边 .
当AQ⊥面A-A1BE时， |AQ|最小，在正三棱锥A-A1BE中由等体积法有
解得 |AQ| .
在Rt△AQE中，AE=6 ，此时|EQ|有最大值 .
又|EQ| .
先代入②再代入③有|EQ| .
则 ，此时有最大值，解得 .
当点Q与点E重合时，满足 ， |AQ|最大，此时 .
则 .
点Q到外接球球心距离为|OQ|④.
将②代入④中整理得|OQ| .
又 ，所以|OQ| .
因为 ，所以当时，|OQ|max.
因为长方体外接球半径为 .
所以P，Q两点间距离的最大值为 .
故选：B
【分析】建立空间直角坐标系，设出点Q坐标，结合平面向量基本定理可得求出点Q到外接球球心距离的最大值，然后加上外接球半径即为要求的最大值.
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1.4 空间向量应用2（线线、线面夹角；点线、点面距离）
一、选择题
1．（2023高二上·榆林期末）已知向量，分别为平面，的法向量，则平面与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二上·通州期中）设，分别是平面，的法向量，其中，，若，则（ ）
A． B． C．3 D．
3．（2021高二上·辽宁月考）若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则（ ）
A． B．
C． D． 与 斜交
4．若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则可能使 的是
A． ，0， ， ，0，
B． ，3， ， ，0，
C． ，2， ， ，0，
D． ， ， ， ，3，
5．若直线l的一个方向向量 ，平面α的一个法向量为 ，则（ ）
A． B．
C． D．A、C都有可能
6．（2023高二下·响水）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑”中，平面，，且，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二下·响水）已知直线，的方向向量分别为，，则直线，夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．给出以下命题，其中正确的是（ ）
A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
B．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α
C．平面α、β的法向量分别为，，则α∥β
D．平面α经过三个点A(1，0，-1)，B(0，-1，0)，C(-1，2，0)，向量是平面α的法向量，则u+t=1
9．（2022高二上·宿州期中）若向量是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（）
A．平行 B．垂直
C．直线在平面内 D．相交但不垂直
10．（2023高二下·镇巴县期末）如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023高二下·成都期中）如图，将的菱形ABCD沿对角线BD折起，使得平面平面CBD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023高二下·郫都期中）在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023高二下·大荔期末）已知直三棱柱的所有棱长都相等，M为的中点，则AM与所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·河北会考）如图所示的八面体的表面是由2个全等的等边三角形和6个全等的等腰梯形组成，设，，有以下四个结论：
①平面； ②平面；
③直线与成角的余弦值为④直线与平面所成角的正弦值为．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2023高三下·濮阳开学考）在直三棱柱中，，且，若直线与侧面所成的角为，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023高三上·江西期末）在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
17．（2023高二上·恩施期末）在正方体中，分别为，的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
18．（2023高二上·鄠邑期末）在正方体ABCD—中，异面直线AD，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
19．（2022高二上·云南月考）如图，在直三棱柱中，已知，D为的中点，，则，所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
20．（2022高二上·武汉期中）在正四面体中，点E在棱AB上，满足，点F为线段AC上的动点，则（ ）
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得
C．存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为
D．存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为
21．（2023高二下·安康月考）在正方体中，动点P在线段上，点E是的中点，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（ ）
A． B． C． D．
22．（2023高二下·响水）在正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
23．（2023高二下·浙江期中）若正方形ABCD的边长为a，E，F分别为CD，CB的中点（如图1），沿AE，AF将△ADE，△ABF折起，使得点B，D恰好重合于点P（如图2），则直线PA与平面PCE所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
24．（2023高二下·成都期中）若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线l与平面所成的角等于（ ）
A． B． C． D．
25．（2023·广西模拟）如图，在直三棱柱中，棱长均为．，，分别为，，的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
26．（2023·商洛模拟）在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
27．（2023·遂宁模拟）已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·河北会考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面底面，，四棱锥的体积为，为的中点．
28．线段的长是（ ）
A．3 B． C． D．6
29．平面与平面所成二面角的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．1
30．直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
31．（2020高三上·海淀期末）若点 为点 在平面 上的正投影，则记 .如图，在棱长为 的正方体 中，记平面 为 ，平面 为 ，点 是棱 上一动点（与 、 不重合） ， .给出下列三个结论：
①线段 长度的取值范围是 ；②存在点 使得 平面 ；③存在点 使得 .其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
32．（2023高一下·温州期末）如图，在长方体中，，，为棱上一点，且，平面上一动点满足，设是该长方体外接球上一点，则，两点间距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】，，，
，平面与平面的夹角为，
故答案为：A
【分析】根据题意，得到，得到，进而得到平面与平面的夹角.
2．【答案】D
【解析】【解答】，且分别是平面的法向量，则，
则有，故，则.
故答案为：D.
【分析】由 ， 得到，结合共线向量的概念，列出方程，即可求解.
3．【答案】D
【解析】【解答】 所以 与 不平行也不垂直，所以 与 斜交。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合方向向量的定义和法向量的定义，再结合线面的位置关系判断方法，从而找出正确的选项。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：若 ，则 ，
而 中 ，不满足条件；
中 ，不满足条件；
中 ，不满足条件；
中 ，满足条件．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法，再结合方向向量和法向量的求解方法，再利用数量积的坐标表示结合若 ，则 ，从而找出正确答案。
5．【答案】B
【解析】【解答】解: 直线的一个方向向量为 ，平面α的一个法向量为
则 ， ，
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法，再结合方向向量和法向量推出 ， 再利用向量共线定理，进而得出直线与平面的位置关系，从而找出正确答案。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，“鳖臑”A-BCD 是由正方体的四个顶点构成的，
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则 ， ， ， ， ，
则 ， ，
，
则异面直线BM与CD夹角的余弦值为 ．
故选：B．
【分析】将“鳖臑”A-BCD放在正方体内部，建立空间直角坐标系即可利用向量求异面直线BM与CD夹角的余弦值．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：因为直线 ，的方向向量分别为，，
所以 ，
则直线 ， 夹角的余弦值为 .
故选：B.
【分析】利用空间向量的夹角公式计算可得答案.
8．【答案】A
【解析】【解答】对于A，∵，
∴，∴l与m垂直，A符合题意；
对于B，∵与不共线，
∴直线l不垂直平面α，B不符合题意；
对于C，∵与不共线，
∴平面α与平面β不平行，C不符合题意；
对于D，=(-1，-1，1)，=(-1，3，0)，
由n·=-1-u+t=0，n·=-1+3u=0，解得u=，t=，∴u+t=，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据，可判定A符合题意；根据与不共线，可判定B不符合题意；根据与不共线，可判定C不符合题意；根据法向量的求法，求得的值，可判定D不符合题意.
9．【答案】D
【解析】【解答】 ， ， ，故 与 不垂直，即直线 与平面 不平行；
若 ，则 ，无解，故 与 不平行，即直线 与平面 不垂直.
故答案为：D.
【分析】根据题意，由，的坐标分析可得 与 不共线，不垂直，结合直线的方向向量和平面向量法向量的定义分析可得答案.
10．【答案】A
【解析】【解答】以为原点，，，为，，轴建立坐标系，如图
则，，，，，
，，
，
.
故答案为：A
【分析】以为原点，，，为，，轴建立坐标系，利用空间向量求解。
11．【答案】B
【解析】【解答】
如图，取BD中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
令，，，，，
则，，
，
，所成角的余弦值为.
故答案为：.
【分析】取BD中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，令，利用向量夹角公式，即可求出异面直线AB与CD所成角的余弦值.
12．【答案】A
【解析】【解答】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，
∴，
故答案为：A.
【分析】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，然后可求出点A，D1 ， D和B1点的坐标，进而得出向量，的坐标，根据向量夹角的余弦公式即可求出异面直线与所成角的余弦值 .
13．【答案】B
【解析】【解答】取线段的中点，则，设直三棱柱的棱长为，
以点为原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
所以，，，.
所以，.
则
故答案为：B.
【分析】取线段的中点，则，设直三棱柱的棱长为2，以点为原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得答案.
14．【答案】C
【解析】【解答】对于①. 如图所示，连接， 取中点取中点.连接.
由等边三角形的性质得，由等腰梯形的性质得. 又平面，所以平面.所以.同理又平面，所以平面，所以该结论正确；
对于②，首先计算等腰梯形的高，再计算几何体的高.
取AB中点O， 建立如图所示的空间直角坐标系，设是的中心，是的中心.过作，过作. .
.所以几何体的高为.
所以.
所以，
设平面的法向量为，则
，
所以，
所以平面不正确；
对于③，由题得.
所以直线与成角的余弦值为，所以该结论正确；
对于④，由题得.
.
设平面的法向量为，则
，
所以直线与平面所成角的正弦值为．所以该结论正确.
故答案为：C
【分析】对于①. 如图所示，连接， 取中点取中点.连接，证明，即可判断；对于②③④，设是的中心，是的中心.过作，过作，再利用向量法计算即可判断得解.
15．【答案】D
【解析】【解答】因为直三棱柱，所以底面，
又因为，所以两两垂直，
以为轴建立如图所示坐标系，
设，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，解得，
所以直线与侧面所成的角的正弦值，
解得，
所以，，
设异面直线与所成的角为，
则，
所以异面直线与所成的角的正弦值为.
故答案为：D
【分析】以B为原点，以为轴建立如图所示坐标系，设，利用线面角的向量求法求出，再求异面直线所成角即可.
16．【答案】A
【解析】【解答】在四棱锥中，平面，四边形是正方形，
以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
令，而分别是棱的中点，则，
由得：，则，，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：A
【分析】根据给定条件，以点A为原点，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量法可求出异面直线与所成角的余弦值.
17．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为2，则，0，，，1，，，2，，，0，，
．
则，
异面直线与所成角的正弦弦值为，
故答案为：D．
【分析】以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量法可求出异面直线与所成角的正弦弦值.
18．【答案】D
【解析】【解答】如图，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，
不妨设正方体边长为1，则，
则，
设异面直线AD，所成角为，
则.
故答案为：D
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，求得向量则的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解.
19．【答案】C
【解析】【解答】以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，
所以，，设，所成的角为，
则．
故答案为：C
【分析】以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量法可求出 ，所成角的余弦值 .
20．【答案】C
【解析】【解答】如下图所示，设正四面体的底面中心为点，连接，则平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，
设正四面体的棱长为2，
则，，，，，
设，其中，
对于A，若存在某个位置使得，，，
所以，解得，不满足题意，A不符合题意；
对于B，若存在某个位置使得，，，
则，该方程无解，B不符合题意；
对于C，设平面的一个法向量为，
，，
由，令，则，
若存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为，又，
则，
整理得，解得或（舍去），
所以存在，即为的中点，满足题意，C符合题意；
对于D，设平面的一个法向量为，
又，，
由，取，得，
设平面的一个法向量为，
，，
由，取，则，
若存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为，
则，
整理得，易得，所以该方程无解，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项进行判断，可得答案.
21．【答案】D
【解析】【解答】解：如图：
设正方体的边长为2，以D点为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，E(2，1，0)，设平面的法向量为
令z=1可得x=1，y=-1，所以
设直线与平面所成的角为，则（当时等号成立）故D选项正确.
故答案为：D
【分析】先建立空间直角坐标系，求出点和向量的坐标，用线面角的向量求法公式把表示成的式子，结合二次函数求出最大值即可.
22．【答案】A
【解析】【解答】解：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的边长为2.
则 ，，
由题得 .
设平面ACE的法向量为，则 .
取z=1，得 .
设直线与平面所成角为 ，
则 .
故选：A.
【分析】以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，利用向量法求出直线 与平面所成角的正弦值得解.
23．【答案】A
【解析】【解答】由，，可得，，
，则，
PA，PF，PE三线两两垂直，以P为坐标原点，PE，PF，PA分别为坐标轴建立如图所示的空直角坐标系，
可得，
设，由 ，，
有，解得，即得 ，
所以可得 ， ，
设平面PCE的一个法向量 ，
，令，则，
所以平面PCE的一个法向量为 ，
又 ，设PA与平面PCE所成角为，
所以 .
故答案为：A
【分析】由，，可得，，再利用勾股定理得出，所以PA，PF，PE三线两两垂直，以P为坐标原点，PE，PF，PA分别为坐标轴建立空直角坐标系，再由已知条件得出点的坐标，再结合勾股定理得出点C的坐标，再根据向量的坐标表示得出向量的坐标，从而由平面的法向量求解方法得出平面PCE的一个法向量，再利用 和数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线PA与平面PCE所成角的正弦值。
24．【答案】C
【解析】【解答】令直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的夹角为，
，，.
故答案为：C
【分析】根据线面角的正弦值等于线与面法向量夹角余弦值的绝对值，求解可得答案.
25．【答案】C
【解析】【解答】取中点，连接、，在直三棱柱中，棱长均为，
所以三棱柱为正三棱柱，则，，平面，
所以平面，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，令，则，，
所以，
所以直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值是.
故答案为：C
【分析】取中点，连接、，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量，利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值.
26．【答案】B
【解析】【解答】如图所示，
以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设直线与平面所成的角为，所以，
故答案为：B.
【分析】以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法可求出直线与平面所成角的正弦值.
27．【答案】C
【解析】【解答】因为点在底面的射影为中点，则平面，
又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的
正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为平面，平面，则，
因为，，则，
则、、、，
所以，，
易知平面的一个法向量为，
，
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：C.
【分析】由已知可得平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，，平面的一个法向量为，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【答案】28．D
29．B
30．D
【解析】【分析】（1）设，取中点，连接，证明出平面，即是四棱锥的高，，计算求解即可；
（2）分别取的中点为，连接，由底面，得出，，从而得到为平面与平面所成二面角的平面角，计算求解即可；
（3）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，，所以，所以，求出平面的法向量，从而可利用空间向量的坐标运算求得直线与平面所成角的正弦值.
28．由已知，设，则矩形的面积，
取中点，连接，
∵是等边三角形，，
∴，且，∵平面平面，
平面平面，平面，
∴平面，即是四棱锥的高，
∴四棱锥的体积
∴解得，，∴.
故答案为：D.
29．分别取的中点为，连接，
设，则.因为是等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，底面，
因为四棱锥的体积为，所以，
解得.则，，所以，，
又因为底面为矩形，所以，
所以为平面与平面所成二面角的平面角，.
故答案为：B
30．取中点为，中点为，连接，因为是等边三角形，为中点，所以，
因为平面底面，平面底面，平面，
所以平面，又平面，则，
如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
又，所以，
则，所以，
设平面的法向量为，又，
则，
令，则，
所以，
则直线与平面所成角的正弦值是.
故答案为：D.
31．【答案】D
【解析】【解答】取 的中点 ，过点 在平面 内作 ，再过点 在平面 内作 ，垂足为点 .
在正方体 中， 平面 ， 平面 ， ，
又 ， ， 平面 ，即 ， ，
同理可证 ， ，则 ， .
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，设 ，则 ， ， ， ， .
对于命题①， ， ，则 ，则 ，所以， ，命题①正确；
对于命题②， ，则平面 的一个法向量为 ，
，令 ，解得 ，
所以，存在点 使得 平面 ，命题②正确；
对于命题③， ，令 ，
整理得 ，该方程无解，所以，不存在点 使得 ，命题③错误.
故答案为：D.
【分析】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，设点 的坐标为 ，求出点 、 的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误.
32．【答案】B
【解析】【解答】解：以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
设Q(x，y，z) ，长方体外接球球心记为O .
则 ，
因为 ，所以①.
又动点Q在面A1BE上，所以可设 ，
则②.
将②代入①中整理得③.
在三棱锥A-A1BE中， AE=AB=AA1=6 且AE，AB，AA1两两互相垂直，
所以三棱锥A-A1BE为正三棱锥且底边 .
当AQ⊥面A-A1BE时， |AQ|最小，在正三棱锥A-A1BE中由等体积法有
解得 |AQ| .
在Rt△AQE中，AE=6 ，此时|EQ|有最大值 .
又|EQ| .
先代入②再代入③有|EQ| .
则 ，此时有最大值，解得 .
当点Q与点E重合时，满足 ， |AQ|最大，此时 .
则 .
点Q到外接球球心距离为|OQ|④.
将②代入④中整理得|OQ| .
又 ，所以|OQ| .
因为 ，所以当时，|OQ|max.
因为长方体外接球半径为 .
所以P，Q两点间距离的最大值为 .
故选：B
【分析】建立空间直角坐标系，设出点Q坐标，结合平面向量基本定理可得求出点Q到外接球球心距离的最大值，然后加上外接球半径即为要求的最大值.
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