4.3.3 用一元一次方程解决问题-第3课时 课件（共26张PPT）-2023-2024学年七年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

4.3.3 用一元一次方程解决问题-第3课时
第4章 一元一次方程
教学目标
01
02
掌握与工程问题有关的基本公式，进一步用一元一次方程解决工程问题，并熟练地将“单位1”的思想应用其中
03
理解“数形结合”的基本思想，进一步用一元一次方程解决几何问题
理解“分类讨论”的基本思想，进一步用一元一次方程解决方案选择问题
问 题 目 录
销售问题
……
工程问题
行程问题
……
01
情境引入
“愚公移山”的故事家喻户晓，在技术受限的战国时期，祖祖辈辈移山的行为令人钦佩
现今，工程队配上挖掘机就可以轻轻松松移山了
01
情境引入
Q1：某工程队计划将该市的600套老旧房屋进行翻新改造，若每天翻新改造10套老旧房屋，则该工程队需要多少天才能完工？
工程队需要的天数=????????????套????????套/天=60天
?
Q2：(1)工程问题中的基本量是什么？
(2)这些基本量之间的关系是什么？
工作总量=工作效率×工作时间
工作总量、工作效率、工作时间
02
02
知识精讲
一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做15天完成。若甲、乙合作，多少天可以完成这项工程？
未知工作效率和工作总量该如何列式呢？
若是知道工作总量，甲、乙的工作效率就可以分别表示出来了
不妨设工作总量为单位1
【分析】等量关系：甲完成的工作量+乙完成的工作量=工程总量
02
02
知识精讲
复习“单位1”的概念：
泛指一个完整的量，比如一段路程、一项工程、一箱苹果、一本书、一段时间等，再赋予它们自然数1的特性。
02
02
知识精讲
【分析】
若工作总量为“1”，则甲的工作效率为????????????，乙的工作效率为????????????，
?
解：设甲、乙合作，x天可以完成这项工程，
由题意得：????????????+????????????=1，
?
解得：x=10，
答：甲、乙合作，10天可以完成这项工程。
例1、某工厂计划26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时，不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件？
【分析】等量关系：实际工作效率-原计划工作效率=5件/小时
03
典例精析
解：设原计划生产x个零件，则实际生产(x+60)个零件，
由题意得：????+????????????????-????????????=5，
解得：x=780，
答：原计划生产780个零件。
?
例2、一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？
【分析】等量关系：合做的工作量+乙单独做的工作量=工作总量
解：设剩余的部分由乙单独做，还需要x天完成，
由题意得：(????????????+????????????)×4+????????????x=1，
解得：x=5，
答：剩余的部分由乙单独做，还需要5天完成。
?
03
典例精析
问 题 目 录
销售问题
工程问题
行程问题
几何问题
……
如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为2，求这个长方形色块图的面积。
解：设D边长为x，则B、C边长x-2，E边长x+2，F边长x+4，
【分析】等量关系：E的边长+F的边长=D的边长+B的边长+C的边长
02
知识精讲
由题意得：x+2+(x+4)=x+(x-2)+(x-2)，
解得：x=10，则x+2+(x+4)=x+(x-2)+(x-2)=26，x+(x+2)=22，
∴长方形的长为26，宽为22，
∴长方形的面积为26×22=572，
答：这个长方形色块图的面积是572。
例1、《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井、若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺。问绳长和井深各多少尺？
【分析】等量关系：绳长=绳长
井
03
典例精析
解：设井深x尺，
由题意得：3(x+4)=4(x+1)，
解得：x=8，则3(x+4)=4(x+1)=36，
答：绳长36尺，井深8尺。
例2、把八张形状大小完全相同的小长方形卡片按两种不同的方式，不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部（如图1、图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示。已知盒子底部长方形的长比宽大5，图1与图2阴影部分周长之比为25：22，则盒子底部长方形的面积为________。
【分析】等量关系：C图1阴影部分=????????????????C图2阴影部分
?
03
典例精析
解：设小长方形卡片的长为3x，则宽为x，
由图2知：大长方形的宽为5x，长为(5x+5)，
由题意得：2(5x+5)+2×5x=????????????????×[2×(5x+5?3x)+2×5x+2×(5x+5?6x)]，
解得：x=2，则5x=10，5x+5=15，
∴盒子底部长方形的面积=10×15=150。
?
150
问 题 目 录
销售问题
工程问题
行程问题
方案选择问题
工程问题
解：(1)30×2.5+(35-30)×3.5=92.5（元），
答：他上个月应交水费92.5元；
例9、某市按以下规定收取每月水费：若每月每户用水不超过30m3，则每立方米按2.5元收费；若每月每户用水超过30m3，则超过部分每立方米按3.5元收费。
(1)李明家上个月用水35m3，他上个月应交水费多少元？
(2)若当月用水量为xm3，请你用含x的式子表示当月所付水费金额；
(3)如果王鹏家12月份所交水费的平均价为每立方米2.9元，那么王鹏家12月份用水多少立方米？
02
知识精讲
(2)①用水不超过30m3，当月所付水费金额为2.5x元，
②用水超过30m3，当月所付水费金额为2.5×30+3.5(x-30)，即(3.5x-30)元，
02
知识精讲
例9、某市按以下规定收取每月水费：若每月每户用水不超过30m3，则每立方米按2.5元收费；若每月每户用水超过30m3，则超过部分每立方米按3.5元收费。
(2)若当月用水量为xm3，请你用含x的式子表示当月所付水费金额；
(3)如果王鹏家12月份所交水费的平均价为每立方米2.9元，那么王鹏家12月份用水多少立方米？
综上，????.????????，????≤????????????.?????????????????，????>????????；
?
(3)①x≤30，水费的平均价为每平方米2.5元<每平方米2.9元，不成立，
02
知识精讲
例9、某市按以下规定收取每月水费：若每月每户用水不超过30m3，则每立方米按2.5元收费；若每月每户用水超过30m3，则超过部分每立方米按3.5元收费。
(3)如果王鹏家12月份所交水费的平均价为每立方米2.9元，那么王鹏家12月份用水多少立方米？
②x>30，由题意得：3.5x-30=2.9x，解得：x=50，符合题意，
综上，王鹏家12月份用水50立方米，
答：王鹏家12月份用水50立方米。
例1、平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润为20元；乙种商品每件进价50元，售价80元。
(1)甲种商品每件进价为_____元，每件乙种商品利润率为_____。
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？
(3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于等于450元
不优惠
超过450元但不超过600元
按售价打九折
超过 600元
其中600元部分八点二折优惠，
超过600元的部分打三折优惠
解：(1)60-20=40（元），故甲种商品每件进价为40元，
(80-50)÷50=60%，故乙种商品利润率为60%。
03
典例精析
40 60%
03
典例精析
例1、平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润为20元；乙种商品每件进价50元，售价80元。
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？
(3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于等于450元
不优惠
超过450元但不超过600元
按售价打九折
超过 600元
其中600元部分八点二折优惠，
超过600元的部分打三折优惠
(2)设购进甲种商品x件，则购进乙种商品(50-x)件，
由题意得：40x+50(50-x)=2100，
解得：x=40，则50-x=10，答：购进甲种商品40件，乙种商品10件。
03
典例精析
例1、平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润为20元；乙种商品每件进价50元，售价80元。
(3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于等于450元
不优惠
超过450元但不超过600元
按售价打九折
超过 600元
其中600元部分八点二折优惠，
超过600元的部分打三折优惠
(3)设小华打折前一次性购物总金额为y元，则小华在该商场购买乙种商品y/80件，
注意：
不能总是求啥设啥，
适当改变设的未知数，可简化过程
①打折前一次性购物总金额，超过450元但不超过600元，
由题意得：0.9y=504，
解得：y=560，符合题意，则y/80=7；
②打折前一次性购物总金额，超过600元，
由题意得：600×82%+(y-600)×30%=504，
解得：y=640，符合题意，则y/80=8；
综上，7件或8件，答：小华在该商场购买乙种商品件7件或8件。
03
典例精析
例1、平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润为20元；乙种商品每件进价50元，售价80元。
(3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于等于450元
不优惠
超过450元但不超过600元
按售价打九折
超过 600元
其中600元部分八点二折优惠，
超过600元的部分打三折优惠
例2、小明和父母打算去某火锅店吃火锅，该店在网上出售“25元抵50元的全场通用代金券”（即面值50元的代金券实付25元就能获得），店家规定代金券等同现金使用，一次消费最多可用3张代金券，而且使用代金券的金额不能超过应付总金额。
(1)如果小明一家应付总金额为145元，那么用代金券方式买单，他们最多可以优惠多少元；
(2)小明一家来到火锅店后，发现店家现场还有一个优惠方式：除锅底不打折外，其余菜品全部6折。小明一家点了一份50元的锅底和其他菜品，用餐完毕后，聪明的小明对比两种优惠，选择了现场优惠方式买单，这样比用代金券方式买单还能少付15元。问小明一家实际付了多少元？
解：(1)∵2×50＜145＜3×50，
∴最多购买并使用两张代金券，即最多优惠2×25，即50元，
答：他们最多可以优惠50元；
03
典例精析
(2)设小明一家应付总金额为x元，
①当50≤x＜100时，由题意得：x-25-[50+(x-50)×0.6]=15，
解得：x=150（舍去），
03
典例精析
例2、小明和父母打算去某火锅店吃火锅，该店在网上出售“25元抵50元的全场通用代金券”（即面值50元的代金券实付25元就能获得），店家规定代金券等同现金使用，一次消费最多可用3张代金券，而且使用代金券的金额不能超过应付总金额。
(2)小明一家来到火锅店后，发现店家现场还有一个优惠方式：除锅底不打折外，其余菜品全部6折。小明一家点了一份50元的锅底和其他菜品，用餐完毕后，聪明的小明对比两种优惠，选择了现场优惠方式买单，这样比用代金券方式买单还能少付15元。问小明一家实际付了多少元？
②当100≤x＜150时，由题意得：x-50-[50+(x-50)×0.6]=15，
解得：x=212.5（舍去），
03
典例精析
例2、小明和父母打算去某火锅店吃火锅，该店在网上出售“25元抵50元的全场通用代金券”（即面值50元的代金券实付25元就能获得），店家规定代金券等同现金使用，一次消费最多可用3张代金券，而且使用代金券的金额不能超过应付总金额。
(1)如果小明一家应付总金额为145元，那么用代金券方式买单，他们最多可以优惠多少元；
(2)小明一家来到火锅店后，发现店家现场还有一个优惠方式：除锅底不打折外，其余菜品全部6折。小明一家点了一份50元的锅底和其他菜品，用餐完毕后，聪明的小明对比两种优惠，选择了现场优惠方式买单，这样比用代金券方式买单还能少付15元。问小明一家实际付了多少元？
③当x≥150时，由题意得：x-75-[50+(x-50)×0.6]=15，
解得：x=275，符合题意，275-75-15=185(元)，
综上，185元，答：小明一家实际付了185元。
课后总结
单位1：
泛指一个完整的量，比如一段路程、一项工程、一箱苹果、一本书、一段时间等，再赋予它们自然数1的特性。