(共45张PPT)
第二章
1-2 2.2 第1课时 函数的表示法
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
课程标准 1.掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法,以及各自的优缺点.在解析法中尤其要掌握用换元法和代入法求函数的解析式.
2.在实际问题中,能够选择恰当的表示法来表示函数.
3.能利用函数图象求函数的值域,并确定函数值的变化趋势.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 函数的表示法
常用的函数的表示方法有三种,具体如下.
表示方法 解析法 列表法 图象法
定义 在函数y=f(x)(x∈A)中,f(x)用代数式(或解析式)来表达的方法 通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法 用“图形”表示函数的方法
优点 通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值,较便利地利用代数工具研究其性质 可直接通过表格读数,不必通过计算就表示出两个变量之间的对应值,非常直观 可以通过图象直观地显示函数的局部变化规律
表示方法 解析法 列表法 图象法
缺点 用解析式表示函数时容易漏掉其定义域,而且对于一些实际问题很难得到解析式 任何一个表格内标出的数都是有限个,只能表示有限个数值之间的函数关系,若自变量取值有无限多个,则只能给出局部的对应关系 通过图象很难得到每个自变量取值对应的精确函数值,误差较大
名师点睛
由列表法和图象法的概念可知,函数也可以说就是一张表或一张图,根据这张表或这张图,由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.
过关自诊
1.某学生离家去学校,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离,横轴表示出发后的时间,则较符合该学生走法的是
( )
D
解析 由题意可知,一开始速度较快,后来速度变慢,所以开始曲线比较陡峭,后来曲线比较平缓,又纵轴表示离校的距离,所以开始时距离最大,最后距离为0.
2.[人教A版教材习题]如图,把直截面半径为25 cm的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料,如果矩形的一边长为x(单位:cm),面积为y(单位:cm2),把y表示为x的函数.
3.[人教A版教材例题]某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).
解 这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}.用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.
用列表法可将函数y=f(x)表示为
笔记本数x 1 2 3 4 5
钱数y 5 10 15 20 25
用图象法可将函数y=f(x)表示为下图.
知识点2 函数的图象
函数图象的作法
(1)函数图象的特征
函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.
(2)描点法作函数图象的三个步骤(注意函数的定义域)
(3)利用常见函数图象作出所求函数的图象
已学过的常见函数图象有:①常函数的图象,如f(x)=1的图象为一条平行于x轴的直线;②一次函数的图象,如f(x)=-3x+1的图象是一条经过第一、二、四象限的直线;③一元二次函数的图象,如f(x)=2x2-x+1的图象是一条开口向上的抛物线;④对于反比例函数f(x)= (k≠0,且k为常数),当k>0时,其图象是在第一、三象限内,以原点为对称中心的双曲线,当k<0时,其图象是在第二、四象限内,以原点为对称中心的双曲线.
名师点睛
从理论上来说,要作出一个函数的图象,只需描出所有点即可.但是,很多函数的图象都由无穷多个点组成,描出所有点并不现实.因此,实际作图时,经常先描出函数图象上一些有代表性的点,然后根据有关性质作出函数图象,这称为描点作图法.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)函数y=x2的图象向右平移3个单位长度可得函数y=(x+3)2的图象.( )
(2)函数的图象一定是一条连续不断的曲线.( )
2.如何检验一个图形是不是一个函数的图象 写出你的检验方法.
×
解 检验方法:过图形上任意一点作与x轴垂直的直线,若所有直线与图形都只有一个交点,则此图形是函数的图象,否则这个图形不是函数的图象.
×
3.[人教A版教材习题]画出下列函数的图象,并说出函数的定义域、值域:
(1)y=3x;(2)y= ;(3)y=-4x+5;(4)y=x2-6x+7.
解 (1)定义域为R,值域为R,函数图象如图(1)所示.
(2)定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0},函数图象如图(2)所示.
(3)定义域为R,值域为R,函数图象如图(3)所示.
(4)定义域为R,值域为{y|y≥-2},函数图象如图(4)所示.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 三种表示法的应用
【例1】 某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试求售出台数x与收款数y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
解 ①列表法:
x/台 1 2 3 4 5
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x/台 6 7 8 9 10
y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
②图象法:
③解析法:y=3 000x,x∈{1,2,3,…,10}.
规律方法 函数表示法的注意事项
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论是哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念.
(2)列表法更直观形象,图象法从形的角度描述函数,解析法从数的角度描述函数.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主.
变式训练1将一条长为10 cm的铁丝剪成两段,并用每一段铁丝各做一个正方形.试用解析法、列表法、图象法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(x∈N+)的函数关系.
③图象法:
探究点二 求函数的解析式
【例2】 (1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x).
(2)已知f(x)是一元二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式.
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).
解 (1)(方法一)令x+1=t,则x=t-1.
将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2,
得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,
∴f(x)=x2-5x+6.
(方法二)∵f(x+1)=x2-3x+2
=x2+2x+1-5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)+6,
∴f(x)=x2-5x+6.
(2)设所求的一元二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
∵f(0)=1,∴c=1,则f(x)=ax2+bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x对任意的x∈R都成立,
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
即2ax+a+b=2x,
∴所求一元二次函数为f(x)=x2-x+1.
(3)∵对于任意的x,都有f(x)+2f(-x)=3x-2,
∴将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得f(x)=-3x- .
规律方法 求函数解析式的四种常用方法
方法 一 直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接将g(x)代入
方法 二 待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程(或方程组)求出待定系数,进而求出函数解析式
方法 三 换元法(有时可用“配凑法”):已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x))中求出f(t),从而求出f(x)
方法 四 消元法:在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式
变式训练2(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=2x-1,求f(x)的解析式.
探究点三 函数的图象及应用
【例3】 作出下列函数的图象,并求其值域.
(1)y=1-x(x∈Z);
(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).
解 (1)因为x∈Z,所以函数图象为一条直线上的孤立点(如图①),由图象知,y∈Z.
(2)因为x∈[0,3),所以函数图象是抛物线的一段(如图②),由图象知,y∈[-5,3).
规律方法 1.作函数图象最基本的方法是描点法.主要有三个步骤——列表、描点、连线.作图象时一般先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,最后列表画出图象.
2.函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意特殊点.如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等,还要分清这些特殊点是实心点还是空心圈.
如本题(1)中图象是由一些散点构成的,这里不能将其用平滑曲线连起来;
(2)中描出两个端点及顶点,依据一元二次函数的图象特征作出函数图象,注意x=3不在定义域内,从而点(3,3)处用空心圈.
变式训练3作出下列函数的图象,并写出其值域.
(1)y=2x+1,x∈[0,2];
(2)y= ,x∈[2,+∞).
解 (1)当x=0时,y=1;当x=1时,y=3;当x=2时,y=5.
函数图象过点(0,1),(1,3),(2,5).
图象如图所示.
由图可知,函数的值域为[1,5].
(2)当x=2时,y=1;当x=4时,y= ;当x=6时,y= .
图象如图所示.
由图可知,函数的值域为(0,1].
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)函数的表示法;
(2)求函数解析式;
(3)函数的图象.
2.方法归纳:待定系数法、换元法、配凑法、数形结合法.
3.常见误区:求函数解析式时易忽视定义域.
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
5
1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1),则该一次函数的解析式为( )
A.f(x)=-x B.f(x)=x-1
C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x+1
D
1
2
3
4
5
2.某天早上,小明骑车上学,出发时感到时间较紧,然后加速前进,后来发现时间还比较充裕,于是放慢了速度,与以上事件吻合得最好的图象是( )
C
解析 因为选项A,D第一段都是匀速前进,不合题意,故排除选项A,D.首先加速前进,然后放慢速度,说明图象上升的速度先快后慢,故选C.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
3.已知函数f(x),g(x)对应值如下表:
x 0 1 -1
f(x) 1 0 -1
x 0 1 -1
g(x) -1 0 1
则g(f(g(-1)))的值为( )
A.1 B.0
C.-1 D.无法确定
C
解析 g(-1)=1,则f(g(-1))=f(1)=0,
则g(f(g(-1)))=g(0)=-1.
1
2
3
4
5
4.若一个长方体的高为80 cm,长比宽多10 cm,则这个长方体的体积y(单位:cm3)与长方体的宽x(单位:cm)之间的函数解析式是 .
y=80x(x+10),x∈(0,+∞)
1
2
3
4
5
5.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).
(1)画出f(x)的图象;
(2)根据图象写出f(x)的值域.
1
2
3
4
5
解 (1)f(x)的图象如图所示.
(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1,3],故f(x)的值域是[-1,3].(共23张PPT)
第二章
1-2 2.2 第2课时 分段函数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
A 级 必备知识基础练
1.下表表示y是x的函数,则函数的值域是( )
x 0
y 2 3 4 5
A.[2,5] B.N C.(0,20] D.{2,3,4,5}
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2.已知函数 则f(-1)的值为( )
A.-6 B.-2
C.2 D.3
C
解析 由题设有f(-1)=f(3)=f(7)=7-5=2,
故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
AD
若f(a)=1,则分3种情况讨论:
①当a≤-1时,f(a)=a+2=1,解得a=-1;
②当-1又由-1③当a≥2时,f(a)=2a=1,解得a= ,舍去.
综合可得a=1或a=-1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4.已知函数 则不等式xf(x-1)≤1的解集为( )
A.[-1,1]
B.[-1,2]
C.(-∞,1]
D.[-1,+∞)
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5.已知函数 则f(f(f(5)))等于 .
-5
解析 f(f(f(5)))=f(f(0))=f(-1)=2×(-1)-3=-5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(2)经观察可知a [-1,1],否则f(a)=2.
若a∈(-∞,-1),令-2a=6,得a=-3,符合题意;
若a∈(1,+∞),令2a=6,得a=3,符合题意.
故a的值为-3或3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
B 级 关键能力提升练
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9.(多选题)已知函数 关于函数f(x)的结论正确的是
( )
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为(-∞,4)
C.若f(x)=3,则x的值是
D.f(x)<1的解集为(-1,1)
BC
解析 由题意知函数f(x)的定义域为(-∞,2),故A错误;当x≤-1时,f(x)的取值范围是(-∞,1],
当-1当x≤-1时,令x+2=3,解得x=1(舍去),当-1当x≤-1时,x+2<1,解得x<-1,当-1因此f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(-1,1).
故D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
10.已知函数 若f(a)=3,则a的值为 .
-1或2
解析 由 当a<0时,a+4=3,解得a=-1;当a≥0时,2a-1=3,解得a=2.故a的值为-1或2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
11.如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成.
(1)求f(f(4))的值及f(x)的解析式;
(2)若f(x)= ,求实数x的值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解 (1)根据图象可知f(4)=0,则f(f(4))=f(0)=1,
设直线段对应的方程为y=kx+d(-1≤x≤0).
将点(0,1)和点(-1,0)代入可得d=1,k=1,即y=x+1.
当x>0时,设抛物线的一部分对应的方程为y=a(x-2)2-1(a>0).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12.已知函数f(x)=|x-2|(x+1).
(1)作出函数f(x)的图象;
(2)判断关于x的方程|x-2|(x+1)=a(a∈R)的解的个数.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(2)关于x的方程|x-2|(x+1)=a的解的个数就是直线y=a与y=|x-2|(x+1)的图象的交点的个数.作出图象如图所示.
由图象可知,
当a<0时,有一个交点;
当a=0时,有两个交点;
当0当a= 时,有两个交点;
当a> 时,有一个交点.
综上,当a<0或a> 时,方程有一个解;
当a=0或a= 时,方程有两个解;
当01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
C 级 学科素养创新练
13.如图,点P在边长为1的正方形边上运动,设M是CD的中点,则当P沿A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y=f(x)的图象大致是( )
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13第二章第2课时 分段函数
A级 必备知识基础练
1.下表表示y是x的函数,则函数的值域是( )
x 0y 2 3 4 5
A.[2,5]
B.N
C.(0,20]
D.{2,3,4,5}
2.已知函数f(x)=则f(-1)的值为 ( )
A.-6 B.-2
C.2 D.3
3.(多选题)已知函数f(x)=,若f(a)=1,则实数a的值可以是( )
A.-1 B.
C.- D.1
4.已知函数f(x)=则不等式xf(x-1)≤1的解集为( )
A.[-1,1]
B.[-1,2]
C.(-∞,1]
D.[-1,+∞)
5.已知函数f(x)=则f(f(f(5)))等于 .
6.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为 .
7.已知函数f(x)=
(1)求f,f,f,f;
(2)若f(a)=6,求实数a的值.
B级 关键能力提升练
8.已知函数f(x)=x1,x2∈R,f(x1)=f(x2)=m,且x1+x2=0,则m=( )
A. B.1 C. D.2
9.(多选题)已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的是( )
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为(-∞,4)
C.若f(x)=3,则x的值是
D.f(x)<1的解集为(-1,1)
10.已知函数f(x)=若f(a)=3,则a的值为 .
11.如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成.
(1)求f(f(4))的值及f(x)的解析式;
(2)若f(x)=,求实数x的值.
12.已知函数f(x)=|x-2|(x+1).
(1)作出函数f(x)的图象;
(2)判断关于x的方程|x-2|(x+1)=a(a∈R)的解的个数.
C级 学科素养创新练
13.如图,点P在边长为1的正方形边上运动,设M是CD的中点,则当P沿A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y=f(x)的图象大致是( )
参考答案
第2课时 分段函数
1.D 由题表可知,y=
所以函数的值域为{2,3,4,5}.故选D.
2.C 由题设有f(-1)=f(3)=f(7)=7-5=2,
故选C.
3.AD 根据题意,f(x)=
若f(a)=1,则分3种情况讨论:
①当a≤-1时,f(a)=a+2=1,解得a=-1;
②当-1又由-1③当a≥2时,f(a)=2a=1,解得a=,舍去.
综合可得a=1或a=-1.
4.A 原不等式等价于解得-1≤x≤1.
5.-5 f(f(f(5)))=f(f(0))=f(-1)=2×(-1)-3=-5.
6.f(x)= 当0≤x≤1时,f(x)=-1;
当1综上,f(x)=
7.解(1)∵-(-∞,-1),
∴f=-2=3.
[-1,1],∴f=2.
又2∈(1,+∞),∴f=f(2)=2×2=4.
(1,+∞),∴f()=2=9.
(2)经观察可知a [-1,1],否则f(a)=2.
若a∈(-∞,-1),令-2a=6,得a=-3,符合题意;
若a∈(1,+∞),令2a=6,得a=3,符合题意.
故a的值为-3或3.
8.B 由题意,不妨设x1<0∴x2=2-x2=1或x2=-2(舍),故m=f(1)=1.故选B.
9.BC 由题意知函数f(x)的定义域为(-∞,2),故A错误;当x≤-1时,f(x)的取值范围是(-∞,1],
当-1当x≤-1时,令x+2=3,解得x=1(舍去),当-1当x≤-1时,x+2<1,解得x<-1,当-1因此f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(-1,1).
故D错误.
10.-1或2 由f(x)=当a<0时,a+4=3,解得a=-1;当a≥0时,2a-1=3,解得a=2.故a的值为-1或2.
11.解(1)根据图象可知f(4)=0,则f(f(4))=f(0)=1,
设直线段对应的方程为y=kx+d(-1≤x≤0).
将点(0,1)和点(-1,0)代入可得d=1,k=1,即y=x+1.
当x>0时,设抛物线的一部分对应的方程为y=a(x-2)2-1(a>0).
又图象经过(4,0),∴4a-1=0,a=,
∴y=(x-2)2-1,即y=x2-x.
∴f(x)=
(2)当-1≤x≤0时,令x+1=,得x=-,符合题意;
当x>0时,令x2-x=,得x=2+或x=2-(舍去).故x的值为-或2+
12.解(1)函数f(x)=|x-2|(x+1),去掉绝对值符号得f(x)=
可得f(x)的图象如图所示.
(2)关于x的方程|x-2|(x+1)=a的解的个数就是直线y=a与y=|x-2|(x+1)的图象的交点的个数.作出图象如图所示.
由图象可知,
当a<0时,有一个交点;
当a=0时,有两个交点;
当0当a=时,有两个交点;
当a>时,有一个交点.
综上,当a<0或a>时,方程有一个解;
当a=0或a=时,方程有两个解;
当013.A 依题意,当0当1当2∴y=f(x)=
再结合题图知应选A.(共18张PPT)
第二章
1-2 2.2 第1课时 函数的表示法
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
A 级 必备知识基础练
1.(多选题)下列四个图形中可能是函数y=f(x)图象的是( )
AD
解析 在A,D中,对于定义域内每一个x都有唯一确定的y与之相对应,满足函数关系;在B,C中,存在一个x有两个y与x对应,不满足函数对应的唯一性.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2.若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)=( )
A.x+1 B.x-1
C.2x+1 D.3x+3
A
解析 因为3f(x)-2f(-x)=5x+1,
所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1,解得f(x)=x+1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(-5)= ,f(f(2))= .
4
解析 由题图可知f(-5)= ,f(2)=0,f(0)=4,
故f(f(2))=f(0)=4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4.对于定义域为R的函数y=f(x),部分x与y的对应关系如下表:
x -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 0 2 3 2 0 -1 0 2
则f(f(f(0)))= .
2
解析 由列表表示的函数可得f(0)=3,
则f(f(0))=f(3)=-1,f(f(f(0)))=f(-1)=2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5.作出下列函数的图象,并指出其值域:
(1)y=x2+x(-1≤x≤1);
(2)y= (-2≤x≤1,且x≠0).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解 (1)用描点法可以作出所求函数的图象如图①所示.
由图可知y=x2+x(-1≤x≤1)的值域为
(2)用描点法可以作出函数的图象如图②所示.
图①
图②
由图可知y= (-2≤x≤1,且x≠0)的值域为(-∞,-1]∪[2,+∞).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
B 级 关键能力提升练
6.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),满足f(2)=1,且对于定义域内任意x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,那么f(2)+f(4)的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
C
解析 ∵对于定义域内任意x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2,
∴f(2)+f(4)=1+2=3.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9.小明在如图①所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30 s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明跑步的时间为t(单位:s),他与教练间的距离为y(单位:m),表示y与t的函数关系的图象大致如图②所示,则这个固定位置可能是图①中的( )
A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
图① 图②
D
解析 由题图知固定位置到点A距离大于到点C距离,所以舍去N,M点,不选A,B;若是P点,则从最高点到C点依次递减,与题图①矛盾,因此取Q,即选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
10.已知函数f(x),g(x)由下表给出:
x 4 5 6 7 8
f(x) 5 4 8 7 6
x 8 7 6 5 4
g(x) 6 5 8 7 4
则g(f(7))= ;不等式g(x)5
{4,7}
解析 f(7)=7,g(f(7))=g(7)=5.
当x=4时,f(4)=5,g(4)=4,
所以f(4)>g(4),满足不等式;
当x=5时,f(5)=4,g(5)=7,不满足不等式;
当x=6时,f(6)=8,g(6)=8,不满足不等式;
当x=7时,f(7)=7,g(7)=5,满足不等式;
当x=8时,f(8)=6,g(8)=6,不满足不等式,
所以不等式g(x)1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
11.已知 ,则函数f(x)的解析式为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12.已知函数 (a,b为常数,且a≠0)满足f(2)=1,方程f(x)=x有唯一解,求函数f(x)的解析式,并求f(f(-3))的值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
C 级 学科素养创新练
13.设函数f:R→R,满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,试求f(2 022)的值.
解 ∵f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,
令x=y=0,得f(1)=1-1-0+2,∴f(1)=2.
令y=0,则f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2,
∴f(x)=x+1,
∴f(2 022)=2 022+1=2 023.(共35张PPT)
第二章
1-2 2.2 第2课时 分段函数
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
课程标准 1.了解分段函数的概念.
2.会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象.
3.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题.
基础落实·必备知识全过关
知识点 分段函数
1.分段函数的定义
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应关系,则称其为分段函数. 分段函数是一个函数而不是几个函数
2.分段函数的图象
分段函数有几段,它的图象就由几部分组成.在同一平面直角坐标系中,根据分段函数每段的定义区间和解析式依次画出图象,要注意确定每段图象的端点是空心圈还是实心点,各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象.
名师点睛
1.求分段函数的函数值的关键是分段归类,即自变量的取值属于哪个区间,就只能用那个区间上的解析式来进行计算.
2.写分段函数的定义域时,区间端点应不重不漏.分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集.
3.分段函数值域的求法是分别求出各段上的因变量的取值集合后取并集;分段函数的最大(小)值的求法是先求出每段函数的最大(小)值,然后比较各段的最大(小)值,其中最大(小)的为分段函数的最大(小)值.
过关自诊
[人教A版教材习题]画出函数y=|x-2|的图象.
解
(方法2:翻折法)先画出y=x-2的图象,然后把图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上面,其他不变.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 分段函数的求值
变式探究在本例已知条件下,若f(x)>0,求x的取值范围.
解 ∵f(x)>0,
∴-2∴x的取值范围是(-2,0)∪(0,+∞).
规律方法 1.求分段函数的函数值的步骤
(1)先确定所求值对应的自变量属于哪一区间.
(2)再代入该区间对应的解析式进行求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.
2.已知分段函数的函数值求自变量的值的步骤
(1)先确定所求自变量的值可能存在的区间及其对应的函数解析式.
(2)再将函数值代入不同的解析式中.
(3)通过解方程求出自变量的值.
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.
探究点二 分段函数的图象
【例2】 画出下列函数的图象,并写出它们的值域.
(2)y=|x+1|+|x-3|.
解 (1)函数 的图象如图①,观察图象,得函数的值域为(1,+∞).
(2)将原函数式中的绝对值符号去掉,化为分段函数
它的图象如图②.观察图象,得函数的值域为[4,+∞).
规律方法 1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对应点的虚实之分.
2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,再作其图象.
C
解析 因为当x=0时,y=0-1=-1,所以函数图象过点(0,-1),排除A,B;
当x<0时,y=x2,则函数图象是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分.因此只有选项C中的图象符合.
探究点三 根据分段函数图象求解析式
【例3】 已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,
则函数的解析式为 .
解析 根据图象,设左侧的射线对应的函数解析式为y=kx+b(x≤1).
∵点(1,1),(0,2)在射线上,
∴左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x≤1).
同理,当x≥3时,对应的函数解析式为y=x-2(x≥3).
再设抛物线对应的一元二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1∵点(1,1)在抛物线上,∴a+2=1,∴a=-1.
∴当1综上可知,所求函数的解析式为
变式训练2已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为 .
解析 ∵f(x)的图象由两条线段组成,∴由一次函数解析式求法可得
探究点四 分段函数在实际中的应用
【例4】 某上市股票在30天内每股的交易价格P(单位:元)与时间t(单位:天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在图中的两条线段上,该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q(单位:万股)与时间t(单位:天)的部分数据如下表所示.
第t天 4 10 16 22
Q/万股 36 30 24 18
(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格P(单位:元)与时间t(单位:天)所满足的函数解析式.
(2)根据表中数据确定日交易量Q(单位:万股)与时间t(单位:天)的一次函数解析式.
(3)在(2)的结论下,用y(单位:万元)表示该股票日交易额,写出y关于t的函数解析式,并求出这30天中第几日交易额最大,最大值为多少
(2)设Q=at+b(a≠0,a,b为常数),将(4,36)与(10,30)的坐标代入,得
故日交易量Q(单位:万股)与时间t(单位:天)的一次函数解析式为Q=40-t,0规律方法 分段函数的意义是不同范围内的自变量x与y的对应关系不同,从而需分段来表达它.解决实际问题时要结合实际意义写出分段函数的解析式,再根据需要选择合适的解析式解决问题.
变式训练3某市带空调公共汽车的票价按下列规则制定:
(1)乘坐汽车5千米及5千米以内,票价2元;
(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米按5千米计算).
每相邻两个站点之间的距离为1千米,如果某空调公共汽车运行路线中设20个站点(包括起点站和终点站),求票价y(单位:元)关于路程x(单位:千米)的函数解析式,并画出图象.
解 根据题意,如果某空调汽车运行路线中设20个站点(包括起点站和终点站),那么汽车行驶的总路程为19千米,
所以自变量x的取值范围是{x∈N+|x≤19}.
由空调汽车票价制定的规则,可得到以下函数解析式:
根据这个函数解析式,
可画出函数图象,如图所示.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)分段函数的求值;
(2)作分段函数的图象;
(3)分段函数在实际中的应用.
2.方法归纳:数形结合法.
3.常见误区:分段函数作图时定义域中端点的处理;对分段函数定义域和值域的理解;分段函数求值时,应注意自变量所在的区间.
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
5
B
1
2
3
4
5
2.函数 的图象是( )
C
1
2
3
4
5
3.某客运公司确定客运票价的方法是:如果路程不超过100千米,票价是每千米0.5元,如果超过100千米,超过部分按每千米0.4元定价,则客运票价y
(单位:元)与路程x(单位:千米)之间的函数解析式是 .
1
2
3
4
5
4.已知f(x)的图象如图所示,则f(x)的定义域为 ,值域为 .
[-2,4]∪[5,8]
[-4,3]
1
2
3
4
5
(1)画出函数f(x)的图象;
(2)求f(1),f(-1),f[f(-1)]的值.
1
2
3
4
5
解 (1)图象如图所示.
(2)f(1)=12=1,f(-1)= =1,f[f(-1)]=f(1)=1.第二章2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
A级 必备知识基础练
1.(多选题)下列四个图形中可能是函数y=f(x)图象的是( )
2.若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)=( )
A.x+1 B.x-1
C.2x+1 D.3x+3
3.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(-5)= ,f(f(2))= .
4.对于定义域为R的函数y=f(x),部分x与y的对应关系如下表:
x -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 0 2 3 2 0 -1 0 2
则f(f(f(0)))= .
5.作出下列函数的图象,并指出其值域:
(1)y=x2+x(-1≤x≤1);
(2)y=(-2≤x≤1,且x≠0).
B级 关键能力提升练
6.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),满足f(2)=1,且对于定义域内任意x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,那么f(2)+f(4)的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
7.已知f=x-1,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=(x≠1)
B.f(x)=-1(x≠0)
C.f(x)=(x≠1)
D.f(x)=(x≠0)
8.定义两种运算:a b=,a b=,则函数f(x)=的解析式为( )
A.f(x)=,x∈[-2,0)∪(0,2]
B.f(x)=,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)
C.f(x)=-,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)
D.f(x)=-,x∈[-2,0)∪(0,2]
9.小明在如图①所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30 s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明跑步的时间为t(单位:s),他与教练间的距离为y(单位:m),表示y与t的函数关系的图象大致如图②所示,则这个固定位置可能是图①中的( )
图① 图②
A.点M B.点N
C.点P D.点Q
10.已知函数f(x),g(x)由下表给出:
x 4 5 6 7 8
f(x) 5 4 8 7 6
x 8 7 6 5 4
g(x) 6 5 8 7 4
则g(f(7))= ;不等式g(x)11.已知f(+1)=x,则函数f(x)的解析式为 .
12.已知函数f(x)=(a,b为常数,且a≠0)满足f(2)=1,方程f(x)=x有唯一解,求函数f(x)的解析式,并求f(f(-3))的值.
C级 学科素养创新练
13.设函数f:R→R,满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,试求f(2 022)的值.
参考答案
2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
1.AD 在A,D中,对于定义域内每一个x都有唯一确定的y与之相对应,满足函数关系;在B,C中,存在一个x有两个y与x对应,不满足函数对应的唯一性.
2.A 因为3f(x)-2f(-x)=5x+1,
所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1,解得f(x)=x+1.
3 4 由题图可知f(-5)=,f(2)=0,f(0)=4,
故f(f(2))=f(0)=4.
4.2 由列表表示的函数可得f(0)=3,
则f(f(0))=f(3)=-1,f(f(f(0)))=f(-1)=2.
5.解(1)用描点法可以作出所求函数的图象如图①所示.
由图可知y=x2+x(-1≤x≤1)的值域为
(2)用描点法可以作出函数的图象如图②所示.
图①
图②
由图可知y=(-2≤x≤1,且x≠0)的值域为(-∞,-1]∪[2,+∞).
6.C ∵对于定义域内任意x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2,
∴f(2)+f(4)=1+2=3.故选C.
7.B 设=t,则t≠0,∴x=,∴f(t)=-1(t≠0),
∴f(x)=-1(x≠0).
8.D ∵f(x)=
由得-2≤x≤2,且x≠0.
∴f(x)=-,x∈[-2,0)∪(0,2].
9.D 由题图知固定位置到点A距离大于到点C距离,所以舍去N,M点,不选A,B;若是P点,则从最高点到C点依次递减,与题图①矛盾,因此取Q,即选D.
10.5 {4,7} f(7)=7,g(f(7))=g(7)=5.
当x=4时,f(4)=5,g(4)=4,
所以f(4)>g(4),满足不等式;
当x=5时,f(5)=4,g(5)=7,不满足不等式;
当x=6时,f(6)=8,g(6)=8,不满足不等式;
当x=7时,f(7)=7,g(7)=5,满足不等式;
当x=8时,f(8)=6,g(8)=6,不满足不等式,
所以不等式g(x)11.f(x)=x2-x+1(x≥1) 令t=+1,则t≥1.所以x=(t-1)2+
故f(t)=(t-1)2+(t≥1).
所以函数解析式为f(x)=x2-x+1(x≥1).
12.解由f(x)=x,得=x,即ax2+(b-1)x=0.
∵方程f(x)=x有唯一解,
∴Δ=(b-1)2=0,即b=1.
∵f(2)=1,=1.∴a=
∴f(x)=
∴f(f(-3))=f(6)=
13.解∵f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,
令x=y=0,得f(1)=1-1-0+2,∴f(1)=2.
令y=0,则f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2,
∴f(x)=x+1,
∴f(2022)=2022+1=2023.