第二章4.2 简单幂函数的图象和性质
A级 必备知识基础练
1.函数y=3xα-2的图象过定点( )
A.(1,1) B.(-1,1)
C.(1,-1) D.(-1,-1)
2.在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.f(x)=x-1 B.f(x)=x-2
C.f(x)=x3 D.f(x)=
3.(多选题)下列说法错误的是( )
A.幂函数的图象不经过第四象限
B.y=x0的图象是一条直线
C.若函数y=的定义域为{x|x>2},则它的值域为yy<
D.若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4},则它的定义域一定是{x|-2≤x≤2}
4.当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(-∞,0)
C.(-∞,1)
D.(1,+∞)
5.幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则( )
A.-1
B.n<-1,0C.-11
D.n<-1,m>1
6.若(a+1<(3-2a,则a的取值范围是 .
7.已知幂函数f(x)=(m∈Z)的图象关于y轴对称,并且f(x)在第一象限内是单调递减函数,则m= .
8.已知函数y=(a2-3a+2)(a为常数).
(1)当a为何值时,此函数为幂函数
(2)当a为何值时,此函数为正比例函数
(3)当a为何值时,此函数为反比例函数
B级 关键能力提升练
9.(多选题)已知函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),则下列结论正确的有( )
A.函数f(x)为增函数
B.函数f(x)为偶函数
C.若x>1,则f(x)>1
D.若010.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值( )
A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
11.已知幂函数f(x)=mxn的图象过点(,2),设a=f(m),b=f(n),c=f(-2),则( )
A.cC.b12.(多选题)已知实数a,b满足等式,则下列关系式可能成立的是( )
A.0C.113.已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)xm+1为偶函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围.
C级 学科素养创新练
14.已知幂函数f(x)=x(2-k)(1+k),k∈Z,且f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
(1)求实数k的值,并写出相应的函数f(x)的解析式.
(2)若函数F(x)=2f(x)-4x+3在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围.
(3)试判断是否存在正数q,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为,若存在,求出q的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
4.2 简单幂函数的图象和性质
1.A 2.C
3.BCD 对于A,由幂函数的图象知,它不经过第四象限,所以A对;对于B,因为当x=0时,x0无意义,即在x=0无定义,所以B错;对于C,函数y=的定义域为{x|x>2},则它的值域为{y|04.C 由幂函数的图象特征知α<1.
5.B 由于y=xm在区间(0,+∞)上单调递增,且为上凸函数,故06 因为函数f(x)=的定义域为R,且为增函数,所以a+1<3-2a,解得a<
7.1 因为幂函数f(x)=(m∈Z)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)是偶函数,所以m2-2m-3为偶数.又因为f(x)在第一象限内单调递减,所以m2-2m-3<0,即-18.解(1)由题意知a2-3a+2=1,即a2-3a+1=0,
解得a=
(2)由题意知解得a=4.
(3)由题意知解得a=3.
9.ACD 因为函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),
所以α=所以f(x)=
显然f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,所以A正确;
f(x)的定义域为[0,+∞),所以f(x)不具有奇偶性,所以B不正确;
当x>1时,>1,即f(x)>1,所以C正确;
当0=()2-
=
==-<0.
即10.A 由已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f(x)=x3,当m=-1时,f(x)=x-3,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,函数f(x)单调递增,所以m=2,此时f(x)=x3.又a+b>0,ab<0,可知a,b异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f(a)+f(b)恒大于0,故选A.
11.B 幂函数f(x)=mxn的图象过点(,2),则所以幂函数的解析式为f(x)=x3,且函数f(x)单调递增.又-2<1<3,所以f(-2)12.ACD 画出函数y=与y=的图象如图所示,
设=m,作直线y=m.
从图象知,若m=0或m=1,则a=b;若01,则113.解(1)由f(x)为幂函数知2m2-6m+5=1,即m2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f(x)=x2是偶函数,符合题意;
当m=2时,f(x)=x3为奇函数,不符合题意,舍去.
故f(x)=x2.
(2)由(1)可知y=x2-2(a-1)x+1,
函数y的图象的对称轴为直线x=a-1,
由题意知函数y在区间(2,3)上为单调函数,
∴a-1≤2或a-1≥3,解得a≤3或a≥4.
∴a的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞).
14.解(1)由题意知(2-k)(1+k)>0,解得-1又k∈Z,∴k=0或k=1,分别代入原函数,得f(x)=x2.
(2)由已知得F(x)=2x2-4x+3,其图象的对称轴为直线x=1.要使函数F(x)在区间[2a,a+1]上不单调,则2a<1(3)由已知,g(x)=-qx2+(2q-1)x+1.
假设存在这样的正数q符合题意,
则函数g(x)的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为直线x==1-<1,因而,函数g(x)在区间[-1,2]上的最小值只能在x=-1或x=2处取得,
又g(2)=-1≠-4,
从而g(-1)=2-3q=-4,解得q=2.
此时,g(x)=-2x2+3x+1,其图象的对称轴为直线x=[-1,2],
∴g(x)在区间[-1,2]上的最大值为g=-2+3+1=,符合题意.
∴存在q=2,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为(共22张PPT)
第二章
4.2 简单幂函数的图象和性质
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A 级 必备知识基础练
1.函数y=3xα-2的图象过定点( )
A.(1,1) B.(-1,1)
C.(1,-1) D.(-1,-1)
A
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2.在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.f(x)=x-1 B.f(x)=x-2
C.f(x)=x3 D.
C
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3.(多选题)下列说法错误的是( )
A.幂函数的图象不经过第四象限
B.y=x0的图象是一条直线
D.若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4},则它的定义域一定是{x|-2≤x≤2}
BCD
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4.当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是
( )
A.(0,1)
B.(-∞,0)
C.(-∞,1)
D.(1,+∞)
C
解析 由幂函数的图象特征知α<1.
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5.幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则( )
A.-1B.n<-1,0C.-11
D.n<-1,m>1
B
解析 由于y=xm在区间(0,+∞)上单调递增,且为上凸函数,故01
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7.已知幂函数 (m∈Z)的图象关于y轴对称,并且f(x)在第一象限内是单调递减函数,则m= .
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解析 因为幂函数 (m∈Z)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)是偶函数,所以m2-2m-3为偶数.又因为f(x)在第一象限内单调递减,所以m2-2m-3<0,即-11
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(1)当a为何值时,此函数为幂函数
(2)当a为何值时,此函数为正比例函数
(3)当a为何值时,此函数为反比例函数
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9.(多选题)已知函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),则下列结论正确的有( )
A.函数f(x)为增函数
B.函数f(x)为偶函数
C.若x>1,则f(x)>1
ACD
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解析 因为函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),
显然f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,所以A正确;
f(x)的定义域为[0,+∞),所以f(x)不具有奇偶性,所以B不正确;
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A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断
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11.已知幂函数f(x)=mxn的图象过点 ,设a=f(m),b=f(n),c=f(-2),则
( )
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12.(多选题)已知实数a,b满足等式 ,则下列关系式可能成立的是
( )
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从图象知,若m=0或m=1,则a=b;若01,则11
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13.已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)xm+1为偶函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围.
解 (1)由f(x)为幂函数知2m2-6m+5=1,即m2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f(x)=x2是偶函数,符合题意;
当m=2时,f(x)=x3为奇函数,不符合题意,舍去.
故f(x)=x2.
(2)由(1)可知y=x2-2(a-1)x+1,
函数y的图象的对称轴为直线x=a-1,
由题意知函数y在区间(2,3)上为单调函数,
∴a-1≤2或a-1≥3,解得a≤3或a≥4.
∴a的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞).
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C 级 学科素养创新练
14.已知幂函数f(x)=x(2-k)(1+k),k∈Z,且f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
(1)求实数k的值,并写出相应的函数f(x)的解析式.
(2)若函数F(x)=2f(x)-4x+3在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围.
(3)试判断是否存在正数q,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为 ,若存在,求出q的值;若不存在,请说明理由.
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解 (1)由题意知(2-k)(1+k)>0,解得-1又k∈Z,∴k=0或k=1,分别代入原函数,得f(x)=x2.
(2)由已知得F(x)=2x2-4x+3,其图象的对称轴为直线x=1.要使函数F(x)在区间[2a,a+1]上不单调,则2a<11
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(3)由已知,g(x)=-qx2+(2q-1)x+1.
假设存在这样的正数q符合题意,
则函数g(x)的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为直线 ,因而,函数g(x)在区间[-1,2]上的最小值只能在x=-1或x=2处取得,
又g(2)=-1≠-4,
从而g(-1)=2-3q=-4,解得q=2.
此时,g(x)=-2x2+3x+1,其图象的对称轴为直线x= ∈[-1,2],(共34张PPT)
第二章
4.2 简单幂函数的图象和性质
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
课程标准 1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.
2.结合幂函数 的图象,理解它们的变化规律.
3.能利用幂函数的基本性质解决相关问题.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 幂函数的定义
一般地,形如 (α为常数)的函数,即 是自变量、
是常数的函数称为幂函数.
名师点睛
1.幂值前面的系数是1,否则不是幂函数,如函数 就不是幂函数.
2.幂函数的定义域是使xα有意义的所有x的集合,因α的不同,定义域也不同.
y=xα
底数
底数
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)函数f(x)=x2与函数f(x)=8x2都是幂函数.( )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( )
2.在函数①y= ,②y=3x2,③y=x2+2x中,是幂函数的为 .(填序号)
×
√
①
解析 函数y= =x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=xα(α为常数)的形式,所以它不是幂函数.
知识点2 幂函数的图象和性质
1.常见的五种幂函数的图象
任一幂函数在第一象限内必有图象,在第四象限内必无图象
2.幂函数的性质
幂函数 y=x y=x2 y=x3 y=x-1
定义域 R R R (-∞,0)∪(0,+∞)
值域 R R (-∞,0)∪(0,+∞)
奇偶性 奇函数
单调性 在R上是 在[0,+∞)上 ,在(-∞,0]上 在R上是 在[0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上
,
在(-∞,0)上
公共点 (1,1) [0,+∞)
[0,+∞)
[0,+∞)
奇函数
偶函数
既不是奇函数,也不是偶函数
奇函数
增函数
增函数
单调递增
单调递减
单调递减
单调递减
名师点睛
幂函数y=xα的上述性质可归纳如下:
(1)当α>0时,图象都经过点(0,0),(1,1);在第一象限内,函数单调递增.
(2)当α<0时,图象都经过点(1,1);在第一象限内,函数单调递减,图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近.
过关自诊
1.[人教A版教材习题]已知幂函数y=f(x)的图象过点(2, ),求这个函数的解析式.
2.[人教A版教材习题]根据单调性和奇偶性的定义,讨论函数f(x)=x3的单调性,并判断其奇偶性.
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)=x3在R上为增函数.
又因为f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),所以f(x)=x3为奇函数.
3.[人教A版教材习题]已知幂函数y=f(x)的图象过点(2, ),试求出此函数的解析式,并画出图象,判断奇偶性、单调性.
解
函数f(x)= 的图象如图所示,f(x)既不是奇函数也不是偶函数,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 幂函数的概念
【例1】 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递增,试确定m的值.
解 根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,
解得m=3,或m=-2.
当m=3时,f(x)=x2在区间(0,+∞)上单调递增;
当m=-2时,f(x)=x-3在区间(0,+∞)上单调递减,不符合要求.故m=3.
规律方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.
变式训练1如果幂函数 的图象不过原点,求实数m的取值.
解 由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1,或m=2;
当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;
当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.
综上所述,m=1或m=2.
探究点二 幂函数的图象
【例2】 已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为
( )
A.cB.aC.bD.cA
解析 由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0规律方法 对于函数y=xα(α为常数)而言,其图象有以下特点:
(1)恒过点(1,1).
(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越
大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).
(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或 ,y=x3)来判断.
(4)当α>0时,幂函数在区间(0,+∞)上都单调递增;当α<0时,幂函数在区间(0,+∞)上都单调递减.
变式训练2如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是( )
A.nB.mC.n>m>0
D.m>n>0
A
解析 画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,n探究点三 利用幂函数的单调性比较大小
【例3】 比较下列各组中两个数的大小:
规律方法 1.比较幂的大小的三种常用方法
2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题
比较大小的两个实数必须转化为同一个函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.
探究点四 幂函数图象的应用
【例4】 已知点( ,2)在幂函数f(x)的图象上,点 在幂函数g(x)的图象上,问当x满足什么条件时,有(1)f(x)>g(x),(2)f(x)=g(x),(3)f(x)在同一直角坐标系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示:
(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);
(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);
(3)当-1变式训练3 已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,求实数m的取值范围.
解 根据幂函数y=x1.3的图象,知当0又根据幂函数y=x0.7的图象,知
当x>1时,y>1,∴1.30.7>1.
于是有0.71.3<1.30.7.
对于幂函数y=xm,由(0.71.3)m<(1.30.7)m知,
当x>0时,随着x的增大,函数值y也增大,所以m>0.故实数m的取值范围为(0,+∞).
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)幂函数的定义;
(2)几个常见幂函数的图象;
(3)幂函数的性质.
2.方法归纳:待定系数法、数形结合法.
3.常见误区:对幂函数形式的判断易出错,只有形如y=xα(α为常数)的函数为幂函数,其他形式都不是幂函数.
成果验收·课堂达标检测
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B
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2.幂函数y=x2,y=x-1, 在第一象限内的图象依次是下图中的曲线
( )
A.C2,C1,C3,C4
B.C4,C1,C3,C2
C.C3,C2,C1,C4
D.C1,C4,C2,C3
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D
解析 幂函数图象在第一象限内直线x=1右侧的“高低”关系是“指大图高”,故幂函数y=x2在第一象限内的图象为C1,y=x-1在第一象限内的图象为C4,
y= 在第一象限内的图象为C2,y= 在第一象限内的图象为C3.
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3.幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在区间(0,+∞)上单调递减,且对定义域中的任意x,有f(-x)=f(x),则m等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6
B
解析 幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上单调递减,则3m-5<0,即m<
又m∈N,故m=0或m=1.
∵f(-x)=f(x),∴y=f(x)是偶函数.
当m=0时,f(x)=x-5是奇函数,不符合题意;
当m=1时,f(x)=x-2是偶函数,符合题意.
故m=1.
1
2
3
4
5
4.幂函数y=f(x)经过点(2,4),则f(x)是( )
A.偶函数,且在(0,+∞)上单调递增
B.偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
C.奇函数,且在(0,+∞)上单调递减
D.奇函数,且在(0,+∞)上单调递增
6
A
解析 设f(x)=xα,因为幂函数y=f(x)经过点(2,4),代入可得4=2α,所以α=2,则f(x)=x2.
定义域为R,且f(-x)=x2=f(x),
所以f(x)为偶函数,由二次函数性质可知f(x)在(0,+∞)上单调递增.故选A.
1
2
3
4
5
5.函数y=x-3在区间[2,4]上的最小值是 .
6
解析 因为函数y=x-3在(0,+∞)上单调递减,
所以当x=4时,y取得最小值4-3=
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2
3
4
5
6
6.比较下列各组中两个值的大小:
(2)0.61.3与0.71.3;
(4)0.18-0.3与0.15-0.3.
(2)∵幂函数y=x1.3在区间(0,+∞)上单调递增,且0.6<0.7,∴0.61.3<0.71.3.
(4)∵幂函数y=x-0.3在区间(0,+∞)上单调递减,且0.18>0.15,∴0.18-0.3<0.15-0.3.