广东省惠州市小金茂峰学校2023-2024学年九年级上册数学开学考试试卷
一、选择题（共30分）
1．（2023九上·惠州开学考）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，7，5 C．2，3，4 D．1，2，2
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴这三个数可以构成直角三角形，符合题意；
B、∵，∴这三个数不可以构成直角三角形，不符合题意；
C、∵，∴这三个数不可以构成直角三角形，不符合题意；
D、∵，∴这三个数不可以构成直角三角形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项分析选项的三个数是否构成勾股定理，即可.
2．（2021八上·岳阳期末）下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： ，故选项A错误；
是最简二次根式，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D错误.
故答案为：B.
【分析】①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式，从而根据最简二次根式的定义一一判定即可解答.
3．（2023八下·越秀期末）直线经过点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：把点代入 ，
得，
.
故答案为：C.
【分析】把点坐标代入函数解析式得到关于n的一元一次方程，进而解得n的值.
4．（2023八下·海珠期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】按照二次根式加减（同类二次根式不同因数进行相加减，相同的二次根式不变），二次根式乘除（将其根号内的数进行相乘或者相除，然后进行化简）运算法则计算即可.
5．（2023八下·南沙期末）若甲、乙、丙、丁四位同学在八年级第一学期4次数学测试的平均成绩恰好都是85分，方差分别为，，，，则成绩最稳定的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：，，，，
，
丙同学的成绩最稳定.
故答案为：C.
【分析】方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.
6．（2023九上·惠州开学考）下列四个命题中不正确的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，本项不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，错误，本项符合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形，正确，本项不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的判定定理逐项分析即可.
7．（2023八下·广州期末）已知且，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵kb＞0，
∴k、b同号，
又∵b＜0，
∴k＜0，
∴一次函数y=kx+b的图象经过二、四象限，且交y轴的负半轴，
∴只有C选项符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”可得k＜0，进而根据一次函数y=kx+b（k≠0）：当k>0，图象必过一三象限；k<0，图象必过二四象限，当b＞0时，图象交y轴的正半轴，当b＜0时，图象交y轴的负半轴，当b=0时图象过原点，一一判断得出答案.
8．（2023八下·海珠期末）在中，，，，点是的中点，则（ ）cm
A．6.5 B．6 C．5.5 D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∴三角形ABC为直角三角形，且BC为斜边，
∵D是BC的中点，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，再利用直角三角形斜边上中线等于斜边上一半即可求出AD长度.
9．（2023八下·南沙期末）如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（ ）
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得米，米，米，，
米，
米，
，
米，
米，
梯子的底部向外滑0.8米.
故答案为：D.
【分析】先根据题意表示出已知线段的长度，再通过勾股定理计算得到CE的长，进而求得DA的长度.
10．（2023八下·越秀期末）一次函数（，m，n是常数）的图象经过两点，，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：如图，
，
当时，，
由图象可得，不等式的解集是.
故答案为：B.
【分析】先根据题意画出一次函数的图象，由点B坐标可知当时，，要使，则一次函数图象在x轴上方，即点B左侧，故不等式的解集是.
二、填空题（共15分）
11．（2020·海淀模拟）若二次根式 有意义，则x的取值范围是
【答案】x≥
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵二次根式 有意义，
∴2x-3≥0，
∴x≥ .
故答案是：x≥ .
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数列式求值．
12．（2023八下·海珠期末）一组数据1，6，7，4，7，5，2的中位数是 ．
【答案】5
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：∵一组数据1，6，7，4，7，5，2 ，
∴按照从小到大顺序排列为1，2，4，5，6，7，7，
∴处在最中间的数是5.
∴中位数为5.
故答案为：5.
【分析】根据中位数的定义（把所有的同类数据按照大小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则中间那个数据就是这群数据的中位数）即可得出答案.
13．（2017八下·蒙阴期末）将直线y=2x向下平移2个单位，所得直线的函数表达式是 ．
【答案】y=2x-2
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：根据一次函数的平移，上加下减，可知一次函数的表达式为y=2x-2.
14．（2021八下·崇川月考）菱形的一条对角线长为 ，面积是 ，则菱形的另一条对角线长为 cm.
【答案】2
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：设菱形的另一条对角线长为xcm，则
×6×x=6cm2，
∴x=2cm.
故答案为：2.
【分析】设菱形的另一条对角线长为xcm，根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半列方程，求解即可.
15．（2023九上·惠州开学考）如图，一根长的筷子置于底面直径为，高为圆柱形水杯中，露在水杯外面的长度，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵一根长的筷子置于底面直径为，高为圆柱形水杯中，
∴在杯子中最短时，筷子为杯子的高，在杯子中最长时，筷子为杯子的斜边，
即杯子外最长时，筷子为杯子的高，在杯子外最短时，筷子为杯子的斜边，
∴当筷子为杯子的高时，，
当筷子为杯子的斜边时，，
∴的取值范围是：，
故答案为：.
【分析】根据杯子内筷子的长度的取值范围，进而得到杯子外筷子的取值范围，即可.
三、解答题（共75分）
16．（2023八下·荔湾期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）将括号里的二次根式化成最简二次根式，再利用二次根式的除法法则进行计算.
（2）利用完全平方公式和平方差公式及二次根式的乘法法则先去括号，再合并即可.
17．（2023八下·南沙期末）如图，在中，，，，，求的长．
【答案】解：∵，，
∴．
故为直角三角形，
∴，
故的长为．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】先由三角形的内角和定理证得为直角三角形，再利用勾股定理求得AB的长度.
18．（2023八下·番禺期末）下图统计的是一个路口某时段来往车辆的车速情况，请运用你所学的统计知识，写一份简短的报告，让交警知道在这个时段，该路口来往车辆的车速情况(如最大车速，车速数据的中位数、众数、平均数等)，并对数据作一个简要分析．
【答案】解：在这个时段，该路口来往车辆的数量为（辆），
因为52出现的次数最多，
所以车速数据的众数为52，
因为将这组数据从小到大排序后，第14个数即为中位数，
所以车速数据的中位数为52，
平均数为，
报告：由图可知，这个时段，该路口来往车辆的最低车速是，最高车速是，大部分车辆车速是．
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势；众数
【解析】【分析】根据图表，利用中位数（把所有的同类数据按照大小的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则中间那个数据就是这群数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间那2个数据的算术平均值就是这群数据的中位数）、平均数（是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数）、众数（出现次数最多的数据）得出关键信息即可.
19．（2023八下·南沙期末）如图，，的平分线交于点，点在上，，连接．求证：四边形是菱形．
【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
又
四边形是平行四边形，
∵，
四边形是菱形．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】先利用平行线的性质和角平分线的定义证得，进而得到，再通过一组对边平行且相等证得四边形是平行四边形，然后通过邻边相等判定四边形是菱形．
20．（2023九上·惠州开学考）天天快递公司的每位快递员的日收入y（元）与日派送量x（件）成函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若一位快递员的日收入不少于110元，则他至少要派送多少件快递？
【答案】（1）解：观察函数图象可知：是的一次函数，
设，
将、代入，
，解得：，
．
（2）解：根据题意得：，
解得：．
答：快递员的日收入不少于110元，则他至少要派送40件．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，即可求得函数关系式；
（2）由（1）和题干：快递员的日收入不少于110元，列不等式：，求解即可.
21．（2023九上·惠州开学考）如图，公路和公路在点P处交汇，，点A处有一所学校．．假设汽车在公路上行驶时，周围以内会受到噪音影响，则学校是否会受到噪音影响？请说明理由．如果受影响，请求出受影响的时间．（已知汽车的速度为/秒．）
【答案】解：解：如图，过点A作于点B，
∵，，
∴，
∵，
∴学校会受到噪音的影响；
设从点E开始学校学到影响，点F结束，则，
又∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∵汽车的速度为，
∴受影响的时间为：．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【分析】过点A作于点B，可知AB=120m，即可知道学校会受到影响，设从点E开始学校学到影响，点F结束，即，根据勾股定理求出BE的长，进而得到EF的长，再根据时间=路程÷速度，即可求解.
22．（2023·安徽模拟）如图，在正方形中，点、分别为边、上两点，．
（1）若是的角平分线，求证：是的角平分线；
（2）若，求证：．
【答案】（1）解：如图：将绕点顺时针旋转，使得与重合，得到，
是由绕点顺时针旋转得到，
，
，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
又，
，
是的角平分线；
（2）解：由（1）可得，
，
，，
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）将绕点顺时针旋转，使得与重合，得到， 先证出，可得，再结合，可得，即可证出是的角平分线；
（2）根据全等三角形的性质可得，再结合 ，， 可得。
23．（2023八下·番禺期末）如图，函数与的图象交于点．
（1）求出m，n的值；
（2）观察图象，写出的解集；
（3）设和的面积分别为、，求．
【答案】（1）解：将点代入函数得：，
解得，
，
将点代入函数得：，
解得．
（2）解：不等式表示的是函数的图象位于函数的图象下方（含交点），
则由函数图象可知，的解集为．
．
（3）解：对于函数，
当时，，则，
当时，，解得，则，
，
对于函数，
当时，，则，
，
，
，
．
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【分析】（1）根据点P在直线解析式 上，求出P点坐标，将P点坐标代入 即可求出m的值；
（2）利用第一问的结果可知两个直线解析式，解一元一次不等式即可求出x的取值范围；
（3）利用直线解析式，求出OB和OC长度，即可表示出三角形BOC的面积，利用直线解析式求出A点和P点坐标，从而求出AB长度和三角形ABP中以AB为底边的高，从而求出三角形ABP面积，即可求出 比值.
1 / 1广东省惠州市小金茂峰学校2023-2024学年九年级上册数学开学考试试卷
一、选择题（共30分）
1．（2023九上·惠州开学考）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，7，5 C．2，3，4 D．1，2，2
2．（2021八上·岳阳期末）下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·越秀期末）直线经过点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023八下·海珠期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·南沙期末）若甲、乙、丙、丁四位同学在八年级第一学期4次数学测试的平均成绩恰好都是85分，方差分别为，，，，则成绩最稳定的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（2023九上·惠州开学考）下列四个命题中不正确的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
7．（2023八下·广州期末）已知且，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023八下·海珠期末）在中，，，，点是的中点，则（ ）cm
A．6.5 B．6 C．5.5 D．5
9．（2023八下·南沙期末）如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（ ）
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8
10．（2023八下·越秀期末）一次函数（，m，n是常数）的图象经过两点，，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共15分）
11．（2020·海淀模拟）若二次根式 有意义，则x的取值范围是
12．（2023八下·海珠期末）一组数据1，6，7，4，7，5，2的中位数是 ．
13．（2017八下·蒙阴期末）将直线y=2x向下平移2个单位，所得直线的函数表达式是 ．
14．（2021八下·崇川月考）菱形的一条对角线长为 ，面积是 ，则菱形的另一条对角线长为 cm.
15．（2023九上·惠州开学考）如图，一根长的筷子置于底面直径为，高为圆柱形水杯中，露在水杯外面的长度，则的取值范围是 ．
三、解答题（共75分）
16．（2023八下·荔湾期末）计算：
（1）；
（2）．
17．（2023八下·南沙期末）如图，在中，，，，，求的长．
18．（2023八下·番禺期末）下图统计的是一个路口某时段来往车辆的车速情况，请运用你所学的统计知识，写一份简短的报告，让交警知道在这个时段，该路口来往车辆的车速情况(如最大车速，车速数据的中位数、众数、平均数等)，并对数据作一个简要分析．
19．（2023八下·南沙期末）如图，，的平分线交于点，点在上，，连接．求证：四边形是菱形．
20．（2023九上·惠州开学考）天天快递公司的每位快递员的日收入y（元）与日派送量x（件）成函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若一位快递员的日收入不少于110元，则他至少要派送多少件快递？
21．（2023九上·惠州开学考）如图，公路和公路在点P处交汇，，点A处有一所学校．．假设汽车在公路上行驶时，周围以内会受到噪音影响，则学校是否会受到噪音影响？请说明理由．如果受影响，请求出受影响的时间．（已知汽车的速度为/秒．）
22．（2023·安徽模拟）如图，在正方形中，点、分别为边、上两点，．
（1）若是的角平分线，求证：是的角平分线；
（2）若，求证：．
23．（2023八下·番禺期末）如图，函数与的图象交于点．
（1）求出m，n的值；
（2）观察图象，写出的解集；
（3）设和的面积分别为、，求．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴这三个数可以构成直角三角形，符合题意；
B、∵，∴这三个数不可以构成直角三角形，不符合题意；
C、∵，∴这三个数不可以构成直角三角形，不符合题意；
D、∵，∴这三个数不可以构成直角三角形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项分析选项的三个数是否构成勾股定理，即可.
2．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： ，故选项A错误；
是最简二次根式，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D错误.
故答案为：B.
【分析】①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式，从而根据最简二次根式的定义一一判定即可解答.
3．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：把点代入 ，
得，
.
故答案为：C.
【分析】把点坐标代入函数解析式得到关于n的一元一次方程，进而解得n的值.
4．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】按照二次根式加减（同类二次根式不同因数进行相加减，相同的二次根式不变），二次根式乘除（将其根号内的数进行相乘或者相除，然后进行化简）运算法则计算即可.
5．【答案】C
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：，，，，
，
丙同学的成绩最稳定.
故答案为：C.
【分析】方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，本项不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，错误，本项符合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形，正确，本项不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的判定定理逐项分析即可.
7．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵kb＞0，
∴k、b同号，
又∵b＜0，
∴k＜0，
∴一次函数y=kx+b的图象经过二、四象限，且交y轴的负半轴，
∴只有C选项符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”可得k＜0，进而根据一次函数y=kx+b（k≠0）：当k>0，图象必过一三象限；k<0，图象必过二四象限，当b＞0时，图象交y轴的正半轴，当b＜0时，图象交y轴的负半轴，当b=0时图象过原点，一一判断得出答案.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∴三角形ABC为直角三角形，且BC为斜边，
∵D是BC的中点，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，再利用直角三角形斜边上中线等于斜边上一半即可求出AD长度.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得米，米，米，，
米，
米，
，
米，
米，
梯子的底部向外滑0.8米.
故答案为：D.
【分析】先根据题意表示出已知线段的长度，再通过勾股定理计算得到CE的长，进而求得DA的长度.
10．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：如图，
，
当时，，
由图象可得，不等式的解集是.
故答案为：B.
【分析】先根据题意画出一次函数的图象，由点B坐标可知当时，，要使，则一次函数图象在x轴上方，即点B左侧，故不等式的解集是.
11．【答案】x≥
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵二次根式 有意义，
∴2x-3≥0，
∴x≥ .
故答案是：x≥ .
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数列式求值．
12．【答案】5
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：∵一组数据1，6，7，4，7，5，2 ，
∴按照从小到大顺序排列为1，2，4，5，6，7，7，
∴处在最中间的数是5.
∴中位数为5.
故答案为：5.
【分析】根据中位数的定义（把所有的同类数据按照大小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则中间那个数据就是这群数据的中位数）即可得出答案.
13．【答案】y=2x-2
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：根据一次函数的平移，上加下减，可知一次函数的表达式为y=2x-2.
14．【答案】2
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：设菱形的另一条对角线长为xcm，则
×6×x=6cm2，
∴x=2cm.
故答案为：2.
【分析】设菱形的另一条对角线长为xcm，根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半列方程，求解即可.
15．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵一根长的筷子置于底面直径为，高为圆柱形水杯中，
∴在杯子中最短时，筷子为杯子的高，在杯子中最长时，筷子为杯子的斜边，
即杯子外最长时，筷子为杯子的高，在杯子外最短时，筷子为杯子的斜边，
∴当筷子为杯子的高时，，
当筷子为杯子的斜边时，，
∴的取值范围是：，
故答案为：.
【分析】根据杯子内筷子的长度的取值范围，进而得到杯子外筷子的取值范围，即可.
16．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）将括号里的二次根式化成最简二次根式，再利用二次根式的除法法则进行计算.
（2）利用完全平方公式和平方差公式及二次根式的乘法法则先去括号，再合并即可.
17．【答案】解：∵，，
∴．
故为直角三角形，
∴，
故的长为．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】先由三角形的内角和定理证得为直角三角形，再利用勾股定理求得AB的长度.
18．【答案】解：在这个时段，该路口来往车辆的数量为（辆），
因为52出现的次数最多，
所以车速数据的众数为52，
因为将这组数据从小到大排序后，第14个数即为中位数，
所以车速数据的中位数为52，
平均数为，
报告：由图可知，这个时段，该路口来往车辆的最低车速是，最高车速是，大部分车辆车速是．
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势；众数
【解析】【分析】根据图表，利用中位数（把所有的同类数据按照大小的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则中间那个数据就是这群数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间那2个数据的算术平均值就是这群数据的中位数）、平均数（是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数）、众数（出现次数最多的数据）得出关键信息即可.
19．【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
又
四边形是平行四边形，
∵，
四边形是菱形．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】先利用平行线的性质和角平分线的定义证得，进而得到，再通过一组对边平行且相等证得四边形是平行四边形，然后通过邻边相等判定四边形是菱形．
20．【答案】（1）解：观察函数图象可知：是的一次函数，
设，
将、代入，
，解得：，
．
（2）解：根据题意得：，
解得：．
答：快递员的日收入不少于110元，则他至少要派送40件．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，即可求得函数关系式；
（2）由（1）和题干：快递员的日收入不少于110元，列不等式：，求解即可.
21．【答案】解：解：如图，过点A作于点B，
∵，，
∴，
∵，
∴学校会受到噪音的影响；
设从点E开始学校学到影响，点F结束，则，
又∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∵汽车的速度为，
∴受影响的时间为：．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【分析】过点A作于点B，可知AB=120m，即可知道学校会受到影响，设从点E开始学校学到影响，点F结束，即，根据勾股定理求出BE的长，进而得到EF的长，再根据时间=路程÷速度，即可求解.
22．【答案】（1）解：如图：将绕点顺时针旋转，使得与重合，得到，
是由绕点顺时针旋转得到，
，
，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
又，
，
是的角平分线；
（2）解：由（1）可得，
，
，，
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）将绕点顺时针旋转，使得与重合，得到， 先证出，可得，再结合，可得，即可证出是的角平分线；
（2）根据全等三角形的性质可得，再结合 ，， 可得。
23．【答案】（1）解：将点代入函数得：，
解得，
，
将点代入函数得：，
解得．
（2）解：不等式表示的是函数的图象位于函数的图象下方（含交点），
则由函数图象可知，的解集为．
．
（3）解：对于函数，
当时，，则，
当时，，解得，则，
，
对于函数，
当时，，则，
，
，
，
．
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【分析】（1）根据点P在直线解析式 上，求出P点坐标，将P点坐标代入 即可求出m的值；
（2）利用第一问的结果可知两个直线解析式，解一元一次不等式即可求出x的取值范围；
（3）利用直线解析式，求出OB和OC长度，即可表示出三角形BOC的面积，利用直线解析式求出A点和P点坐标，从而求出AB长度和三角形ABP中以AB为底边的高，从而求出三角形ABP面积，即可求出 比值.
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