专题6.8实数 基础篇 专项练习（含解析）2023-2024学年七年级数学下册人教版专项讲练
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| 名称 | 专题6.8实数 基础篇 专项练习（含解析）2023-2024学年七年级数学下册人教版专项讲练 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 374.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-30 18:49:53 | ||
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文档简介
专题6.8 实数（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．下列实数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法：①负数和0没有平方根；②所有的实数都存在立方根；③正数的绝对值等于它本身；④相反数等于本身的数有无数个．正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．在这四个数中，最小的数是（ ）
A．2 B．0 C． D．
4．如图，在数轴上，对应的点在（ ）
A．点B与点C之间 B．点C与点D之间
C．点D与点E之间 D．点E与点F之间
5．若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，．若n为整数且，则n的值为（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
7．若的整数部分为a，小数部分为b，则（ ）
A． B． C． D．
8．对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，，，若，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
9．已知 432=1849，442=1936，452=2025，462=2116…，若n为整数，且n <A．43 B．44 C．45 D．46
10．勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”即 （a为勾，为股，为弦），若“勾”为，“股”为，则“弦”最接近的整数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．的相反数是 ，
12．比较大小： 1（填“>”、“<”或“=”）
13．在比小的数中，最大的整数是 ．
14．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为 ．
15．已知实数a在数轴上的位置如图所示，计算＝ ．
16．若，则 （请写出一个符合条件的无理数）．
17．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是 ．
18．观察下列等式：；
；
；
…
根据以上规律，计算 ．
三、解答题
19．将下列各数填入相应的大括号里．
，3.14159265，，，，，0.6，0，，
正分数：{ …}；
整数：{ …}；
无理数：{ …}．
20．计算：
(1)
(2)
21．a，b均为正整数，且a＞，b＜，求a+b的最小值．
22．（1）如果是的整数部分，是的小数部分，求的平方根．
（2）当为何值时，关于的方程的解与方程的解互为相反数．
23．探究题：
(1)计算下列各式，完成填空：
＝6，＝ ，＝ ，＝
(2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：．
24．阅读下列过程，回答问题
（1）通过计算下列各式的值探究问题：
______，______，______，______．
探究：当时，______；当时，______．
（2）应用（1）中所得结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
【详解】解：在，，，中，
，，是有理数，是无理数，
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．
2．C
【分析】直接利用平方根、立方根、绝对值、相反数的性质分别分析得出答案．
【详解】①0有平方根，故错误；
②所有的实数都存在立方根，故正确；
③正数的绝对值等于它本身，故正确；
④相反数等于本身的数有1个，故错误；
故选：C.
【点睛】此题主要考查了平方根、立方根、绝对值、相反数等定义，正确掌握相关定义是解题关键．
3．C
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数即可求解．
【详解】解：由题可知，
∴最小的数是
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握正实数都大于0，负实数都小于0是解题的关键．
4．C
【分析】先估算的大小，进而根据数轴即可求解．
【详解】解：∵
∴对应的点在1与2之间，即点D与点E之间，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数与数轴，正确的估算的大小是解题的关键．
5．D
【分析】对不等式进行适当的放缩，即可得到答案．
【详解】解：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的估算，对不等式进行适当放缩是解题的关键．
6．D
【分析】根据算术平方根的定义，估算无理数的大小即可．
【详解】解：∵，，且，
∴，
∵n为整数且，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
7．C
【分析】先估算出的范围，再求出、的值，最后代入求出即可．
【详解】解：，
，，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是能估算出的范围．
8．B
【分析】先根据表示不大于的最大整数，列出不等式组，再求出不等式组的解集即可判断．
【详解】解：根据题意得：
，
解得：，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，关键是理解表示不大于的最大整数，列出不等式组，求出不等式组的解集．
9．C
【分析】根据已知估算出的值即可解答．
【详解】解：∵452=2025，462=2116，
∴2025＜2048＜2116，
∴45＜＜46，
∵n为整数，且n <∴n=45；
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握平方数是解题的关键．
10．D
【分析】首先利用勾股定理求出“弦”，然后利用算术平方根的性质估计其最接近的整数．
【详解】解：依题意“弦”为，
而，
“弦”最接近的整数是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用勾股定理进行计算，同时也利用了算术平方根的性质估计无理数的大小．
11．
【分析】根据相反数的定义及去绝对值符合号法则，即可求得．
【详解】解：的相反数是，
，
，
，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了相反数的定义及去绝对值符合号法则，掌握和灵活运用相反数的定义及去绝对值符合号法则是解决本题的关键．
12．
【分析】先求出，然后利用作差法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知作差法比较大小的方法是解题的关键．
13．1
【分析】估算出的范围即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴在比小的数中，最大的整数是：1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
14．
【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可求解．
【详解】解：如图：
由图可知：，
∵数轴上点A所表示的数为a，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能读懂图是解此题的关键．
15．##
【分析】先根据数轴判断出与的符号，再化简绝对值即可求解．
【详解】解：由数轴可得：，
则，，
原式＝
，
故答案为：.
【点睛】本题考查了实数与数轴，根据数轴进行绝对值化简，解题关键是能利用数轴判断出式子的正负．
16．（答案不唯一）
【分析】根据绝对值的性质可得a-2≤0，据此可得a的取值范围，再根据无理数的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴a-2≤0，
，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了无理数以及估算无理数的大小，解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
17．
【分析】根据已知判断每一步输出结果即可得到答案．
【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，取3的平方根，是无理数，输出为y，
∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．
18．
【分析】根据已知等式，归纳总结得到拆项规律，根据规律展开，最后合并，即可求出答案．
【详解】解：∵
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字的规律，解此题的关键是能根据已知条件得出规律．
19．；；．
【分析】由正分数，整数，无理数的含义逐一判断各数，再填入各自的集合中即可得到答案．
【详解】解：正分数：{ …}；
整数：{ …}；
无理数：{ …}．
【点睛】本题考查的是实数的分类，掌握实数中的正分数，整数与无理数的含义是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式，三次根式的性质化简，再根据实数的混合运算即可求解；
（2）根据乘方运算，绝对值性质，二次根式的性质，三次根式的性质化简，再根据实数的运算即可求解．
【详解】（1）解：
，
故答案为：．
（2）解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式，三次根式的性质，绝对值的性质，幂的运算，实数的混合运算，掌握二次根式，三次根式的性质，实数的混合运算是解题的关键．
21．4
【分析】先估算出与的大小，然后确定出a、b的值，最后求得a+b的最小值即可．
【详解】解：解：∵4＜＜9，
∴2＜＜3．
∵1＜2＜8，
∴1＜＜2．
∵a、b均为正整数，
∴a的最小值为3，b只能是1，
所以当a=3，b=1时，a+b有最小值，最小值=3+1=4．
【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，利用夹逼法估算出与的大小是解题的关键．
22．（1）±3；（2）m=-4
【分析】（1）估算，得到的范围，从而确定x、y的值，再代入计算即可．
（2）首先解得第二个方程的解，然后根据相反数的定义得到第一个方程的解，再代入求出m的值即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴x=6，y=，
∴=9，
∴的的平方根为±3；
（2），
解得：x=-9，
∴的解为x=9，代入，
得，
解得：m=-4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，无理数的估算、平方根的意义，以及解一元一次方程，解题的关键是得到方程的解．
23．(1)6，，
(2)（a≥0，b≥0），
【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算；
（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根，根据此规律得到，然后约分后根据算术平方根定义计算．
【详解】（1），，；
故答案为：6，，；
（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.用字母表示为：（a≥0，b≥0）．
故答案为： （a≥0，b≥0），
【点睛】本题考查了实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
24．（1）2；0；；3：a；；（2）应用：．
【分析】（1）分别计算各式的值，并归纳出探究结果；
（2）先利用（1）式的探究结果化简二次根式，再根据字母a、b在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简，合并后即可得出结果．
【详解】解：（1）2，0，，3．
探究：当时， a；当时，-a
故答案为：2；0；；3：a；；
（2）观察数轴可知： 2＜a＜ 1，0＜b＜1，a＋b＜0．
＝|a|+|b|＋|a＋b|＝ a+b-a b＝ 2a．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的计算以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．下列实数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法：①负数和0没有平方根；②所有的实数都存在立方根；③正数的绝对值等于它本身；④相反数等于本身的数有无数个．正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．在这四个数中，最小的数是（ ）
A．2 B．0 C． D．
4．如图，在数轴上，对应的点在（ ）
A．点B与点C之间 B．点C与点D之间
C．点D与点E之间 D．点E与点F之间
5．若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，．若n为整数且，则n的值为（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
7．若的整数部分为a，小数部分为b，则（ ）
A． B． C． D．
8．对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，，，若，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
9．已知 432=1849，442=1936，452=2025，462=2116…，若n为整数，且n <
10．勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”即 （a为勾，为股，为弦），若“勾”为，“股”为，则“弦”最接近的整数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．的相反数是 ，
12．比较大小： 1（填“>”、“<”或“=”）
13．在比小的数中，最大的整数是 ．
14．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为 ．
15．已知实数a在数轴上的位置如图所示，计算＝ ．
16．若，则 （请写出一个符合条件的无理数）．
17．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是 ．
18．观察下列等式：；
；
；
…
根据以上规律，计算 ．
三、解答题
19．将下列各数填入相应的大括号里．
，3.14159265，，，，，0.6，0，，
正分数：{ …}；
整数：{ …}；
无理数：{ …}．
20．计算：
(1)
(2)
21．a，b均为正整数，且a＞，b＜，求a+b的最小值．
22．（1）如果是的整数部分，是的小数部分，求的平方根．
（2）当为何值时，关于的方程的解与方程的解互为相反数．
23．探究题：
(1)计算下列各式，完成填空：
＝6，＝ ，＝ ，＝
(2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：．
24．阅读下列过程，回答问题
（1）通过计算下列各式的值探究问题：
______，______，______，______．
探究：当时，______；当时，______．
（2）应用（1）中所得结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
【详解】解：在，，，中，
，，是有理数，是无理数，
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．
2．C
【分析】直接利用平方根、立方根、绝对值、相反数的性质分别分析得出答案．
【详解】①0有平方根，故错误；
②所有的实数都存在立方根，故正确；
③正数的绝对值等于它本身，故正确；
④相反数等于本身的数有1个，故错误；
故选：C.
【点睛】此题主要考查了平方根、立方根、绝对值、相反数等定义，正确掌握相关定义是解题关键．
3．C
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数即可求解．
【详解】解：由题可知，
∴最小的数是
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握正实数都大于0，负实数都小于0是解题的关键．
4．C
【分析】先估算的大小，进而根据数轴即可求解．
【详解】解：∵
∴对应的点在1与2之间，即点D与点E之间，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数与数轴，正确的估算的大小是解题的关键．
5．D
【分析】对不等式进行适当的放缩，即可得到答案．
【详解】解：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的估算，对不等式进行适当放缩是解题的关键．
6．D
【分析】根据算术平方根的定义，估算无理数的大小即可．
【详解】解：∵，，且，
∴，
∵n为整数且，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
7．C
【分析】先估算出的范围，再求出、的值，最后代入求出即可．
【详解】解：，
，，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是能估算出的范围．
8．B
【分析】先根据表示不大于的最大整数，列出不等式组，再求出不等式组的解集即可判断．
【详解】解：根据题意得：
，
解得：，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，关键是理解表示不大于的最大整数，列出不等式组，求出不等式组的解集．
9．C
【分析】根据已知估算出的值即可解答．
【详解】解：∵452=2025，462=2116，
∴2025＜2048＜2116，
∴45＜＜46，
∵n为整数，且n <
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握平方数是解题的关键．
10．D
【分析】首先利用勾股定理求出“弦”，然后利用算术平方根的性质估计其最接近的整数．
【详解】解：依题意“弦”为，
而，
“弦”最接近的整数是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用勾股定理进行计算，同时也利用了算术平方根的性质估计无理数的大小．
11．
【分析】根据相反数的定义及去绝对值符合号法则，即可求得．
【详解】解：的相反数是，
，
，
，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了相反数的定义及去绝对值符合号法则，掌握和灵活运用相反数的定义及去绝对值符合号法则是解决本题的关键．
12．
【分析】先求出，然后利用作差法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知作差法比较大小的方法是解题的关键．
13．1
【分析】估算出的范围即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴在比小的数中，最大的整数是：1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
14．
【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可求解．
【详解】解：如图：
由图可知：，
∵数轴上点A所表示的数为a，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能读懂图是解此题的关键．
15．##
【分析】先根据数轴判断出与的符号，再化简绝对值即可求解．
【详解】解：由数轴可得：，
则，，
原式＝
，
故答案为：.
【点睛】本题考查了实数与数轴，根据数轴进行绝对值化简，解题关键是能利用数轴判断出式子的正负．
16．（答案不唯一）
【分析】根据绝对值的性质可得a-2≤0，据此可得a的取值范围，再根据无理数的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴a-2≤0，
，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了无理数以及估算无理数的大小，解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
17．
【分析】根据已知判断每一步输出结果即可得到答案．
【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，取3的平方根，是无理数，输出为y，
∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．
18．
【分析】根据已知等式，归纳总结得到拆项规律，根据规律展开，最后合并，即可求出答案．
【详解】解：∵
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字的规律，解此题的关键是能根据已知条件得出规律．
19．；；．
【分析】由正分数，整数，无理数的含义逐一判断各数，再填入各自的集合中即可得到答案．
【详解】解：正分数：{ …}；
整数：{ …}；
无理数：{ …}．
【点睛】本题考查的是实数的分类，掌握实数中的正分数，整数与无理数的含义是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式，三次根式的性质化简，再根据实数的混合运算即可求解；
（2）根据乘方运算，绝对值性质，二次根式的性质，三次根式的性质化简，再根据实数的运算即可求解．
【详解】（1）解：
，
故答案为：．
（2）解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式，三次根式的性质，绝对值的性质，幂的运算，实数的混合运算，掌握二次根式，三次根式的性质，实数的混合运算是解题的关键．
21．4
【分析】先估算出与的大小，然后确定出a、b的值，最后求得a+b的最小值即可．
【详解】解：解：∵4＜＜9，
∴2＜＜3．
∵1＜2＜8，
∴1＜＜2．
∵a、b均为正整数，
∴a的最小值为3，b只能是1，
所以当a=3，b=1时，a+b有最小值，最小值=3+1=4．
【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，利用夹逼法估算出与的大小是解题的关键．
22．（1）±3；（2）m=-4
【分析】（1）估算，得到的范围，从而确定x、y的值，再代入计算即可．
（2）首先解得第二个方程的解，然后根据相反数的定义得到第一个方程的解，再代入求出m的值即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴x=6，y=，
∴=9，
∴的的平方根为±3；
（2），
解得：x=-9，
∴的解为x=9，代入，
得，
解得：m=-4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，无理数的估算、平方根的意义，以及解一元一次方程，解题的关键是得到方程的解．
23．(1)6，，
(2)（a≥0，b≥0），
【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算；
（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根，根据此规律得到，然后约分后根据算术平方根定义计算．
【详解】（1），，；
故答案为：6，，；
（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.用字母表示为：（a≥0，b≥0）．
故答案为： （a≥0，b≥0），
【点睛】本题考查了实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
24．（1）2；0；；3：a；；（2）应用：．
【分析】（1）分别计算各式的值，并归纳出探究结果；
（2）先利用（1）式的探究结果化简二次根式，再根据字母a、b在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简，合并后即可得出结果．
【详解】解：（1）2，0，，3．
探究：当时， a；当时，-a
故答案为：2；0；；3：a；；
（2）观察数轴可知： 2＜a＜ 1，0＜b＜1，a＋b＜0．
＝|a|+|b|＋|a＋b|＝ a+b-a b＝ 2a．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的计算以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力．
答案第1页，共2页
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