专题6.10实数 全章复习与巩固 知识讲解（含解析）2023-2024学年七年级数学下册人教版专项讲练
文档属性
| 名称 | 专题6.10实数 全章复习与巩固 知识讲解（含解析）2023-2024学年七年级数学下册人教版专项讲练 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 519.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-30 18:49:04 | ||
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文档简介
专题6.10 实数（全章复习与巩固）（知识讲解）
【学习目标】
1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根．
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根．
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化．
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围．
【要点梳理】
要点一：平方根和立方根
类型项目 平方根 立方根
被开方数 非负数 任意实数
符号表示
性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；
重要结论
要点二：实数
有理数和无理数统称为实数
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
（4）实数和数轴上点是一一对应的．
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应．
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即()，非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0．
4.实数的运算：
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立，实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里．
5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立
法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法．
【典型例题】
类型一、实数 平方根 立方根
1．（1）计算：．
（2）求的值：．
举一反三：
【变式1】
2．求下列各式中的．
(1)；
(2)．
【变式2】
3．“”就是一个著名的数学“诡辩”，有人用下述方法“说明”这一结果是“正确”的．
因为，
所以，
，
，，所以．
“2＝3”这个结果显然是不正确的，但问题出现在哪里呢？请你找一找，并与同学交流．
4．已知的平方根是，的立方根是2．
(1)求a，b的值；
(2)求的算术平方根．
举一反三：
【变式1】
5．已知的算术平方根为3，的一个平方根为，求的立方根．
【变式2】
6．已知某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，求
(1)该正数是多少？
(2)的算术平方根．
类型二、实数 性质 相关概念 化简
7．把下列各数填入相应的集合中：
－3.1415926，0，，，，，，1.414，，（每两个2之间依次多一个1）
（1）有理数集合：{ }；
（2）无理数集合：{ }；
（3）负实数集合：{ }．
举一反三：
【变式1】
8．一组实数按如下规律排列：，___，_____．
(1)两条横线上的实数分别____；
(2)第11、12个实数分别是_____．
【变式2】
9．已知：a，b均为有理数，且满足．化简．
10．如图，已知BC⊥OA，BC＝3，点A在数轴上，OA＝OB．
(1)求出数轴上点A所表示的数；
(2)比较点A所表示的数与﹣3.5的大小．
举一反三：
【变式1】
11．实数的整数部分是x，小数部分是y．
(1)求x与y的值；
(2)求的值．
【变式2】
12．观察下列等式，并回答问题：
①；
②；
③；
④；
……
(1)请写出第⑤个等式：______，化简：______；
(2)写出你猜想的第n个等式：______；（用含n的式子表示）
(3)比较与1的大小．
类型四、实数 实数的混合运算 运算 化简
13．实数的计算：
(1)；
(2)．
举一反三：
【变式1】
14．计算下列各题
(1)
(2)
【变式2】
15．已知的整数部分为a，的小数部分为b，
(1)求的值；
(2)求的值．
16．计算：
(1)
(2)
举一反三：
【变式1】
17．计算
(1)
(2)
【变式2】
18．计算
(1)
(2)已知，求的值．
类型五、实数 实数的运算 应用
19．已知，其中是整数，，求的值．
举一反三：
【变式1】
20．若整数的两个平方根为，，为的整数部分．
(1)由题意得， ， ， ．
(2)求的平方根；
(3)现规定一种新运算※，满足※，求※的值．
【变式2】
21．探究题：
(1)计算下列各式，完成填空：
＝6，＝ ，＝ ，＝
(2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）；（2）或
【分析】（1）根据算术平方根，立方根，化简绝对值进行计算即可求解；
（2）根据平方根的定义解方程即可求解．
【详解】解：（1）；
；
（2）开平方得，
解得或．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根，根据平方根的定义解方程，正确的计算是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．
2．(1)
(2)
【分析】（1）利用求平方根的方法解方程即可；
（2）利用求立方根的方法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
解得；
（2）解；∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键．
3．错在由得这一步
【分析】由可得出，但不能得出，所以错在由得这一步．
【详解】解：错在由得这一步，
显然，，
所以．
【点睛】此题主要考查了利用平方根、平方运算法则解决阅读题目的问题，特别注意可得出，但不能得出，这是学生开平方时常犯的错误．
4．(1)，；
(2)的算术平方根为．
【分析】（1）由平方根的定义和列方程的定义可求得，，从而可求得a、b的值；
（2）把a、b的值代入求得代数式的值，最后再求其算术平方根即可．
【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是2，
∴，，
解得：，；
（2）解：∵，，
∴，
∴的算术平方根为．
【点睛】本题主要考查的是平方根、算术平方根和立方根的定义，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
5．的立方根为2
【分析】分别根据的算术平方根为3，的一个平方根为，求出的值，再求出的值，最后求出其立方根即可．
【详解】解：的算术平方根为3，
，即，
的一个平方根为，
，即，
，
的立方根为．
故答案为：的立方根为2．
【点睛】本题考查了立方根、平方根、算术平方根的定义，根据题意求出的值是解题的关键．
6．(1)49
(2)4
【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，求出的值，进而求出这个正数即可；
（1）先求出，代入代数式求出，再求出算术平方根即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，解得：；
∴；
∴该正数是：49；
（2）解：∵b的立方根是，
∴；
∴，
∴．
【点睛】本题考查平方根的性质，以及算术平方根和立方根的定义．熟练掌握正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．
7．（1）；（2）（每两个2之间依次多一个1）；（3）（每两个2之间依次多一个1）
【分析】实数包括有理数和无理数，根据概念逐一进行填空即可．
【详解】解：有理数集合：；
无理数集合：{（每两个2之间依次多一个1）}；
负实数集合：{（每两个2之间依次多一个1）}；
故答案为：； （每两个2之间依次多一个1）；（每两个2之间依次多一个1）．
【点睛】本题主要考查了实数的定义，要求掌握实数的范围以及分类方法．
8．(1)；
(2)；
【分析】（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，据此即可求解；
（2）按照（1）中的方法即可求解．
【详解】（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，
∴横线上的实数，的系数为5+8=13，8+13=21，
所以横线上的实数分别为，
（2）由（1）可知第8个数为，
∴第9个数为，
第10个数为，
第11个数为，
第12个数为，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了实数的规律问题，观察数字中的系数，找到规律是解题的关键．
9．当x＜-2时，；当-2≤x≤1时，；当x＞1时，
【分析】根据已知等式可得关于a和b的方程，求出a，b的值，再代入，根据x的范围分类讨论，去绝对值化简即可．
【详解】解：，a，b均为有理数，
∴，
∴，，
∴a=-4，b=1，
∴=，
当x＜-2时，==；
当-2≤x≤1时，==；
当x＞1时，==．
【点睛】本题考查了实数的运算，化简绝对值，解题的关键是根据实数的对应形式得到a和b的值．
10．(1)
(2)点A所表示的数小于﹣3.5
【分析】（1）用勾股定理求出OB的长，进而得到 OA的长度，即可写出数轴上点A所表示的数；
（2）先计算两数的绝对值，再得到＞3.5，再根据两个负数比较大小，绝对值越大的负数反而小，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵BC⊥OA，
∴∠BCO＝90°，
∵BC＝3，OC＝2，
∴，
∵OA＝OB，
∴OA＝，
∵点A在数轴上原点O的左侧，
∴数轴上点A所表示的数是﹣．
（2）解：｜﹣｜＝，｜﹣3.5｜＝3.5，
∵，，
∴＞3.5，
∴﹣＜﹣3.5，
∴点A所表示的数小于﹣3.5．
【点睛】此题考查了勾股定理、比较实数的大小、利用数轴表示无理数等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11．(1)
(2)0
【分析】（1）先确定的取值范围，再求x、y；
（2）把x与y的值代入，化简绝对值，再加减．
【详解】（1）解：∵，即，
∴；
（2）∵，
∴
．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．
12．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，由于，可以根据规律得到结果；
（2）由前4个等式可以猜想第n个等式为；
（3）利用作差法比较大小．
【详解】（1）解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：，
，
故答案为：；．
（2）解：由前4个等式可以猜想第n个等式为，
故答案为：．
（3）解：∵，
∴．
【点睛】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
13．(1)
(2)
【分析】（1）先计算平方根和立方根，再计算加减；
（2）先计算平方根、立方根和绝对值，再计算加减；
【详解】（1）解：
（2）
．
【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
14．(1)
(2)
【分析】（1）先化简二次根式和绝对值，再合并同类二次根式，即可得到答案；
（2）先根据立方根，二次根式，负整数指数幂和零指数幂进行化简，再进行乘法运算，最后合并同类项，即可得到答案．
【详解】（1）解：
=
=
=
（2）解：
=
=
=
【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
15．(1)
(2)
【分析】（1）先估算出，进而得到，由此求出a、b的值即可得到答案；
（2）根据（1）所求进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，实数的混合计算，代数式求值，正确求出a、b的值是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式，三次根式的性质化简，再根据实数的混合运算即可求解；
（2）根据乘方运算，绝对值性质，二次根式的性质，三次根式的性质化简，再根据实数的运算即可求解．
【详解】（1）解：
，
故答案为：．
（2）解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式，三次根式的性质，绝对值的性质，幂的运算，实数的混合运算，掌握二次根式，三次根式的性质，实数的混合运算是解题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】（1）先计算乘方与开方，并去绝对值符号，再计算加减即可．
（2）先计算开方与乘方，再计算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，求绝对值，平方根和立方根，熟练掌握实数运算法则是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）先逐项化简，再算加减即可；
（2）先移项，再两边都除以8，然后根据立方根的定义求解即可．
【详解】（1）
．
（2），
，
，
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，利用立方根的定义解方程，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解答本题的关键．
19．
【详解】试题分析：可以先估算出整数部分，再计算出的值,最后作差.
试题解析：解：，
，
=．
20．(1)4，36，3
(2)的平方根为
(3)※的值为12
【分析】（1）根据平方根的概念列出方程求出a和m的值，根据无理数估算的方法求出b的值；
（2）将m和a的值代入求解即可；
（3）根据新定义的运算法则求解即可．
【详解】（1）由题意得：
，
，
，
，
，
的整数部分为3，
，
，，，
故答案为：4，36，3；
（2）当，时，
，
的平方根为；
（3）当时，※
，
※的值为12．
【点睛】本题主要考查立方根、平方根及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．
21．(1)6，，
(2)（a≥0，b≥0），
【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算；
（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根，根据此规律得到，然后约分后根据算术平方根定义计算．
【详解】（1），，；
故答案为：6，，；
（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.用字母表示为：（a≥0，b≥0）．
故答案为： （a≥0，b≥0），
【点睛】本题考查了实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
【学习目标】
1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根．
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根．
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化．
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围．
【要点梳理】
要点一：平方根和立方根
类型项目 平方根 立方根
被开方数 非负数 任意实数
符号表示
性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；
重要结论
要点二：实数
有理数和无理数统称为实数
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
（4）实数和数轴上点是一一对应的．
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应．
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即()，非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0．
4.实数的运算：
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立，实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里．
5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立
法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法．
【典型例题】
类型一、实数 平方根 立方根
1．（1）计算：．
（2）求的值：．
举一反三：
【变式1】
2．求下列各式中的．
(1)；
(2)．
【变式2】
3．“”就是一个著名的数学“诡辩”，有人用下述方法“说明”这一结果是“正确”的．
因为，
所以，
，
，，所以．
“2＝3”这个结果显然是不正确的，但问题出现在哪里呢？请你找一找，并与同学交流．
4．已知的平方根是，的立方根是2．
(1)求a，b的值；
(2)求的算术平方根．
举一反三：
【变式1】
5．已知的算术平方根为3，的一个平方根为，求的立方根．
【变式2】
6．已知某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，求
(1)该正数是多少？
(2)的算术平方根．
类型二、实数 性质 相关概念 化简
7．把下列各数填入相应的集合中：
－3.1415926，0，，，，，，1.414，，（每两个2之间依次多一个1）
（1）有理数集合：{ }；
（2）无理数集合：{ }；
（3）负实数集合：{ }．
举一反三：
【变式1】
8．一组实数按如下规律排列：，___，_____．
(1)两条横线上的实数分别____；
(2)第11、12个实数分别是_____．
【变式2】
9．已知：a，b均为有理数，且满足．化简．
10．如图，已知BC⊥OA，BC＝3，点A在数轴上，OA＝OB．
(1)求出数轴上点A所表示的数；
(2)比较点A所表示的数与﹣3.5的大小．
举一反三：
【变式1】
11．实数的整数部分是x，小数部分是y．
(1)求x与y的值；
(2)求的值．
【变式2】
12．观察下列等式，并回答问题：
①；
②；
③；
④；
……
(1)请写出第⑤个等式：______，化简：______；
(2)写出你猜想的第n个等式：______；（用含n的式子表示）
(3)比较与1的大小．
类型四、实数 实数的混合运算 运算 化简
13．实数的计算：
(1)；
(2)．
举一反三：
【变式1】
14．计算下列各题
(1)
(2)
【变式2】
15．已知的整数部分为a，的小数部分为b，
(1)求的值；
(2)求的值．
16．计算：
(1)
(2)
举一反三：
【变式1】
17．计算
(1)
(2)
【变式2】
18．计算
(1)
(2)已知，求的值．
类型五、实数 实数的运算 应用
19．已知，其中是整数，，求的值．
举一反三：
【变式1】
20．若整数的两个平方根为，，为的整数部分．
(1)由题意得， ， ， ．
(2)求的平方根；
(3)现规定一种新运算※，满足※，求※的值．
【变式2】
21．探究题：
(1)计算下列各式，完成填空：
＝6，＝ ，＝ ，＝
(2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）；（2）或
【分析】（1）根据算术平方根，立方根，化简绝对值进行计算即可求解；
（2）根据平方根的定义解方程即可求解．
【详解】解：（1）；
；
（2）开平方得，
解得或．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根，根据平方根的定义解方程，正确的计算是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．
2．(1)
(2)
【分析】（1）利用求平方根的方法解方程即可；
（2）利用求立方根的方法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
解得；
（2）解；∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键．
3．错在由得这一步
【分析】由可得出，但不能得出，所以错在由得这一步．
【详解】解：错在由得这一步，
显然，，
所以．
【点睛】此题主要考查了利用平方根、平方运算法则解决阅读题目的问题，特别注意可得出，但不能得出，这是学生开平方时常犯的错误．
4．(1)，；
(2)的算术平方根为．
【分析】（1）由平方根的定义和列方程的定义可求得，，从而可求得a、b的值；
（2）把a、b的值代入求得代数式的值，最后再求其算术平方根即可．
【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是2，
∴，，
解得：，；
（2）解：∵，，
∴，
∴的算术平方根为．
【点睛】本题主要考查的是平方根、算术平方根和立方根的定义，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
5．的立方根为2
【分析】分别根据的算术平方根为3，的一个平方根为，求出的值，再求出的值，最后求出其立方根即可．
【详解】解：的算术平方根为3，
，即，
的一个平方根为，
，即，
，
的立方根为．
故答案为：的立方根为2．
【点睛】本题考查了立方根、平方根、算术平方根的定义，根据题意求出的值是解题的关键．
6．(1)49
(2)4
【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，求出的值，进而求出这个正数即可；
（1）先求出，代入代数式求出，再求出算术平方根即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，解得：；
∴；
∴该正数是：49；
（2）解：∵b的立方根是，
∴；
∴，
∴．
【点睛】本题考查平方根的性质，以及算术平方根和立方根的定义．熟练掌握正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．
7．（1）；（2）（每两个2之间依次多一个1）；（3）（每两个2之间依次多一个1）
【分析】实数包括有理数和无理数，根据概念逐一进行填空即可．
【详解】解：有理数集合：；
无理数集合：{（每两个2之间依次多一个1）}；
负实数集合：{（每两个2之间依次多一个1）}；
故答案为：； （每两个2之间依次多一个1）；（每两个2之间依次多一个1）．
【点睛】本题主要考查了实数的定义，要求掌握实数的范围以及分类方法．
8．(1)；
(2)；
【分析】（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，据此即可求解；
（2）按照（1）中的方法即可求解．
【详解】（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，
∴横线上的实数，的系数为5+8=13，8+13=21，
所以横线上的实数分别为，
（2）由（1）可知第8个数为，
∴第9个数为，
第10个数为，
第11个数为，
第12个数为，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了实数的规律问题，观察数字中的系数，找到规律是解题的关键．
9．当x＜-2时，；当-2≤x≤1时，；当x＞1时，
【分析】根据已知等式可得关于a和b的方程，求出a，b的值，再代入，根据x的范围分类讨论，去绝对值化简即可．
【详解】解：，a，b均为有理数，
∴，
∴，，
∴a=-4，b=1，
∴=，
当x＜-2时，==；
当-2≤x≤1时，==；
当x＞1时，==．
【点睛】本题考查了实数的运算，化简绝对值，解题的关键是根据实数的对应形式得到a和b的值．
10．(1)
(2)点A所表示的数小于﹣3.5
【分析】（1）用勾股定理求出OB的长，进而得到 OA的长度，即可写出数轴上点A所表示的数；
（2）先计算两数的绝对值，再得到＞3.5，再根据两个负数比较大小，绝对值越大的负数反而小，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵BC⊥OA，
∴∠BCO＝90°，
∵BC＝3，OC＝2，
∴，
∵OA＝OB，
∴OA＝，
∵点A在数轴上原点O的左侧，
∴数轴上点A所表示的数是﹣．
（2）解：｜﹣｜＝，｜﹣3.5｜＝3.5，
∵，，
∴＞3.5，
∴﹣＜﹣3.5，
∴点A所表示的数小于﹣3.5．
【点睛】此题考查了勾股定理、比较实数的大小、利用数轴表示无理数等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11．(1)
(2)0
【分析】（1）先确定的取值范围，再求x、y；
（2）把x与y的值代入，化简绝对值，再加减．
【详解】（1）解：∵，即，
∴；
（2）∵，
∴
．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．
12．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，由于，可以根据规律得到结果；
（2）由前4个等式可以猜想第n个等式为；
（3）利用作差法比较大小．
【详解】（1）解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：，
，
故答案为：；．
（2）解：由前4个等式可以猜想第n个等式为，
故答案为：．
（3）解：∵，
∴．
【点睛】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
13．(1)
(2)
【分析】（1）先计算平方根和立方根，再计算加减；
（2）先计算平方根、立方根和绝对值，再计算加减；
【详解】（1）解：
（2）
．
【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
14．(1)
(2)
【分析】（1）先化简二次根式和绝对值，再合并同类二次根式，即可得到答案；
（2）先根据立方根，二次根式，负整数指数幂和零指数幂进行化简，再进行乘法运算，最后合并同类项，即可得到答案．
【详解】（1）解：
=
=
=
（2）解：
=
=
=
【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
15．(1)
(2)
【分析】（1）先估算出，进而得到，由此求出a、b的值即可得到答案；
（2）根据（1）所求进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，实数的混合计算，代数式求值，正确求出a、b的值是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式，三次根式的性质化简，再根据实数的混合运算即可求解；
（2）根据乘方运算，绝对值性质，二次根式的性质，三次根式的性质化简，再根据实数的运算即可求解．
【详解】（1）解：
，
故答案为：．
（2）解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式，三次根式的性质，绝对值的性质，幂的运算，实数的混合运算，掌握二次根式，三次根式的性质，实数的混合运算是解题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】（1）先计算乘方与开方，并去绝对值符号，再计算加减即可．
（2）先计算开方与乘方，再计算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，求绝对值，平方根和立方根，熟练掌握实数运算法则是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）先逐项化简，再算加减即可；
（2）先移项，再两边都除以8，然后根据立方根的定义求解即可．
【详解】（1）
．
（2），
，
，
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，利用立方根的定义解方程，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解答本题的关键．
19．
【详解】试题分析：可以先估算出整数部分，再计算出的值,最后作差.
试题解析：解：，
，
=．
20．(1)4，36，3
(2)的平方根为
(3)※的值为12
【分析】（1）根据平方根的概念列出方程求出a和m的值，根据无理数估算的方法求出b的值；
（2）将m和a的值代入求解即可；
（3）根据新定义的运算法则求解即可．
【详解】（1）由题意得：
，
，
，
，
，
的整数部分为3，
，
，，，
故答案为：4，36，3；
（2）当，时，
，
的平方根为；
（3）当时，※
，
※的值为12．
【点睛】本题主要考查立方根、平方根及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．
21．(1)6，，
(2)（a≥0，b≥0），
【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算；
（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根，根据此规律得到，然后约分后根据算术平方根定义计算．
【详解】（1），，；
故答案为：6，，；
（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.用字母表示为：（a≥0，b≥0）．
故答案为： （a≥0，b≥0），
【点睛】本题考查了实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
答案第1页，共2页
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