高中数学人教A版（2019）选修1 3.3 抛物线 解答题综合卷章节综合练习题（答案+解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选修1 3.3 抛物线 解答题综合卷章节综合练习题（答案+解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 458.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-31 17:56:09 | ||
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文档简介
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3.3 抛物线 解答题综合卷
一、解答题
1．（2021高二上·淮安期中）已知双曲线
的离心率为
，抛物线
（
）的焦点为
，准线为
，
交双曲线
的两条渐近线于
、
两点，
的面积为8.
（1）求双曲线
的渐近线方程；
（2）求抛物线
的方程.
2．（2021高二上·河北期中）抛物线 的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，且线段 中点M的纵坐标为1，l与x轴交于点P．
（1）若 ，求l的方程；
（2）若 ，求 ．
3．（2021高二上·保定期中）设抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与 交于 ， 两点．
（1）若 ，求 的方程．
（2）以 ， 为切点分别作抛物线 的两条切线，证明：两条切线的交点 一定在定直线上，且 ．
4．（2022高三上·西宁期末）已知抛物线与直线交于P，Q两点，O为坐标原点，.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若的面积为，求直线l的方程.
5．（2022高二上·富平期末）设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，且，线段的中点到轴的距离为3.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与圆和抛物线均相切，求实数的值.
6．已知抛物线与直线相交于两点，为坐标原点，.
（1）求；
（2）已知点，过点的直线交抛物线于两点（异于点），证明：为直角.
7．（2021高三上·南京月考）已知抛物线：，点，直线过点M且与抛物线交于A，B两点.
（1）若，直线的斜率为2，求的长；
（2）在轴上是否存在异于点M的点N，对任意的直线，都满足 若存在，指出点N的位置并证明，若不存在请说明理由.
8．（2021高三上·江西月考）已知抛物线上一点到其焦点的距离为，过点作两条斜率为，的直线，分别与该抛物线交于，与，两点，且，．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）求实数的取值范围．
9．（2021高三上·金台月考）过点的任一直线与抛物线交于两点，且．
（1）求的值．
（2）已知为抛物线上的两点，分别过作抛物线的切线，且，求证：直线过定点．
10．（2021高二上·浙江月考）已知抛物线 过点 ，且 到抛物线焦点的距离为2.直线 过点 ，且与抛物线相交于 ， 两点.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若点 恰为线段 的中点，求 .
11．（2021高二上·商丘）已知抛物线的焦点到准线的距离为1.
（1）求C的方程；
（2）已知点在C上，且线段AB的中垂线l的斜率为，求l在y轴上的截距的取值范围.
12．（2021高二上·长春月考）已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为6．
（1）求 的值及抛物线 的标准方程；
（2）若 ，点 为抛物线 上一动点，点 为线段 的中点，试求点 的轨迹方程．
13．（2021高二上·淮安期中）在①；②；③轴时，
这三个条件中任选个，补充在下面的横线上，并解答.问题：已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线
上，且____.
（1）求抛物线
的标准方程.
（2）若直线
与抛物线
交于
两点，求
的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
14．（2021高二上·三明期中）已知抛物线，直线交抛物线C于M、N两点，且线段中点的纵坐标为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）是否存在正数m，对于过点，且与抛物线C有两个交点A，B，都有抛物线C的焦点F在以为直径的圆内？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
15．（2021高二上·常州期中）设抛物线
的焦点为F，经过x轴正半轴上点M(m，0)的直线l交r于不同的两点A和B.
（1）若|FA|=3，求点A的坐标；
（2）若m=2，求证：原点O总在以线段AB为直径的圆的内部；
（3）若|FA|=|FM|，且直线 ， 与抛物线有且只有一个公共点E，问：△OAE的面积是否存在最小值 若存在，求出最小值，并求出M点的坐标，若不存在，请说明理由.
16．（2021高二上·牡丹江月考）已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，若.
（1）求抛物线方程；
（2）若为坐标原点，、为抛物线上异于原点的不同的两点，记的斜率为，的斜率为，当时，求证：直线过定点.
17．（2021高三上·广东月考）已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点是抛物线的焦点，点在线段上，且满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若线段的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围.
18．（2021高三上·辽宁月考）已知抛物线的焦点为，点 在上，且．
（1）求点的坐标及的方程；
（2）设动直线与相交于两点，且直线与的斜率互为倒数，试问直线是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．
19．（2021高二上·温州期中）已知抛物线 ， 点 是抛物线 上的点．
（1）求抛物线的方程及 的值；
（2）直线 与抛物线交于 两点， ，且 ，求 的最小值并证明直线 过定点．
20．（2021高二上·浙江期中）如图，点 是抛物线 上的动点，过点 的直线 与抛物线交于另一点 .
（1）当 的坐标为 时，求点 的坐标；
（2）已知点 ，若 为线段 的中点，求 面积的最大值.
21．（2021高二上·山东月考）已知抛物线的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交抛物线于的面积为（O为坐标原点）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线交抛物线于，且，求．
22．（2021高二上·山西月考）已知动圆C过定点，且与直线相切，圆心C的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）已知直线l交E于P，Q两点，且线段的中点的横坐标为4，当最大时，求直线l的方程．
23．（2021高二上·重庆市月考）已知为抛物线：的焦点．
（1）求的方程；
（2）若直线与交于，两点，且弦的中点为，求直线的方程．
24．（2021高二上·衡阳月考）已知抛物线上的点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若为抛物线上异于原点的两点，直线的斜率分别为，，若直线过定点．证明：为定值．
25．（2021高二上·浦城期中）已知动圆 过点 且与直线 相切，圆心 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）若 ， 是曲线 上的两个点且直线 过 的外心，其中 为坐标原点，求证：直线 过定点．
26．（2021·宁波模拟）已知抛物线 的焦点为F，点P是以 为圆心，半径为1的圆上的动点，且 的最大值为5．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点M的直线l与抛物线C交于不同两点A，B，直线OA，OB分别交直线 于S，T两点（O为坐标原点）．记直线l，直线FS，直线FT的斜率分别为 ， ， ，若 是 ， 的等比中项，求k的值．
27．（2021高二上·肇东月考）已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为10.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设过焦点F的的直线 与抛物线C交于 两点，且抛物线在 两点处的切线分别交x轴于 两点，求 的取值范
28．（2021高二上·楚雄月考）若动点 是曲线 上的任意一点，且满足 到点 的距离与它到直线 的距离相等
（1）求曲线 的轨迹方程；
（2）曲线 与过点 的直线 相交于 两点， 为原点.若 和 的斜率之和为 ，求直线 的方程.
29．（2021高二上·河北月考）已知动点到点的距离与到直线的距离相等，动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）已知，不垂直于坐标轴的直线与曲线相交于，两点，是坐标原点，若平分，问直线是否过定点？若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由.
30．（2021高二上·缙云月考）已知抛物线上两点、，焦点满足，线段的垂直平分线过.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线，使得抛物线上恰有三个点到直线的距离都为，求直线的方程.
答案解析部分
1．【答案】（1）由题意，双曲线 的离心率为 ，
可得 ，解得 ，可得 ，
所以双曲线 的渐近线方程为 ；
（2）由抛物线 ，可得其准线方程为 ，
代入双曲线渐近线方程 得 ， ，
所以 ，
则 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 ．
【解析】【分析】(1)根据题意由双曲线的简单性质即可求出
，再由渐近线方程代入计算出结果即可。
(2)由抛物线的方程即可求出准线的方程，再结合已知条件求出双曲线的渐近线方程，从而得出
，然后由把结果代入到三角形的面积公式由此计算出P的值，从而得出抛物线的方程。
2．【答案】（1）解：设 ，则 ，两式相减得 ．
因为线段 中点M的纵坐标为1，所以 ．
又 ，所以 ，
所以线段 的中点为 ，故直线l的方程为 ，即
（2）解：设l的方程为 ，联立方程组 ，整理得 ，
则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
故| ．
【解析】【分析】(1)根据题意由设而不求法设出点的坐标，结合点差法计算出直线的斜率，再由弦长公式结合已知条件计算出，把数值代入到中点的坐标公式结合点斜式求出直线的方程即可。
(2)由设而不求法设出点的坐标，并由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于t的两根之和与两根之积的代数式，然后由弦长公式代入数值计算出结果即可。
3．【答案】（1）解：由题意得 ，设直线 的方程为 ， ， ，
联立 消元得 ，所以 ， ．
因为 ，
由题设知 ，解得 ，所以 的方程为 ．
（2）解：设与抛物线 相切的切线方程为 ，
则 化简得 ．
由 ，可得 ．
将 点坐标代入方程 ，可得 ， ，
所以过 的切线方程为 ．同理，过 的切线方程为 ，
联立方程组可得 ， ，
所以交点 在定直线 上．
当 时， 显然成立；
当 时， ，则 ，所以 ．
综上所述， ．
【解析】【分析】(1)根据题意由点斜式求出直线的方程，再联立直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方程，由韦达定理计算出两根之和与两根之积的值，然后由弦长公式整理计算出t的取值，由此得出直线的方程。
(2)首先设出切线的方程再联立直线与抛物线的方程，消元后得到关于y的方程，由一元二次方程跟的情况，求解出m的取值，从而得出点的坐标，然后由把点的坐标代入到斜率的坐标公式计算出 ，从而得出线线垂直。
4．【答案】（1）设，，
联立方程组得，
则，.
由，得.
因为，所以
，
所以，
所以，故抛物线C的方程为.
（2）由（1）知，，
所以
.
因为点O到直线l的距离，
所以，
所以，
故直线l的方程为或.
【解析】【分析】(1)根据题意由设而不求法设出点的坐标，由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于P的两根之和与两根之积的代数式，然后由共线向量的坐标公式代入整理计算出P的取值，从而即可得出抛物线的方程。
(2)根据题意再把，代入到弦长公式，由点到直线的距离公式以及三角形的面积公式整理化简计算出k的取值，由此即可得出直线的方程。
5．【答案】（1）解：设，，.
则线段的中点坐标为，
由题意知，则，
如图，分别过点、作准线的垂线，垂足为、，根据抛物线的定义可知，，，
又，所以，所以，
所以，抛物线的方程为：.
（2）解：因为圆圆心为，半径为，直线，即与圆相切，
，即有①
联立直线与抛物线的方程，可得，
因为直线与抛物线相切，
所以，得②，
联立①②，解得或，
即实数的值为.
【解析】【分析】（1） 设，， ，由已知可得 ，即 ，即可求出 ， 进而得抛物线的方程；
（2）根据直线与圆相切可得 ，联立直线与抛物线，根据直线与抛物线相切可得 ，即可推出 ，联立两式，即可求出实数的值.
6．【答案】（1）将代入，有，
设，易知，
可得，
而，
即.
（2）设，直线，
将代入，易知，
故，
而
故.
【解析】【分析】(1)根据题意设出直线的方程，再联立直线与抛物线的方程消元后，结合韦达定理即可求出两根之和与两根之和关于p的代数式，然后由弦长公式结合抛物线的定义代入计算出p的取值即可。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，然后由斜率的坐标公式整理化简计算出，从而即可得出线线垂直，从而即可得出答案。
7．【答案】（1）由题意可知直线：，
由得或.
所以，，
所以.
（2）存在轴上的点满足题意，证明如下：
设直线：，
由得.
设，，则，.
.
所以，可知AN，BN的倾斜角互补，所以.
所以为的角平分线，
由正弦定理：，，
两式相除得，
综上，存在轴上的点满足题意.
【解析】【分析】(1)由已知条件即可设出直线的方程，联立直线与抛物线的方程，由此计算出交点的坐标，再由两点间的距离公式计算出弦长即可。
(2)由设而不求法设出点的坐标，并由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m和a的两根之和与两根之积的代数式，然后由斜率的坐标公式代入整理化简由此计算出，从而得出，结合正弦定理整理化简即可得出，从而得证出结论。
8．【答案】（Ⅰ）由抛物线上一点到其焦点的距离为，
所以，解得，
故抛物线的方程为；
（Ⅱ）设直线，与抛物线联立，
可得，
设，，
则，，
所以
，
点到直线的距离为，
所以，
同理可得，
因为，且
所以，
整理可得：，即，所以，
所以，
由可得，
即，即，所以，
综上所述，的取值范围为．
【解析】【分析】 (1)由抛物线的定义以及点在抛物线上，列出方程组 ，求解出p，即可得到 抛物线的方程；
(2) 设直线，与抛物线联立， 得到韦达定理，由弦长公式和点到直线的距离公式分别求出|AB|和点F到直线 的距离d，求出△FAB的面积，同理求出△PCD的面积，由题意列出关系式，结合判别式大于0，求解出t的范围.
9．【答案】（1）设，直线的方程为，与抛物线方程联立，
整理可得
所以，，
所以，
所以，
（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设，则抛物线在点处的切线方程为
从而同理，
因为，所以，即，
又，
从而直线的方程为：，
将代入化简得：，
所以，直线恒过定点．
【解析】【分析】(1)首先设出点的坐标，以及直线的方程，再联立直线与抛物线的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于P的两根之和与两根之积的代数式，然后由数量积的坐标公式整理化简即可求出p的值。
(2)根据题意由抛物线的方程，再对其求导，并把点的坐标代入计算出切线的斜率，由此即可求出切线的方程，同理即可求出两条直线的斜率，由此计算出即结合斜率的坐标公式代入计算出的取值，由此即可求出直线MN的方程，并把结果代入到直线的方程整理化简即可求出直线过的定点的坐标。
10．【答案】解：（Ⅰ）由题意 ，∵ ，解得 ，
抛物线方程为 ；
（Ⅱ）设 ，则 ，两式相减得 ，
∴ ，∵ 的中点是 ，∴ ．
∴直线 方程为 ，即 ，
由 ，解得 ， ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法和抛物线的定义，从而解方程组求出p和m的值，进而求出抛物线的标准方程。
（2）设 ，再利用代入法得出 ，两式相减得出 ，再利用两点求斜率公式得出直线AB的斜率为 ，再利用 的中点是 结合中点坐标公式得出直线AB的斜率，再结合点斜式求出直线 方程，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程求出交点A，B的坐标，再利用两点距离公式得出A，B两点的距离。
11．【答案】（1）因抛物线的焦点到准线的距离为1，则p=1，
所以C的方程为.
（2）依题意，设直线l的方程为，直线AB的方程为y=2x+m，设，
由消去x得：，由题意知，得，
设线段AB的中点为，则，再由，可得，
又点N在直线l上，则，于是，从而有，
所以l在y轴上的截距的取值范围为.
【解析】【分析】(1)根据题意由抛物线的定义由已知条件计算出P的取值，由此即可得出抛物线的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合二次函数的性质计算出交点的坐标，结合中的的坐标公式计算出点的坐标，再把结果代入直线的方程，结合题意计算出，从而即可得出答案。
12．【答案】（1）解：由题设，抛物线准线方程为 ，
∴抛物线定义知： ，又 ，解得 ， ；或 .
∴ ，抛物线标准方程为 ，或 ，抛物线标准方程为
（2）解：由（1）和 知，抛物线 为 ，则 ，
设 ， ，
根据点M为线段 的中点，可得： ，即 ，由点Q为抛物线C上，所以 ，即 ，即 ，所以中点 的轨迹方程为 .
【解析】【分析】(1)根据抛物线的定义以及标准方程求解即可；
(2)根据中点坐标公式，利用相关点法，结合抛物线方程求解即可.
13．【答案】（1）解：选择条件①.由抛物线的定义可得 .
因为 ，所以 ，解得 .
故抛物线 的标准方程为 .
选择条件②.因为 ，所以 ， ，
因为点 在抛物线 上，所以 ，即 ，解得 ，
所以抛物线 的标准方程为 .
选择条件③.当 轴时， ，所以 .
故抛物线 的标准方程为 .
（2）解：设 ， ，由（1）可知 .
由 ，消去 得 ，
则 ， ，
所以 ，
又 ， ，所以 ，
故 .
因为点 到直线 的距离 ，
所以 的面积为 .
【解析】【分析】(1) 选择条件① ，由抛物线的定义结合已知条件即可求出P的取值，从而得出抛物线的方程。 选择条件② ，根据题意即可得出点的坐标，再把点的坐标代入到抛物线的方程由此计算出P的取值，由此即可得出抛物线的方程。
(2)由已知条件设出点的坐标，然后联立直线与抛物线的方程消元后的得出关于x的方程，结合韦达定理计算出
，
，再把结果代入到弦长公式由此计算出
的值，从而即可得出
的取值，然后由点到直线的距离公式再结合三角形的面积公式，代入数值计算出结果即可。
14．【答案】（1）设，
由得，，则，由题意，，
所以抛物线方程为；
（2）假设存在满足题意的点，显然直线的斜率存在，设直线方程为，
由得，，时直线与抛物线没有两个交点，
由，因为，恒成立，
设，则，
焦点F在以为直径的圆内，则，，
，
恒成立，因为，所以，又
所以．
所以存在满足题意正数，且．
【解析】【分析】 (1)联立抛物线与直线方程，利用韦达定理及中点坐标，即可求解；
(2)首先由于过点 的直线与开口向右的抛物线有两个交点A、B，则设该直线的方程为 然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元_二次方程，再根据韦达定理及向量的数量积公式等价转化，最后通过m、k的不等式求出m的取值范围.
15．【答案】（1）设 ，抛物线 的准线方程为： ，焦点 ，
因为 ，所以 ，所以 ；
（2），所以设直线l的方程为： ，与抛物线方程联立得：
，
设 ，则 ，
，
且 ，所以 为钝角，
由圆的性质可得原点O总在以线段AB为直径的圆的内部
（3）不妨设 ，因为 ，
所以 或 （舍去），
， ，因为直线 ，所以直线 的斜率也为 ，
设该直线的方程为： ，与抛物线方程联立得： ，
因为 与抛物线有且只有一个公共点E，所以有 ，
此时 ，所以 ， ，
的面积为
，
当且仅当 时取等号，即当 时取等号，而 ，
所以解得 ， ，
因此 的面积存在最小值2， M点的坐标为 .
【解析】【分析】(1)根据题意设出点的坐标，由抛物线的简单性质即可求出焦点的坐标和准线的方程，结合已知条件代入计算出点a的坐标即可。
(2)由m的取值即可求出直线的方程，再联立直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方程，结合韦达定理计算出
，再把结果代入到数量积的坐标公式，整理化简计算出结果，由此即可得出结论。
16．【答案】（1）解：直线的方程为，设点、，
则得，所以，
则，解得，故抛物线方程为.
（2）证明：设、，
若直线垂直于轴时，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
设直线的方程为，联立，可得，
所以，，
又，解得，
故直线的方程为，，满足题意.
因此，直线过定点.
【解析】【分析】（1） 设直线的方程为，再设点、，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理，得出，再利用抛物线定义结合两点距离公式得出，进而求出p的值，从而求出抛物线的标准方程。
（2） 设、，若直线垂直于轴时，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意；设直线的方程为，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理，得出，，再利用两点求斜率公式结合已知条件得出t的值，从而求出直线的方程为，再结合判别式法得出，满足题意，进而证出直线过定点。
17．【答案】（1）易知点是抛物线的焦点，，
依题意，
所以点轨迹是一个椭圆，其焦点分别为，长轴长为4，
设该椭圆的方程为，
则，
，
故点的轨迹的方程为.
（2）易知直线1的斜率存在，
设直线1：，
由得：，
，
即①又，
故，将，代，
得：，
将②代入①，得：，
即，
即，即，
且，
即的取值范围为或.
【解析】【分析】(1)根据题意由抛物线的简单性质以及定义，把点的坐标代入整理即可得出 点轨迹是一个椭圆， 结合已知条件计算出a、b、c的取值，由此即可得出椭圆的方程。
(2)由已知条件对斜率分情况讨论，设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程消元后即可得到关于x的方程，由韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，然后由斜率的坐标公式代入整理化简即可得出k的取值范围。
18．【答案】（1）抛物线的准线：，于是得，解得，
而点在上，即，解得，又，则，
所以的坐标为，的方程为.
（2）设，直线的方程为，
由消去x并整理得：，则，，，
因此，，
化简得，即，代入方程得，即，则直线过定点，
所以直线过定点.
【解析】【分析】(1)由抛物线的简单性质以及弦长公式，即可求出然后把点的坐标代入计算出P的值即可，由此即可得出抛物线的方程。
(2)由设而不求法首先设出点的坐标，由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m和h的两根之和与两根之积的代数式，再由斜率的坐标公式整理化简计算出，结合已知条件即可得出直线的方程由此即可得出直线过的定点的坐标。
19．【答案】（1）解：依题意，点 坐标满足方程 ，∴抛物线的方程为 ．
（2）解：设直线l的方程为 ，联立方程组 ，消去x得，
．
，解得 或2（舍）
，当 ，即 ， 时等号成立.
∴t＝3或t＝－1（舍）
所以 的最小值为 ，直线l：x＝my＋3恒过定点（3，0）．
【解析】【分析】（1）将点 代入抛物线方程，解出p，可得抛物线的方程；
（2） 设直线l的方程为 ，联立方程组 ，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据 得到 ，再利用均值不等式解得最值，得到直线的定点。
20．【答案】（1）解：因点 在抛物线 上，故有 ，所以 ，从而抛物线的方程为 .
直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ，即 ，
联立 ，可得 ，解得 （舍去），或 ，
所以，点 的坐标为 .
（2）解：设点 的坐标为 ，
由 为线段 的中点，得点 的坐标为 ，
又点 在抛物线 上，所以 ，即 .
的面积
.
所以，当 ，即 或 时， 的面积取得最大值，最大值为2.
【解析】【分析】（1）求出抛物线的方程，可求得直线 的方程，将直线 的方程与抛物线的方程联立，即可求得点B的坐标；
（2） 设点 的坐标为 ，可得出点B ，将点B的坐标代入抛物线的方程可得出 ，再利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得 面积的最大值.
21．【答案】（1）解：由题意可知，则
所以的面积，解得，
所以抛物线的标准方程为
（2）解：易知直线斜率存在，设直线为，设
联立，消去得，
由韦达定理得①
由得，②
由①②可解得，
由弦长公式可得
【解析】【分析】(1)由已知条件即可得出焦点的坐标，然后由两点间的距离公式结合三角形的面积公式，代入数值计算出P的取值，从而即可得出抛物线的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，然后由向量的坐标公式代入整理化简计算出斜率的取值，并把数值代入到弦长公式计算出结果即可。
22．【答案】（1）解：由题设知点C到点F的距离等于它到直线的距离，
所以点C的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线，
故E的方程为.
（2）解：设中点坐标为，
当时，，
当时， ，
两式作差得，
则，
则直线l的方程为，联立，
得，
所以，
，
所以当，即时，取得最大值，
此时直线l的方程为或．
【解析】【分析】 （1）由已知条件得出点C到点F的距离等于它到直线的距离，再利用抛物线的定义得出点C的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线， 进而求出抛物线的标准方程。
（2） 设中点坐标为，再利用分类讨论的方法结合中点坐标公式，得出当时，，当时， ，两式作差结合两点求斜率公式，进而得出直线l的斜率，再利用点斜式求出直线l的方程，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理，得出，再利用弦长公式结合二次函数的图象求最值的方法，进而求出的最大值，从而求出此时对应的直线l的方程。
23．【答案】（1）因为抛物线：的焦点为，
所以，解得，
故的方程为．
（2）设，则
两式相减得，
所以，
因为，
所以．
故直线l的方程为：y-=（x-1），即y=x-.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合抛物线焦点求解方法，进而求出p的值，从而求出抛物线的标准方程。
（2）利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合作差法，再利用两点求斜率公式和韦达定理以及中点坐标公式，从而求出直线l的斜率，再利用点斜式求出直线l的方程。
24．【答案】（1）解：∵点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，
∴点到坐标原点的距离等于该点到焦点的距离，
∴点在坐标原点与焦点所在线段的中垂线上，
所以，解得，即抛物线方程为；
（2）解：设，，
则，，设直线的方程为：，
联立方程得，则，，
∴．
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件即可得出点到坐标原点的距离等于该点到焦点的距离， 从而即可得出 点在坐标原点与焦点所在线段的中垂线上， 结合题意代入数值计算出P的取值即可。
(2)首先设出点的坐标，再由斜率的坐标公式结合点斜式即可求出直线的方程，然后联立直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方程，结合韦达定理计算出两根之和与两根之积的关于m的代数式，代入数值整理化简计算出结果即可。
25．【答案】（1）由题意 到点 的距离等于点 到直线 的距离，所以 点轨迹是以 为焦点，直线 为准线的抛物线， ， ，
抛物线方程即 点轨迹方程是 ．
（2）因为直线 过 的外心，所以 ， 的斜率一定存在，
设 方程为 ，代入抛物线方程得 ， 或 ，
所以 ， ，即 ，同理得 ，
直线 方程为 ，整理得 ，
时， ，所以直线 过定点 ．
【解析】【分析】 (1)根据抛物线的定义即可得曲线 的方程；
(2) 的斜率一定存在，设 方程为 ， 代入抛物线方程求得A点坐标，同理求得B点坐标，再由两点式写出直线AB方程，由此证得直线 过定点．
26．【答案】（1）因为 ， ，圆的半径 ，所以 ，
易知 ，即 ，得 ，
所以抛物线C的标准方程为 ．
（2）由题意，直线l的方程为 ，联立
化简得 （ ），
所以
由 ，即 ，得 ，结合 ，知 ．
记 ， ，直线OA方程为 （显然 ）．
由 得 ，
而 ．
同理可得 ．
因为3k是 ， 的等比中项，所以 ，
代入得 ，
即
化简得 ，
结合 ，解得 ．
所以k的值为 或 ．
【解析】【分析】(1)根据题意由抛物线的定义结合圆的几何意义，计算出，由此得出P的值，从而得出抛物线的方程。
(2)由设而不求法设出点的坐标，并由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，然后由斜率的坐标公式代入整理计算出斜率关于k的代数式，整理化简即可得到关于k的方程，求解出k的取值即可。
27．【答案】（1）解：已知 到焦点 的距离为10，则点 到准线的距离为10.
∵抛物线的准线为 ，∴ ，
解得 ，∴抛物线的方程为 .
（2）由已知可判断直线 的斜率存在，设斜率为 ，因为 ，则 ： .
设 ， ，由 消去 得， ，
∴ ， .
由于抛物线 也是函数 的图象，且 ，则 ： .
令 ，解得 ，∴ ，从而 .
同理可得， ，
∴ .
∵ ，∴ 的取值范围为 .
【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义与性质，结合抛物线方程求解即可；
（2）根据直线与抛物线的位置关系，利用导数的几何意义，以及韦达定理与弦长公式求解即可.
28．【答案】（1）解：因为 到点 的距离与它到直线 的距离相等，
所以由抛物线的定义得：点 的轨迹为以 为焦点，以 为准线的抛物线，
所以p=1，所以抛物线方程为： ；
（2）由题意设直线方程为 ，
联立方程组 ，消去y得 ，
设 ，则 ，
因为 和 的斜率之和为 ，
所以 ，即 ，
即 ，所以 ，
解得 ，所以直线方程为： .
【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，结合抛物线的标准方程求解即可；
（2）根据直线与抛物线的位置关系，结合斜率公式以及直线的方程求解即可.
29．【答案】（1）解：因为动点到的距离与直线的距离相等，
所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，
设的方程为，则
故曲线的方程为；
（2）解：由题意设直线的方程为，
联立消整理得，
，
设，，
则，，
因为平分，所以，
故，
所以，
而
由题知，所以，
所以直线的方程为，
当时，，故直线恒过定点.
【解析】【分析】（1） 利用动点到的距离与直线的距离相等，再结合抛物线的定义，所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，从而设抛物线的方程为，再利用已知条件求出p的值，从而求出抛物线的标准方程。
（2） 由题意设直线的方程为，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，得出，设，，则，，再利用平分，所以，再结合两点求斜率公式得出
，由题知，进而求出n的值，从而求出直线的方程，再利用赋值法得出直线恒过的定点坐标。
30．【答案】（1）由抛物线的定义可得，①
由于线段的垂直平分线过，则，
即，即，
，，
，，②
由①②得，因此，抛物线的方程为；
（2）设直线的方程为，将直线平移且使得平移后的直线与直线之间的距离等于，设平移后的直线方程为，由平行线间的距离公式可得，
得，得直线，，
可知直线或与抛物线相切，
若直线与抛物线相切，则，得，
，此方程无解；
若直线与抛物线相切，则，得，
，得，解得，
因此，直线的方程为或.
【解析】【分析】（1） 由抛物线的定义可得，①由于线段的垂直平分线过，则，再利用两点距离公式结合，得出，②，由①②联立得出p的值，进而求出抛物线的标准方程。
（2） 设直线的斜截式方程为，将直线平移且使得平移后的直线与直线之间的距离等于，设平移后的直线的斜截式方程为，由平行线间的距离公式可得，进而得出直线，，可知直线或与抛物线相切，再利用直线与抛物线相切，联立二者方程结合判别式法得出，所以此方程无解；再利用直线与抛物线相切，联立二者方程结合判别式法得出，从而得出m的值，进而得出直线的方程。
、
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3.3 抛物线 解答题综合卷
一、解答题
1．（2021高二上·淮安期中）已知双曲线
的离心率为
，抛物线
（
）的焦点为
，准线为
，
交双曲线
的两条渐近线于
、
两点，
的面积为8.
（1）求双曲线
的渐近线方程；
（2）求抛物线
的方程.
2．（2021高二上·河北期中）抛物线 的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，且线段 中点M的纵坐标为1，l与x轴交于点P．
（1）若 ，求l的方程；
（2）若 ，求 ．
3．（2021高二上·保定期中）设抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与 交于 ， 两点．
（1）若 ，求 的方程．
（2）以 ， 为切点分别作抛物线 的两条切线，证明：两条切线的交点 一定在定直线上，且 ．
4．（2022高三上·西宁期末）已知抛物线与直线交于P，Q两点，O为坐标原点，.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若的面积为，求直线l的方程.
5．（2022高二上·富平期末）设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，且，线段的中点到轴的距离为3.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与圆和抛物线均相切，求实数的值.
6．已知抛物线与直线相交于两点，为坐标原点，.
（1）求；
（2）已知点，过点的直线交抛物线于两点（异于点），证明：为直角.
7．（2021高三上·南京月考）已知抛物线：，点，直线过点M且与抛物线交于A，B两点.
（1）若，直线的斜率为2，求的长；
（2）在轴上是否存在异于点M的点N，对任意的直线，都满足 若存在，指出点N的位置并证明，若不存在请说明理由.
8．（2021高三上·江西月考）已知抛物线上一点到其焦点的距离为，过点作两条斜率为，的直线，分别与该抛物线交于，与，两点，且，．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）求实数的取值范围．
9．（2021高三上·金台月考）过点的任一直线与抛物线交于两点，且．
（1）求的值．
（2）已知为抛物线上的两点，分别过作抛物线的切线，且，求证：直线过定点．
10．（2021高二上·浙江月考）已知抛物线 过点 ，且 到抛物线焦点的距离为2.直线 过点 ，且与抛物线相交于 ， 两点.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若点 恰为线段 的中点，求 .
11．（2021高二上·商丘）已知抛物线的焦点到准线的距离为1.
（1）求C的方程；
（2）已知点在C上，且线段AB的中垂线l的斜率为，求l在y轴上的截距的取值范围.
12．（2021高二上·长春月考）已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为6．
（1）求 的值及抛物线 的标准方程；
（2）若 ，点 为抛物线 上一动点，点 为线段 的中点，试求点 的轨迹方程．
13．（2021高二上·淮安期中）在①；②；③轴时，
这三个条件中任选个，补充在下面的横线上，并解答.问题：已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线
上，且____.
（1）求抛物线
的标准方程.
（2）若直线
与抛物线
交于
两点，求
的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
14．（2021高二上·三明期中）已知抛物线，直线交抛物线C于M、N两点，且线段中点的纵坐标为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）是否存在正数m，对于过点，且与抛物线C有两个交点A，B，都有抛物线C的焦点F在以为直径的圆内？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
15．（2021高二上·常州期中）设抛物线
的焦点为F，经过x轴正半轴上点M(m，0)的直线l交r于不同的两点A和B.
（1）若|FA|=3，求点A的坐标；
（2）若m=2，求证：原点O总在以线段AB为直径的圆的内部；
（3）若|FA|=|FM|，且直线 ， 与抛物线有且只有一个公共点E，问：△OAE的面积是否存在最小值 若存在，求出最小值，并求出M点的坐标，若不存在，请说明理由.
16．（2021高二上·牡丹江月考）已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，若.
（1）求抛物线方程；
（2）若为坐标原点，、为抛物线上异于原点的不同的两点，记的斜率为，的斜率为，当时，求证：直线过定点.
17．（2021高三上·广东月考）已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点是抛物线的焦点，点在线段上，且满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若线段的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围.
18．（2021高三上·辽宁月考）已知抛物线的焦点为，点 在上，且．
（1）求点的坐标及的方程；
（2）设动直线与相交于两点，且直线与的斜率互为倒数，试问直线是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．
19．（2021高二上·温州期中）已知抛物线 ， 点 是抛物线 上的点．
（1）求抛物线的方程及 的值；
（2）直线 与抛物线交于 两点， ，且 ，求 的最小值并证明直线 过定点．
20．（2021高二上·浙江期中）如图，点 是抛物线 上的动点，过点 的直线 与抛物线交于另一点 .
（1）当 的坐标为 时，求点 的坐标；
（2）已知点 ，若 为线段 的中点，求 面积的最大值.
21．（2021高二上·山东月考）已知抛物线的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交抛物线于的面积为（O为坐标原点）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线交抛物线于，且，求．
22．（2021高二上·山西月考）已知动圆C过定点，且与直线相切，圆心C的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）已知直线l交E于P，Q两点，且线段的中点的横坐标为4，当最大时，求直线l的方程．
23．（2021高二上·重庆市月考）已知为抛物线：的焦点．
（1）求的方程；
（2）若直线与交于，两点，且弦的中点为，求直线的方程．
24．（2021高二上·衡阳月考）已知抛物线上的点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若为抛物线上异于原点的两点，直线的斜率分别为，，若直线过定点．证明：为定值．
25．（2021高二上·浦城期中）已知动圆 过点 且与直线 相切，圆心 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）若 ， 是曲线 上的两个点且直线 过 的外心，其中 为坐标原点，求证：直线 过定点．
26．（2021·宁波模拟）已知抛物线 的焦点为F，点P是以 为圆心，半径为1的圆上的动点，且 的最大值为5．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点M的直线l与抛物线C交于不同两点A，B，直线OA，OB分别交直线 于S，T两点（O为坐标原点）．记直线l，直线FS，直线FT的斜率分别为 ， ， ，若 是 ， 的等比中项，求k的值．
27．（2021高二上·肇东月考）已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为10.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设过焦点F的的直线 与抛物线C交于 两点，且抛物线在 两点处的切线分别交x轴于 两点，求 的取值范
28．（2021高二上·楚雄月考）若动点 是曲线 上的任意一点，且满足 到点 的距离与它到直线 的距离相等
（1）求曲线 的轨迹方程；
（2）曲线 与过点 的直线 相交于 两点， 为原点.若 和 的斜率之和为 ，求直线 的方程.
29．（2021高二上·河北月考）已知动点到点的距离与到直线的距离相等，动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）已知，不垂直于坐标轴的直线与曲线相交于，两点，是坐标原点，若平分，问直线是否过定点？若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由.
30．（2021高二上·缙云月考）已知抛物线上两点、，焦点满足，线段的垂直平分线过.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线，使得抛物线上恰有三个点到直线的距离都为，求直线的方程.
答案解析部分
1．【答案】（1）由题意，双曲线 的离心率为 ，
可得 ，解得 ，可得 ，
所以双曲线 的渐近线方程为 ；
（2）由抛物线 ，可得其准线方程为 ，
代入双曲线渐近线方程 得 ， ，
所以 ，
则 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 ．
【解析】【分析】(1)根据题意由双曲线的简单性质即可求出
，再由渐近线方程代入计算出结果即可。
(2)由抛物线的方程即可求出准线的方程，再结合已知条件求出双曲线的渐近线方程，从而得出
，然后由把结果代入到三角形的面积公式由此计算出P的值，从而得出抛物线的方程。
2．【答案】（1）解：设 ，则 ，两式相减得 ．
因为线段 中点M的纵坐标为1，所以 ．
又 ，所以 ，
所以线段 的中点为 ，故直线l的方程为 ，即
（2）解：设l的方程为 ，联立方程组 ，整理得 ，
则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
故| ．
【解析】【分析】(1)根据题意由设而不求法设出点的坐标，结合点差法计算出直线的斜率，再由弦长公式结合已知条件计算出，把数值代入到中点的坐标公式结合点斜式求出直线的方程即可。
(2)由设而不求法设出点的坐标，并由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于t的两根之和与两根之积的代数式，然后由弦长公式代入数值计算出结果即可。
3．【答案】（1）解：由题意得 ，设直线 的方程为 ， ， ，
联立 消元得 ，所以 ， ．
因为 ，
由题设知 ，解得 ，所以 的方程为 ．
（2）解：设与抛物线 相切的切线方程为 ，
则 化简得 ．
由 ，可得 ．
将 点坐标代入方程 ，可得 ， ，
所以过 的切线方程为 ．同理，过 的切线方程为 ，
联立方程组可得 ， ，
所以交点 在定直线 上．
当 时， 显然成立；
当 时， ，则 ，所以 ．
综上所述， ．
【解析】【分析】(1)根据题意由点斜式求出直线的方程，再联立直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方程，由韦达定理计算出两根之和与两根之积的值，然后由弦长公式整理计算出t的取值，由此得出直线的方程。
(2)首先设出切线的方程再联立直线与抛物线的方程，消元后得到关于y的方程，由一元二次方程跟的情况，求解出m的取值，从而得出点的坐标，然后由把点的坐标代入到斜率的坐标公式计算出 ，从而得出线线垂直。
4．【答案】（1）设，，
联立方程组得，
则，.
由，得.
因为，所以
，
所以，
所以，故抛物线C的方程为.
（2）由（1）知，，
所以
.
因为点O到直线l的距离，
所以，
所以，
故直线l的方程为或.
【解析】【分析】(1)根据题意由设而不求法设出点的坐标，由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于P的两根之和与两根之积的代数式，然后由共线向量的坐标公式代入整理计算出P的取值，从而即可得出抛物线的方程。
(2)根据题意再把，代入到弦长公式，由点到直线的距离公式以及三角形的面积公式整理化简计算出k的取值，由此即可得出直线的方程。
5．【答案】（1）解：设，，.
则线段的中点坐标为，
由题意知，则，
如图，分别过点、作准线的垂线，垂足为、，根据抛物线的定义可知，，，
又，所以，所以，
所以，抛物线的方程为：.
（2）解：因为圆圆心为，半径为，直线，即与圆相切，
，即有①
联立直线与抛物线的方程，可得，
因为直线与抛物线相切，
所以，得②，
联立①②，解得或，
即实数的值为.
【解析】【分析】（1） 设，， ，由已知可得 ，即 ，即可求出 ， 进而得抛物线的方程；
（2）根据直线与圆相切可得 ，联立直线与抛物线，根据直线与抛物线相切可得 ，即可推出 ，联立两式，即可求出实数的值.
6．【答案】（1）将代入，有，
设，易知，
可得，
而，
即.
（2）设，直线，
将代入，易知，
故，
而
故.
【解析】【分析】(1)根据题意设出直线的方程，再联立直线与抛物线的方程消元后，结合韦达定理即可求出两根之和与两根之和关于p的代数式，然后由弦长公式结合抛物线的定义代入计算出p的取值即可。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，然后由斜率的坐标公式整理化简计算出，从而即可得出线线垂直，从而即可得出答案。
7．【答案】（1）由题意可知直线：，
由得或.
所以，，
所以.
（2）存在轴上的点满足题意，证明如下：
设直线：，
由得.
设，，则，.
.
所以，可知AN，BN的倾斜角互补，所以.
所以为的角平分线，
由正弦定理：，，
两式相除得，
综上，存在轴上的点满足题意.
【解析】【分析】(1)由已知条件即可设出直线的方程，联立直线与抛物线的方程，由此计算出交点的坐标，再由两点间的距离公式计算出弦长即可。
(2)由设而不求法设出点的坐标，并由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m和a的两根之和与两根之积的代数式，然后由斜率的坐标公式代入整理化简由此计算出，从而得出，结合正弦定理整理化简即可得出，从而得证出结论。
8．【答案】（Ⅰ）由抛物线上一点到其焦点的距离为，
所以，解得，
故抛物线的方程为；
（Ⅱ）设直线，与抛物线联立，
可得，
设，，
则，，
所以
，
点到直线的距离为，
所以，
同理可得，
因为，且
所以，
整理可得：，即，所以，
所以，
由可得，
即，即，所以，
综上所述，的取值范围为．
【解析】【分析】 (1)由抛物线的定义以及点在抛物线上，列出方程组 ，求解出p，即可得到 抛物线的方程；
(2) 设直线，与抛物线联立， 得到韦达定理，由弦长公式和点到直线的距离公式分别求出|AB|和点F到直线 的距离d，求出△FAB的面积，同理求出△PCD的面积，由题意列出关系式，结合判别式大于0，求解出t的范围.
9．【答案】（1）设，直线的方程为，与抛物线方程联立，
整理可得
所以，，
所以，
所以，
（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设，则抛物线在点处的切线方程为
从而同理，
因为，所以，即，
又，
从而直线的方程为：，
将代入化简得：，
所以，直线恒过定点．
【解析】【分析】(1)首先设出点的坐标，以及直线的方程，再联立直线与抛物线的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于P的两根之和与两根之积的代数式，然后由数量积的坐标公式整理化简即可求出p的值。
(2)根据题意由抛物线的方程，再对其求导，并把点的坐标代入计算出切线的斜率，由此即可求出切线的方程，同理即可求出两条直线的斜率，由此计算出即结合斜率的坐标公式代入计算出的取值，由此即可求出直线MN的方程，并把结果代入到直线的方程整理化简即可求出直线过的定点的坐标。
10．【答案】解：（Ⅰ）由题意 ，∵ ，解得 ，
抛物线方程为 ；
（Ⅱ）设 ，则 ，两式相减得 ，
∴ ，∵ 的中点是 ，∴ ．
∴直线 方程为 ，即 ，
由 ，解得 ， ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法和抛物线的定义，从而解方程组求出p和m的值，进而求出抛物线的标准方程。
（2）设 ，再利用代入法得出 ，两式相减得出 ，再利用两点求斜率公式得出直线AB的斜率为 ，再利用 的中点是 结合中点坐标公式得出直线AB的斜率，再结合点斜式求出直线 方程，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程求出交点A，B的坐标，再利用两点距离公式得出A，B两点的距离。
11．【答案】（1）因抛物线的焦点到准线的距离为1，则p=1，
所以C的方程为.
（2）依题意，设直线l的方程为，直线AB的方程为y=2x+m，设，
由消去x得：，由题意知，得，
设线段AB的中点为，则，再由，可得，
又点N在直线l上，则，于是，从而有，
所以l在y轴上的截距的取值范围为.
【解析】【分析】(1)根据题意由抛物线的定义由已知条件计算出P的取值，由此即可得出抛物线的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合二次函数的性质计算出交点的坐标，结合中的的坐标公式计算出点的坐标，再把结果代入直线的方程，结合题意计算出，从而即可得出答案。
12．【答案】（1）解：由题设，抛物线准线方程为 ，
∴抛物线定义知： ，又 ，解得 ， ；或 .
∴ ，抛物线标准方程为 ，或 ，抛物线标准方程为
（2）解：由（1）和 知，抛物线 为 ，则 ，
设 ， ，
根据点M为线段 的中点，可得： ，即 ，由点Q为抛物线C上，所以 ，即 ，即 ，所以中点 的轨迹方程为 .
【解析】【分析】(1)根据抛物线的定义以及标准方程求解即可；
(2)根据中点坐标公式，利用相关点法，结合抛物线方程求解即可.
13．【答案】（1）解：选择条件①.由抛物线的定义可得 .
因为 ，所以 ，解得 .
故抛物线 的标准方程为 .
选择条件②.因为 ，所以 ， ，
因为点 在抛物线 上，所以 ，即 ，解得 ，
所以抛物线 的标准方程为 .
选择条件③.当 轴时， ，所以 .
故抛物线 的标准方程为 .
（2）解：设 ， ，由（1）可知 .
由 ，消去 得 ，
则 ， ，
所以 ，
又 ， ，所以 ，
故 .
因为点 到直线 的距离 ，
所以 的面积为 .
【解析】【分析】(1) 选择条件① ，由抛物线的定义结合已知条件即可求出P的取值，从而得出抛物线的方程。 选择条件② ，根据题意即可得出点的坐标，再把点的坐标代入到抛物线的方程由此计算出P的取值，由此即可得出抛物线的方程。
(2)由已知条件设出点的坐标，然后联立直线与抛物线的方程消元后的得出关于x的方程，结合韦达定理计算出
，
，再把结果代入到弦长公式由此计算出
的值，从而即可得出
的取值，然后由点到直线的距离公式再结合三角形的面积公式，代入数值计算出结果即可。
14．【答案】（1）设，
由得，，则，由题意，，
所以抛物线方程为；
（2）假设存在满足题意的点，显然直线的斜率存在，设直线方程为，
由得，，时直线与抛物线没有两个交点，
由，因为，恒成立，
设，则，
焦点F在以为直径的圆内，则，，
，
恒成立，因为，所以，又
所以．
所以存在满足题意正数，且．
【解析】【分析】 (1)联立抛物线与直线方程，利用韦达定理及中点坐标，即可求解；
(2)首先由于过点 的直线与开口向右的抛物线有两个交点A、B，则设该直线的方程为 然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元_二次方程，再根据韦达定理及向量的数量积公式等价转化，最后通过m、k的不等式求出m的取值范围.
15．【答案】（1）设 ，抛物线 的准线方程为： ，焦点 ，
因为 ，所以 ，所以 ；
（2），所以设直线l的方程为： ，与抛物线方程联立得：
，
设 ，则 ，
，
且 ，所以 为钝角，
由圆的性质可得原点O总在以线段AB为直径的圆的内部
（3）不妨设 ，因为 ，
所以 或 （舍去），
， ，因为直线 ，所以直线 的斜率也为 ，
设该直线的方程为： ，与抛物线方程联立得： ，
因为 与抛物线有且只有一个公共点E，所以有 ，
此时 ，所以 ， ，
的面积为
，
当且仅当 时取等号，即当 时取等号，而 ，
所以解得 ， ，
因此 的面积存在最小值2， M点的坐标为 .
【解析】【分析】(1)根据题意设出点的坐标，由抛物线的简单性质即可求出焦点的坐标和准线的方程，结合已知条件代入计算出点a的坐标即可。
(2)由m的取值即可求出直线的方程，再联立直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方程，结合韦达定理计算出
，再把结果代入到数量积的坐标公式，整理化简计算出结果，由此即可得出结论。
16．【答案】（1）解：直线的方程为，设点、，
则得，所以，
则，解得，故抛物线方程为.
（2）证明：设、，
若直线垂直于轴时，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
设直线的方程为，联立，可得，
所以，，
又，解得，
故直线的方程为，，满足题意.
因此，直线过定点.
【解析】【分析】（1） 设直线的方程为，再设点、，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理，得出，再利用抛物线定义结合两点距离公式得出，进而求出p的值，从而求出抛物线的标准方程。
（2） 设、，若直线垂直于轴时，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意；设直线的方程为，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理，得出，，再利用两点求斜率公式结合已知条件得出t的值，从而求出直线的方程为，再结合判别式法得出，满足题意，进而证出直线过定点。
17．【答案】（1）易知点是抛物线的焦点，，
依题意，
所以点轨迹是一个椭圆，其焦点分别为，长轴长为4，
设该椭圆的方程为，
则，
，
故点的轨迹的方程为.
（2）易知直线1的斜率存在，
设直线1：，
由得：，
，
即①又，
故，将，代，
得：，
将②代入①，得：，
即，
即，即，
且，
即的取值范围为或.
【解析】【分析】(1)根据题意由抛物线的简单性质以及定义，把点的坐标代入整理即可得出 点轨迹是一个椭圆， 结合已知条件计算出a、b、c的取值，由此即可得出椭圆的方程。
(2)由已知条件对斜率分情况讨论，设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程消元后即可得到关于x的方程，由韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，然后由斜率的坐标公式代入整理化简即可得出k的取值范围。
18．【答案】（1）抛物线的准线：，于是得，解得，
而点在上，即，解得，又，则，
所以的坐标为，的方程为.
（2）设，直线的方程为，
由消去x并整理得：，则，，，
因此，，
化简得，即，代入方程得，即，则直线过定点，
所以直线过定点.
【解析】【分析】(1)由抛物线的简单性质以及弦长公式，即可求出然后把点的坐标代入计算出P的值即可，由此即可得出抛物线的方程。
(2)由设而不求法首先设出点的坐标，由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m和h的两根之和与两根之积的代数式，再由斜率的坐标公式整理化简计算出，结合已知条件即可得出直线的方程由此即可得出直线过的定点的坐标。
19．【答案】（1）解：依题意，点 坐标满足方程 ，∴抛物线的方程为 ．
（2）解：设直线l的方程为 ，联立方程组 ，消去x得，
．
，解得 或2（舍）
，当 ，即 ， 时等号成立.
∴t＝3或t＝－1（舍）
所以 的最小值为 ，直线l：x＝my＋3恒过定点（3，0）．
【解析】【分析】（1）将点 代入抛物线方程，解出p，可得抛物线的方程；
（2） 设直线l的方程为 ，联立方程组 ，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据 得到 ，再利用均值不等式解得最值，得到直线的定点。
20．【答案】（1）解：因点 在抛物线 上，故有 ，所以 ，从而抛物线的方程为 .
直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ，即 ，
联立 ，可得 ，解得 （舍去），或 ，
所以，点 的坐标为 .
（2）解：设点 的坐标为 ，
由 为线段 的中点，得点 的坐标为 ，
又点 在抛物线 上，所以 ，即 .
的面积
.
所以，当 ，即 或 时， 的面积取得最大值，最大值为2.
【解析】【分析】（1）求出抛物线的方程，可求得直线 的方程，将直线 的方程与抛物线的方程联立，即可求得点B的坐标；
（2） 设点 的坐标为 ，可得出点B ，将点B的坐标代入抛物线的方程可得出 ，再利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得 面积的最大值.
21．【答案】（1）解：由题意可知，则
所以的面积，解得，
所以抛物线的标准方程为
（2）解：易知直线斜率存在，设直线为，设
联立，消去得，
由韦达定理得①
由得，②
由①②可解得，
由弦长公式可得
【解析】【分析】(1)由已知条件即可得出焦点的坐标，然后由两点间的距离公式结合三角形的面积公式，代入数值计算出P的取值，从而即可得出抛物线的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，然后由向量的坐标公式代入整理化简计算出斜率的取值，并把数值代入到弦长公式计算出结果即可。
22．【答案】（1）解：由题设知点C到点F的距离等于它到直线的距离，
所以点C的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线，
故E的方程为.
（2）解：设中点坐标为，
当时，，
当时， ，
两式作差得，
则，
则直线l的方程为，联立，
得，
所以，
，
所以当，即时，取得最大值，
此时直线l的方程为或．
【解析】【分析】 （1）由已知条件得出点C到点F的距离等于它到直线的距离，再利用抛物线的定义得出点C的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线， 进而求出抛物线的标准方程。
（2） 设中点坐标为，再利用分类讨论的方法结合中点坐标公式，得出当时，，当时， ，两式作差结合两点求斜率公式，进而得出直线l的斜率，再利用点斜式求出直线l的方程，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理，得出，再利用弦长公式结合二次函数的图象求最值的方法，进而求出的最大值，从而求出此时对应的直线l的方程。
23．【答案】（1）因为抛物线：的焦点为，
所以，解得，
故的方程为．
（2）设，则
两式相减得，
所以，
因为，
所以．
故直线l的方程为：y-=（x-1），即y=x-.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合抛物线焦点求解方法，进而求出p的值，从而求出抛物线的标准方程。
（2）利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合作差法，再利用两点求斜率公式和韦达定理以及中点坐标公式，从而求出直线l的斜率，再利用点斜式求出直线l的方程。
24．【答案】（1）解：∵点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，
∴点到坐标原点的距离等于该点到焦点的距离，
∴点在坐标原点与焦点所在线段的中垂线上，
所以，解得，即抛物线方程为；
（2）解：设，，
则，，设直线的方程为：，
联立方程得，则，，
∴．
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件即可得出点到坐标原点的距离等于该点到焦点的距离， 从而即可得出 点在坐标原点与焦点所在线段的中垂线上， 结合题意代入数值计算出P的取值即可。
(2)首先设出点的坐标，再由斜率的坐标公式结合点斜式即可求出直线的方程，然后联立直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方程，结合韦达定理计算出两根之和与两根之积的关于m的代数式，代入数值整理化简计算出结果即可。
25．【答案】（1）由题意 到点 的距离等于点 到直线 的距离，所以 点轨迹是以 为焦点，直线 为准线的抛物线， ， ，
抛物线方程即 点轨迹方程是 ．
（2）因为直线 过 的外心，所以 ， 的斜率一定存在，
设 方程为 ，代入抛物线方程得 ， 或 ，
所以 ， ，即 ，同理得 ，
直线 方程为 ，整理得 ，
时， ，所以直线 过定点 ．
【解析】【分析】 (1)根据抛物线的定义即可得曲线 的方程；
(2) 的斜率一定存在，设 方程为 ， 代入抛物线方程求得A点坐标，同理求得B点坐标，再由两点式写出直线AB方程，由此证得直线 过定点．
26．【答案】（1）因为 ， ，圆的半径 ，所以 ，
易知 ，即 ，得 ，
所以抛物线C的标准方程为 ．
（2）由题意，直线l的方程为 ，联立
化简得 （ ），
所以
由 ，即 ，得 ，结合 ，知 ．
记 ， ，直线OA方程为 （显然 ）．
由 得 ，
而 ．
同理可得 ．
因为3k是 ， 的等比中项，所以 ，
代入得 ，
即
化简得 ，
结合 ，解得 ．
所以k的值为 或 ．
【解析】【分析】(1)根据题意由抛物线的定义结合圆的几何意义，计算出，由此得出P的值，从而得出抛物线的方程。
(2)由设而不求法设出点的坐标，并由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，然后由斜率的坐标公式代入整理计算出斜率关于k的代数式，整理化简即可得到关于k的方程，求解出k的取值即可。
27．【答案】（1）解：已知 到焦点 的距离为10，则点 到准线的距离为10.
∵抛物线的准线为 ，∴ ，
解得 ，∴抛物线的方程为 .
（2）由已知可判断直线 的斜率存在，设斜率为 ，因为 ，则 ： .
设 ， ，由 消去 得， ，
∴ ， .
由于抛物线 也是函数 的图象，且 ，则 ： .
令 ，解得 ，∴ ，从而 .
同理可得， ，
∴ .
∵ ，∴ 的取值范围为 .
【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义与性质，结合抛物线方程求解即可；
（2）根据直线与抛物线的位置关系，利用导数的几何意义，以及韦达定理与弦长公式求解即可.
28．【答案】（1）解：因为 到点 的距离与它到直线 的距离相等，
所以由抛物线的定义得：点 的轨迹为以 为焦点，以 为准线的抛物线，
所以p=1，所以抛物线方程为： ；
（2）由题意设直线方程为 ，
联立方程组 ，消去y得 ，
设 ，则 ，
因为 和 的斜率之和为 ，
所以 ，即 ，
即 ，所以 ，
解得 ，所以直线方程为： .
【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，结合抛物线的标准方程求解即可；
（2）根据直线与抛物线的位置关系，结合斜率公式以及直线的方程求解即可.
29．【答案】（1）解：因为动点到的距离与直线的距离相等，
所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，
设的方程为，则
故曲线的方程为；
（2）解：由题意设直线的方程为，
联立消整理得，
，
设，，
则，，
因为平分，所以，
故，
所以，
而
由题知，所以，
所以直线的方程为，
当时，，故直线恒过定点.
【解析】【分析】（1） 利用动点到的距离与直线的距离相等，再结合抛物线的定义，所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，从而设抛物线的方程为，再利用已知条件求出p的值，从而求出抛物线的标准方程。
（2） 由题意设直线的方程为，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，得出，设，，则，，再利用平分，所以，再结合两点求斜率公式得出
，由题知，进而求出n的值，从而求出直线的方程，再利用赋值法得出直线恒过的定点坐标。
30．【答案】（1）由抛物线的定义可得，①
由于线段的垂直平分线过，则，
即，即，
，，
，，②
由①②得，因此，抛物线的方程为；
（2）设直线的方程为，将直线平移且使得平移后的直线与直线之间的距离等于，设平移后的直线方程为，由平行线间的距离公式可得，
得，得直线，，
可知直线或与抛物线相切，
若直线与抛物线相切，则，得，
，此方程无解；
若直线与抛物线相切，则，得，
，得，解得，
因此，直线的方程为或.
【解析】【分析】（1） 由抛物线的定义可得，①由于线段的垂直平分线过，则，再利用两点距离公式结合，得出，②，由①②联立得出p的值，进而求出抛物线的标准方程。
（2） 设直线的斜截式方程为，将直线平移且使得平移后的直线与直线之间的距离等于，设平移后的直线的斜截式方程为，由平行线间的距离公式可得，进而得出直线，，可知直线或与抛物线相切，再利用直线与抛物线相切，联立二者方程结合判别式法得出，所以此方程无解；再利用直线与抛物线相切，联立二者方程结合判别式法得出，从而得出m的值，进而得出直线的方程。
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