4.1 平方根（第2课时）课件(共28张PPT)-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

第4章 · 平方根
4.1 平方根（2）
第2课时　算术平方根
学习目标
1. 了解算术平方根的概念，会用根号表示非负数的算术平方根；
2. 会正确地求出一个非负数的算术平方根，理解算术平方根的非负性；
3. 能运用算术平方根解决一些简单的实际问题.
复习回顾
5. 式子?????????????中x的取值范围是________.
?
4. 若x2=25，则x=______，若x2=2.25，则负数x=_______；
3. 4的平方根是______，4是_____的平方根；
1. 如果________，那么___是___的平方根；
x2=a
x
a
2. 正数a的正的平方根为_____，负的平方根是______；
?????
?
????
?
填空：
±2
16
±5
-1.5
????≤????????
?
被开方数大于或等于零时,开方运算才有意义.
问题情境
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
有一块面积为19.6m2的长方形菜地，恰好可以分割成10块大小相同的小正方形菜地，求每一块小正方形菜地的边长.
x2=1.96，
解：设每一块小正方形菜地的边长为 xm.
10x2=19.6，
开方得 x =±1.4
边长可以为负数吗？
在实际问题中，我们有时并不是需要求出所有的平方根.
概念学习
正数a有两个平方根±????，我们把正数a的正的平方根????，
叫做a的算术平方根.
?
算术平方根的定义：
4的平方根是______，算术平方根_____；
±2
2
2的平方根是______，算术平方根_____.
±????
?
????
?
规定：
0的平方根也叫做0的算术平方根，
即????＝0．
?
判断：只有正数有算术平方根( )
×
例题讲解
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）625； （2）0.0081； （3）7 （4）2???????? （5）(-6)2
?
解：
（1）∵252=625，∴625的算术平方根是25，即????????????=25；
?
（2）∵0.092=0.0081，∴ 0.0081的算术平方根是0.09，即????.????????????????=0.09；
?
（3）7的算术平方根是????；
?
（4）∵(????????)????= ???????? = 2???????? ，∴ 2????????的算术平方根是????????，即???????????? = ????????；
?
（5）∵62=36=(-6)2 ，∴(-6)2 的算术平方根是6，即(?????)?????=????????=6.
?
利用平方与开平方互为逆运算求一个正数的算术平方根.
新知巩固
1.求下列各数的算术平方根：
(1)225；(2)0.0025；(3)6； (4)(-5)2；(5)3?????????????；(6)0.
?
(1)∵152=225，∴225的算术平方根是15，即????????????=15.
?
解：
(5) ∵ 3????????????=????????????????，(????????)2=????????????????， ∴ 3????????????的算术平方根是????????，即????????????????=????????.
?
(2)∵0.052=0.0025，∴0.0025的算术平方根是0.05，即????.????????????????=0.05.
?
(3) 6的算术平方根是????.
?
(4) ∵(-5)2=25，52=25，∴ (-5)2的算术平方根是5，即(?????)????=5.
?
(6) 0的算术平方根是0，即????=0.
?
新知巩固
2.填空：
① 4的算术平方根是_____，
9
2
3是_____的算术平方根；
②??????????????表示__________________，它的值为_____ ；
?
625的算术平方根
25
③平方根等于它本身的数是___，算术平方根都等于它本身的数是______；?
0
0、1
④ 81的平方根是_______，81的算术平方根是____；?
±9
9
????????的算术平方根是_____.
?
3
算术平方根与平方根的联系与区别：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
平方根
算术平方根
区
别
联系
关 系
名 称
定义不同
如果x2＝a (a≥0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根．
正数a的正的平方根????，叫做a的算术平方根.
?
个数不同
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
一个正数的算术平方根只有一个.
表示方法不同
±????
?
????
?
取值范围不同
正数的平方根是一正一负
正数的算术平方根是一定是正数
具有包含关系
平方根包含算术平方根
存在条件相同
平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0
新知归纳
例题讲解
例2 “欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远. 如图，若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d，则d≈????????????，其中R是地球半径，约等于6400km.
　　小丽站在海边一块岩石上，眼睛离地面的高度h为20m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值.
?
解：R=6400km，h=20m=0.02km，得
d≈????????????
?
=????×????.????????×????????????????
?
=????????????
?
=16km
新知巩固
1.正方形的面积是15，则它的边长可以表示为______；
????????
?
2. 物体自由下落的高度h(单位：m)与下落时间t(单位：s)的关系是h＝4.9t2.在一次实验中，一个物体从490 m高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为________s.
10
新知巩固
3. 已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和5，求斜边的长？
变式：已知直角三角形的两边的长分别为3和5，求第三边的长？
解：由勾股定理得：斜边=????????+????????=????????.
?
解：当5是斜边时，第三边长为?????????????????=4；
?
当5是直角边时，第三边长为????????+????????=????????.
?
综上所述，第三边长是4或????????.
?
(1)±????????； (2)-????????； (3)(?????)?????； (4)(????)2；
?
例3 求下列各式的值：
(3) ∵ 72=(-7)2， ∴ (?????)????=7.
?
解：
(1)∵92=81，∴ ±????????=±9.
?
(2) ∵42=16，∴ -????????= -4.
?
±????????=±9
?
-????????=-9
?
观察这三个式子，它们有什么共同特征？
(4) (????)2=5.
?
这个式子有什么特点？
例题讲解
讨论交流
1. (????)2、
?
(?????)2、
?
(?????)????
?
有意义吗？如果有，求它的值.
解：
表示“3的算术平方根的平方”,
根据算术平方根的意义，得
(????)2
?
=3.
?????
?
没有意义，
(?????)2
?
也就没有意义.
(?????)????
?
表示－5 的平方（即25）的算术平方根，
(?????)????
?
=????????
?
=5.
讨论交流
2. (????.????????)2等于多少？
?
(????)2呢？
?
3. ????????????等于多少？
?
(?????????)????等于多少？
?
观察上面各式，你有什么猜想？你能说明理由吗？
猜想：(????)2=a(a≥0)；????????=|a|.
?
∵x2＝a (a≥0)，x=????(a≥0)
?
∴(????)2＝a (a≥0).
?
新知归纳
一般形式
(????)2＝a（ a ≥0）
?
（????????）＝｜a｜＝ a （ a ≥0）
?
（????????）＝｜a｜＝ －a （ a ≤0）
?
算术平方根的两个性质：
拓展延伸
1. 当x取何值时，下列各式有意义?
(1)?????????； (2)????+????； (3)????????+????； (4)?????????????
?
(1)当x-2≥0，即x≥2时，?????????有意义.
(2)当3+x≥0，即x≥-3时，????+????有意义.
(3)∵x2+1≥1，∴当x取任意数时，????????+????都有意义.
(4)当1-3x≥0，即x≤????????时，?????????????有意义.
?
解:
拓展延伸
2. 已知y=?????????+?????????+3，求xy的值.?
?
解：由题意，得?????????≥????，?????????≥????，
化简，得????≤????，????≥????，
∴ x=5.
∴ y=5?5+5?5+3=3，
∴ xy=53=125.
?
拓展延伸
3. 已知x、y、z满足?????????+(y-2)2+|z+3|=0，则(x-y+z)2024的值是　　.?
?
解：∵ ?????????+(y-2)2+|z+3|=0，
∴ x-4=0，y-2=0，z+3=0.
∴ x=4，y=2，z=-3.
∴ (x-y+z)2024=(4-2-3)2024=(-1)2024=1.
?
算术平方根????具有双重非负性:
(1)被开方数a是　　　　，即a≥0；?(2)算术平方根 ????本身也是　　　　，即????≥0.?
?
非负数　
非负数　
归纳总结
常见非负数的“三种类型”:
(1)一个数的偶次方,例如a2，a4，a6等;
(2)一个数的绝对值,例如|a|，|x+2|等;
(3)一个非负数的算术平方根，例如????(a≥0)，?????????(x≥3)等.
?
非负数的性质:若几个非负数的和为0，则这几个非负数都等于0.
例如：????+????+????????=????
?
a=0 b=0 c=0
拓展延伸
a
…
0.04
4
400
40000
…
…
x
2
y
z
…
4. 我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如????等，有些数则不能直接求得，如?????，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：
?
(1)表格中的三个值分别为：x＝_______；y＝______；z＝_______；
(2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，????＝___________；
(3)利用这一规律，解决下面的问题：
已知????.????????≈2.358，则①????.????????????????≈__________；② ?????????????????????≈_________．
?
0.2
20
200
2×10n
0.2358
235.8
课堂小结
算术平方根
概念与表示方法
算术平方根的两个性质
算术平方根的双重非负性
当堂检测
1.下列语句正确的是( ??? ?)
A. 64的算术平方根是±8 B.49 的平方根是-7
C. -36的平方根是6 D. 25的算术平方根是5
D
2. 若????＝2，则a的值为(　　)
A．－4 B．4 C．－2 D．????
?
B
当堂检测
3. ????的算术平方根是(　　)
A．±???? B．???? C．±2 D．2
?
B
4. 若直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( ??? ?)
A. 5 B.???? C.???? D. 5或????
?
D
5.下列计算正确的是(??? ?)
A. ????????=±???? B. ±????=???? C. (?????)????=???? D. (?????)????=?????
?
C
当堂检测
7. 计算???????????????? +???????????????????? 的结果是_______；
?
????????????????
?
????????
?
????????????的算术平方根是________.
?
6. 若????=3，则x=_____，x的平方根是_______；
?
9
±3
当堂检测
9. 若|a-9|+(b-4)?=0，则ab的平方根是_______.
±6
8.若a、b都是实数，b=?????????????+??????????????2，则ab的值为_____．
?
4
10. 若????????.????????=3.9522，????.????????????=1.2498，则????????????????????????=________，
????.????????????????????????????=___________；若?????=124.98，则x=__________．
?
395.22
0.012498
-15620
当堂检测
11．研究下列算式，你会发现有什么规律？请用????的式子表示出来．
????×????+????=????=????，????×????+????=????=????，????×????+????=????????=????，…
?
解：∵第一个等式是????×????+????=????=????，
第二个等式是????×????+????=????=????，
第三个等式是????×????+????=????????=????，
第四个等式是????×????+????=????????=????，
……，
∴第n个等式是????????+????+????=????+????????=????+????（????≥????且n为整数）.
?
当堂检测
解：设鱼塘的宽为????米，则鱼塘的长是????????米，依题意，
????????????=????????????????
解得：????=????????????≈????????（负值舍去）
答：鱼塘的宽大约是????????米
?
12．某地为发展渔业，要挖一个长方形鱼塘．已知鱼塘的长是宽的????倍，面积是????????????????????????，则鱼塘的宽大约是多少米？（结果精确到????????）