(共23张PPT)
第二章
4.1 函数的奇偶性
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A 级 必备知识基础练
1.(多选题)下列函数是奇函数的有( )
BCD
解析 先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,D中函数定义域均为R,且f(-x)=-f(x),故为奇函数;选项C中函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=-f(x),也是奇函数.
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2.若奇函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,则函数f(x)在区间[1,2]上( )
A.单调递增,且有最小值f(1)
B.单调递增,且有最大值f(1)
C.单调递减,且有最小值f(2)
D.单调递减,且有最大值f(2)
C
解析 因为奇函数的图象关于原点对称,所以函数f(x)在y轴两侧单调性相同.因为f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上有最大值f(1),最小值f(2),故选C.
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3.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则f(x)的单调递减区间是 .
[0,+∞)
解析 因为函数f(x)是偶函数,所以k-1=0,即k=1,
所以f(x)=-x2+3,其单调递减区间为[0,+∞).
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4.定义在R上的偶函数f(x),对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有
则f(3),f(-2),f(1)的大小关系为 .
f(3)解析 由已知条件可知f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,所以f(3)再由偶函数的性质得f(3)1
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5.若函数 为奇函数,则f(g(-1))= .
-81
解析 当x<0时,-x>0.因为f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x)=2(-x)2-7x-4=2x2-7x-4,
所以f(x)=-2x2+7x+4.即g(x)=-2x2+7x+4,
因此,f(g(-1))=f(-5)=-50-35+4=-81.
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6.已知函数f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)= .
-26
解析 令h(x)=x5+ax3+bx,易知h(x)为奇函数.
因为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8,
所以h(-2)=f(-2)+8=18,
所以h(2)=-h(-2)=-18,
所以f(2)=h(2)-8=-18-8=-26.
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7.已知f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,f(x)的最大值为m,最小值为n,求m-n的值.
解 ∵当x<0时,f(x)=x2+3x+2,且f(x)是奇函数,∴当x>0时,-x<0,
则f(-x)=x2-3x+2,
故f(x)=-f(-x)=3x-x2-2.
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B 级 关键能力提升练
8.设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
C
解析 ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).
对于A,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),故f(x)g(x)是奇函数,故A错误;
对于B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),故|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;
对于C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,故f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;
对于D,|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,故|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.故选C.
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9.若函数f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+∞)上有最大值5,则F(x)在区间(-∞,0)上( )
A.有最小值-5 B.有最大值-5
C.有最小值-1 D.有最大值-3
C
解析 ∵函数f(x)和g(x)都是奇函数,
∴F(x)-2=af(x)+bg(x)为奇函数.
又F(x)在区间(0,+∞)上有最大值5,
∴F(x)-2在区间(0,+∞)上有最大值3,
F(x)-2在区间(-∞,0)上有最小值-3,
∴F(x)在区间(-∞,0)上有最小值-1.
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10.已知定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,-2)上单调递减,若g(x)=f(x-2)是奇函数,且g(2)=0,则不等式xf(x)≤0的解集是( )
A.(-∞,-4]∪[-2,+∞)
B.[-4,-2]∪[0,+∞)
C.(-∞,-2]∪[2,+∞)
D.(-∞,-4]∪[0,+∞)
A
解析 g(x)=f(x-2)的图象是将函数f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的,又g(x)=f(x-2)的图象关于原点对称,所以函数f(x)的图象关于点(-2,0)对称,大致图象如图所示,且f(0)=g(2)=0,f(-4)=g(-2)=-g(2)=0,f(-2)=g(0)=0,结合函数的图象,
结合图象可知x≥0或-2≤x<0或x≤-4.
故不等式xf(x)≤0的解集是(-∞,-4]∪[-2,+∞),故选A.
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11.定义在区间(-8,a)上的奇函数f(x)在区间[2,7]上单调递增,在区间[3,6]上的最大值为a,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)= .
-15
解析 根据题意,f(x)是定义在区间(-8,a)上的奇函数,则a=8.又由f(x)在区间[2,7]上单调递增,且在区间[3,6]上的最大值为a=8,最小值为-1,则f(6)=a=8,f(3)=-1.
函数f(x)是奇函数,则f(-6)=-8,f(-3)=1.
则2f(-6)+f(-3)=2×(-8)+1=-15.
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12.如果f(x)是定义域为R的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么不等式f(x+2)<5的解集是 .
(-7,3)
解析 因为f(x)为偶函数,所以f(|x+2|)=f(x+2),则f(x+2)<5可化为f(|x+2|)<5,则|x+2|2-4|x+2|<5,即(|x+2|+1)(|x+2|-5)<0,
所以|x+2|<5,解得-7所以不等式f(x+2)的解集是(-7,3).
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13.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式 的解集是
.
{x|-2解析 不等式 <0可化为f(x)g(x)<0,
由题图可知,当x>0时,其解集为(0,1)∪(2,3).
∵y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,
∴f(x)g(x)是奇函数,
∴当x<0时,f(x)g(x)<0的解集为(-2,-1).
综上,不等式 <0的解集是{x|-21
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14.已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),在y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.
(1)求出函数f(x)的解析式;
(2)求出函数f(x)的值域.
解 (1)∵f(x)的图象经过点(-2,0),
∴0=-2+b,即b=2.∴当x≤-1时,f(x)=x+2.
∵f(x)为偶函数,
∴当x≥1时,f(x)=f(-x)=-x+2.
当-1≤x≤1时,依题意设f(x)=ax2+2(a≠0),
则1=a·(-1)2+2,∴a=-1.
∴当-1≤x≤1时,f(x)=-x2+2.
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(2)当x≤-1时,f(x)=x+2∈(-∞,1];
当-1当x≥1时,f(x)=-x+2∈(-∞,1].
综上所述,f(x)的值域为(-∞,2].
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C 级 学科素养创新练
15.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)求出函数f(x)在R上的解析式;
(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2,x∈[1,2],求函数g(x)的最小值.
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解 (1)由题意知当x≥0时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,
此时函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).
又函数f(x)为偶函数,所以当x<0时,其单调递增区间为(-1,0),
所以函数f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).
(2)设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,
由已知f(x)=f(-x),
所以当x<0时,f(x)=x2+2x,
(3)由(2)可得g(x)=x2-(2a+2)x+2,x∈[1,2],
对称轴为直线x=a+1.
当a+1<1,即a<0时,函数g(x)在区间[1,2]上单调递增,故函数g(x)的最小值为g(1)=1-2a;
当1≤a+1≤2,即0≤a≤1时,函数g(x)在对称轴处取得最小值,
故函数g(x)的最小值为g(1+a)=-a2-2a+1;
当a+1>2,即a>1时,函数g(x)在区间[1,2]上单调递减,故函数g(x)的最小值为g(2)=2-4a.
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第二章
4.1 函数的奇偶性
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
课程标准 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.
2.了解奇函数、偶函数图象的特征.
3.会判断(或证明)函数的奇偶性.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 奇、偶函数的定义
函数 奇函数 偶函数
条件 一般地,设函数f(x)的定义域是A,如果对任意的x∈A,有-x∈A,且 说明集合A是关于原点对称的 f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x)
结论 称函数f(x)为奇函数 称函数f(x)为偶函数
图象特征 图象关于原点对称 图象关于y轴对称
定义域特征 奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称 注:当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称f(x)具有奇偶性.
奇偶性是函数的整体性质
名师点睛
1.判断函数的奇偶性要“二看”
(1)一看定义域.定义域A要关于原点对称,即对任意x∈A,-x∈A,定义域不关于原点对称时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
如f(x)=x2,x∈R是偶函数,但f(x)=x2,x∈[-1,2]既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)二看等式.当f(x)的定义域关于原点对称时,要看f(x)与f(-x)的关系:
①f(-x)=f(x) f(x)是偶函数;
②f(-x)=-f(x) f(x)是奇函数;
③f(-x)≠±f(x) f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;
④f(-x)=±f(x) f(x)既是奇函数,也是偶函数.
2.奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性
设非零函数f(x),g(x)的定义域分别是F,G,若F=G,则有下列结论:
f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)g(x) f[g(x)]
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
注意:上述表格中不考虑f(x)±g(x)=0.f[g(x)]中,需x∈G,g(x)∈F.
过关自诊
1.[人教A版教材习题]已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,试将下图补充完整.
解 补充后图象如图所示.
2.[人教A版教材习题]判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=2x4+3x2;(2)f(x)=x3-2x.
解 (1)函数f(x)=2x4+3x2的定义域为R,因为对定义域内的每一个x,都有
f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2=f(x),所以f(x)=2x4+3x2为偶函数.
(2)函数f(x)=x3-2x的定义域为R.因为对定义域内的每一个x,都有
f(-x)=(-x)3-2(-x)=-x3+2x=-(x3-2x)=-f(x),所以f(x)=x3-2x为奇函数.
3.[人教A版教材习题](1)从偶函数的定义出发,证明函数y=f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;
(2)从奇函数的定义出发,证明函数y=f(x)是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称.
证明 (1)充分性:若y=f(x)的图象关于y轴对称,设M(x0,f(x0))为图象上任意一点,则M关于y轴的对称点M'(-x0,f(x0))仍在该图象上,即f(-x0)=f(x0).
所以y=f(x)为偶函数.
必要性:若y=f(x)为偶函数,设M(x0,f(x0))为f(x)图象上任意一点,M关于y轴的对称点为M'(-x0,f(x0)),因为y=f(x)为偶函数,所以f(x0)=f(-x0).所以M'(-x0,f(-x0))在y=f(x)的图象上,所以y=f(x)的图象关于y轴对称.
(2)充分性:若y=f(x)的图象关于原点对称,设M(x0,f(x0))为其图象上任意一点,则M关于原点的对称点M'(-x0,-f(x0))仍在该图象上,所以f(-x0)=-f(x0),所以y=f(x)为奇函数.
必要性:若y=f(x)为奇函数,设M(x0,f(x0))为其图象上任意一点,则M关于原点的对称点为M'(-x0,-f(x0)).
因为y=f(x)为奇函数,所以-f(x0)=f(-x0),所以M'(-x0,f(-x0))在y=f(x)的图象上,所以y=f(x)的图象关于原点对称.
知识点2 函数奇偶性与单调性的关系
1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.
2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取得最值时的自变量的值互
为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上取得的最值互为相反数,取得最值时的自变量的值也互为相反数.
名师点睛
1.奇偶性与单调性都是函数的重要性质,单调性是函数的“局部”性质,是研究函数值在某一区间内的变化趋势;而奇偶性是函数的“整体”性质,是研究函数图象在整个定义域上的对称性.
2.研究函数的奇偶性与单调性对了解函数非常重要,如果一个函数是奇函数或是偶函数,根据它的图象关于坐标原点对称或关于y轴对称的性质,只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分,由函数在其中一部分上的图象和性质,即可推断出它在整个定义域内的图象和性质.而研究该函数其中一部分图象的情况,就得研究其函数值的变化,这将研究其单调性,只有把这两种性质结合在一起才能更好地了解函数的特征.
过关自诊
1.函数f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数且在[-6,0]上单调递减,则一定有( )
A.f(3)+f(4)>0 B.f(-3)-f(-2)<0
C.f(4)-f(-1)>0 D.f(-2)+f(-5)<0
C
解析 ∵f(x)在[-6,6]上为偶函数且在[-6,0]上为减函数,
∴f(-4)>f(-1),f(-3)>f(-2),
∴f(4)>f(-1),∴f(4)-f(-1)>0,f(-3)-f(-2)>0,故C正确,B错误.
又无法确定f(3),f(4),f(-2),f(-5)的正负.
故选C.
2.若奇函数f(x)在(-∞,0)上的解析式为f(x)=x(1+x),则f(x)在(0,+∞)上有( )
B
3.[人教A版教材习题]已知函数f(x)是偶函数,而且在(0,+∞)上单调递减,判断f(x)在(-∞,0)上单调递增还是单调递减,并证明你的判断.
解 f(x)在(-∞,0)上单调递增.证明如下:
任取x1-x2>0.
因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以f(-x1)因为f(x)是偶函数,
所以f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),
所以f(x1)重难探究·能力素养全提升
探究点一 判断函数的奇偶性
【例1】 判断下列函数的奇偶性:
(2)f(x)=x3-2x;
解 (1)函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)函数的定义域为R,关于原点对称,且对任意的x∈R,有
f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),故f(x)是奇函数.
函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.
又f(1)=f(-1)=0,∴f(x)既是奇函数,也是偶函数.
(4)函数的定义域关于原点对称.
当x>0时,-x<0,f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x).
当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).
∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.
规律方法 判断函数奇偶性的两种方法
1.定义法:
2.图象法:
变式训练判断下列函数的奇偶性:
(2)f(x)=|x+2|+|x-2|;
(3)f(x)=0.
解 (1)f(x)的定义域是R,且对任意的x∈R,有f(-x)= =-f(x),所以f(x)是奇函数.
(2)f(x)的定义域是R,且对任意的x∈R,有
f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),
所以f(x)是偶函数.
(3)因为f(x)的定义域为R,且对任意的x∈R,有f(-x)=0=f(x),且f(-x)=0=-f(x),
所以f(x)既是奇函数,也是偶函数.
探究点二 利用函数的奇偶性求解析式
【例2】 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1.
(1)求f(-1);
(2)求f(x)的解析式.
解 (1)因为函数f(x)为奇函数,
所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.
(2)当x<0时,-x>0,则
f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),
所以f(x)=2x2+3x-1.
当x=0时,f(-0)=-f(0),即f(0)=0.
变式探究若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.
解 当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式为
规律方法 已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式.
若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时,-x∈(a,b),f(x)=-f(-x)=-φ(-x);
若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时,-x∈(a,b),f(x)=f(-x)=φ(-x).
提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.
探究点三 函数奇偶性与单调性的综合应用
角度1比较函数值的大小
【例3】 已知偶函数f(x)的定义域为R,f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则
f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( )
A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)A
解析 ∵f(x)在R上是偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).∵f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且2<3<π,∴f(2)变式探究(1)若将本例中的“单调递增”改为“单调递减”,其他条件不变,则
f(-2),f(π),f(-3)的大小关系如何
(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,比较这三个函数值的大小.
解 (1)因为当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递减,所以有f(2)>f(3)>f(π).又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)>f(-3)>f(π).
(2)因为函数为定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上单调递增,所以函数在R上是增函数,
因为-3<-2<π,所以f(-3)规律方法 应用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.
角度2解函数不等式
【例4】 已知定义在区间[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)解 因为f(x)在区间[-2,2]上为奇函数,且在区间[0,2]上单调递减,所以f(x)在区间[-2,2]上单调递减.
变式探究若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,把区间“[0,2]”改为“[-2,0]”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
解 因为函数为区间[-2,2]上的偶函数,又函数在[-2,0]上单调递减,所以函数在[0,2]上单调递增,
不等式可化为f(|1-m|)规律方法 解有关奇函数f(x)的不等式f(a)+f(b)<0,先将f(a)+f(b)<0变形为f(a)<-f(b)=f(-b),再利用f(x)的单调性去掉“f”,化为关于a,b的不等式.另外,要特别注意函数的定义域.
由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号“f”,使不等式得解.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)函数奇偶性的概念;
(2)函数奇偶性与单调性的关系.
2.方法归纳:特殊值法、数形结合法.
3.常见误区:忽略函数的定义域的对称性,只有定义域关于原点对称,才可能具有奇偶性.
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3
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1.(多选题)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )
A.y=x2(x>0) B.y=|x+1|
C.y= D.y=3x-1
ABD
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2.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=( )
A.-1 B.-3 C.1 D.3
B
解析 当x≤0时,f(x)=2x2-x,f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3.因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(1)=-f(-1)=-3,故选B.
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4
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3.函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,有f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x)在区间
(-∞,-1]上单调递增,则( )
D
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5.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)<0,求a的取值范围.
解 ∵f(3a-10)+f(4-2a)<0,
∴f(3a-10)<-f(4-2a).
∵f(x)为奇函数,∴-f(4-2a)=f(2a-4).
∴f(3a-10)又f(x)在R上是减函数,∴3a-10>2a-4.
∴a>6.故a的取值范围为(6,+∞).第二章§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1 函数的奇偶性
A级 必备知识基础练
1.(多选题)下列函数是奇函数的有( )
A.y= B.y=-3x
C.y=x- D.y=πx3-x
2.若奇函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,则函数f(x)在区间[1,2]上( )
A.单调递增,且有最小值f(1)
B.单调递增,且有最大值f(1)
C.单调递减,且有最小值f(2)
D.单调递减,且有最大值f(2)
3.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则f(x)的单调递减区间是.
4.定义在R上的偶函数f(x),对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,则f(3),f(-2),f(1)的大小关系为 .
5.若函数f(x)=为奇函数,则f(g(-1))= .
6.已知函数f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)= .
7.已知f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,f(x)的最大值为m,最小值为n,求m-n的值.
B级 关键能力提升练
8.设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
9.若函数f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+∞)上有最大值5,则F(x)在区间(-∞,0)上( )
A.有最小值-5
B.有最大值-5
C.有最小值-1
D.有最大值-3
10.已知定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,-2)上单调递减,若g(x)=f(x-2)是奇函数,且g(2)=0,则不等式xf(x)≤0的解集是( )
A.(-∞,-4]∪[-2,+∞)
B.[-4,-2]∪[0,+∞)
C.(-∞,-2]∪[2,+∞)
D.(-∞,-4]∪[0,+∞)
11.定义在区间(-8,a)上的奇函数f(x)在区间[2,7]上单调递增,在区间[3,6]上的最大值为a,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)= .
12.如果f(x)是定义域为R的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么不等式f(x+2)<5的解集是 .
13.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式<0的解集是 .
14.已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),在y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.
(1)求出函数f(x)的解析式;
(2)求出函数f(x)的值域.
C级 学科素养创新练
15.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)求出函数f(x)在R上的解析式;
(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2,x∈[1,2],求函数g(x)的最小值.
参考答案
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1 函数的奇偶性
1.BCD 先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,D中函数定义域均为R,且f(-x)=-f(x),故为奇函数;选项C中函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=-f(x),也是奇函数.
2.C 因为奇函数的图象关于原点对称,所以函数f(x)在y轴两侧单调性相同.因为f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上有最大值f(1),最小值f(2),故选C.
3.[0,+∞) 因为函数f(x)是偶函数,所以k-1=0,即k=1,
所以f(x)=-x2+3,其单调递减区间为[0,+∞).
4.f(3)再由偶函数的性质得f(3)5.-81 当x<0时,-x>0.因为f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x)=2(-x)2-7x-4=2x2-7x-4,
所以f(x)=-2x2+7x+4.即g(x)=-2x2+7x+4,
因此,f(g(-1))=f(-5)=-50-35+4=-81.
6.-26 令h(x)=x5+ax3+bx,易知h(x)为奇函数.
因为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8,
所以h(-2)=f(-2)+8=18,
所以h(2)=-h(-2)=-18,
所以f(2)=h(2)-8=-18-8=-26.
7.解∵当x<0时,f(x)=x2+3x+2,且f(x)是奇函数,
∴当x>0时,-x<0,
则f(-x)=x2-3x+2,
故f(x)=-f(-x)=3x-x2-2.
∴当x时,f(x)单调递增;
当x时,f(x)单调递减.因此当x∈[1,3]时,f(x)max=f,f(x)min=f(3)=-2.
∴m=,n=-2,从而m-n=
8.C ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).
对于A,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),故f(x)g(x)是奇函数,故A错误;
对于B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),故|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;
对于C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,故f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;
对于D,|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,故|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.故选C.
9.C ∵函数f(x)和g(x)都是奇函数,
∴F(x)-2=af(x)+bg(x)为奇函数.
又F(x)在区间(0,+∞)上有最大值5,
∴F(x)-2在区间(0,+∞)上有最大值3,
F(x)-2在区间(-∞,0)上有最小值-3,
∴F(x)在区间(-∞,0)上有最小值-1.
10.A g(x)=f(x-2)的图象是将函数f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的,又g(x)=f(x-2)的图象关于原点对称,所以函数f(x)的图象关于点(-2,0)对称,大致图象如图所示,且f(0)=g(2)=0,f(-4)=g(-2)=-g(2)=0,f(-2)=g(0)=0,结合函数的图象,
由xf(x)≤0可知
结合图象可知x≥0或-2≤x<0或x≤-4.
故不等式xf(x)≤0的解集是(-∞,-4]∪[-2,+∞),故选A.
11.-15 根据题意,f(x)是定义在区间(-8,a)上的奇函数,则a=8.又由f(x)在区间[2,7]上单调递增,且在区间[3,6]上的最大值为a=8,最小值为-1,则f(6)=a=8,f(3)=-1.
函数f(x)是奇函数,则f(-6)=-8,f(-3)=1.
则2f(-6)+f(-3)=2×(-8)+1=-15.
12.(-7,3) 因为f(x)为偶函数,所以f(|x+2|)=f(x+2),则f(x+2)<5可化为f(|x+2|)<5,则|x+2|2-4|x+2|<5,即(|x+2|+1)(|x+2|-5)<0,
所以|x+2|<5,解得-7所以不等式f(x+2)的解集是(-7,3).
13.{x|-2由题图可知,当x>0时,其解集为(0,1)∪(2,3).
∵y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,
∴f(x)g(x)是奇函数,
∴当x<0时,f(x)g(x)<0的解集为(-2,-1).
综上,不等式<0的解集是{x|-214.解(1)∵f(x)的图象经过点(-2,0),
∴0=-2+b,即b=2.∴当x≤-1时,f(x)=x+2.
∵f(x)为偶函数,
∴当x≥1时,f(x)=f(-x)=-x+2.
当-1≤x≤1时,依题意设f(x)=ax2+2(a≠0),
则1=a·(-1)2+2,∴a=-1.
∴当-1≤x≤1时,f(x)=-x2+2.
综上,f(x)=
(2)当x≤-1时,f(x)=x+2∈(-∞,1];
当-1当x≥1时,f(x)=-x+2∈(-∞,1].
综上所述,f(x)的值域为(-∞,2].
15.解 (1)由题意知当x≥0时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,
此时函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).
又函数f(x)为偶函数,所以当x<0时,其单调递增区间为(-1,0),
所以函数f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).
(2)设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,
由已知f(x)=f(-x),
所以当x<0时,f(x)=x2+2x,
所以f(x)=
(3)由(2)可得g(x)=x2-(2a+2)x+2,x∈[1,2],
对称轴为直线x=a+1.
当a+1<1,即a<0时,函数g(x)在区间[1,2]上单调递增,故函数g(x)的最小值为g(1)=1-2a;
当1≤a+1≤2,即0≤a≤1时,函数g(x)在对称轴处取得最小值,
故函数g(x)的最小值为g(1+a)=-a2-2a+1;
当a+1>2,即a>1时,函数g(x)在区间[1,2]上单调递减,故函数g(x)的最小值为g(2)=2-4a.
综上,函数g(x)的最小值为g(x)min=
