专题6.7实数 知识讲解（含解析）2023-2024学年七年级数学下册人教版专项讲练

专题6.7 实数（知识讲解）
【学习目标】
1. 了解无理数和实数的意义；
2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .
【要点梳理】
要点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
要点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
要点四、实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【典型例题】
类型一、实数 概念的理解 分类
1．把下列各数写入相应的集合内：，，，0.26，，0.10，5.12，，．
(1)有理数集合：{ }；
(2)正实数集合：{ }；
(3)无理数集合：{ }
举一反三：
【变式】
2．把下列各数填入相应的集合内．
、π、－、、、、0、－、、0.3737737773…（相邻两个3之间的7逐次加1个），
(1)有理数集合{ … }
(2)无理数集合{ … }
(3)负实数集合{ … }
3．把下列各数序号分别填入相应的集合内：
①，② ，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩0.979779777···（相邻两个9之间7的个数逐次增加1）
类型二、实数 实数性质 实数与数轴 运算 化简
4．求下列各数的相反数、倒数和绝对值．
相反数
倒数
绝对值
举一反三：
【变式】
5．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：－|a－b|＋|c－a|．
6．我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”，请根据图形回答下列问题：
(1)线段OA的长度是多少 (要求写出求解过程)
(2)这个图形的目的是为了说明什么
(3)这种研究和解决问题的方式体现了 的数学思想方法(将下列符合的选项序号填在横线上)
A.数形结合 B.代入 C.换元 D.归纳
类型三、实数 估算 无理数的整数（小数）部分 运算 化简
7．[阅读材料]
∵＜＜，即2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2
∴﹣1的整数部分为1
∴﹣1的小数部分为﹣2
(1)填空：的小数部分是　 　．
(2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式（﹣a）3＋（b＋4）2的值．
举一反三：
【变式】
8．比较下列各组数的大小：
（1）与6；
（2）与；
（3）与．
9．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜＜2，于是可用﹣1来表示的小数部分．请解答下列问题：
（1）的整数部分是　　，小数部分是　　；
（2）如果5＋的小数部分为a，5﹣的整数部分为b，求a＋b的值．
类型四、实数 实数的混合运算 运算 化简
10．计算：
（1）； （2）．
举一反三：
【变式】
11．计算题：
（1） （2）．
12．计算：
(1)
(2)
类型五、实数 实数的运算 程序设计 新定义
13．一个数值转换器，如图所示：
(1)当输入的x为81时．输出的y值是_________；
(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值；
(3)若输出的y是，请写出两个满足要求的x值．
举一反三：
【变式】
14．思考与探究：
（1）在如图所示的计算程序中，若开始输入的数值是4，则最后输出的结果是___________．
（2）在如图所示的计算程序中，若最后输出的结果是58，则开始输入的数值是___________．
（3）按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为1621，则满足条件的x的不同值最多有多少个？
15．对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，，如：，求的值．
举一反三：
【变式】
16．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，例如．
（1）求的值．
（2）求的平方根．
类型六、实数 实数的运算 实际运用 规律
17．数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：
问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值．
解：由题意得，
∵a，b都是有理数，
∴也是有理数，
∵是无理数，
∴，
∴，
∴
解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值．
举一反三：
【变式】
18．如图1，有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积是 ，边长是 ；
（2）仿照上面的做法，你能把下面这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，在图2中画出拼接后的正方形，并求边长；若不能，请说明理由．
19．阅读下列材料：
设：，①则.②
由②-①，得，即.
所以.
根据上述提供的方法.把和化成分数，并想一想.是不是任何无限循环小数都可以化成分数？
【变式】
（2020春·山西太原·八年级太原师范学院附属中学校考阶段练习）
20．阅读下列解题过程：
；
；
；…
（1）________．
（2）按照你所发现的规律，请你写出第个等式：________．
（3）利用这一规律计算：
中考真题专练
（2020·重庆·统考中考真题）
21．在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”．
定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．
例如：，，所以14是“差一数”；
，但，所以19不是“差一数”．
（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；
（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．
（2019·重庆·统考中考真题）
22．《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数—“纯数”．定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“数”，例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)， ，0.26， 0.10，5.12
(2)，0.26，，0.10，5.12，，
(3)， ， ，
【分析】（1）根据有理数的定义进行作答即可；
（2）根据正数的定义进行判断即可；
（3）根据无理数的定义进行判断即可．
【详解】（1）有理数有：， ，0.26， 0.10，5.12
故答案为：， ，0.26， 0.10，5.12
（2），是负数，绝对值是正数
正实数有：，0.26，，0.10，5.12，，
故答案为：，0.26，，0.10，5.12，，
（3）无理数有：， ， ，
故答案为：， ， ，
【点睛】本题考查了实数的分类，即实数分为正实数，零，负实数；实数还可以分为有理数和无理数，有理数包括正数和分数，无理数是无线不循环小数，熟练掌握有理数、无理数的定义是解题的关键．
2．(1)－，，0，
(2)，π，，，，0.3737737773
(3)－，，
【分析】（1）根据有理数的定义进行判定即可得出答案；
（2）根据无理数的定义进行判定即可得出答案；
（3）根据负实数的定义进行判定即可得出答案．
【详解】（1）有理数集合：{－，,0，…}
（2）
无理数集合：{，π，，，，0.3737737773……}
（3）
负实数集合：{－，，…}
【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类进行求解是解决本题的关键.
3．有理数集合：②⑤⑨；无理数集合：①③④⑥⑦⑧⑩；负实数集合：④⑤⑧⑨
【分析】根据实数的性质即可分类．
【详解】有理数为，，；
无理数为，，，， ，，0.979779777···（相邻两个9之间7的个数逐次增加1）；
负实数为，，，，
∴有理数集合：②⑤⑨；无理数集合：①③④⑥⑦⑧⑩；负实数集合：④⑤⑧⑨．
【点睛】此题主要考查实数的分类，解题的关键是熟知实数的分类方法及特点．
4．见解析
【分析】根据相反数、倒数、绝对值的定义依次即可得出答案．
【详解】解：
相反数
倒数 -5
绝对值
【点睛】本题考查实数的分类，立方根、分母有理化．对于分母中是二次根式的要分母有理化．
5．
【分析】先判断，进而得到，，再化简即可．
【详解】解：由数轴上点的位置可得 ，
∴，，
∴
．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，化简绝对值，整式的加减运算，实数与数轴，根据数轴及运算法则判断，是解本题的关键．
6．(1) OA =；(2)数轴上的点和实数是一一对应关系；(3)A
【分析】（1）首先根据勾股定理求出线段OB的长度，然后结合数轴的知识即可求解；
（2）根据数轴上的点与实数的对应关系即可求解；
（3）本题利用实数与数轴的对应关系即可解答．
【详解】解：(1)OB2＝12+12＝2
∴OB＝
∴OA＝OB=
(2)数轴上的点和实数是一一对应关系
(3) 这种研究和解决问题的方式，体现的数学思想方法是数形结合．
故选A
【点睛】本题主要考查了实数与数轴之间的关系，此题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉平方根的定义．也要求学生了解数形结合的数学思想．
7．(1)﹣9
(2)-43
【分析】（1）估算出的范围，可得到的整数部分，进而得到的小数部分；
（2）估算出的范围，可得到的整数部分，进而得到的小数部分，从而得到a，b的值，再求代数式的值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是9，
∴的小数部分﹣9，
故答案为：﹣9；
（2）解：∵，
∴4＜＜5，
∴的整数部分是4，小数部分是﹣4，
∴a＝4，b＝﹣4，
∴原式＝（﹣4）3+（-4+4）2
＝﹣64+21
＝﹣43．
∴代数式的值为．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，代数式求值，无理数估算知识．解题的关键在与正确的计算求值．
8．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）直接化简二次根式进而比较得出答案；
（2）直接估算无理数的取值范围进而比较即可；
（3）直接估算无理数的取值范围进而比较即可．
【详解】解：（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴；
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了实数比较大小，正确估算无理数取值范围是解题关键．
9．（1）5，﹣5；（2）3﹣2
【分析】（1）估算的近似值，即可得出的整数部分和小数部分；
（2）求出a、b的值，再代入计算即可．
【详解】（1）∵＜＜，
∴5＜＜6，
∴的整数部分为5，小数部分为﹣5，
故答案为：5，﹣5；
（2）∵2＜＜3，
∴7＜5＋＜8，
∴5＋的小数部分a＝5＋﹣7＝﹣2，
∵2＜＜3，
∴﹣3＜﹣＜﹣2，
∴2＜5﹣＜3，
∴5﹣的整数部分为b＝2，
∴a＋b＝﹣2＋2＝3﹣2.
【点睛】本题考查了无理数的估算，正确估算无理数的取值范围是解题的关键．
10．（1）；（2）．
【分析】直接利用立方根的性质及平方根的性质分别化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果
【详解】（1）原式= ，
= ，
=
（2）原式= ，
= ，
=
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
11．（1）-3；（2）11
【分析】（1）根据有理数的乘方，求一数的立方根和算术平方根进行计算；
（2）根据求一数的立方根和算术平方根，化简绝对值，进行实数的混合运算．
【详解】解：（1）原式；
（2）．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，求一数的立方根和算术平方根，掌握实数的运算法则是解题的关键．
12．(1)5
(2)
【分析】对于（1），由，，，再计算即可；
对于（2），由，(-1)2022=1，，，再计算即可．
【详解】（1）原式=；
（2）原式=．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，求出各数的平方根和立方根是解题的关键．
13．(1)；
(2)，1；
(3)，（答案不唯一）
【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断；
（3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．
【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数，
继续取算术平方根，不是无理数，
继续取算术平方根得，是无理数，所以输出的y值为；
（2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；
（3）解：4的算术平方根为2，2的算术平方根是，
∴，都满足要求．
【点睛】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键．
14．（1）17；（2）6或－10；（3）6个
【分析】（1）根据程序运算图可得算式4×3+5，按运算顺序进行求解即可；
（2）设输入的数字为m，根据题意可得关于x的方程，解方程即可求得答案；
（3）根据最后输出的结果，可计算出它前面的那个数，依此类推，可将符合题意的正数求出．
【详解】（1）由题意得：4×3+5=17，
故答案为：17；
（2）设输入的数字为m，则有
（m+2）2-6=58，
解得：m=6或m=-10，
故答案为：6或--10；
（3）∵最后输出的数为1621，
∴4[(x+5)-(-2)2]-3=1621，
解得：x=405>0，
又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=405，
解得：x=101>0，
又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=101，
解得：x=25>0，
又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=25，
解得：x=6>0，
又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=6，
解得：x=>0，
又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=，
解得：x=>0，
又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=，
解得：x=<0，（不符合题意）
∴符合题意的正数最多有6个.
【点睛】本题考查了程序运算，涉及了一元一次方程，利用平方根的解方程等知识，正确审题，弄清程序运算中的运算顺序，熟练掌握相关和运算法则和解题方法是解此类问题的关键．
15．1
【分析】根据已知条件先求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出结果．
【详解】∵，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是根据新定义运算法则进行求解．
16．（1）21；（2）±4
【分析】（1）根据定义新运算即可求的值；
（2）根据定义新运算求的值，再计算平方根即可得出答案．
【详解】（1）由定义新运算得：；
（2）由定义新运算得：，
∴的平方根为．
【点睛】本题考查新定义的有理数运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键．
17．8或0
【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值．
【详解】解：∵，
∴（x2-2y-8）+（y-4）=0，
∴x2-2y-8=0，y-4=0，
解得，x=±4，y=4，
当x=4，y=4时，x+y=4+4=8，
当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0，
即x+y的值是8或0．
【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值．
18．（1）5； （2）
【分析】（1）一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为5的算术平方根；
（2）一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10，边长为10的算术平方根，在所给图形中截取两条长为的且互相垂直的线段，进而拼合即可．
【详解】（1）拼成的正方形的面积是：5，边长为：．
（2）如图所示，能，正方形的边长为．
【点睛】本题考查了图形的剪拼、勾股定理、正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键.
19．，.任何无限循环小数都可以化成分数.
【分析】设①则，②；由，得；由已知，得，所以任何无限循环小数都可以这样化成分数.
【详解】解：设①则，②
由②-①，得，即.
所以.
由已知，得，
所以.
任何无限循环小数都能化成分数.
【点睛】考核知识点：无限循环小数和有理数.模仿，理解材料是关键.
20．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）原式变形后，仿照上式得出结果即可．
【详解】解：（1）；
故答案为：；
（2）观察上面的解题过程，发现的规律为：
，
故答案为：；
（3）
．
【点睛】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
21．（1）49不是“差一数”， 74是“差一数”，理由见解析；（2）314、329、344、359、374、389
【分析】（1）直接根据“差一数”的定义计算判断即可；
（2）解法一：根据“差一数”的定义可知被5除余4的数个位数字为4或9，被3除余2的数各位数字之和被3除余2，由此可依次求得大于300且小于400的所有“差一数”；解法二：根据题意可得：所求数加1能被15整除，据此可先求出大于300且小于400的能被15整除的数，进一步即得结果．
【详解】解：（1）∵；，
∴49不是“差一数”，
∵；，
∴74是“差一数”；
（2）解法一：∵“差一数”这个数除以5余数为4，
∴“差一数”这个数的个位数字为4或9，
∴大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314、319、324、329、334、339、344、349、354、359、364、369、374、379、384、389、394、399，
∵“差一数”这个数除以3余数为2，
∴“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2，
∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．
解法二：∵“差一数”这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，
∴这个数加1能被15整除，
∵大于300且小于400的能被15整除的数为315、330、345、360、375、390，
∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．
【点睛】此题主要考查了带余数的除法运算，第（2）题的解法一是用逐步增加条件的方法依此找到满足条件的所有数；解法二是正确得出这个数加1能被15整除，明确方法是关键．
22．（1）2019不是“纯数”，2020时“纯数”，见解析；（2）13个.
【分析】（1）根据题目中的新定义可以解答本题，注意各数位都不产生进位的自然数才是“纯数”；（2）根据题意可以推出不大于100的“纯数”的个数，本题得以解决.
【详解】解：（1）当时，，
∵计算时，个位为，需要进位，
∴2019不是“纯数”；
当时，，
∴个位为，不需要进位：十位为，不需要进位：百位为，不需要进位：千位为，不需要进位：
∴2020是“纯数”；
综上所述，2019不是“纯数”，2020时“纯数”.
（2）由题意，连续的三个自然数个位不同，其他位都相同；
并且，连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位；
①当这个数为一位的自然数的时候，只能是0、1、2，共3个；
②当这个数为二位的自然数的时候，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，共9个；
③当这个数为100时，100是“纯数”；
∴不大于100的“纯数”有个.
【点睛】本题考查整式的加减、有理数的加法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定义解答.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页