专题6.9实数 巩固篇 专项练习（含解析）2023-2024学年七年级数学下册人教版专项讲练

专题6.9 实数（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．是无理数 B．是有理数 C．是无理数 D．是有理数
2．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．-3与 B．和 C．与 D．3和
3．如图，若数轴上的点，，，表示数，，，，则表示数的点应在（ ）
A．，之间 B．，之间 C．，之间 D．，之间
4．如图，被阴影覆盖的数可能是（ ）
A． B． C． D．
5．下列实数中，最小的正数是（　　）
A．10－3 B．3－10 C．51－10 D．18－5
6．已知，两个实数在数轴上位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．如图是一个的方阵，其中每行，每列的两数和相等，则可以是（　　）
A． B． C．0 D．
8．如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点是C，设C点表示的数为x，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
9．有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是（ ）
A． B． C． D．
10．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①，卡片的长为，宽为）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为4）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．3－的相反数是 ．
12．已知，则的倒数是 ．
13．比较大小： ．（填“>”“<”“=”）
14．如图，长方形OABC放在数轴上，，，以A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于P点，则P点表示的数为 ．
15．已知a，b，c都是实数，且满足，且，则代数式值的是 ．
16．给出下列程序：若输入的值为1时，输出值为1；若输入的值为时，输出值为；则当输入的值为8时，输出值为 ．
17．取整函数就是f(x)=[x]，也被称为高斯函数，记号[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]=2，[﹣4.7]=﹣5，若S=1＋，则[S]= ．
18．将按下列方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则（20，9）表示的数的相反数是
三、解答题
19．把，，，表示在数轴上（无理数近似表示在数轴上），并比较它们的大小，用“＜”号连接．
20．把下列各数写入相应的括号中：、、0.618、、、0、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）．
(1)无理数：{ ……}；
(2)整数：{ ……}；
21．化简求值：
(1)已知a是的整数部分，，求的平方根．
(2)已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
22．计算下列各题
(1)
(2)
23．数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：
问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值．
解：由题意得，
∵a，b都是有理数，
∴也是有理数，
∵是无理数，
∴，
∴，
∴
解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值．
24．下面是小明探索的近似值的过程：
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知．因此可设，画出如下示意图．
由图中面积计算，
另一方面由题意知
所以
略去，得方程．
解得．即．
(1)仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
(2)结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若，且，请估算___________．（用a、b的代数式表示）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据有理数和无理数的定义，逐一判定即可，有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数．
【详解】A. 是有理数，故A选项说法错误；
B. 是无理数，故B选项说法错误；
C. 是无理数，故C选项说法正确；
D. 是无理数，故D选项说法错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数和无理数，解决问题的关键是熟练掌握有理数和无理数的定义．
2．C
【分析】先依据相反数和绝对值的定义化简各数，然后再依据相反数的定义进行判断即可．
【详解】解：A、-3的相反数是3，故A不符合题意
B、|-3|=3，3的相反数是-3，故B不符合题意；
C、=，的相反数是，故C符合题意；
D、=3，3的相反数是-3，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查相反数定义，即相加为0的两个数互为相反数，要注意细心运算每个选项．
3．D
【分析】先估算出的值，再确定出其位置即可．
【详解】解：∵，
，
∴，
∴，
即，
表示数的点应在，之间．
故选：D．
【点睛】本题考查的是实数与数轴．熟知实数与数轴上各点是一一对应关系，能够正确估算出的值是解答此题的关键．
4．B
【分析】根据图中阴影部分可知，这个无理数在1到3之间，结合选项进行计算即可．
【详解】解：∵ ＜ 1
∴A不符合要求
∵22＜＜32
∴2＜＜3，故B符合要求
∵＞32，＞32
∴C和D不符合要求
∴被阴影覆盖的可能是．
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，根据平方根的定义，对选项中的无理数进行正确的估算是解决本题的关键．
5．C
【分析】根据，，分别计算各选项，然后判断即可．
【详解】解：∵，，
∴A．，
B．，
C．，
D．,
综上所述，最小的正数是0.01，
故选：C．
【点睛】本题考查的是实数的估算与运算，熟悉各数的估算值是解答此题的关键．
6．D
【分析】根据点在数轴的位置判断式子的正负，然后化简．
【详解】根据图示可知：
∴
∴
故选：D．
【点睛】此题的考查了数轴，绝对值的性质，合并同类项法则，解题的关键是根据点在数轴的位置判断式子的正负．
7．D
【分析】求出=，根据每行、每列的两数和相等可求出a的值，再根据各个选项的结果进行判断即可．
【详解】解：由题意可得：，
则，
解得：，
而
故选：D．
【点睛】本题考查立方根、绝对值以及有理数的加法，理解立方根、绝对值的意义，掌握有理数加法的计算方法是正确解答的关键．
8．D
【分析】首先根据数轴上表示1，的对应点分别为A，B可以求出线段AB的长度，然后由AB＝AC利用两点间的距离公式便可解答．
【详解】解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A，B，
∴AB＝ 1，
∵点B关于点A的对称点为C，
∴AC＝AB．
∴点C的坐标为：1 （ 1）＝2 ，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了实数与数轴上两点间的距离，求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离，掌握利用数轴上的两点数求解两点间的距离是解题的关键．
9．D
【分析】将这列数据改写成：，，，，，…，按照三步确定结果：一确定符号，二确定分子，三确定分母即可．
【详解】解：，，，，，…可写出：
，，，，，…，
∴第10个数为，
故选：D．
【点睛】本题考查数字类变化规律，解题的关键是把已知的一列数变形，找到变化规律．
10．B
【分析】分别求出较大阴影的周长和较小阴影的周长，再相加整理，即得出答案．
【详解】较大阴影的周长为：，
较小阴影的周长为：，
两块阴影部分的周长和为：= ，
故两块阴影部分的周长和为16．
故选B．
【点睛】本题考查了图形周长，整式加减的应用，利用数形结合的思想求出较大阴影的周长和较小阴影的周长是解题的关键．
11．-3
【分析】先判断出 是负数，再根据绝对值的性质解答．
【详解】，
.
故答案为.
【点睛】本题考查了实数的性质，主要利用了绝对值的性质，判断出是负数是解题的关键．
12．
【分析】根据倒数的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴a的倒数是．
故答案为：．
【点睛】主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．要求掌握并熟练运用．
13．
【分析】利用两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可求解．
【详解】解：∵，，且，
∴，
即，
故答案为：
【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟记两个负实数比较大小的方法是解题的关键．
14．
【分析】利用勾股定理列式求出AC，然后根据数轴写出点P所表示的数即可．
【详解】解：∵长方形OABC的长OA为2，宽OC为1，
∴由勾股定理得，，
∴，
∵点A表示的数是2，
∴点P表示的数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，主要是无理数在数轴上的表示，熟记定理是解题的关键．
15．13
【分析】根据得到，代入得到，从而得到，代入计算即可．
【详解】因为，
解得，
代入得到，
所以，
所以．
故答案为：13．
【点睛】本题考查了实数的非负性，求代数式的值，熟练掌握实数的非负性，灵活运用整体思想求代数式的值是解题的关键．
16．3
【分析】设输出的值为y，根据程序可得计算法则：，根据待定系数法确定k，b的值，再将8代入即可．
【详解】解：设输出的值为，根据图示可得计算法则为，
若输入的值为1时，输出值为1；若输入的值为时，输出值为，
，解得，
，
当时，，
故答案为：3．
【点睛】本题以程序为背景考查了求代数式的值，关键是弄清楚图示给出的计算程序．
17．1
【分析】先计算S=1＋=1+=1+=，再根据新定义求值即可．
【详解】解：S=1+
=1+
=1+
=，
∴[S]=[]=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查新定义，数式规律，实数的运算，找出数式规律，求得S的值是解题的关键．
18．
【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．
【详解】（20，9）表示第20排从左向右第9个数是从头开始的第1+2+3+4+…+19+9=199个数，
∵，即1，，，中第三个数 ：，
∴的相反数为
故答案为．
【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目找准变化是关键．
19．数轴见解析，．
【分析】利用绝对值和无理数的近似值化简再用数轴上的点表示各数，利用数轴上的数右边的总比左边的大用“＜”号将个连接即可．
【详解】解：∵，
∴将各数在数轴上表示出来如下：
将各数用“＜”号连接如下：
．
【点睛】本题主要考查了数轴，绝对值，实数大小的比较，利用数轴上的数右边的总比左边的大解答是解题的关键．
20．(1)、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）
(2)、0、
【分析】（1）根据无理数的定义确定，无理数是无限不循环小数；
（2）根据整数的定义确定即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴无理数：｛、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）……｝；
（2）整数：｛、0、……｝．
【点睛】本题主要考查了实数的相关概念，解决问题的关键是熟练掌握无理数、整数定义以及常见形式．
21．(1)
(2)
【分析】（1）先估算出的取值范围，求出a的值；由于，根据算术平方根的定义可求b，再代入计算，进一步求平方根即可．
（2）利用数轴得出各项符号，进而利用二次根式和绝对值的性质化简．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的平方根是；
（2）由数轴可得：，
则，
则
．
【点睛】本题考查了算术平方根与平方根的定义，以及估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）先化简二次根式和绝对值，再合并同类二次根式，即可得到答案；
（2）先根据立方根，二次根式，负整数指数幂和零指数幂进行化简，再进行乘法运算，最后合并同类项，即可得到答案．
【详解】（1）解：
=
=
=
（2）解：
=
=
=
【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
23．8或0
【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值．
【详解】解：∵，
∴（x2-2y-8）+（y-4）=0，
∴x2-2y-8=0，y-4=0，
解得，x=±4，y=4，
当x=4，y=4时，x+y=4+4=8，
当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0，
即x+y的值是8或0．
【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值．
24．(1)2.25，见解析
(2)
【分析】（1）参照题目的过程解题即可．
（2）把条件的过程中的数字换成对应的字母解题即可．
【详解】（1）解：面积是5的正方形的边长是，
设，如图，面积为5的正方形分成2个小正方形和2个矩形，
∵，
而，
∴，
略去，得方程，解得，
即．
（2）解：设，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查用几何方法求无理数的近似值，能够读懂题意是解题关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页