(共17张PPT)
第三章
3.1-3.2 第2课时 习题课 指数函数及其性质的应用
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A 级 必备知识基础练
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2.若函数f(x)的定义域是[0,3],则函数g(x)= 的定义域为( )
A.[0,3] B.[-1,2]
C.[0,1)∪(1,3] D.[-1,1)∪(1,2]
D
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3.(多选题)若指数函数y=ax在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为 ,则a的值可能是( )
AB
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4.方程4x+2x+1-3=0的解是 .
x=0
解析 原方程可化为(2x)2+2×2x-3=0.设t=2x(t>0),则t2+2t-3=0,解得t=1或t=-3(舍去),即2x=1,解得x=0.
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5.若函数 的定义域是(-∞,0],则a的取值范围是 .
(0,1)
解析 由ax-1≥0,知ax≥1.又x≤0,所以0
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6.函数 的定义域是 ,值域是 .
{x|x≥2}
{y|01
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7.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,且 =2,则不等式f(2x)>2的解集为 .
(-1,+∞)
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8.已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点 ,其中a>0,且a≠1.
(1)求a的值;
(2)求函数y=f(x)+1(x≥0)的值域.
(2)由(1)得 (x≥0),所以f(x)在区间[0,+∞)上为减函数,当x=0时,函数f(x)取最大值2,于是f(x)∈(0,2],
故函数y=f(x)+1(x≥0)的值域为(1,3].
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9.设函数 若f(a)<1,则实数a的取值范围是( )
A.(-3,1)
B.(-∞,-3)∪(1,+∞)
C.(-∞,-3)
D.(1,+∞)
B 级 关键能力提升练
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11.已知不等式32x-k·3x≥-1对任意实数x恒成立,则实数k的取值范围是 .
(-∞,2]
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12.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则当x<0时,f(x)= ;
当x∈R时,不等式f(x-2)>0的解集为 .
2-x-4
{x|x<0或x>4}
解析 设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=2-x-4.
又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=2-x-4.
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13.已知函数 (x∈R),
(1)用定义证明:不论a为何实数,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;
(2)若f(x)为奇函数,求a的值;
(3)在(2)的条件下,求f(x)在区间[1,5]上的最小值.
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(1)证明 f(x)的定义域为R,任取x1,x2∈R,且x1∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴不论a为何实数,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.
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C 级 学科素养创新练
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的奇偶性;
(3)证明:f(x)>0.
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(1)解 由题意得2x-1≠0,即x≠0,∴f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
(3)证明 当x>0时,2x>1,x3>0,
由偶函数的图象关于y轴对称,知当x<0时,f(x)>0也成立.故对于
x∈(-∞,0)∪(0,+∞),恒有f(x)>0.第三章第2课时 习题课 指数函数及其性质的应用
A级 必备知识基础练
1.函数f(x)=+1在区间[-2,2]上的最小值为( )
A. B. C. D.13
2.若函数f(x)的定义域是[0,3],则函数g(x)=的定义域为( )
A.[0,3] B.[-1,2]
C.[0,1)∪(1,3] D.[-1,1)∪(1,2]
3.(多选题)若指数函数y=ax在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为,则a的值可能是( )
A.2 B. C.3 D.
4.方程4x+2x+1-3=0的解是 .
5.若函数y=的定义域是(-∞,0],则a的取值范围是 .
6.函数y=的定义域是 ,值域是 .
7.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,且f=2,则不等式f(2x)>2的解集为 .
8.已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点,其中a>0,且a≠1.
(1)求a的值;
(2)求函数y=f(x)+1(x≥0)的值域.
B级 关键能力提升练
9.设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是( )
A.(-3,1)
B.(-∞,-3)∪(1,+∞)
C.(-∞,-3)
D.(1,+∞)
10.若函数f(x)=的值域为(a,+∞),则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
11.已知不等式32x-k·3x≥-1对任意实数x恒成立,则实数k的取值范围是 .
12.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则当x<0时,f(x)= ;当x∈R时,不等式f(x-2)>0的解集为 .
13.已知函数f(x)=a-(x∈R),
(1)用定义证明:不论a为何实数,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;
(2)若f(x)为奇函数,求a的值;
(3)在(2)的条件下,求f(x)在区间[1,5]上的最小值.
C级 学科素养创新练
14.已知函数f(x)=x3.
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的奇偶性;
(3)证明:f(x)>0.
参考答案
第2课时 习题课 指数函数及其性质的应用
1.B 令t=,t,
∴g(t)=t2-t+1,对称轴为直线t=,
∴g(t)min=g故选B.
2.D 函数f(x)的定义域是[0,3],则函数g(x)=解得-1≤x≤2,且x≠1,所以定义域为[-1,1)∪(1,2].故选D.
3.AB 当a>1时,指数函数y=ax为增函数,所以在区间[-1,1]上的最大值ymax=a,最小值ymin=所以a+,解得a=2,或a=(舍去);
当04.x=0 原方程可化为(2x)2+2×2x-3=0.设t=2x(t>0),则t2+2t-3=0,解得t=1或t=-3(舍去),即2x=1,解得x=0.
5.(0,1) 由ax-1≥0,知ax≥1.又x≤0,所以06.{x|x≥2} {y|0当x≥2时,0.
又0<<1,所以y=的值域为{y|07.(-1,+∞) ∵f(x)是偶函数,且f=2,又f(x)在(-∞,0]上单调递减,∴f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.
由f(2x)>2,且2x>0得2x>,即2x>2-1,∴x>-1,即不等式f(2x)>2的解集是(-1,+∞).
8.解(1)因为函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点,所以a2-1=a=
(2)由(1)得f(x)=(x≥0),所以f(x)在区间[0,+∞)上为减函数,当x=0时,函数f(x)取最大值2,于是f(x)∈(0,2],
故函数y=f(x)+1(x≥0)的值域为(1,3].
9.A 当a<0时,f(a)<1,即-7<1<8 2-a<23 -a<3 a>-3,
∴-3综上,-310.B 当x<1时,f(x)=,当x≥1时,f(x)=a+
∵函数f(x)的值域为(a,+∞),
即a故选B.
11.(-∞,2] 令t=3x(t>0),则t2-kt≥-1,
化简得k≤t+
因为t+2=2,当且仅当t=1时,等号成立,
所以k≤2.
12.2-x-4 {x|x<0或x>4} 设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=2-x-4.
又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=2-x-4.
于是f(x-2)>0可化为解得x>4或x<0.
13.(1)证明f(x)的定义域为R,任取x1,x2∈R,且x1则f(x1)-f(x2)=a--a+
∵x10,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴不论a为何实数,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.
(2)解∵f(x)为奇函数,且x∈R,
∴f(0)=0,即a-=0,解得a=
(3)解由(2)知,f(x)=,由(1)知,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,故f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1).∵f(1)=,∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为
14.(1)解由题意得2x-1≠0,即x≠0,
∴f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
(2)解f(x)=x3,
∴f(-x)=(-x)3=-x3=f(x),∴f(x)为偶函数.
(3)证明当x>0时,2x>1,x3>0,
∴2x-1>0,>0.∴f(x)>0.
由偶函数的图象关于y轴对称,知当x<0时,f(x)>0也成立.故对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),恒有f(x)>0.(共28张PPT)
第三章
3.1-3.2 第2课时 习题课 指数函数及其性质的应用
重难探究·能力素养全提升
目录索引
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重难探究·能力素养全提升
探究点一 解指数方程或不等式
解 要使函数 有意义,则ax-2-1≥0,即ax-2≥1.
当a>1时,由ax-2≥a0知x-2≥0,得x≥2;
当0综上可知,当a>1时,函数f(x)的定义域为[2,+∞);
当0规律方法 1.指数方程的求解方法
(1)同底法:形如af(x)=ag(x)(a>0,且a≠1)的方程,化为f(x)=g(x)求解.
(2)换元法:形如a2x+b·ax+c=0(a>0,且a≠1)的方程,用换元法求解,求解时应特别注意ax>0.
2.指数不等式的求解方法
(1)形如ax>ab的不等式,借助于函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如ax>b的不等式,注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助于函数y=ax的单调性求解.
(3)形如ax>bx的不等式,利用函数图象求解.
(4)形如a2x+b·ax+c>0(或<0)的不等式,可利用换元法转化为一元二次不等式求解.
A.{-1,0} B.{1} C.{0} D.{0,1}
C
解析
∴3-1<3x+1<32,
∵y=3x在R上为增函数,∴-1解得-2又M={0,1},∴M∩P={0}.
解 原方程可化为 =2-2x,所以x2+1=-2x,
即x2+2x+1=0,解得x=-1.
探究点二 与指数函数有关的定义域、值域问题
【例2】 求下列函数的定义域和值域:
解 (1)由题意知x-4≠0,∴x≠4,
∴函数的定义域为(-∞,4)∪(4,+∞).
∴函数的值域为(0,1)∪(1,+∞).
规律方法 求与指数函数有关的函数的定义域和值域的一般方法
(1)求与指数函数有关的函数的定义域时,首先观察函数是y=ax型还是y=af(x)型,前者的定义域是R,后者的定义域与y=f(x)的定义域一致.y=f(ax)的定义域由t=ax的值域在y=f(t)的定义域内决定,因此求 型函数的定义域时,往往转化为解指数不等式(组).
(2)求与指数函数有关的函数的值域时,一方面要考虑函数的定义域和单调性,另一方面要注意指数函数的值域是(0,+∞).一般地,对于y=af(x)型函数,要先换元,令t=f(x),求出t=f(x)的定义域D,再求出t=f(x)的值域A,然后画出y=at(t∈A)的草图或利用函数的单调性,求出原函数的值域.
(3)利用均值不等式求与指数函数有关的值域问题.
变式训练2求下列函数的定义域和值域:
解 (1)由题意知,定义域为R.
∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,
探究点三 指数型复合函数的单调性
解 设u=x2+2(a-1)x+2,指数函数 在R上为减函数,根据复合函数单调性同增异减的原则可知函数u=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上单调递减.
由于函数u=x2+2(a-1)x+2的图象开口向上,且对称轴为直线x=1-a,要使函数u=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上单调递减,则4≤1-a,即a≤-3.
故a的取值范围为(-∞,-3].
变式探究本例(1)中函数改为“ ”呢
解 类似于例(1)的解法,设u=x2-2x+3,则该函数在区间(-∞,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增.
又y=3u在R上是增函数,
∴函数 的单调递增区间为[1,+∞),单调递减区间为(-∞,1].
规律方法 指数型复合函数单调性的判断方法
令u=f(x),x∈[m,n],如果复合的两个函数y=au与u=f(x)的单调性相同,那么复合后的函数y=af(x)在[m,n]上单调递增;如果两者的单调性不同(即一增一减),那么复合后的函数y=af(x)在区间[m,n]上单调递减.
探究点四 指数型复合函数的奇偶性
【例4】 判断函数 的奇偶性.
规律方法 指数型复合函数奇偶性的判断方法及常用结论
指数函数本身不具有奇偶性,但是与指数函数有关的复合函数可以具有奇偶性,其判断方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质.
结论:若a>0,且a≠1,则函数f(x)=ax-a-x,g(x)= 都是奇函数.
变式训练3若函数 (a∈R)为奇函数,则a的值为 .
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解析 函数f(x)的定义域为R,
又函数f(x)为奇函数,
∴f(-x)+f(x)=0,解得a=1.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)解指数方程或不等式;
(2)求与指数函数有关的定义域和值域;
(3)指数型复合函数的单调性与奇偶性.
2.方法归纳:数形结合法、分类讨论法、换
元法.
3.常见误区:求值域时易忽视指数函数隐含的条件ax>0;利用单调性解决问题时,易忽视对底数的讨论.
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1.已知集合M={y∈R|y=2x,x>0},N={x∈R|x2-2x<0},则M∩N=( )
A.(1,2)
B.(1,+∞)
C.[2,+∞)
D.(-∞,0]∪(1,+∞)
A
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2.已知2x>21-x,则x的取值范围是( )
C
解析 ∵2x>21-x,∴x>1-x,即x> .
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3.已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时, ,则f(-8)的值是 .
-4
解析 ∵y=f(x)是奇函数,
∴f(-8)=-f(8)= =-4.
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4.函数 的定义域是 ,值域是 .
R
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5.解方程:22x+2+3×2x-1=0.
解 ∵22x+2+3×2x-1=0,
∴4×(2x)2+3×2x-1=0.
令t=2x(t>0),则方程可化为4t2+3t-1=0,解得t= 或t=-1(舍去).
∴2x= ,解得x=-2.