高中数学人教A版（2019）选修1 3.1 椭圆的性质和应用 选择题专项章节综合练习题（答案+解析）

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3.1 椭圆的性质和应用 选择题专项
一、选择题
1．（2023高二下·深圳期末）已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·广州模拟）已知以为焦点的椭圆与直线有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为（　　）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为，则该椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023高三上·广州月考）已知分别是椭圆的左，右焦点，M，N是椭圆上两点，且，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2023高三上·阳江开学考）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点.若与的焦距的比值为，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2023高二下·镇巴县期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过作垂直于轴的直线，在第二象限分别交及圆于点，若为的中点，为的上顶点，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2023高二下·青浦期末）点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023高二下·安宁期末）已知椭圆的左，右两焦点为和，P为椭圆上一点，且，则（　　）
A．8 B．12 C．16 D．64
9．（2023高二下·达州期末）椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点P，使得过点P能作椭圆的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2023高二下·杭州期末）设椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上不与顶点重合的一点，记为的内心．直线交轴于点，，且，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
11．（2023高二下·杭州）设椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上不与顶点重合的一点，记是的内心直线交轴于点，，且，则椭圆的离心率为 （　　）
A． B． C． D．
12．（2023·黄埔）若双曲线的两条渐近线与椭圆：的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
13．（2023高二下·盐田月考）椭圆的左 右顶点分别为，点在椭圆上（不与重合），且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
14．（2023·全国甲卷）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（　　）
A．1 B．2 C．4 D．5
15．（2023·顺德模拟）已知椭圆的下焦点为，右顶点为，直线交椭圆于另一点，且，则椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
16．（2023·温州模拟）如图，是椭圆的左 右顶点，是上不同于的动点，线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
17．（2023高三下·杭州模拟）如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条的处钻一个小孔，可以容纳笔尖，各在一条槽内移动，可以放松移动以保证与的长度不变，当各在一条槽内移动时，处笔尖就画出一个椭圆.已知，且在右顶点时，恰好在点，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
18．（2023高三下·湘豫开学考）河南一国家级湿地，以其独特的地理环境和良好的生态环境，吸引了全国近三分之一的鸟种在此繁衍生息，成了鸟类自然保护区.天鹅戏水、白鹭觅食，形成了一幅群鸟嬉戏的生态美景.该保护区新建一个椭球形状的观鸟台，椭球的一部分竖直埋于地下，其外观的三视图（单位：米）如下，正视图中椭圆（部分）的长轴长为16米，则该椭球形状观鸟台的最高处到地面的垂直高度为（　　）
A．8米 B．10米 C．12米 D．16米
19．（2023高二上·咸阳期末）2022年11月30日7时33分，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”，一般来说，航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距地心最近（远）的一点称作近（远）地点，近（远）地点与地球表面的距离称为近（远）地点高度.已知中国空间站在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度约为351，远地点高度约为385，地球半径约为6400，则该轨道的离心率约为（　　）
A． B． C． D．
20．（2022高二上·张掖月考）已知椭圆上存在两点，关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数的值为（　　）
A．0或 B． C．0或2 D．2
21．（2022·联合模拟）如图，神舟十二号的飞行轨道是以地球球心为左焦点的椭圆（图中虚线），我们把飞行轨道上的点与地球表面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离.设地球半径为，若神舟十二号飞行轨道的近地距离是，远地距离是，则神舟十二号的飞行轨道的离心率为（　　）
A． B． C． D．
22．（2022·邯郸模拟）已知椭圆的左 右焦点分别为，，为椭圆上一点，则满足为直角三角形的点有（　　）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
23．（2020高二上·贵港期末）设 分别是椭圆 的左 右焦点，O为坐标原点，点 在 上且 ，则 的面积为（　　）
A． B．8 C．7 D．16
24．（2023高二下·成都期末）如图，已知椭圆和双曲线有公共的焦点，，的离心率分别为，且在第一象限相交于点，则下列说法中错误的是（　　）
① 若，则；② 若，则的值为1；③的面积；④ 若，则当时，取得最小值2．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
25．（2023高二上·余姚期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．
26．（2022高二上·湖北月考）用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三个结论：
①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；
②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；
③当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.
其中，所有正确结论的序号是（　　）
A．① B．②③ C．①② D．①③
27．（2022高二上·广州期中）已知椭圆）的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（　　）
A． B． C． D．
28．（2022高二上·南阳期中）已知A，B分别是椭圆与圆上的动点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
29．（2022·包头模拟）设P是椭圆的下顶点，若C上存在点Q满足，则C的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
30．（2021高二上·运城月考）已知椭圆的一个焦点为F，双曲线的左、右焦点，分别为，，点P是双曲线左支上一点，则周长的最小值为（　　）
A．5 B． C．10 D．14
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：设，为椭圆的另一个焦点，∴，
∵ 过原点的直线l与C交于A，B两点，
∴，，
∴，即
∵，∴，
∴，
∴，
∴.
故选：A.
【分析】首先设，为椭圆的另一个焦点，由于过原点的直线l与C交于A，B两点， 所以，即可求出a，根据勾股定理求出AB，再根据中位线定理可求出c，即可求出离心率.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：设椭圆方程为 ，
直线 代入椭圆方程，消x得： ，
，整理得m+n=16mn
又c=2 ，由焦点在x轴上，
所以 ，
联立解得： ，
故椭圆方程为 ，
则长轴长为 ；
故选：C
【分析】先设椭圆方程与直线方程联立，根据判别式等于0求得m和n的关系式，同时椭圆的焦点坐标求得半焦距得到m和n的另一个关系式，两个关系式联立方程即可求得m和n，则椭圆的长轴可得．
3．【答案】B
4．【答案】C
【解析】【解答】解：连接，设
，则，
因为，即，则
，
可得，解得，
所以
，
在
中，因为，
可得
，则，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：C.
【分析】设，根据椭圆的定义结合勾股定理解得，进而中，利用勾股定理运算求解即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：设椭圆的半焦距为c，因为以为圆心的圆过，故该圆的半径为2c，
故其方程为：，
令，则，结合A在y轴正半轴上，故，
令，则或，故.
故，可得直线.
设，
因为A在y轴的正半轴上，在x轴的负半轴上，故，
而，
故，整理得到：，
故，故，
所以，整理得到：，故，
故答案为：D.
【分析】先求出以为圆心的圆的方程，求出，求出直线的方程后结合距离公式可求M的坐标，代入椭圆方程后可求离心率.
6．【答案】C
【解析】【解答】由题知 ，令代入椭圆 和圆，求得，
为的中点 ，即，求得，又，，
，，.
故答案为：C
【分析】利用 求出的关系，进而求解。
7．【答案】B
【解析】【解答】由题得，设，则， ，
， ，
又，，即在有解，
解得或，，，，
椭圆的离心率的取值范围是 .
故答案为：B
【分析】利用向量坐标运算将 转化为在有解，进而求离心率范围.
8．【答案】A
【解析】【解答】如图所示在椭圆上取P点，连接PF1、PO、PF2，
根据题意可知椭圆方程中的a=4，b=2，，故焦点坐标分别为，，
又因为 ，所以，
故O为△PF1F2的外心，为直径的圆过点P，所以∠F1PF2=90°，
根据椭圆定义和勾股定理的，
故，
故选：A.
【分析】本题考查椭圆性质，根据已知条件可以求出a=4，b=2，，由此可以知道，结合椭圆的性质和勾股定理即可求解.
9．【答案】D
【解析】【解答】由题意可知椭圆的两条相互垂直的切线的交点P轨迹为：，
圆心为（0，0），半径=2，
在圆上总存在点P，
圆心为（4，3），半径=r，
点P同时存在两个圆上，说明两圆一定有交点，
，
，
.
故选：D.
【分析】先利用椭圆可知a，b的值，代入求出P的轨迹：圆的方程，从而得到圆心坐标以及半径，再根据两圆存在公共点，得到圆心距与半径之间的关系，最后求出r的范围.
10．【答案】B
【解析】【解答】不妨设点位于第一象限，则，
为的内心，
是的角平分线，
，
，即，又，求得，
，
求得，在中，由余定理得，
求得，
椭圆的离心率.
故答案为：B
【分析】根据角平分线性质得到求出，再利用 求出，结合余弦定理求解离心率.
11．【答案】B
【解析】【解答】不妨设点P位于第一象限，如图所示，
由 是的内心 ，得PA为的角平分线，
则，
由 ，得
设|PF1|=5m，则|PF2|=3m，由椭圆的定义可知，|PF1|+|PF2|=8m=2a，
可得，即，
则
解得
在 中，由余弦定理可得，
解得
则
故选：B.
【分析】 先利用角平分线性质得到，设|PF1|=5m，则|PF2|=3m，根据椭圆定义得到，然后利用平面向量的数量积和余弦定理即可求解出，进而求出椭圆的离心率 .
12．【答案】B
【解析】【解答】 由题意可得双曲线的一条渐近线是，由双曲线的两条渐近线与椭圆：的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 可得椭圆的焦点坐标F2(c， 0)，F1(-c， 0)，正六边形的一个顶点坐标为，， 由椭圆的定义|AF1|+|AF2|= 2a，得出，即
所以椭圆M的离心率为
故选：B
【分析】 利用已知条件求出椭圆的焦点坐标和正六边形的顶点坐标，再利用正六边形的性质和椭圆的定义及离心率公式即可求解出答案.
13．【答案】B
【解析】【解答】，由题意知，，设 ，则，
又 满足 ，，
，
，.
故答案为：B
【分析】利用公式计算求解。
14．【答案】B
【解析】【解答】由题意知，，
，，
故选：B
【分析】利用椭圆定义和勾股定理得出，和与乘积的关系，利用完全平方公式间的公式转化求解。
15．【答案】C
【解析】【解答】解：由已知得：F(0，-c)，A(b，0)，
设点B的坐标为(x，y)，
因为AF=2FB，所以，即(-b，-c)=2(x，y+c)，
所以，即点B的坐标为，
将点B的坐标代入椭圆的方程得：，
整理得：，所以，
故答案是：C.
【分析】利用AF=2FB，求出点B的坐标，代入椭圆的方程，得到的值，进而求得离心率.
16．【答案】D
【解析】【解答】设 ，
则，
两式相乘得，①
因为直径所对的角是直角，所以
所以 ②
①除以②得，所以椭圆的离心率.
故答案为：D
【分析】设 ，得到和，两式相除即可得解.
17．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意知与的长度不变，已知，
设，则，
当滑动到位置处时，点在上顶点或下顶点，则短半轴长，
当在右顶点时，恰好在点，则长半轴长，
故离心率为.
故答案为：D.
【分析】设，则，由题意可得，，再根据离心率公式即可求解出答案.
18．【答案】C
【解析】【解答】如图，以长轴中点为坐标原点，长轴为轴，垂直长轴为轴，建立平面直角坐标系，
设正视图的椭圆（部分）对应的标准方程为，
结合题意及三视图可得：，
所以椭圆（部分）对应的标准方程为，
将点代入，可得.
故该椭球形状观鸟台的最高处到地面的垂直高度为（米）.
故答案为：C.
【分析】以长轴中点为坐标原点，长轴为轴，垂直长轴为轴，建立平面直角坐标系，设正视图的椭圆（部分）对应的标准方程为，结合题意及三视图可得a，b的值，从而得出椭圆（部分）对应的标准方程，再利用已知条件结合代入法，即将点代入，可得的值，从而得出该椭球形状观鸟台的最高处到地面的垂直高度。
19．【答案】A
【解析】【解答】由题可知，，
，解得，
所以离心率为，
故答案为：A.
【分析】椭圆椭圆的几何性质，得到和，求得的值，结合离心率的定义，即可求解.
20．【答案】A
【解析】【解答】设，，则，两式作差得到，
，所以，
因为点，关于直线对称，
所以直线的中点在直线，
所以点在直线上，联立可得，
又因为点在抛物线上，所以或。
故答案为：A.
【分析】设，，再利用代入法得出，两式作差得到，再利用点，关于直线对称，再结合中点坐标公式和两点关于直线对称的求解方法，所以直线的中点在直线，再利用对称点在直线上结合代入法，联立两方程组可得，再利用点在抛物线上结合代入法得出实数t的值。
21．【答案】D
【解析】【解答】以运行轨道长轴所在直线为轴，地心为左焦点建立平面直角坐标系，
设椭圆方程为，
其中，
根据题意有
，
所以 ，
所以椭圆的离心率．
故答案为：D．
【分析】 以运行轨道长轴所在直线为轴，地心为左焦点建立平面直角坐标系，设椭圆方程为，根据题意列出方程组，解方程组即可得答案.
22．【答案】B
【解析】【解答】当 为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点 有2个；
当 为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点 有2个；
设椭圆 的上顶点为 ，
由椭圆 ，可得 ，可得 ，
则 ， ，
所以 ，故 ，
所以不存在以 为直角顶点的 ，
故满足本题条件的点P共有4个。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合椭圆的对称性，得出满足要求的点P的个数，再利用椭圆的标准方程求出a，b的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出c的值，再结合长半轴的定义和焦距的定义和余弦定理得出 ，进而得出不存在以 为直角顶点的 ，从而得出满足本题条件的点P的个数。
23．【答案】C
【解析】【解答】由已知得 因为 所以点 在以 为直径的圆上，即 是以 为直角顶点的直角三角形，故 即 36.又
所以
解得 所以
故答案为：C．
【分析】由已知得 再利用 所以点 在以 为直径的圆上，即三角形 是以 为直角顶点的直角三角形，再结合勾股定理和椭圆的定义，从而结合平方法得出的值，再利用三角形面积公式，从而求出三角形 的面积。
24．【答案】D
【解析】【解答】由于椭圆和双曲线有公共的焦点，
c相同，
，
①，
，
，
故①正确.
②，
点P既在椭圆上，又在双曲线上，
，
，
，
故②错误.
③ 由题意知，，
联立方程组，求，
，
，
，
，
，
故③正确.
④ ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，即时，取“=”.
故④错误.
故选：D.
【分析】首先根据椭圆和双曲线有共同焦点，可知c相同，从而得到a，b，m，n的关系，得出①③正确；结合椭圆上点到两个焦点的距离之和公式与双曲线上点到两个焦点的距离之差，可知②错误；利用余弦定理，结合基本不等式，说明④正确.
25．【答案】B
【解析】【解答】椭圆的，点在椭圆内部，
如图，
设椭圆的右焦点为 ，
则 ；
；
由图形知，当在直线 上时， ，
当不在直线 上时，
根据三角形的两边之差小于第三边有， ，
当在射线 的延长线上时， 取得最小值
的最小值为．
故答案为：B
【分析】利用椭圆得出a，b 的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出c的值，再利用点在椭圆内部，设椭圆的右焦点为 ，再结合椭圆的定义得出 ，由图形知，当在直线 上时， ，当不在直线 上时，根据三角形的两边之差小于第三边有， ，所以得出当在射线 的延长线上时的 的最小值。
26．【答案】C
【解析】【解答】如图：
在椭圆上任意一点P作平行于 的直线，与球 交于F点，与球 交于E点，
则 ， 是过点P作球 的两条公切线， ，同理 ，
，是定值，所以 是椭圆的焦点；①正确；
由以上的推导可知： ， ，
平面 ， 是直角三角形， ，即 ， ，②正确；
就是平面 与轴线的夹角 ，在 中，椭圆的离心率 ，
由余弦函数的性质可知当锐角 变大时， 变小，③错误；
故答案为：C.
【分析】在椭圆上任意一点P作平行于 的直线，与球 交于F点，与球 交于E点，则 ， 是过点P作球 的两条公切线， ，同理 ，再利用求和法得出 ，是定值，所以 是椭圆的焦点；由以上的推导可知： ， ，再利用 平面 结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以 再利用三角形是直角三角形结合勾股定理进而椭圆中a，b，c三者的关系式得出；再利用 就是平面 与轴线的夹角 ，在 中，再结合椭圆的离心率公式得出椭圆的离心率 ，由余弦函数的性质可知当锐角 变大时， 变小，进而找出正确结论的序号。
27．【答案】B
【解析】【解答】由题设，故，
又，则，
由余弦定理知：，
所以，而，
因为的内切圆的半径，故，
所以，则，
由，即，
所以，整理得且，
所以，
，当且仅当时等号成立，
所以目标式最小值为。
故答案为：B
【分析】由题设结合数量积的定义和三角形中的取值范围，进而得出的值，由余弦定理知，再利用三角形的面积公式得出，再结合的内切圆的半径，则，由整理得且，从而得出椭圆的离心率的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式和均值不等式求最值的方法得出 的最小值。
28．【答案】B
【解析】【解答】圆的圆心坐标为，半径为，
则的最小值为的最小值减去圆的半径，设，则有，
，
由椭圆方程可知，，
∴当时，有最小值，所以的最小值为。
故答案为：B
【分析】利用圆的标准方程求出圆心坐标和半径长，再利用几何意义得出的最小值为的最小值减去圆的半径，设，再利用代入法和椭圆的标准方程，则有，再利用两点距离公式和得出，由椭圆标准方程可知的取值范围，再利用二次函数的图象求最值的方法得出的最小值。
29．【答案】A
【解析】【解答】解：点 的坐标为 ，设 ，则 ，
，
故
，
，
，
又对称轴
，
当
时，即
时，
则当
时，
最大，此时
，不满足题意，
当
时，即
时，
则当
时，
最大，此时
，
则
，即
，
，此时只需
，即
，
因为
，即
，则
，即
，所以
所以
，
又
，
故
的范围为
，
综上所述的e的范围为
，
故答案为：A
【分析】设 ，可得 ；对称轴 ，当 ，可求得 ，不符合；
当 ，由 可得 进而可求离心率的范围。
30．【答案】D
【解析】【解答】根据椭圆方程，不妨设，根据双曲线方程，可知，从而可知，
由双曲线定义可知，即，
所以周长，
要使其周长最小，即求的最小值，显然当三点共线时，有最小值，且最小值是5，
因此，周长为。
故答案为：D
【分析】根据椭圆方程，不妨设，根据双曲线方程，可知，从而结合焦距的定义，可知，由双曲线定义可知，再利用三角形的周长公式得出三角形周长，要使其周长最小，即求的最小值，显然当三点共线时，有最小值，从而得出的最小值，进而求出三角形的周长。
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