第23章 图形的相似教案
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第23章 图形的相似
23、1 相似的图形
教学目标
理解相似形的概念，了解相似形是两个图形之间的关系。由于需要的不同，要制定出大小不一定相同的图形，培养学生的观察能力。
教学过程
一、导入新课
挂上大小不一样的中国地图两张及两张大小不同的长城图片，供同学观察，并看课本第64页的图，提出问题：这几组图片有什么相同的地方呢
这些图片大小虽然不一样，但形状是相同。
二、讲解新课
由于不同的需要，我们用同一底片冲 ( http: / / www.21cnjy.com )洗、放大得到的相片有1寸的，也有2寸的，也有更大的，这些大小不一样的相片，其形状是相同。同学们想一想，在毕业证书贴的相片与学籍卡片上的相片、学习证的相片大小不一定一样，但形状相同，如果不相同会有什么后果呢
大小不相同的中国地图或世界地图，其 ( http: / / www.21cnjy.com )形状也是相同的，只是由于需要的不 同，印制成大小不一的图片。对于某一地区，也经常会绘制成各种大小不同的建筑物、山岗等所处的位置都是相同，同学们想一想，如果两张地图(同一地区)的形状不一样，那就会给我们许多错觉，就会产生许多麻烦的事情。
在日常生活中我们会看到许多这样形状 ( http: / / www.21cnjy.com )相同，而大小不一定相同的图形。在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形。同学们你还能说出哪些相似的图形吗
(同学们思考、讨论、交换意见)国旗、国旗上的五角星。画一个图形放在投影机上映射到屏幕上的图形与原图、平面镜上看到你自己的像等．
如图所示的是一些相似的图形。
( http: / / www.21cnjy.com )
想一想：放大镜下的图形和原来的图形相似吗 你看过哈哈镜吗 哈哈镜中的形像与你本人相似吗
还有一些图形，看起来有点相像，但它们不是相似的图形。
( http: / / www.21cnjy.com )
为什么有一部分图形看起来相像，但不相似呢 这就是数学上说的相似图形还有其特征，就是这章要探索的内容。
三、课堂练习
课本第66页试一试，你能画出两个或更多的相似形吗
四、小结
形状相同而大小不一定相同的图形称为相似形，相似形在日常生活中经常碰到。
五、作业
P44习题23.1 1、2．
23、2相似图形的性质
第一课时 相似图形的性质（一）
教学目标
1、了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例。
2、利用比例的性质，会求出未知线段的长。
教学过程
一、复习引入
挂上两张中国地图，问：
1.这两个图形有什么联系
它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似形。
2．这两个图形是相似图形， ( http: / / www.21cnjy.com )为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢 相似的两个图形有什么主要特征呢 为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例。
二、新课
先从这两张相似的地图上研究。
1．成比例线段；
请一位同学在地图上找出北京、上 ( http: / / www.21cnjy.com )海、福州的位置，如果我们用A、B、C分别表示大地图上的北京、上海、福州的位置，请用刻度尺在地图上量一量北京到上海的直线距离，即线段AB＝＿＿cm，上海到福州的直线距离，即线段BC＝＿＿cm，在小地图上用A′、B′、C′、分别表示北京、上海、福州的位置，也量一量A′B′＝＿＿cm，B′C′＝＿＿cm。在地图上量出的AB与A′B′，BC与B′C′长度是否相等 为什么会不一样呢 线段AB与A′B′，BC与B′C′有什么关系呢 请同学们算一算它们两线段的长度的比，即AB：A′B′，BC：B′C′会有什么样的结果呢 我们会得到AB与A′B′这两条线段的比与BC，B′C′这两条线段的比是相等的，即＝。
对于四条线段a、b、c、d ( http: / / www.21cnjy.com )，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即＝，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
若线段a、b、c、d成比例，即a:b＝c:d，那么其内项乘积等于外项乘积。a· d＝b·c，其他的比例性质也都适用。
上面地图中AB、A′B′、 ( http: / / www.21cnjy.com )BC、B′C′这四条线段就是成比例线段，实际上两张相似的地图中的对应线段都是成比例的，同学们不妨再量一量北京到福州的距离， 即AC与A′C′，然后再算AC；A′C′，看看是否成比例。如果≠，那会出现什么情况
如果＝那么b叫做a、c的比例中项，也可以写成b2＝ac
例1：在比例尺为1:400000地图上，量得甲、乙两地的距离为15厘米，求甲、 乙两地的实际距离。
例2：线段a＝15厘米，b＝20厘米，c＝75毫米，d＝0.1米，求: 与，这四条线段会成比例吗
例3:如图AB＝21，AD＝15，CE＝40，并且＝，求：AC的长
三、练习
1．(1)根据图示求线段比、、、、
(2)指出图中成比例的线段。
2、等腰三角形两腰的比是多少？等腰三角形的腰与底边的比是多少？
四、小结
同学回忆
1、什么样的线段成比例线段？
2、线段成比例与线段比有什么区别？
3、比例有哪些性质？
五、作业
P47 1、2、3
第二课时 相似图形的性质（二）
教学目标
知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等。识别两个多边形是否相似的方法。
教学过程
一、复习
1．若线段a＝6cm，b＝4cm，c＝3.6cm，d＝2.4cm，那么线段a、b，c、d会成比例吗
2．两张相似的地图中的对应线段有什么关系 (都成比例)
二、新课
相似的两张地图中的对应线段都会成比例 ( http: / / www.21cnjy.com )，对于一般的相似多边形，这个结论是否成立呢 同学们动手量一量，算一算，用刻度尺和量角器量一量课本第68页两个相似四边形的边长，量一量它们的内角，由一位同学把量得的结果写在黑板上，其他同学把量得的结果与同伴交流。
同学们会发现有什么 ( http: / / www.21cnjy.com )关系呢 经过观察、计算得出这两个相似四边形的对应边会成比例，对应角会相等，再观察课本中两个相似的五边形，是否也具有一样的结果 反映它们的边之间、角之间的关系是什么关系
同学用格点图画相似的两个三角形，也观察、度量，它们是否也具有这种关 对应边成比例，对应角相等．
由此可以得到两个相似多边形的特征：
(由同学回答，教师板书)对应边成比例，对应角相等。
实际上这两个特征，也是我们识别两个多边形是否相似的方法．即如果两个多边形的对应边都成比例，对应角都分别相等，那么这两个多边形相似。
识别两个多边形是否相似的标准有：(边数相同)，对应边要(成比例)，对应角要(都相等)。(填号内要求同学填)
想一想：(1)两个三角形一定是相似形吗 两个等腰三角形呢 两个等边三角形呢 两个等腰直角三角形呢 -
(2)所有的菱形都相似吗 所有矩形呢 正方形呢
例1：矩形ABCD与矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )A′B′C′D′中，AB＝1.5cm，BC＝4.5cm，A′B′＝0. 8cm，B′C′＝2.4cm，这两个矩形相似吗 为什么
例2：(课本第69页例题)
三、练习
1．课本第70页练习4、5。 ：
2．(补充)：(1)矩形ABCD与矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )A′B′C′D′中，已知AB＝16cm，AD＝10cm，A′D′＝6cm，矩形A′B′ C′D′的面积为57.cm2，这两个矩形相似吗 为什么
3．如图四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是相似的，且C′D′⊥B′C′，根据图中的条件，求出未知的边x，y及角a。
四、小结
1．两个多边形是否相似的两个标准是什么
2．相似多边形具有什么特征
五、作业
P50 1—5。
23．3 相似三角形
1．相似三角形
教学目标
1．知道相似三角形的概念；会根据概念判断两个三角形相似。
2．能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长。
教学过程
一、复习
什么是相似形 识别两个多边形是否相似的标准是什么
二、新课
1．相似三角形的有关概念：
由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那么这两个多边形相似．
三角形是最简单的多边形．由此可以说什么样的两个三角形相似
如果两个三角形的三条边都成比例，三个角 ( http: / / www.21cnjy.com )对应相等，那么这两个三角形相似，如在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′＝＝ 那么△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′；“∽”是表示相似的符号，读作“相似于”，这样两三角形相似就读作：“△ABC相似于△A′B′C′”。
由于∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )C＝∠C′，所以点A的对应顶点是A′，B与B′是对应顶点，C与C′是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边．如果记＝＝＝K，那么这个K就表示这两个相似三角形的相似比．相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系．如△ABC∽△A′B′C′，它的相似比为K，即指＝K，那么△A′B′C′与△ABC的相似比应是，就不是K了，应为多少呢 同学们想一想
2．△ABC中，D，E是AB、AC的中点，连结DE，那么△ADE与△ABC相似吗 为什么 如果相似，它们的相似比为多少
如果点D不是AB中点，是AB上任意一点，过D作DE∥BC，交AC边于E，那么△ADE与ABC是否也会相似呢
判断它们是否相似，由①对应角是 ( http: / / www.21cnjy.com )否相等，②对应边是否成比例去考虑。能否得对应角相等 根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢 目前还没有什么依据，同学们不妨用刻度尺量一量，算一算是否成比例 通过度量，计算发现＝＝．
所以可以判断出△ADE与△ABC会相似。
若是如图DE∥BC，与BA、CA延长线交于D、E，那么△ADE与△ABC还会相似吗 试一试看。如果相似写出它们对应边的比例式．
3．如果△ABC∽△A′B′ ( http: / / www.21cnjy.com )C′，相似比K＝1，你会发现什么呢 ＝＝＝1，所以可得AB＝A′B′,BC＝B′C′，AC＝A′C′，因此这两个三角形不仅形状相同，且大小也相同，这样的三角形称之为全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例，试问：
全等的两个三角形一定相似吗
相似的两个三角形会全等吗
全等的符号与相似的符号之间有什么关系与区别
4．例：如果一个三角形的三边长 ( http: / / www.21cnjy.com )分别是5、12、13，与其相似的三角形的最长．边是39，那么较大三角形的周长是多少 较小三角形与较大三角形的周长的比是多少
分析：这两个三角形会相似，对应边是哪些边 相似比是多少 哪一个三角形较大 要计算出它的周长还需求什么 根据什么采求
三、练习
判断下列两个三角形是否相似 简单说明理由，如果相似，写出对应边的比例
( http: / / www.21cnjy.com )
四、小结
1．填空。
＿＿＿＿＿＿＿的三角形叫做相似三角形。
2．两个相似三角形的相似比为1，这两个三角形有什么关系
3、如果一条直线平行于三角形一边，与其它两边或其延长线相交截得的三角形与原三角形相似吗 指出它们的对应边。
五、作业
P54 1、2、3。
2．相似三角形的判定
第一课时 相似三角形的判定(一)
教学目标
1．会说出识别两个三角形相似的方法，有两个角分别相等的两个三角形相似。
2．会用这种方法判断两个三角形是否相似。
教学过程
一、复习
1．两个矩形一定会相似吗 为什么
2．如何判断两个三角形是否相似
根据定义：对应角相等，对应边成比例。
3．如图△ABC与△′B′C′会相似吗 为什么 是否存在识别两个三角形相似的简便方法 本节就是探索这方面的识别两个三角形相似的方法。
二、新课讲解
同学们观察你与你的同伴 ( http: / / www.21cnjy.com )所用的三角尺，以及老师用的木三角板，如有一个角是30°的直角三角尺，它们的大小不一样。这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺人手探索。
(1)是45°角的三角尺，是等腰直角三角形会相似。
(2)是30°的三角尺，那么另一个锐角为60°，有一个直角，因此它们的三个角都相等，同学们量一量它们的对应边，是否成比例呢
这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等，它们好像就会“相似”。是这样吗 请同学们动手试一试：
1．画两个三角形，使它们的三个角分别相等。
画△ABC与△DEF，使∠A＝∠D、∠B＝∠E，∠C＝∠F，在实际画图过程中，同学们画几个角相等 为什么
实际画图中，只画∠A＝∠D，∠B＝∠E，则第三个角∠C与∠F一定会相等，这是根据三角形内角和为180°所确定的。
2．用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例 与同伴交流，是否有相同结果。
3．发现什么现象：发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似。
4．两个矩形的四个角也都分别相等，它们为什么不会相似呢
这是由于三角形具有它特殊的性质。三角形有稳定性，而四边形有不稳定性。
于是我们得到识别两个三角形相似的一个较为简便的方法：
如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似，简单地说：两角对应相等，两三角形相似。
同学们思考，能否再简便一些，仅有一对角对应相等的两个三角形，是否一定会相似呢
例题：
1．如图两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似。
2．在△ABC与△A′B′C′中,∠A＝∠A′＝50°，∠B＝70°，∠B′＝60°，这两个三角形相似吗
3．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC。
三、练习
1．△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，找出图中所有的相似三角形。
2．△ABC中，D是AB的边上 ( http: / / www.21cnjy.com )一点，过点D作一直线与AC相交于E，要使△ADE与△ABC会相似，你怎样画这条直线，并说明理由。和你的同伴交流作法是否一样
四、小结
本节课我们学习了识别两个三角形相似的简便方法：有两个角对应相等的两，个三角形相似。
五、作业
P64 1、3、5
第二课时 相似三角形的判定(二)
教学目标
1．会说出识别两个三角形相似的方法：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；三条边对应成比例的两个三角形相似．
2．能依据条件，灵活运用三种识别方法，正确判断两个三角形相似。
教学过程
一、复习
1．现在要判断两个三角形相似有哪几种方法
有两种方法，(1)是根据定义；(2)是有两个角对应相等的两个三角形相似．
2．如图△ABC中，D、E是AB、A ( http: / / www.21cnjy.com )C上三等分点(即AD＝AB，AE＝AC)，那么△ADE与△ABC相似吗 你用的是哪一种方法
由于没有两个角对应相等，同学 ( http: / / www.21cnjy.com )们可以动手量一量，量什么东西后可以判断它们能否相似 (可能有一部分同学用量角器量角，有一部分同学量线段，看看能否成比例)无论哪一种，都应肯定他们，是正确的，要求同学说出是应用哪一种方法判断出的。
二、新课讲解
同学们通过量角或量线段计算之后 ( http: / / www.21cnjy.com )，得出：△ADE∽△ABC。从已知条件看，△ADE与△ABC有一对应角相等，即∠A＝∠A(是公共角)，而一个条件是AD＝AB，AE＝AC，即是＝，＝；因此＝。△ADE的两条边 AD、AE与△ABC的两条边AB、AC会对应成比例，它们的夹角又相等，符合这样条件的两个三角形也会相似吗 我们再做一次实验。观察图，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢
图中两个三角形的一组对应边AD ( http: / / www.21cnjy.com )与AB的长度的比值为，将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE＝AC时，△ADE与△ABC相似。此时＝同学们画两个三角形，△ABC与△A′B′C′，使之∠A＝∠A′，AB＝2A′B′,AC＝2A′C′,量一量BC与B′C′的长,计算BC:B′C′与同伴交流，是否与，相等 再量一量∠B与∠B′、∠C与∠C′，它们是否对应相等呢 这样的两个三角形相似吗
于是有识别两个三角形相似的第二种简便方法：
如果一个三角形的两条边与另一个三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简单地说；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
强调对应相等的角必须是成比例的边的夹 ( http: / / www.21cnjy.com )角，如果不是夹角，它们不一定会相似。你能画出有两边会对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角形吗 (画顶角与底角相等的两个等腰三角形)∠B＝∠B′，＝
例题：
1．(课本中例3)判断图中△AEB与△FEC是否相似
2．如图△ABC中，D、E是 ( http: / / www.21cnjy.com )AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，CE＝2.1，试判断△ADE与△ABC是否会相似，小张同学的判断理由是这样的：
解：因为AC＝AE+CE，而AC＝6，CE＝2.1，
故 AE＝6-2.1＝3.9
由于≠
所以△ADE与△ABC不会相似。
你同意小张同学的判断吗 请你说说理由。
小张同学的判断是错误的。因为＝，＝＝ 所以＝
而 ∠A是公共角，∠A＝∠A，
所以△ADE∽△ACB．
请同学再做一次实验，看看如果两个三角形的三条边都成比例，那么这两个三角形是否相似
看课本77页“做一做”．
通过实验得出：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简单说成：三边成比例两三角形相似。
例:△ABC和△A′B′C′中，AB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )6cm，BC＝8cm，AC＝l0cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm，试判定它们是否相似，并说明理由．
三、练习
课本78页练习1、2，3．
四、小结
到现在我们学习了识别两个三角形是否相似的三种较简便的方法，请同学回忆说出．
五、作业
P59 1 2
3．相似三角形的性质
教学目标
会说出相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
教学过程
一、复习
1．识别两个三角形相似的简便方法有哪些
2．在△ABC与△A′B′C′中，AB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )l0cm，AC＝6cm，BC＝8cm，A′B′＝5cm，A′C′＝3cm，B′C′＝4cm，这两个三角形相似吗 说明理由。
如果相似，它们的相似比是多少
二、新课讲解
上述两个三角形会相似，它们对应边的比就是相似比，△ABC∽△A′B′C′，相似比为＝2
相似的两个三角形，它们的对应角相等，对应边会成比例，除此之外，还会得出什么结果呢
一个三角形内有三条主要线段 ( http: / / www.21cnjy.com )；高、中线、角平分线。如果两个三角形相似，那么这些对应的线段有什么关系呢 我们先探索一下它们的对应高之间的关系。
同学画出上述的两个三角形，作 ( http: / / www.21cnjy.com )对应边AB和A′B′边上的高，用刻度尺量一量CD与C′D′的长，等于多少呢 与它们的相似比相等吗 得出结论：
相似三角形对应高的比等于相似比 ( http: / / www.21cnjy.com )。我们能否用说理的方法来说明这个结论呢 同学们用上面类似方法，得出：相似三角形对应中线的比等于相似比；相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
两个相似三角形的周长比会等于相似比吗
两个相似三角形的面积之间有什么关系呢
看如图的三个三角形，三角形(2)的各边长分别是(1)的2倍，(3)的各边长分别是(1)的3倍，所以它们都是相似的，填空：
(2)与(1)的相似比为( )，
(2)与(1)的面积比为( )，
(3)与(1)的相似比为( )，
(3)与(1)的面积比为( )
(3)与(2)的相似比为( )，(3)与(2)的面积比为( )。
以上可以看出当相似比为K时，面积比为K2。对于一般相似的三角形都具有这种关系，可以得出结论：相似三角形的面积比等于相似比的平方。
三、练习
1.△ABC∽△A′B′C′，相似比为3:2，则对应中线的比等于( )。
2．相似三角形对应角平分线比为0.2，则相似比为( )，周长比为( )，面积比为( )
3．△ABC∽△A′B′c′，相似比为，已知△A′B′C′的面积为18cm2，那么 △ABC的面积为( )。
四、小结
相似三角形（ ）相等，（ ）的比等于相似比，面积的比等于（ ）。
五、作业
P61 1 2 3
4、相似三角形的应用
第一课时 相似三角形的应用(一)
教学目标
会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度。
教学过程
一、复习
1、相似三角形有哪些性质
2．如图，B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF，AC∥DF，
(1)∠DEF与∠ABC相似吗 为什么
(2)若DE＝1，EF＝2，BC＝10，那么AB等于多少
二、例题讲解
第二题我们根据两个三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形相似，对应边成比例，列出比例式汁算出AB的长。人们从很早开始，就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度。
例1:古代的数学家想出了一 ( http: / / www.21cnjy.com )种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O′B′＝l，A′B′＝2，AB＝274，求金字塔的高度OB。
这实际上与上述问题是一样的。
例2．我军一小分队到达某河岸，为了测量河宽 ( http: / / www.21cnjy.com )，只用简单的工具，就可以很快计算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一岸上选点B和C，使AB⊥BC，然后选点E，使EC⊥BC，用眼睛测视确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，就能算出两岸间的大致距离AB。
例3．我国魏晋时期的数学家刘徽的《海岛算经》 ( http: / / www.21cnjy.com )中有一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目看地取望岛峰亦与表末参合，问岛高及去表各几何 画成图形，用现在话表述即是：要求海岛的山峰AB的高度，在D和F处都树立标杆DC和 FE，标杆高都是3丈，相隔1000步(一步等于5尺)，并且AB、CD、EF在同一截面上。从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰顶A和标杆顶C在一直线上；从标杆FE退后127步的H处，也可看到山峰顶A和标杆顶正在一直线上，求山高AB及它和标杆CD的水平距离BD。
三、练习
1．到操场上用例1的方法测量旗杆的高，并与同伙交流看看计算结果是否大致上一样。
2．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比，在 ( http: / / www.21cnjy.com )某一时刻，有人测得高为1.8米的竹竿的影长为3米，此时某高楼影长为60米，那么高楼的高度为多少米
四、小结
本节课学习应用相似三角形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，测量计算物体的高度，在应用时要分清转到数学上是哪两个三角形会相似，它们对应的边是哪一边，利用比例的性质求证答案。
五、作业
P63 1 2
第二课时 相似三角形的应用（二）
教学目标
1、会把一已知线段几等分。
2、会利用相似三角形的性质说明等分线段的原理。
教学过程
一、复习
第一节学习了利用相似三角形的知识 ( http: / / www.21cnjy.com )来计算那些不能直接测量到的物体的高度或宽度，认识到数学知识在实践中是应用广泛的，本节课再学习相似三角形的另一个应用：等分线段。
二、新课讲解
1、同学们看课本第82页，告诉我们应用一组等距离的平行线可以把一线段五等分。你能把一线段三等分或六等分吗 试试看。
2、如果手头上没有这样等距离的平行线怎么办呢 大家还记得过直线外一点画已知直线的平行线的画法吗
回忆用两块三角板画平行线的办法，边说边示范画一个图．
现在我们就可以利用这样的方法把一条线段几等分．
如：把线段AB五等分。
画法：
1．过线段AB的一端点A任意画一射线；
2．在AP上依次截取五段相等的线段AAl、 AA2、AA3、AA4、AA5。
3．连结A5B。
4．分别过A4、A3、A3、Al点画BA5的平行线，这些平行线与线段AB交于点 F、E、D、C，这样就把线段AB五等分。
为什么这样就五等分了呢 能否用相似三角形性质说明理由．
三、练习
1．把线段AB七等分。
2．如图，在离某建筑物4米处有一棵树，在某 ( http: / / www.21cnjy.com )时刻，1.2m长的竹竿竖直地面，影长为2m，此时，树的影子照射地面，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影长为2m，那么这棵树高约多少米。
四、小结
应用相似三角形的知识，可以用于测量物体高度，能把一条线段几等分。
五、作业
补充习题
23.4三角形中位线
1．知识与技能
通过画图，亲身体验三角形中位线的概念以 ( http: / / www.21cnjy.com )及与三角形中线的区别,掌握三角形中位线定理,通过三角形中位线定理的证明,渗透数学学习中的转化思想,培养学生自主探究、猜想、推理论证的能力，并能应用所学的知识解决问题。
2．过程与方法
通过问题让学生猜想三角形的中位线与第三边的关系，进而用推理论证的方法证明猜想是否正确。
3．通过变式练习，小组讨论、交流等活动，培养良好的学习态度以及自主意识和合作精神．
教学重点、难点
重点：三角形的中位线定理以及定理的证明过程，应用三角形中位线定理解决问题。
难点：证明三角形中位线定理如何添加辅助线是本节的教学难点。
教学过程
一．明确三角形中位线的概念，给出研究课题
1．我们已学过三角形的有关线段，请同学们在图中，画出△ABC的中线．
提问：三角形有几条中线？它们是什么点间的连线？
在图中，若D、E、F分别是AB、AC、BC中点，请同学们在图中，连结DE、DF、EF，
（稍等片刻，让学生完成操作）
提问：这三条线段都是什么点间的连线？
这三条线段称为△ABC的中位线．你能否根据刚才的画图，写出三角形中位线的定义呢？
（学生直接将定义写在练习纸上，然后交流、板书）
我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；（上图中的D、E分别是边AB、AC的中点，则线段DE就是△ABC的中位线）
说说三角形的中线和三角形的中位线的异同？（都是线段，都有三条，一个是顶点与对边中点的连线，一个是两边中点的连线）
2．提出问题
如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，
（边口述，边板书）
那么请同学们观察一下，猜一猜：
中位线DE与BC在位置和数量上各有什么关系？
3．猜想结论
为了猜想中位线DE与BC在位置和数量上各有什么关系，我们做一个拼图活动：
我们把三角形沿中位线DE剪一刀．
试一试：你能不能把△ADE和四边形BDEC拼接成一个平行四边形呢？
你也可以与同桌合作，共同探索，一起 ( http: / / www.21cnjy.com )来拼．（估计拼图不很困难，教师也不必指导；但教师应巡视，对完成的学生教师可提问：你拼成的图形是平行四边形吗？为什么？要求同桌一起讨论）
我们把刚才拼接好的平行四边形画在 ( http: / / www.21cnjy.com )练习纸上，请同学们打开，然后小组讨论一下，请把你猜测得的结论写在纸上．（学生独立观察并猜想结论，然后同桌交流，最后集体交流，并板书结论）
二．推理、论证结论
1．刚才同学们交流了利用我们所提供的图形，得到了中位线DE与BC在位置和数量上的关系，你能否用语言叙述这一结论呢？
（学生尝试归纳结论，并互相补充完整后，板书）
命题：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
你能证明这个命题吗？
（板书）
已知：如图，在△ABC中，AD=DB，AE=EC．
求证：DE∥BC，DE=1/2 BC
（经过交流、分析后，学生独立写出证明过程）
通过了同学们的证明，可以知道你们猜想的结论是正确的．我们把这个结论称为三角形中位线定理，
（把命题改写成三角形中位线定理）
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．
已知：如图所示，在△ABC中，AD=DB，AE=EC
求证：DE∥BC，
证明：延长DE到F，使EF=DE，连结CF，
∵AE=CE，∠AED=∠CEF（对顶角相等），ED=EF
∴△ADE≌△CFE（SAS）
AD=CF（全等三角形的对应边相等）
∠ADE=∠F（全等三角形的对应角相等）
∴AD∥CF（内错角相等，两直线平行）
∵AD=DB，∴CF=DB
所以四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
于是DF∥BC，DF=BC，即DE∥BC，DE=1/2 BC。
2．练习1（投影，三个小题逐一出现）
已知：如果，点D、E、F分别是△ABC的三边的中点．
（1）若AB=8cm，求EF的长；
（2）若DE=5cm，求BC的长．
（3）若增加M、N分别是BD、BF的中点，
问MN与AC有什么关系？为什么？
（学生口答，教师板书结论，并请学生说明理由）
三角形中位线定理不仅有三角形的中位线与 ( http: / / www.21cnjy.com )第三边之间的位置关系，而且还有它们之间的数量关系．另外，从第（3）题可知：当题设中出现中点时，要考虑应用三角形中位线定理来解决．
三、三角形中位线定理的应用
例1、求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
已知：如图，在△ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC
求证：AE、DF互相平分
证明：连结DE、EF
∵AD=DB，BE=CE
∴DE∥AC（三角形中位线定理）
同理EF∥AB
∴四边形ADEF是平行四边形
∴AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）
例2、求证：顺次连结四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形。
已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点
求证：四边形EFGH是平行四边形。
[分析]考虑到E、F是AB、BC的中点，因此连结AC，就得到EF是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得，EF∥=，同理GH∥=，则EF∥GH，EF=GH,所以四边形EFGH是平行四边形。
证明：连结AC
∵E、F是AB、BC的中点
∴EF=，EF∥AC
同理，GH=，GH∥AC
∴EF∥GH，EF=GH
∴四边形EFGH是平行四边形。
四、课堂练习：P55.练习2
五、课堂小结：
作业：P61:8、10
23.5 位似图形
教学目标
1．会用位似法把一个多边形按比例放大或缩小。
2．理解位似法画相似图形的原理，能正确选择位似中心画相似的图形。
教学过程
一、复习
1．如图＝＝，那么＝？为什么
2．已知线段AB，画一线段A′B′，使A′B′＝1.5AB，如何画呢
画法有2：①延长AB至B′，使BB′＝AB，②仿①直线外任取一点O，做射线OA，取AA′＝AO.
二、新课
相似与轴对称、平移、旋转一 ( http: / / www.21cnjy.com )样，是图形的一个基本变换。要把一个图形放大或缩小，又要保持其形状不变。就是要画相似图形，现在我们先从画相似多边形开始。
现在要把五边形ABCDE放大1.5倍，即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE相似且相似比为1.5。
我们先考虑能否把五边形的一条边放大1 ( http: / / www.21cnjy.com ).5倍呢 按照问题(2)中的作法，可以把AB放大1.5倍，同样也可以把其他边也放大，在平面上取一点O，以O为端点作射线OA、OB，可以画出线段A′B′，以此类推。
画法是：
1．在平面上任取一点O。
2．以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE。
3．在射线OA、OB、OC、O ( http: / / www.21cnjy.com )D、OE上分别取点A′、B′、C′、D′、F′使OA′: OA＝ OB′:OB＝OC′:OC＝OD′:OD＝OE′:OE＝1.5
4．连结A′B′，B′C′，D′E′，A′E′.
这样：＝＝＝＝＝1.5
再用量角器量它们的对应角，看看是否相等呢
也可以用平行线的性质推出各对应角是相等的，所以五边形A′B′C′D′E′就相似于五边形ABCDE。
位似变换的定义： ( http: / / www.21cnjy.com )如上面的画法，两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似。这点O叫做位似中心．放映电影时，胶片和屏幕上的画面就形成一种位似关系，它们的位似中心是放映机上的灯光的点。
利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小。
位似中心也可以取在多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法。
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
在画相似多边形的过程中，同学们想 ( http: / / www.21cnjy.com )一想，是否一定要取OA′: OA＝OB′:OB＝OC′:OC…，这样来取A′B′C′…这些点呢 如果我们只确定一个顶点A′后用其他方法来确定B′、C′……呢
三、练习
任意画一个五边形，用位似法把它放大3倍。
四、小结
用位似法画相似的多边形，关键在于要确定位似中心，位似中心选在不同的位置，使画相似的过程的繁简也就不同。
五、作业
P72 习题24．5。
23、6 图形与坐标
1、用坐标来确定位置
教学目标
1．认识并能画出平面直角坐标系，能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。
2．能在给定的直角坐标系中，根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。
3．理解平面上表示一个点的位置有不同的方式，灵活运用不同的方式确定物体的位置.
教学过程
一、复习
1．什么是平面直角坐标系 建立了平面直角坐标系后，平面的点可以用什么来描述
平面上画两条互相垂直的数轴，就组成了平面直角坐标系；坐标平面上的点用有序实数对来描述它的位置，有序实数对就是我们常说的点的坐标。
2．画一个直角坐标系，并描出点A(1，2)，B(－3， 5)，C(4，5)，D(0，3)的位置。
3．如图四边形ABCD，在方格图中建立适当的直角；坐标系，用点的坐标来表示各点的位置。
选择的原点不同，所得到的坐标也不一样。
如以A为坐标原点，水平方 ( http: / / www.21cnjy.com )向为x轴，竖直方向为 y轴，建立直角坐标系，可以得到点A(0，0)，B(－2，－ 4)，C(2，－5)，D(4，0)。
二、新课讲解
在地图上，应用直角坐标系确定一些建筑物的位置，用坐标来表示，就能比较容易地找出目的地。
在一张地图上，画一个直角坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标系，作为定向标记，有四座农舍的坐标是(1，2)，(－3，5)，(4，5)，(0，3)，并且知道目的地位于连结第一与第三座农舍的直线和第二与第四座农舍的直线的交点，请大家在课本上找出这个目的地所处的位置，你能估计出这个位置的坐标是什么吗
先确定出四座农舍的位置(即复习中 ( http: / / www.21cnjy.com )(2)的A、B、C、D四个点)，过A、C作直线，过B、D作直线，两直线的交点P是目的地，确定点P的坐标，过P作x轴垂线，垂足坐标是1、2，过P作y轴垂线，垂足坐标为2.2，所以目的地P的坐标为(1.2、2.2)。
课本第87页中“试一试”，与复习中 ( http: / / www.21cnjy.com )(3)类似。在方格图中，选定一个确定的点为坐标原点，横线所在直线为x轴，建立直角坐标系，如以王坪村希望小学为原点，则各点位置的坐标是：希望小学的坐标(0，0)、大山镇是(0，3)、＿＿＿乡(2，5)、小学是(4，7)、爱心中学(6，7)、马村是(5，2)、映月湖为(6，1)，同学们互相对照一下，建立的直角坐标系是否相同呢 选定的坐标单位会一样吗 各点的坐标是否一样 有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一个点的位置，平面直角坐标系中，用一对有顺序关系实数来描述一个点的位置，在现实生活中，我们能看到许多这种方法的应用：如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置、电影院的座号用几排几座来表示，国际象棋中竖条用字母表示，横条用数字表示等。
除了用坐标形式表示物体的位置之外，我们还经常用到的还有用一个方向的角度和距离来表示一个点的位置。
如小明去某地考察环 ( http: / / www.21cnjy.com )境污染问题，并且他事先知道，“悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东30度的方向，距离此地3千米的地方，根据这个角度和距离，我们可以画出这个工厂与现在所处位置的图形。
以小明现在的位置为O， ( http: / / www.21cnjy.com )东西方向线是水平的，南北方向线一般画竖直方向，画出北偏东30°的方向线，在这方向线(射线帜)上，按比例尺的要求确定出“悠悠日用化工品厂”所处的位置点A。
同学们也按此方法，在同图中确定出“明天调味品厂”的位置 B，“321号水库”的位置。
三、练习 P76 练习
四、小结
建立直角坐标系后，平面上的点可以用坐标来描述 ( http: / / www.21cnjy.com )，在平面上由于建立的坐标系不同，单位长度选定不同，所以同一个点描述的坐标也可能不同。平面上的点也可以用一个角度来描述其位置。
五、作业 习题第1题
2．图形的运动与坐标
教学目标
1．在同一直角坐标系中，感受到图形经过平移、旋转、轴对称放大或缩小的变换之后，点的坐标相应发生变化。
2．探索图形在平移、轴对称、放大或缩小的变换，它们点的坐标的变化规律。教学过程
一、复习
1．△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AC＝5，建立直角坐标系，写出各顶点的坐标。
2．你能画与△ABC成轴对称的三角形吗 请画一个以直线BG为对称轴的三角形。
二、新课讲解
如果以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，建立直角坐标系，上述(1)的各顶点坐标为多少 (画成与厚纸片相符)
1．把厚纸片的三角形向右边移动3个单位，问：
(1)这时三角形的位置发生了什么变化
向右平移3个单位。
(2)这时三角形的三个顶点的坐标有什么变化，写出它们这个位置时的三个顶点坐标。
(3)比较相应顶点的坐标，它们之间存在什么相同之处
相应顶点的横坐标都增加了3个单位，而纵坐标都不变。
2．把纸片三角形向左平移4个单位，后以同样的问题回答。
发现相应顶点横坐标有变化，减少了4个单位，纵坐标不变。
3．把纸片三角形再变换一个位置后，向左、右两边平移，观察各对应顶点的坐标的变化。
问：由上述的几个变换过程，可以得到一个图形沿x轴左、右平移，它们的纵坐标，横坐标各有什么变化
它们的纵坐标都不变，横坐标有变化。向右平移几个单位，横坐标就增加几个单位；向左平移几个单位，横坐标就减少几个单位。
4．若把这个三角形沿y轴上、下平移呢
思考：△AOB关于x轴的轴对称图形△OA′B，对应顶点的坐标有什么变化呢
关于x轴对称，由于O、B在对 ( http: / / www.21cnjy.com )称轴上，其坐标不变，那么点 A与对称点A′关于x轴对称，它们的横坐标相同，纵坐标是互为相反数，这就得出关于x轴对称的对称点的坐标的特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数。
△AOB关于y轴的轴对称图形△AlOBl，对应顶点的坐标有什么变化
得出关于x轴或y轴成对称的对应点的坐标的关系：
关于x轴对称的对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数。
关于y轴对称的对称点的纵坐标相同，横坐标互为相反数。
课本91面图18 ( http: / / www.21cnjy.com )．5，7，△AOB的各顶点坐标是什么 0(0，0)，A(2，4)，B(4，0)，缩小后得到的△COD，各顶点的坐标是什么呢 O(0，0)，C(1，2)，D(2，0)，比较各对应顶点的坐标有什么呢 它们的横纵坐标都按比例缩小，这种变化与它们的相似比有什么关系呢
三、练习
1.线段AB的两端点A(1，3)，B(2，－5)。
(1)把线段AB向左平移2个单位，则点A、B的坐标为：A＿＿B＿＿。
(2)线段AB关于x轴对称的线段A′B′,则其坐标为：A′＿，B′＿。
(3)把线段AB ( http: / / www.21cnjy.com )向上平移2个单位得线段A1Bl，AlBl关于y轴对称的线段A2B2，那么点A2的坐标为＿＿＿，点B2的坐标为＿＿＿。
2．课本第77页“试一试”。
四、小结
在同一直角坐标系中，图形经过平移、轴 ( http: / / www.21cnjy.com )对称、放大、缩小的变化，其对应顶点的坐标也发生了变化，它们的变化是有规律的，要按照变化的情况，同学观察、总结会得出变化规律(由同学说出变化规律)。
五、作业
习题23、5 2
回顾与思考
教学目标
1．能理清本章的知识及其联系，画出知识结构图。
2．会运用相似三角形的识别方法、性质进行有关问题的简单的说理或计算，提高解决实际问题的能力，培养应用数学知识的意识。
3．能用坐标来表示物体的位置，感受点的坐标由于图形的变化而相应地也发生变化，让学生体会到数与形之间的关系。
教学过程
一、知识结构
二、讲解例题巩固知识
1、如图所示的两个矩形会相似吗？请说明 ( http: / / www.21cnjy.com )理由。目的：复习多边形相似的定义，理解平常说的相像与数学中的相似还是有一点区别的，必须是对应的角相等，对应的边成比例的两个多边形才是相似的。
2．判断下列各组中的两个三角形是否相似，并简单说明理由：
(1)△ABC中，∠A＝28°，∠C是直角，△A′B′C′中，∠B′＝62°，∠C是直角。
(2)△ABC中，AB=5,BC=7,AC=8,△A′B′C′中，A′B′=16。B′C′=14，A′C′＝10。
(3)△ABC中，AB＝4.5，AC＝6，′B＝50°，△A′B′C′中，A′B′＝6，A′C′＝9，∠B′＝50°。
(4)如图DB，EC交于A，AB＝3，AC＝4.5，AD＝2，AE＝3。
目的：复习识别三角形相似的三种方法，特别是方法(2)：两边对应成比例，相等的角要看看是否它们的夹角．
3．小黄同学在公路上测得一条高为6米的电线杆的影子长为8米，此时路旁有一棵树的影子长为12米，那么这棵树有多高
4．在△ABC中，如果DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求的值及EC的长。
5．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝b，CB＝a，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，△ACB∽△CBD。
这三题都是复习相似三角形的识别方 ( http: / / www.21cnjy.com )法及其性质应用，用对应边成比例计算某一边长时，要注意对应边的位置。(4)中所求的是EC，并不是三角形的边，因此由比例式先求出AC的长，再计算AC－AE。
6．将下图分成四小块，使它们的形状、大小完全相同，并且与原图相似，应怎样分
把整个图形分割成若干个小方形， ( http: / / www.21cnjy.com )缺口也补上成为一个完整的正方形，完整正方形分成16个小正方形，原图形有12个小正方形，要分成四小块，每一小块要3个小正方形。
7．在直角坐标系中△ABC的三个顶点坐标为：A(3，0)，B(－ 1，2)，C(4，5)。
(1)把△ABC沿x轴向右平移3个单位得△A′B′C′，求各顶点的坐标。
(2)如果△A′B′C′的顶点坐标为A′ ( http: / / www.21cnjy.com )(3，0)，B′(－2，4)，C′(8，l0)，那么△A′B′ C′是△ABC如何变换以后得到的。
8．下面是某市旅游景点的示意图，试建立直角坐标系，用坐标表示各个景点的位置。
如果以角度和距离来表示，碑林在中心广场的什么位置 (一格表示10千米)
碑林在中心广场的北偏东45°方向上(或东北方向)，距中心广场约57千米的地方。
目的：复习图形与坐标这部分知识，理解在同一坐标系内图形变化其顶点坐标变化的情况，解题时要画出图形，增强数形结合的思想。
三、练习
1.课本第96页复习题中：1、2、3。
2．补充练习。
△ABC中，AC＝3，BC＝4 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB＝5，∠ACB＝90°，D是AB中点，点P由C沿CD方向运动，每秒钟移1个单位，若△APD的面积为y，点P移动时间为x秒，求y与x之间的函数关系式，多少秒钟后△APD的面积为2.4
四、小结
通过复习，比较系统地理清本章知识，进一步灵活运用相似三角形的有关知识。
五、作业
1．P93复习题4，5，6。
2．学有余力的学生可选作P94 B组中习题。
A
B
C
F
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
H
G
23、1 相似的图形
教学目标
理解相似形的概念，了解相似形是两个图形之间的关系。由于需要的不同，要制定出大小不一定相同的图形，培养学生的观察能力。
教学过程
一、导入新课
挂上大小不一样的中国地图两张及两张大小不同的长城图片，供同学观察，并看课本第64页的图，提出问题：这几组图片有什么相同的地方呢
这些图片大小虽然不一样，但形状是相同。
二、讲解新课
由于不同的需要，我们用同一底片冲 ( http: / / www.21cnjy.com )洗、放大得到的相片有1寸的，也有2寸的，也有更大的，这些大小不一样的相片，其形状是相同。同学们想一想，在毕业证书贴的相片与学籍卡片上的相片、学习证的相片大小不一定一样，但形状相同，如果不相同会有什么后果呢
大小不相同的中国地图或世界地图，其 ( http: / / www.21cnjy.com )形状也是相同的，只是由于需要的不 同，印制成大小不一的图片。对于某一地区，也经常会绘制成各种大小不同的建筑物、山岗等所处的位置都是相同，同学们想一想，如果两张地图(同一地区)的形状不一样，那就会给我们许多错觉，就会产生许多麻烦的事情。
在日常生活中我们会看到许多这样形状 ( http: / / www.21cnjy.com )相同，而大小不一定相同的图形。在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形。同学们你还能说出哪些相似的图形吗
(同学们思考、讨论、交换意见)国旗、国旗上的五角星。画一个图形放在投影机上映射到屏幕上的图形与原图、平面镜上看到你自己的像等．
如图所示的是一些相似的图形。
( http: / / www.21cnjy.com )
想一想：放大镜下的图形和原来的图形相似吗 你看过哈哈镜吗 哈哈镜中的形像与你本人相似吗
还有一些图形，看起来有点相像，但它们不是相似的图形。
( http: / / www.21cnjy.com )
为什么有一部分图形看起来相像，但不相似呢 这就是数学上说的相似图形还有其特征，就是这章要探索的内容。
三、课堂练习
课本第66页试一试，你能画出两个或更多的相似形吗
四、小结
形状相同而大小不一定相同的图形称为相似形，相似形在日常生活中经常碰到。
五、作业
P44习题23.1 1、2．
23、2相似图形的性质
第一课时 相似图形的性质（一）
教学目标
1、了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例。
2、利用比例的性质，会求出未知线段的长。
教学过程
一、复习引入
挂上两张中国地图，问：
1.这两个图形有什么联系
它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似形。
2．这两个图形是相似图形， ( http: / / www.21cnjy.com )为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢 相似的两个图形有什么主要特征呢 为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例。
二、新课
先从这两张相似的地图上研究。
1．成比例线段；
请一位同学在地图上找出北京、上 ( http: / / www.21cnjy.com )海、福州的位置，如果我们用A、B、C分别表示大地图上的北京、上海、福州的位置，请用刻度尺在地图上量一量北京到上海的直线距离，即线段AB＝＿＿cm，上海到福州的直线距离，即线段BC＝＿＿cm，在小地图上用A′、B′、C′、分别表示北京、上海、福州的位置，也量一量A′B′＝＿＿cm，B′C′＝＿＿cm。在地图上量出的AB与A′B′，BC与B′C′长度是否相等 为什么会不一样呢 线段AB与A′B′，BC与B′C′有什么关系呢 请同学们算一算它们两线段的长度的比，即AB：A′B′，BC：B′C′会有什么样的结果呢 我们会得到AB与A′B′这两条线段的比与BC，B′C′这两条线段的比是相等的，即＝。
对于四条线段a、b、c、d ( http: / / www.21cnjy.com )，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即＝，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
若线段a、b、c、d成比例，即a:b＝c:d，那么其内项乘积等于外项乘积。a· d＝b·c，其他的比例性质也都适用。
上面地图中AB、A′B′、 ( http: / / www.21cnjy.com )BC、B′C′这四条线段就是成比例线段，实际上两张相似的地图中的对应线段都是成比例的，同学们不妨再量一量北京到福州的距离， 即AC与A′C′，然后再算AC；A′C′，看看是否成比例。如果≠，那会出现什么情况
如果＝那么b叫做a、c的比例中项，也可以写成b2＝ac
例1：在比例尺为1:400000地图上，量得甲、乙两地的距离为15厘米，求甲、 乙两地的实际距离。
例2：线段a＝15厘米，b＝20厘米，c＝75毫米，d＝0.1米，求: 与，这四条线段会成比例吗
例3:如图AB＝21，AD＝15，CE＝40，并且＝，求：AC的长
三、练习
1．(1)根据图示求线段比、、、、
(2)指出图中成比例的线段。
2、等腰三角形两腰的比是多少？等腰三角形的腰与底边的比是多少？
四、小结
同学回忆
1、什么样的线段成比例线段？
2、线段成比例与线段比有什么区别？
3、比例有哪些性质？
五、作业
P47 1、2、3
第二课时 相似图形的性质（二）
教学目标
知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等。识别两个多边形是否相似的方法。
教学过程
一、复习
1．若线段a＝6cm，b＝4cm，c＝3.6cm，d＝2.4cm，那么线段a、b，c、d会成比例吗
2．两张相似的地图中的对应线段有什么关系 (都成比例)
二、新课
相似的两张地图中的对应线段都会成比例 ( http: / / www.21cnjy.com )，对于一般的相似多边形，这个结论是否成立呢 同学们动手量一量，算一算，用刻度尺和量角器量一量课本第68页两个相似四边形的边长，量一量它们的内角，由一位同学把量得的结果写在黑板上，其他同学把量得的结果与同伴交流。
同学们会发现有什么 ( http: / / www.21cnjy.com )关系呢 经过观察、计算得出这两个相似四边形的对应边会成比例，对应角会相等，再观察课本中两个相似的五边形，是否也具有一样的结果 反映它们的边之间、角之间的关系是什么关系
同学用格点图画相似的两个三角形，也观察、度量，它们是否也具有这种关 对应边成比例，对应角相等．
由此可以得到两个相似多边形的特征：
(由同学回答，教师板书)对应边成比例，对应角相等。
实际上这两个特征，也是我们识别两个多边形是否相似的方法．即如果两个多边形的对应边都成比例，对应角都分别相等，那么这两个多边形相似。
识别两个多边形是否相似的标准有：(边数相同)，对应边要(成比例)，对应角要(都相等)。(填号内要求同学填)
想一想：(1)两个三角形一定是相似形吗 两个等腰三角形呢 两个等边三角形呢 两个等腰直角三角形呢 -
(2)所有的菱形都相似吗 所有矩形呢 正方形呢
例1：矩形ABCD与矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )A′B′C′D′中，AB＝1.5cm，BC＝4.5cm，A′B′＝0. 8cm，B′C′＝2.4cm，这两个矩形相似吗 为什么
例2：(课本第69页例题)
三、练习
1．课本第70页练习4、5。 ：
2．(补充)：(1)矩形ABCD与矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )A′B′C′D′中，已知AB＝16cm，AD＝10cm，A′D′＝6cm，矩形A′B′ C′D′的面积为57.cm2，这两个矩形相似吗 为什么
3．如图四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是相似的，且C′D′⊥B′C′，根据图中的条件，求出未知的边x，y及角a。
四、小结
1．两个多边形是否相似的两个标准是什么
2．相似多边形具有什么特征
五、作业
P50 1—5。
23．3 相似三角形
1．相似三角形
教学目标
1．知道相似三角形的概念；会根据概念判断两个三角形相似。
2．能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长。
教学过程
一、复习
什么是相似形 识别两个多边形是否相似的标准是什么
二、新课
1．相似三角形的有关概念：
由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那么这两个多边形相似．
三角形是最简单的多边形．由此可以说什么样的两个三角形相似
如果两个三角形的三条边都成比例，三个角 ( http: / / www.21cnjy.com )对应相等，那么这两个三角形相似，如在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′＝＝ 那么△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′；“∽”是表示相似的符号，读作“相似于”，这样两三角形相似就读作：“△ABC相似于△A′B′C′”。
由于∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )C＝∠C′，所以点A的对应顶点是A′，B与B′是对应顶点，C与C′是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边．如果记＝＝＝K，那么这个K就表示这两个相似三角形的相似比．相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系．如△ABC∽△A′B′C′，它的相似比为K，即指＝K，那么△A′B′C′与△ABC的相似比应是，就不是K了，应为多少呢 同学们想一想
2．△ABC中，D，E是AB、AC的中点，连结DE，那么△ADE与△ABC相似吗 为什么 如果相似，它们的相似比为多少
如果点D不是AB中点，是AB上任意一点，过D作DE∥BC，交AC边于E，那么△ADE与ABC是否也会相似呢
判断它们是否相似，由①对应角是 ( http: / / www.21cnjy.com )否相等，②对应边是否成比例去考虑。能否得对应角相等 根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢 目前还没有什么依据，同学们不妨用刻度尺量一量，算一算是否成比例 通过度量，计算发现＝＝．
所以可以判断出△ADE与△ABC会相似。
若是如图DE∥BC，与BA、CA延长线交于D、E，那么△ADE与△ABC还会相似吗 试一试看。如果相似写出它们对应边的比例式．
3．如果△ABC∽△A′B′ ( http: / / www.21cnjy.com )C′，相似比K＝1，你会发现什么呢 ＝＝＝1，所以可得AB＝A′B′,BC＝B′C′，AC＝A′C′，因此这两个三角形不仅形状相同，且大小也相同，这样的三角形称之为全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例，试问：
全等的两个三角形一定相似吗
相似的两个三角形会全等吗
全等的符号与相似的符号之间有什么关系与区别
4．例：如果一个三角形的三边长 ( http: / / www.21cnjy.com )分别是5、12、13，与其相似的三角形的最长．边是39，那么较大三角形的周长是多少 较小三角形与较大三角形的周长的比是多少
分析：这两个三角形会相似，对应边是哪些边 相似比是多少 哪一个三角形较大 要计算出它的周长还需求什么 根据什么采求
三、练习
判断下列两个三角形是否相似 简单说明理由，如果相似，写出对应边的比例
( http: / / www.21cnjy.com )
四、小结
1．填空。
＿＿＿＿＿＿＿的三角形叫做相似三角形。
2．两个相似三角形的相似比为1，这两个三角形有什么关系
3、如果一条直线平行于三角形一边，与其它两边或其延长线相交截得的三角形与原三角形相似吗 指出它们的对应边。
五、作业
P54 1、2、3。
2．相似三角形的判定
第一课时 相似三角形的判定(一)
教学目标
1．会说出识别两个三角形相似的方法，有两个角分别相等的两个三角形相似。
2．会用这种方法判断两个三角形是否相似。
教学过程
一、复习
1．两个矩形一定会相似吗 为什么
2．如何判断两个三角形是否相似
根据定义：对应角相等，对应边成比例。
3．如图△ABC与△′B′C′会相似吗 为什么 是否存在识别两个三角形相似的简便方法 本节就是探索这方面的识别两个三角形相似的方法。
二、新课讲解
同学们观察你与你的同伴 ( http: / / www.21cnjy.com )所用的三角尺，以及老师用的木三角板，如有一个角是30°的直角三角尺，它们的大小不一样。这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺人手探索。
(1)是45°角的三角尺，是等腰直角三角形会相似。
(2)是30°的三角尺，那么另一个锐角为60°，有一个直角，因此它们的三个角都相等，同学们量一量它们的对应边，是否成比例呢
这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等，它们好像就会“相似”。是这样吗 请同学们动手试一试：
1．画两个三角形，使它们的三个角分别相等。
画△ABC与△DEF，使∠A＝∠D、∠B＝∠E，∠C＝∠F，在实际画图过程中，同学们画几个角相等 为什么
实际画图中，只画∠A＝∠D，∠B＝∠E，则第三个角∠C与∠F一定会相等，这是根据三角形内角和为180°所确定的。
2．用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例 与同伴交流，是否有相同结果。
3．发现什么现象：发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似。
4．两个矩形的四个角也都分别相等，它们为什么不会相似呢
这是由于三角形具有它特殊的性质。三角形有稳定性，而四边形有不稳定性。
于是我们得到识别两个三角形相似的一个较为简便的方法：
如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似，简单地说：两角对应相等，两三角形相似。
同学们思考，能否再简便一些，仅有一对角对应相等的两个三角形，是否一定会相似呢
例题：
1．如图两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似。
2．在△ABC与△A′B′C′中,∠A＝∠A′＝50°，∠B＝70°，∠B′＝60°，这两个三角形相似吗
3．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC。
三、练习
1．△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，找出图中所有的相似三角形。
2．△ABC中，D是AB的边上 ( http: / / www.21cnjy.com )一点，过点D作一直线与AC相交于E，要使△ADE与△ABC会相似，你怎样画这条直线，并说明理由。和你的同伴交流作法是否一样
四、小结
本节课我们学习了识别两个三角形相似的简便方法：有两个角对应相等的两，个三角形相似。
五、作业
P64 1、3、5
第二课时 相似三角形的判定(二)
教学目标
1．会说出识别两个三角形相似的方法：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；三条边对应成比例的两个三角形相似．
2．能依据条件，灵活运用三种识别方法，正确判断两个三角形相似。
教学过程
一、复习
1．现在要判断两个三角形相似有哪几种方法
有两种方法，(1)是根据定义；(2)是有两个角对应相等的两个三角形相似．
2．如图△ABC中，D、E是AB、A ( http: / / www.21cnjy.com )C上三等分点(即AD＝AB，AE＝AC)，那么△ADE与△ABC相似吗 你用的是哪一种方法
由于没有两个角对应相等，同学 ( http: / / www.21cnjy.com )们可以动手量一量，量什么东西后可以判断它们能否相似 (可能有一部分同学用量角器量角，有一部分同学量线段，看看能否成比例)无论哪一种，都应肯定他们，是正确的，要求同学说出是应用哪一种方法判断出的。
二、新课讲解
同学们通过量角或量线段计算之后 ( http: / / www.21cnjy.com )，得出：△ADE∽△ABC。从已知条件看，△ADE与△ABC有一对应角相等，即∠A＝∠A(是公共角)，而一个条件是AD＝AB，AE＝AC，即是＝，＝；因此＝。△ADE的两条边 AD、AE与△ABC的两条边AB、AC会对应成比例，它们的夹角又相等，符合这样条件的两个三角形也会相似吗 我们再做一次实验。观察图，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢
图中两个三角形的一组对应边AD ( http: / / www.21cnjy.com )与AB的长度的比值为，将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE＝AC时，△ADE与△ABC相似。此时＝同学们画两个三角形，△ABC与△A′B′C′，使之∠A＝∠A′，AB＝2A′B′,AC＝2A′C′,量一量BC与B′C′的长,计算BC:B′C′与同伴交流，是否与，相等 再量一量∠B与∠B′、∠C与∠C′，它们是否对应相等呢 这样的两个三角形相似吗
于是有识别两个三角形相似的第二种简便方法：
如果一个三角形的两条边与另一个三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简单地说；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
强调对应相等的角必须是成比例的边的夹 ( http: / / www.21cnjy.com )角，如果不是夹角，它们不一定会相似。你能画出有两边会对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角形吗 (画顶角与底角相等的两个等腰三角形)∠B＝∠B′，＝
例题：
1．(课本中例3)判断图中△AEB与△FEC是否相似
2．如图△ABC中，D、E是 ( http: / / www.21cnjy.com )AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，CE＝2.1，试判断△ADE与△ABC是否会相似，小张同学的判断理由是这样的：
解：因为AC＝AE+CE，而AC＝6，CE＝2.1，
故 AE＝6-2.1＝3.9
由于≠
所以△ADE与△ABC不会相似。
你同意小张同学的判断吗 请你说说理由。
小张同学的判断是错误的。因为＝，＝＝ 所以＝
而 ∠A是公共角，∠A＝∠A，
所以△ADE∽△ACB．
请同学再做一次实验，看看如果两个三角形的三条边都成比例，那么这两个三角形是否相似
看课本77页“做一做”．
通过实验得出：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简单说成：三边成比例两三角形相似。
例:△ABC和△A′B′C′中，AB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )6cm，BC＝8cm，AC＝l0cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm，试判定它们是否相似，并说明理由．
三、练习
课本78页练习1、2，3．
四、小结
到现在我们学习了识别两个三角形是否相似的三种较简便的方法，请同学回忆说出．
五、作业
P59 1 2
3．相似三角形的性质
教学目标
会说出相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
教学过程
一、复习
1．识别两个三角形相似的简便方法有哪些
2．在△ABC与△A′B′C′中，AB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )l0cm，AC＝6cm，BC＝8cm，A′B′＝5cm，A′C′＝3cm，B′C′＝4cm，这两个三角形相似吗 说明理由。
如果相似，它们的相似比是多少
二、新课讲解
上述两个三角形会相似，它们对应边的比就是相似比，△ABC∽△A′B′C′，相似比为＝2
相似的两个三角形，它们的对应角相等，对应边会成比例，除此之外，还会得出什么结果呢
一个三角形内有三条主要线段 ( http: / / www.21cnjy.com )；高、中线、角平分线。如果两个三角形相似，那么这些对应的线段有什么关系呢 我们先探索一下它们的对应高之间的关系。
同学画出上述的两个三角形，作 ( http: / / www.21cnjy.com )对应边AB和A′B′边上的高，用刻度尺量一量CD与C′D′的长，等于多少呢 与它们的相似比相等吗 得出结论：
相似三角形对应高的比等于相似比 ( http: / / www.21cnjy.com )。我们能否用说理的方法来说明这个结论呢 同学们用上面类似方法，得出：相似三角形对应中线的比等于相似比；相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
两个相似三角形的周长比会等于相似比吗
两个相似三角形的面积之间有什么关系呢
看如图的三个三角形，三角形(2)的各边长分别是(1)的2倍，(3)的各边长分别是(1)的3倍，所以它们都是相似的，填空：
(2)与(1)的相似比为( )，
(2)与(1)的面积比为( )，
(3)与(1)的相似比为( )，
(3)与(1)的面积比为( )
(3)与(2)的相似比为( )，(3)与(2)的面积比为( )。
以上可以看出当相似比为K时，面积比为K2。对于一般相似的三角形都具有这种关系，可以得出结论：相似三角形的面积比等于相似比的平方。
三、练习
1.△ABC∽△A′B′C′，相似比为3:2，则对应中线的比等于( )。
2．相似三角形对应角平分线比为0.2，则相似比为( )，周长比为( )，面积比为( )
3．△ABC∽△A′B′c′，相似比为，已知△A′B′C′的面积为18cm2，那么 △ABC的面积为( )。
四、小结
相似三角形（ ）相等，（ ）的比等于相似比，面积的比等于（ ）。
五、作业
P61 1 2 3
4、相似三角形的应用
第一课时 相似三角形的应用(一)
教学目标
会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度。
教学过程
一、复习
1、相似三角形有哪些性质
2．如图，B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF，AC∥DF，
(1)∠DEF与∠ABC相似吗 为什么
(2)若DE＝1，EF＝2，BC＝10，那么AB等于多少
二、例题讲解
第二题我们根据两个三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形相似，对应边成比例，列出比例式汁算出AB的长。人们从很早开始，就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度。
例1:古代的数学家想出了一 ( http: / / www.21cnjy.com )种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O′B′＝l，A′B′＝2，AB＝274，求金字塔的高度OB。
这实际上与上述问题是一样的。
例2．我军一小分队到达某河岸，为了测量河宽 ( http: / / www.21cnjy.com )，只用简单的工具，就可以很快计算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一岸上选点B和C，使AB⊥BC，然后选点E，使EC⊥BC，用眼睛测视确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，就能算出两岸间的大致距离AB。
例3．我国魏晋时期的数学家刘徽的《海岛算经》 ( http: / / www.21cnjy.com )中有一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目看地取望岛峰亦与表末参合，问岛高及去表各几何 画成图形，用现在话表述即是：要求海岛的山峰AB的高度，在D和F处都树立标杆DC和 FE，标杆高都是3丈，相隔1000步(一步等于5尺)，并且AB、CD、EF在同一截面上。从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰顶A和标杆顶C在一直线上；从标杆FE退后127步的H处，也可看到山峰顶A和标杆顶正在一直线上，求山高AB及它和标杆CD的水平距离BD。
三、练习
1．到操场上用例1的方法测量旗杆的高，并与同伙交流看看计算结果是否大致上一样。
2．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比，在 ( http: / / www.21cnjy.com )某一时刻，有人测得高为1.8米的竹竿的影长为3米，此时某高楼影长为60米，那么高楼的高度为多少米
四、小结
本节课学习应用相似三角形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，测量计算物体的高度，在应用时要分清转到数学上是哪两个三角形会相似，它们对应的边是哪一边，利用比例的性质求证答案。
五、作业
P63 1 2
第二课时 相似三角形的应用（二）
教学目标
1、会把一已知线段几等分。
2、会利用相似三角形的性质说明等分线段的原理。
教学过程
一、复习
第一节学习了利用相似三角形的知识 ( http: / / www.21cnjy.com )来计算那些不能直接测量到的物体的高度或宽度，认识到数学知识在实践中是应用广泛的，本节课再学习相似三角形的另一个应用：等分线段。
二、新课讲解
1、同学们看课本第82页，告诉我们应用一组等距离的平行线可以把一线段五等分。你能把一线段三等分或六等分吗 试试看。
2、如果手头上没有这样等距离的平行线怎么办呢 大家还记得过直线外一点画已知直线的平行线的画法吗
回忆用两块三角板画平行线的办法，边说边示范画一个图．
现在我们就可以利用这样的方法把一条线段几等分．
如：把线段AB五等分。
画法：
1．过线段AB的一端点A任意画一射线；
2．在AP上依次截取五段相等的线段AAl、 AA2、AA3、AA4、AA5。
3．连结A5B。
4．分别过A4、A3、A3、Al点画BA5的平行线，这些平行线与线段AB交于点 F、E、D、C，这样就把线段AB五等分。
为什么这样就五等分了呢 能否用相似三角形性质说明理由．
三、练习
1．把线段AB七等分。
2．如图，在离某建筑物4米处有一棵树，在某 ( http: / / www.21cnjy.com )时刻，1.2m长的竹竿竖直地面，影长为2m，此时，树的影子照射地面，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影长为2m，那么这棵树高约多少米。
四、小结
应用相似三角形的知识，可以用于测量物体高度，能把一条线段几等分。
五、作业
补充习题
23.4三角形中位线
1．知识与技能
通过画图，亲身体验三角形中位线的概念以 ( http: / / www.21cnjy.com )及与三角形中线的区别,掌握三角形中位线定理,通过三角形中位线定理的证明,渗透数学学习中的转化思想,培养学生自主探究、猜想、推理论证的能力，并能应用所学的知识解决问题。
2．过程与方法
通过问题让学生猜想三角形的中位线与第三边的关系，进而用推理论证的方法证明猜想是否正确。
3．通过变式练习，小组讨论、交流等活动，培养良好的学习态度以及自主意识和合作精神．
教学重点、难点
重点：三角形的中位线定理以及定理的证明过程，应用三角形中位线定理解决问题。
难点：证明三角形中位线定理如何添加辅助线是本节的教学难点。
教学过程
一．明确三角形中位线的概念，给出研究课题
1．我们已学过三角形的有关线段，请同学们在图中，画出△ABC的中线．
提问：三角形有几条中线？它们是什么点间的连线？
在图中，若D、E、F分别是AB、AC、BC中点，请同学们在图中，连结DE、DF、EF，
（稍等片刻，让学生完成操作）
提问：这三条线段都是什么点间的连线？
这三条线段称为△ABC的中位线．你能否根据刚才的画图，写出三角形中位线的定义呢？
（学生直接将定义写在练习纸上，然后交流、板书）
我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；（上图中的D、E分别是边AB、AC的中点，则线段DE就是△ABC的中位线）
说说三角形的中线和三角形的中位线的异同？（都是线段，都有三条，一个是顶点与对边中点的连线，一个是两边中点的连线）
2．提出问题
如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，
（边口述，边板书）
那么请同学们观察一下，猜一猜：
中位线DE与BC在位置和数量上各有什么关系？
3．猜想结论
为了猜想中位线DE与BC在位置和数量上各有什么关系，我们做一个拼图活动：
我们把三角形沿中位线DE剪一刀．
试一试：你能不能把△ADE和四边形BDEC拼接成一个平行四边形呢？
你也可以与同桌合作，共同探索，一起 ( http: / / www.21cnjy.com )来拼．（估计拼图不很困难，教师也不必指导；但教师应巡视，对完成的学生教师可提问：你拼成的图形是平行四边形吗？为什么？要求同桌一起讨论）
我们把刚才拼接好的平行四边形画在 ( http: / / www.21cnjy.com )练习纸上，请同学们打开，然后小组讨论一下，请把你猜测得的结论写在纸上．（学生独立观察并猜想结论，然后同桌交流，最后集体交流，并板书结论）
二．推理、论证结论
1．刚才同学们交流了利用我们所提供的图形，得到了中位线DE与BC在位置和数量上的关系，你能否用语言叙述这一结论呢？
（学生尝试归纳结论，并互相补充完整后，板书）
命题：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
你能证明这个命题吗？
（板书）
已知：如图，在△ABC中，AD=DB，AE=EC．
求证：DE∥BC，DE=1/2 BC
（经过交流、分析后，学生独立写出证明过程）
通过了同学们的证明，可以知道你们猜想的结论是正确的．我们把这个结论称为三角形中位线定理，
（把命题改写成三角形中位线定理）
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．
已知：如图所示，在△ABC中，AD=DB，AE=EC
求证：DE∥BC，
证明：延长DE到F，使EF=DE，连结CF，
∵AE=CE，∠AED=∠CEF（对顶角相等），ED=EF
∴△ADE≌△CFE（SAS）
AD=CF（全等三角形的对应边相等）
∠ADE=∠F（全等三角形的对应角相等）
∴AD∥CF（内错角相等，两直线平行）
∵AD=DB，∴CF=DB
所以四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
于是DF∥BC，DF=BC，即DE∥BC，DE=1/2 BC。
2．练习1（投影，三个小题逐一出现）
已知：如果，点D、E、F分别是△ABC的三边的中点．
（1）若AB=8cm，求EF的长；
（2）若DE=5cm，求BC的长．
（3）若增加M、N分别是BD、BF的中点，
问MN与AC有什么关系？为什么？
（学生口答，教师板书结论，并请学生说明理由）
三角形中位线定理不仅有三角形的中位线与 ( http: / / www.21cnjy.com )第三边之间的位置关系，而且还有它们之间的数量关系．另外，从第（3）题可知：当题设中出现中点时，要考虑应用三角形中位线定理来解决．
三、三角形中位线定理的应用
例1、求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
已知：如图，在△ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC
求证：AE、DF互相平分
证明：连结DE、EF
∵AD=DB，BE=CE
∴DE∥AC（三角形中位线定理）
同理EF∥AB
∴四边形ADEF是平行四边形
∴AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）
例2、求证：顺次连结四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形。
已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点
求证：四边形EFGH是平行四边形。
[分析]考虑到E、F是AB、BC的中点，因此连结AC，就得到EF是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得，EF∥=，同理GH∥=，则EF∥GH，EF=GH,所以四边形EFGH是平行四边形。
证明：连结AC
∵E、F是AB、BC的中点
∴EF=，EF∥AC
同理，GH=，GH∥AC
∴EF∥GH，EF=GH
∴四边形EFGH是平行四边形。
四、课堂练习：P55.练习2
五、课堂小结：
作业：P61:8、10
23.5 位似图形
教学目标
1．会用位似法把一个多边形按比例放大或缩小。
2．理解位似法画相似图形的原理，能正确选择位似中心画相似的图形。
教学过程
一、复习
1．如图＝＝，那么＝？为什么
2．已知线段AB，画一线段A′B′，使A′B′＝1.5AB，如何画呢
画法有2：①延长AB至B′，使BB′＝AB，②仿①直线外任取一点O，做射线OA，取AA′＝AO.
二、新课
相似与轴对称、平移、旋转一 ( http: / / www.21cnjy.com )样，是图形的一个基本变换。要把一个图形放大或缩小，又要保持其形状不变。就是要画相似图形，现在我们先从画相似多边形开始。
现在要把五边形ABCDE放大1.5倍，即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE相似且相似比为1.5。
我们先考虑能否把五边形的一条边放大1 ( http: / / www.21cnjy.com ).5倍呢 按照问题(2)中的作法，可以把AB放大1.5倍，同样也可以把其他边也放大，在平面上取一点O，以O为端点作射线OA、OB，可以画出线段A′B′，以此类推。
画法是：
1．在平面上任取一点O。
2．以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE。
3．在射线OA、OB、OC、O ( http: / / www.21cnjy.com )D、OE上分别取点A′、B′、C′、D′、F′使OA′: OA＝ OB′:OB＝OC′:OC＝OD′:OD＝OE′:OE＝1.5
4．连结A′B′，B′C′，D′E′，A′E′.
这样：＝＝＝＝＝1.5
再用量角器量它们的对应角，看看是否相等呢
也可以用平行线的性质推出各对应角是相等的，所以五边形A′B′C′D′E′就相似于五边形ABCDE。
位似变换的定义： ( http: / / www.21cnjy.com )如上面的画法，两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似。这点O叫做位似中心．放映电影时，胶片和屏幕上的画面就形成一种位似关系，它们的位似中心是放映机上的灯光的点。
利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小。
位似中心也可以取在多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法。
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
在画相似多边形的过程中，同学们想 ( http: / / www.21cnjy.com )一想，是否一定要取OA′: OA＝OB′:OB＝OC′:OC…，这样来取A′B′C′…这些点呢 如果我们只确定一个顶点A′后用其他方法来确定B′、C′……呢
三、练习
任意画一个五边形，用位似法把它放大3倍。
四、小结
用位似法画相似的多边形，关键在于要确定位似中心，位似中心选在不同的位置，使画相似的过程的繁简也就不同。
五、作业
P72 习题24．5。
23、6 图形与坐标
1、用坐标来确定位置
教学目标
1．认识并能画出平面直角坐标系，能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。
2．能在给定的直角坐标系中，根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。
3．理解平面上表示一个点的位置有不同的方式，灵活运用不同的方式确定物体的位置.
教学过程
一、复习
1．什么是平面直角坐标系 建立了平面直角坐标系后，平面的点可以用什么来描述
平面上画两条互相垂直的数轴，就组成了平面直角坐标系；坐标平面上的点用有序实数对来描述它的位置，有序实数对就是我们常说的点的坐标。
2．画一个直角坐标系，并描出点A(1，2)，B(－3， 5)，C(4，5)，D(0，3)的位置。
3．如图四边形ABCD，在方格图中建立适当的直角；坐标系，用点的坐标来表示各点的位置。
选择的原点不同，所得到的坐标也不一样。
如以A为坐标原点，水平方 ( http: / / www.21cnjy.com )向为x轴，竖直方向为 y轴，建立直角坐标系，可以得到点A(0，0)，B(－2，－ 4)，C(2，－5)，D(4，0)。
二、新课讲解
在地图上，应用直角坐标系确定一些建筑物的位置，用坐标来表示，就能比较容易地找出目的地。
在一张地图上，画一个直角坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标系，作为定向标记，有四座农舍的坐标是(1，2)，(－3，5)，(4，5)，(0，3)，并且知道目的地位于连结第一与第三座农舍的直线和第二与第四座农舍的直线的交点，请大家在课本上找出这个目的地所处的位置，你能估计出这个位置的坐标是什么吗
先确定出四座农舍的位置(即复习中 ( http: / / www.21cnjy.com )(2)的A、B、C、D四个点)，过A、C作直线，过B、D作直线，两直线的交点P是目的地，确定点P的坐标，过P作x轴垂线，垂足坐标是1、2，过P作y轴垂线，垂足坐标为2.2，所以目的地P的坐标为(1.2、2.2)。
课本第87页中“试一试”，与复习中 ( http: / / www.21cnjy.com )(3)类似。在方格图中，选定一个确定的点为坐标原点，横线所在直线为x轴，建立直角坐标系，如以王坪村希望小学为原点，则各点位置的坐标是：希望小学的坐标(0，0)、大山镇是(0，3)、＿＿＿乡(2，5)、小学是(4，7)、爱心中学(6，7)、马村是(5，2)、映月湖为(6，1)，同学们互相对照一下，建立的直角坐标系是否相同呢 选定的坐标单位会一样吗 各点的坐标是否一样 有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一个点的位置，平面直角坐标系中，用一对有顺序关系实数来描述一个点的位置，在现实生活中，我们能看到许多这种方法的应用：如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置、电影院的座号用几排几座来表示，国际象棋中竖条用字母表示，横条用数字表示等。
除了用坐标形式表示物体的位置之外，我们还经常用到的还有用一个方向的角度和距离来表示一个点的位置。
如小明去某地考察环 ( http: / / www.21cnjy.com )境污染问题，并且他事先知道，“悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东30度的方向，距离此地3千米的地方，根据这个角度和距离，我们可以画出这个工厂与现在所处位置的图形。
以小明现在的位置为O， ( http: / / www.21cnjy.com )东西方向线是水平的，南北方向线一般画竖直方向，画出北偏东30°的方向线，在这方向线(射线帜)上，按比例尺的要求确定出“悠悠日用化工品厂”所处的位置点A。
同学们也按此方法，在同图中确定出“明天调味品厂”的位置 B，“321号水库”的位置。
三、练习 P76 练习
四、小结
建立直角坐标系后，平面上的点可以用坐标来描述 ( http: / / www.21cnjy.com )，在平面上由于建立的坐标系不同，单位长度选定不同，所以同一个点描述的坐标也可能不同。平面上的点也可以用一个角度来描述其位置。
五、作业 习题第1题
2．图形的运动与坐标
教学目标
1．在同一直角坐标系中，感受到图形经过平移、旋转、轴对称放大或缩小的变换之后，点的坐标相应发生变化。
2．探索图形在平移、轴对称、放大或缩小的变换，它们点的坐标的变化规律。教学过程
一、复习
1．△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AC＝5，建立直角坐标系，写出各顶点的坐标。
2．你能画与△ABC成轴对称的三角形吗 请画一个以直线BG为对称轴的三角形。
二、新课讲解
如果以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，建立直角坐标系，上述(1)的各顶点坐标为多少 (画成与厚纸片相符)
1．把厚纸片的三角形向右边移动3个单位，问：
(1)这时三角形的位置发生了什么变化
向右平移3个单位。
(2)这时三角形的三个顶点的坐标有什么变化，写出它们这个位置时的三个顶点坐标。
(3)比较相应顶点的坐标，它们之间存在什么相同之处
相应顶点的横坐标都增加了3个单位，而纵坐标都不变。
2．把纸片三角形向左平移4个单位，后以同样的问题回答。
发现相应顶点横坐标有变化，减少了4个单位，纵坐标不变。
3．把纸片三角形再变换一个位置后，向左、右两边平移，观察各对应顶点的坐标的变化。
问：由上述的几个变换过程，可以得到一个图形沿x轴左、右平移，它们的纵坐标，横坐标各有什么变化
它们的纵坐标都不变，横坐标有变化。向右平移几个单位，横坐标就增加几个单位；向左平移几个单位，横坐标就减少几个单位。
4．若把这个三角形沿y轴上、下平移呢
思考：△AOB关于x轴的轴对称图形△OA′B，对应顶点的坐标有什么变化呢
关于x轴对称，由于O、B在对 ( http: / / www.21cnjy.com )称轴上，其坐标不变，那么点 A与对称点A′关于x轴对称，它们的横坐标相同，纵坐标是互为相反数，这就得出关于x轴对称的对称点的坐标的特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数。
△AOB关于y轴的轴对称图形△AlOBl，对应顶点的坐标有什么变化
得出关于x轴或y轴成对称的对应点的坐标的关系：
关于x轴对称的对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数。
关于y轴对称的对称点的纵坐标相同，横坐标互为相反数。
课本91面图18 ( http: / / www.21cnjy.com )．5，7，△AOB的各顶点坐标是什么 0(0，0)，A(2，4)，B(4，0)，缩小后得到的△COD，各顶点的坐标是什么呢 O(0，0)，C(1，2)，D(2，0)，比较各对应顶点的坐标有什么呢 它们的横纵坐标都按比例缩小，这种变化与它们的相似比有什么关系呢
三、练习
1.线段AB的两端点A(1，3)，B(2，－5)。
(1)把线段AB向左平移2个单位，则点A、B的坐标为：A＿＿B＿＿。
(2)线段AB关于x轴对称的线段A′B′,则其坐标为：A′＿，B′＿。
(3)把线段AB ( http: / / www.21cnjy.com )向上平移2个单位得线段A1Bl，AlBl关于y轴对称的线段A2B2，那么点A2的坐标为＿＿＿，点B2的坐标为＿＿＿。
2．课本第77页“试一试”。
四、小结
在同一直角坐标系中，图形经过平移、轴 ( http: / / www.21cnjy.com )对称、放大、缩小的变化，其对应顶点的坐标也发生了变化，它们的变化是有规律的，要按照变化的情况，同学观察、总结会得出变化规律(由同学说出变化规律)。
五、作业
习题23、5 2
回顾与思考
教学目标
1．能理清本章的知识及其联系，画出知识结构图。
2．会运用相似三角形的识别方法、性质进行有关问题的简单的说理或计算，提高解决实际问题的能力，培养应用数学知识的意识。
3．能用坐标来表示物体的位置，感受点的坐标由于图形的变化而相应地也发生变化，让学生体会到数与形之间的关系。
教学过程
一、知识结构
二、讲解例题巩固知识
1、如图所示的两个矩形会相似吗？请说明 ( http: / / www.21cnjy.com )理由。目的：复习多边形相似的定义，理解平常说的相像与数学中的相似还是有一点区别的，必须是对应的角相等，对应的边成比例的两个多边形才是相似的。
2．判断下列各组中的两个三角形是否相似，并简单说明理由：
(1)△ABC中，∠A＝28°，∠C是直角，△A′B′C′中，∠B′＝62°，∠C是直角。
(2)△ABC中，AB=5,BC=7,AC=8,△A′B′C′中，A′B′=16。B′C′=14，A′C′＝10。
(3)△ABC中，AB＝4.5，AC＝6，′B＝50°，△A′B′C′中，A′B′＝6，A′C′＝9，∠B′＝50°。
(4)如图DB，EC交于A，AB＝3，AC＝4.5，AD＝2，AE＝3。
目的：复习识别三角形相似的三种方法，特别是方法(2)：两边对应成比例，相等的角要看看是否它们的夹角．
3．小黄同学在公路上测得一条高为6米的电线杆的影子长为8米，此时路旁有一棵树的影子长为12米，那么这棵树有多高
4．在△ABC中，如果DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求的值及EC的长。
5．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝b，CB＝a，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，△ACB∽△CBD。
这三题都是复习相似三角形的识别方 ( http: / / www.21cnjy.com )法及其性质应用，用对应边成比例计算某一边长时，要注意对应边的位置。(4)中所求的是EC，并不是三角形的边，因此由比例式先求出AC的长，再计算AC－AE。
6．将下图分成四小块，使它们的形状、大小完全相同，并且与原图相似，应怎样分
把整个图形分割成若干个小方形， ( http: / / www.21cnjy.com )缺口也补上成为一个完整的正方形，完整正方形分成16个小正方形，原图形有12个小正方形，要分成四小块，每一小块要3个小正方形。
7．在直角坐标系中△ABC的三个顶点坐标为：A(3，0)，B(－ 1，2)，C(4，5)。
(1)把△ABC沿x轴向右平移3个单位得△A′B′C′，求各顶点的坐标。
(2)如果△A′B′C′的顶点坐标为A′ ( http: / / www.21cnjy.com )(3，0)，B′(－2，4)，C′(8，l0)，那么△A′B′ C′是△ABC如何变换以后得到的。
8．下面是某市旅游景点的示意图，试建立直角坐标系，用坐标表示各个景点的位置。
如果以角度和距离来表示，碑林在中心广场的什么位置 (一格表示10千米)
碑林在中心广场的北偏东45°方向上(或东北方向)，距中心广场约57千米的地方。
目的：复习图形与坐标这部分知识，理解在同一坐标系内图形变化其顶点坐标变化的情况，解题时要画出图形，增强数形结合的思想。
三、练习
1.课本第96页复习题中：1、2、3。
2．补充练习。
△ABC中，AC＝3，BC＝4 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB＝5，∠ACB＝90°，D是AB中点，点P由C沿CD方向运动，每秒钟移1个单位，若△APD的面积为y，点P移动时间为x秒，求y与x之间的函数关系式，多少秒钟后△APD的面积为2.4
四、小结
通过复习，比较系统地理清本章知识，进一步灵活运用相似三角形的有关知识。
五、作业
1．P93复习题4，5，6。
2．学有余力的学生可选作P94 B组中习题。
A
B
C
F
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
H
G