第二章第2课时 函数的最值
A级 必备知识基础练
1.函数y=-|x|在R上( )
A.有最大值0,无最小值
B.无最大值,有最小值0
C.既无最大值,又无最小值
D.以上都不对
2.若函数y=ax+1(a>0)在区间[1,3]上的最大值为4,则a=( )
A.2 B.3
C.1 D.-1
3.函数y=x+的值域是( )
A.[0,+∞)
B.[2,+∞)
C.[4,+∞)
D.[,+∞)
4.函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5,5)内( )
A.有最大值42,有最小值12
B.有最大值42,有最小值-
C.有最大值12,有最小值-
D.无最大值,有最小值-
5.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量为x(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为( )
A.90万元
B.120万元
C.120.25万元
D.60万元
6.已知定义在(0,+∞)上的减函数f(x)满足条件:对任意x,y,且x>0,y>0,总有f(xy)=f(x)+f(y)-1,则关于x的不等式f(x-1)>1的解集是 ( )
A.(-∞,2)
B.(1,+∞)
C.(1,2)
D.(0,2)
7.[人教B版教材例题]判断函数f(x)=3x+5,x∈[-1,6]的单调性,并求这个函数的最值.
8.已知函数f(x)=x2-2x+2.
(1)求f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值;
(2)若g(x)=f(x)-mx在区间[-1,2]上单调递增,求m的取值范围.
B级 关键能力提升练
9.函数y=2-的值域是( )
A.[-2,2]
B.[1,2]
C.[0,2]
D.[-]
10.(多选题)对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[-1.08]=-2,定义函数f(x)=x-[x],则下列结论正确的是( )
A.f(-3.9)=f(4.1)
B.函数f(x)的最大值为1
C.函数f(x)的最小值为0
D.函数f(x)是增函数
11.若关于x的不等式8x2+x-a≤在x∈0,上恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.-∞,-
B.(0,1]
C.-,1
D.[1,+∞)
12.在实数的原有运算法则中,补充定义新运算“ ”如下:当a≥b时,a b=a;当a
A.
B.
C.
D.
13.若函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有>0成立,则实数a的取值范围是 .
14.用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值.设f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为 .
15.函数f(x)=2x-的定义域为(0,1](a为实数).
(1)若函数y=f(x)在定义域上是减函数,求a的取值范围;
(2)若f(x)>5在定义域上恒成立,求a的取值范围.
16.已知函数f(x)=,x∈[1,+∞).
(1)当a=时,求函数f(x)的最小值;
(2)若对任意的x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.
C级 学科素养创新练
17.已知函数f(x)=x2-mx+2.
(1)若f(x)在区间(-∞,1]上的最小值为-1,求实数m的值;
(2)若m≥4时,对任意的x1,x2∈,总有|f(x1)-f(x2)|≤-4,求实数m的取值范围.
参考答案
第2课时 函数的最值
1.A 因为函数y=-|x|的图象如图所示,所以函数y=-|x|在R上有最大值0,无最小值.
2.C 因为a>0,所以一次函数y=ax+1在区间[1,3]上单调递增,所以当x=3时,函数y=ax+1取得最大值,故3a+1=4,解得a=1.故选C.
3.B 函数y=x+在定义域[2,+∞)上单调递增,
所以其最小值为2,值域为[2,+∞).
4.D ∵f(x)=,x∈(-5,5),∴当x=-时,f(x)有最小值-,f(x)无最大值.
5.B 设该公司在甲地销售x辆车,则在乙地销售(15-x)辆车,根据题意,总利润y=-x2+21x+2(15-x)(0≤x≤15,且x∈N),整理得y=-x2+19x+30.
因为该函数图象的对称轴为直线x=,开口向下,又x∈N,所以当x=9,或x=10时,y取得最大值120万元.
6.C 令y=1,则f(x)=f(x)+f(1)-1,得f(1)=1,所以f(x-1)>1 f(x-1)>f(1).
又f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,所以得17.解任取x1,x2∈[-1,6]且x1因此,当-1≤x≤6时,有f(-1)≤f(x)≤f(6),从而这个函数的最小值为f(-1)=2,最大值为f(6)=23.
8.解(1)因为f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
而x∈[-2,3],所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1.又f(-2)=(-2-1)2+1=10,f(3)=(3-1)2+1=5,故f(-2)>f(3),所以函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值为10.
(2)因为g(x)=f(x)-mx=x2-(m+2)x+2,其对称轴为直线x=由函数g(x)在区间[-1,2]上单调递增,可得-1,解得m≤-4.
故m的取值范围是(-∞,-4].
9.C 要求函数y=2-的值域,只需求t=(x∈[0,4])的值域即可.
设函数f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4(x∈[0,4]),所以f(x)的值域是[0,4].因为t=,所以t的值域是[0,2],-t的值域是[-2,0].
故函数y=2-的值域是[0,2].故选C.
10.AC 根据符号[x]的意义,讨论当自变量x取不同范围时函数f(x)=x-[x]的解析式:
当-1≤x<0时,[x]=-1,则f(x)=x-[x]=x+1;
当0≤x<1时,[x]=0,则f(x)=x-[x]=x;
当1≤x<2时,[x]=1,则f(x)=x-[x]=x-1;
当2≤x<3时,[x]=2,则f(x)=x-[x]=x-2.
画出函数f(x)=x-[x]的图象如图所示.
根据定义可知,f(-3.9)=-3.9-(-4)=0.1,f(4.1)=4.1-4=0.1,即f(-3.9)=f(4.1),所以A正确;
根据图象易判断,函数f(x)=x-[x]在最高点处取不到,所以B错误;函数图象最低点处函数值为0,所以C正确;
根据函数单调性,可知函数f(x)=x-[x]在特定区间内单调递增,在整个定义域内没有单调性,所以D错误.
11.D 由题意知,8x2+x-a在x∈[0,]上恒成立,设f(x)=8x2+x-,则函数f(x)在[0,]上单调递增,∴当x=时,f(x)max=f()=8×()2+=2-1=1,则a≥1.故选D.
12.C 当-2≤x≤1时,f(x)=1·x-2×2=x-4;
当1所以f(x)=
易知f(x)在区间[-2,2]上单调递增,
所以由f(m+1)≤f(3m)得解得m,故选C.
13.[-2,3) 由题意得y=f(x)为增函数,∴3-a>0,且-(2-2)2≤2(3-a)+5a,∴-2≤a<3.
14.6
在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=10-x的图象.根据min{x+2,10-x}(x≥0)的含义可知,f(x)的图象应为图中实线部分.解方程x+2=10-x,得x=4,此时y=6,故两图象的交点坐标为(4,6).
由图象可知,函数f(x)的最大值为6.
15.解(1)任取x1,x2∈(0,1],且x1所以f(x1)-f(x2)=(x1-x2)>0,
即a<-2x1x2恒成立,
∴a≤-2,即a的取值范围为(-∞,-2].
(2)由2x->5(x∈(0,1]),得a<2x2-5x(x∈(0,1])恒成立.∵2x2-5x=2,
∴函数y=2x2-5x在区间(0,1]上单调递减,
∴当x=1时,函数y取得最小值-3,即a<-3,即a的取值范围为(-∞,-3).
16.解(1)当a=时,f(x)==x++2.
任取x1,x2∈[1,+∞),且x1所以f(x1)-f(x2)=(x1-x2)·(1-),
因为x11,x2>1,所以x1-x2<0,x1x2>1,
所以1->0,所以(x1-x2)(1-)<0,
所以f(x1)所以函数f(x)在[1,+∞)上的最小值为f(1)=1++2=
(2)因为f(x)=>0在[1,+∞)上恒成立,
所以x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立.
记g(x)=x2+2x+a,x∈[1,+∞),
所以g(x)=(x+1)2+a-1在[1,+∞)上单调递增,故当x=1时,y取得最小值,最小值为3+a.
所以当3+a>0,即a>-3时,f(x)>0恒成立,
所以实数a的取值范围为(-3,+∞).
17.解(1)函数f(x)=x2-mx+2,其图象的对称轴为直线x=当m≤2时,f(x)min=f=-+2=-1,
∴m=-2;
当m>2时,f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,
∴f(x)min=f(1)=12-m+2=-1,∴m=4.
综上可知,m=-2或m=4.
(2)∵m≥4,,且-1,
∴当x时,f(x)max=f(1)=3-m,f(x)min=f=-+2.
∵对任意的x1,x2,总有|f(x1)-f(x2)|-4,∴f(x)max-f(x)min=3-m+-2=-m+1-4,解得m≥5,
∴实数m的取值范围是[5,+∞).(共40张PPT)
第二章
§3 第1课时 函数的单调性
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
课程标准 1.理解函数单调性的概念.
2.会根据函数的图象判断函数的单调性.
3.能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 单调性、单调区间
单调性 单调递增 单调递减
条件 设函数y=f(x)的定义域是D,I是定义域D上的一个区间,如果对于任意的x1,x2∈I,当x1f(x2)
结论 称函数y=f(x)在区间I上单调递增 称函数y=f(x)在区间I上单调递减
单调 区间 区间I叫作函数y=f(x)的单调递增区间 区间I叫作函数y=f(x)的单调递减区间
单调性 单调递增 单调递减
图象特征 自左向右图象逐渐上升 自左向右图象逐渐下降
图示
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间.
单调性是函数的局部性质
名师点睛
x1,x2的三个特征:
(1)同区间性,即x1,x2∈D;
(2)任意性,即不可用区间D上的两个特殊值代替x1,x2;
(3)有序性,即需要区分大小,通常规定x1过关自诊
1.[人教A版教材例题]根据定义证明函数y=x+ 在区间(1,+∞)上单调递增.
由x1,x2∈(1,+∞),得x1>1,x2>1.
所以x1x2>1,x1x2-1>0.
又由x1即y12.[人教A版教材习题]根据下图说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性.
解 单调区间:[-1,0),[0,2),[2,4),[4,5].
在区间[0,2),[4,5]上单调递增;
在区间[-1,0),[2,4)上单调递减.
3.[人教A版教材习题]画出下列函数的图象,并根据图象说出函数y=f(x)的单调区间及在每一单调区间上的单调性.
(1)y=x2-5x-6;(2)y=9-x2.
解 (1)函数y=x2-5x-6的图象如图所示.
(2)函数y=9-x2的图象如图所示.
由图象可知,单调区间有(-∞,0],(0,+∞).
其中y=f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,在区间(0,+∞)上单调递减.
知识点2 增函数、减函数的定义
函数 增函数 减函数
条件 设函数y=f(x)的定义域是D,如果对于任意的x1,x2∈D,当x1f(x2)
结论 称函数y=f(x)是增函数 称函数y=f(x)是减函数
名师点睛
1.若f(x),g(x)均是区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数;若f(x),g(x)分别是区间A上的增函数和减函数,则f(x)-g(x)是区间A上的增函数.
2.若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性相反.
过关自诊
1.若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(1)( )
A.为增函数 B.为减函数
C.先增后减 D.变化趋势不能确定
D
解析 因为函数单调性的定义突出了x1,x2的任意性,所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系,是不能作为判断函数变化趋势的依据的.故选D.
2.[人教A版教材习题]根据定义证明函数f(x)=3x+2是增函数.
证明 x1,x2∈R,且x1则f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2),
因为x1即f(x1)所以函数f(x)=3x+2在R上是增函数.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 判断函数的单调性
角度1利用图象判断函数的单调性
【例1】 根据函数图象直观判断下列函数的单调性:
(1)y=|x2+2x-3|;(2)y=-x2+2|x|+1.
解 (1)令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.作出f(x)的图象,保留其在x轴上及x轴上方部分,将位于x轴下方的部分翻折到x轴上方,得到y=|x2+2x-3|的图象,如图所示.
由图象可得原函数在区间[-3,-1]和[1,+∞)上单调递增,原函数在区间(-∞,-3]和[-1,1]上单调递减.
函数图象如图所示,原函数在区间(-∞,-1]和[0,1]上单调递增,在区间[-1,0]和[1,+∞)上单调递减.
规律方法 图象法判断函数单调性的注意点
图象法判断函数的单调性主要用于常见函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的单调性判断,或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象,从而进行单调性的判断.
变式训练1已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象判断函数的单调性.
图象如图所示.
由图象可知,函数在区间(-∞,1],[2,+∞)上单调递增;在区间[1,2]上单调递减.
角度2利用单调函数的运算性质判断函数的单调性
【例2】 判断函数 的单调性.
规律方法 利用单调函数的运算性质判断函数单调性的思路
当函数解析式通过变换、转化之后,是由几个基本函数的解析式构成的,则可分析这几个基本函数的单调性,则看是否符合单调函数运算性质的规律,若符合,可直接得出结论,否则,不能用这种方法判断函数的单调性.此外,研究函数的单调性时,一定要坚持“定义域优先”的原则.
变式训练2判断函数 (x<0)的单调性.
探究点二 利用定义证明或判断函数的单调性
【例3】 证明:函数f(x)=-2x2+3x+3在区间(-∞, ]上单调递增.
规律方法 利用定义证明或判断函数的单调性的步骤
探究点三 函数单调性的应用
【例4】 已知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,试比较f(a2-a+1)与 的大小.
【例5】 若函数 在R上单调递增,则实数a的取值范围是 .
(0,3]
解析 因为函数f(x)在R上单调递增,所以f(x)在区间(-∞,1)上单调递增,故a>0.设y=ax-1,x∈(-∞,1),因为a>0,所以y规律方法 1.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性比较函数值大小时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间内.
2.利用函数的单调性解有关函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错.
3.由分段函数单调性求参数取值范围时,一般从两个方面思考:一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性,由此列出相关式子;另一方面是考虑端点处的衔接情况,由此列出另一相关式子,求解即可.
变式训练4已知函数g(x)的定义域是[-2,2],且在定义域[-2,2]上单调递增,g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)增函数、减函数的定义;
(2)函数单调性的定义及单调区间的确定.
2.方法归纳:数形结合法、定义法.
3.常见误区:函数具有多个单调区间时,单调区间之间用“,”与“和”连接,含参数的分段函数的单调性易忽视定义域端点处函数值的大小.
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1.设(a,b),(c,d)都是f(x)的单调递增区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1A.f(x1)f(x2)
C.f(x1)=f(x2) D.不能确定
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D
解析 由函数单调性的定义知所取两个自变量的值必须在同一单调区间内才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小,而本题中的x1,x2不在同一单调区间内,所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定.故选D.
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2.函数y=f(x)的图象如图所示,其单调递减区间是( )
A.[-4,4]
B.[-4,-3]∪[1,4]
C.[-4,-3],[1,4]
D.[-3,1]
6
C
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3.若函数f(x)=x2+3ax+5在区间(-∞,5)上单调递减,则实数a的取值范围是
( )
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4.下列函数不在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=2x+1 B.y=3x2+1
C.y= D.y=|x|
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5.已知函数f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2)6
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6.求证:函数 在区间(0,+∞)上单调递减.
证明 任取x1,x2∈(0,+∞),且x1∵00,x2+x1>0, >0.
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
∴函数f(x)= 在区间(0,+∞)上单调递减.(共28张PPT)
第二章
3 第2课时 函数的最值
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A 级 必备知识基础练
1.函数y=-|x|在R上( )
A.有最大值0,无最小值 B.无最大值,有最小值0
C.既无最大值,又无最小值 D.以上都不对
A
解析 因为函数y=-|x|的图象如图所示,所以函数y=-|x|在R上有最大值0,无最小值.
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2.若函数y=ax+1(a>0)在区间[1,3]上的最大值为4,则a=( )
A.2 B.3
C.1 D.-1
C
解析 因为a>0,所以一次函数y=ax+1在区间[1,3]上单调递增,所以当x=3时,函数y=ax+1取得最大值,故3a+1=4,解得a=1.故选C.
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3.函数 的值域是( )
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解析 函数 在定义域[2,+∞)上单调递增,
所以其最小值为2,值域为[2,+∞).
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4.函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5,5)内( )
A.有最大值42,有最小值12
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5.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为
L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量为x(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为( )
A.90万元 B.120万元 C.120.25万元 D.60万元
B
解析 设该公司在甲地销售x辆车,则在乙地销售(15-x)辆车,根据题意,总利润y=-x2+21x+2(15-x)(0≤x≤15,且x∈N),整理得y=-x2+19x+30.
因为该函数图象的对称轴为直线x= ,开口向下,又x∈N,所以当x=9,或x=10时,y取得最大值120万元.
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6.已知定义在(0,+∞)上的减函数f(x)满足条件:对任意x,y,且x>0,y>0,总有f(xy)=f(x)+f(y)-1,则关于x的不等式f(x-1)>1的解集是( )
A.(-∞,2) B.(1,+∞) C.(1,2) D.(0,2)
C
解析 令y=1,则f(x)=f(x)+f(1)-1,得f(1)=1,所以f(x-1)>1 f(x-1)>f(1).
又f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,所以 得11
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7.[人教B版教材例题]判断函数f(x)=3x+5,x∈[-1,6]的单调性,并求这个函数的最值.
解 任取x1,x2∈[-1,6]且x1因此,当-1≤x≤6时,有f(-1)≤f(x)≤f(6),从而这个函数的最小值为f(-1)=2,最大值为f(6)=23.
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8.已知函数f(x)=x2-2x+2.
(1)求f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值;
(2)若g(x)=f(x)-mx在区间[-1,2]上单调递增,求m的取值范围.
解 (1)因为f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
而x∈[-2,3],所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1.又f(-2)=(-2-1)2+1 =10,f(3)=(3-1)2+1=5,故f(-2)>f(3),所以函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值为10.
故m的取值范围是(-∞,-4].
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B 级 关键能力提升练
9.函数 的值域是( )
A.[-2,2]
B.[1,2]
C.[0,2]
C
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10.(多选题)对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如
[π]=3,[-1.08]=-2,定义函数f(x)=x-[x],则下列结论正确的是( )
A.f(-3.9)=f(4.1)
B.函数f(x)的最大值为1
C.函数f(x)的最小值为0
D.函数f(x)是增函数
AC
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解析 根据符号[x]的意义,讨论当自变量x取不同范围时函数f(x)=x-[x]的解析式:
当-1≤x<0时,[x]=-1,则f(x)=x-[x]=x+1;
当0≤x<1时,[x]=0,则f(x)=x-[x]=x;
当1≤x<2时,[x]=1,则f(x)=x-[x]=x-1;
当2≤x<3时,[x]=2,则f(x)=x-[x]=x-2.
画出函数f(x)=x-[x]的图象如图所示.
根据定义可知,f(-3.9)=-3.9-(-4)=0.1,f(4.1)=4.1-4=0.1,即f(-3.9)=f(4.1),所以A正确;
根据图象易判断,函数f(x)=x-[x]在最高点处取不到,所以B错误;函数图象最低点处函数值为0,所以C正确;
根据函数单调性,可知函数f(x)=x-[x]在特定区间内单调递增,在整个定义域内没有单调性,所以D错误.
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12.在实数的原有运算法则中,补充定义新运算“ ”如下:当a≥b时,a b=a;当aC
解析 当-2≤x≤1时,f(x)=1·x-2×2=x-4;
当11
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[-2,3)
解析 由题意得y=f(x)为增函数,∴3-a>0,且-(2-2)2≤2(3-a)+5a,∴-2≤a<3.
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14.用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值.设f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为 .
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解析 在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=10-x的图象.根据min{x+2,10-x}(x≥0)的含义可知,f(x)的图象应为图中实线部分
解方程x+2=10-x,得x=4,此时y=6,故两图象的交点坐标为(4,6).
由图象可知,函数f(x)的最大值为6.
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15.函数f(x)=2x- 的定义域为(0,1](a为实数).
(1)若函数y=f(x)在定义域上是减函数,求a的取值范围;
(2)若f(x)>5在定义域上恒成立,求a的取值范围.
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解 (1)任取x1,x2∈(0,1],且x1即a<-2x1x2恒成立,
∴a≤-2,即a的取值范围为(-∞,-2].
∴函数y=2x2-5x在区间(0,1]上单调递减,
∴当x=1时,函数y取得最小值-3,即a<-3,即a的取值范围为(-∞,-3).
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所以x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立.
记g(x)=x2+2x+a,x∈[1,+∞),
所以g(x)=(x+1)2+a-1在[1,+∞)上单调递增,故当x=1时,y取得最小值,最小值为3+a.
所以当3+a>0,即a>-3时,f(x)>0恒成立,
所以实数a的取值范围为(-3,+∞).
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C 级 学科素养创新练
17.已知函数f(x)=x2-mx+2.
(1)若f(x)在区间(-∞,1]上的最小值为-1,求实数m的值;
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17(共22张PPT)
第二章
3 第1课时 函数的单调性
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A 级 必备知识基础练
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1.(多选题)下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=2x+1
B.y=x2+7
C.y=3-x
D.y=x2+2x+1
ABD
解析 函数y=3-x在区间(0,+∞)上单调递减.
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2.函数f(x)=-x2+2x+3的单调递减区间是( )
A.(-∞,1)
B.(1,+∞)
C.(-∞,2)
D.(2,+∞)
B
解析 易知函数f(x)=-x2+2x+3是图象开口向下的二次函数,其对称轴为直线x=1,所以函数的单调递减区间是(1,+∞).
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3.已知函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,若a∈R,则( )
A.f(a)>f(2a)
B.f(a2)C.f(a2+a)D.f(a2+1)D
解析 选项D中,因为a2+1>a,f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,所以f(a2+1)1
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4.已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)C.(0,2) D.(0,+∞)
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5.函数y=f(x)(x∈[-4,4])的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间为( )
A.[-4,-2]
B.[-2,1]
C.[1,4]
D.[-4,-2]∪[1,4]
B
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6.若函数y=ax与y= 在区间(0,+∞)上都单调递减,则函数y=ax2+bx在区间(0,+∞)上( )
A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增
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B 级 关键能力提升练
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7.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)单调递增,当x∈(-∞,-2]时,f(x)单调递减,则m= .
-8
解析 ∵函数f(x)在区间(-∞,-2]上单调递减,在区间[-2,+∞)上单调递增,
∴其图象对称轴为直线 =-2,∴m=-8,即f(x)=2x2+8x+3.
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8.若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)= 在区间[1,2]上都单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1]
C.(0,1) D.(0,1]
D
解析 f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2,
∵f(x)在区间[1,2]上单调递减,∴a≤1.
∵g(x)= 在区间[1,2]上单调递减,∴a>0,∴01
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9.下列有关函数单调性的说法不正确的是( )
A.若f(x)为增函数,g(x)为增函数,则f(x)+g(x)为增函数
B.若f(x)为减函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为减函数
C.若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为增函数
D.若f(x)为减函数,g(x)为增函数,则f(x)-g(x)为减函数
C
解析 根据增函数、减函数的定义,知两个相同单调性的函数相加单调性不变,选项A,B正确;对于D,g(x)为增函数,则-g(x)为减函数,f(x)为减函数,f(x)+(-g(x))为减函数,选项D正确;对于C,若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)的单调性不确定.例如f(x)=x+2为R上的增函数,当g(x)=- x时, f(x)+g(x)= +2在R上为增函数;当g(x)=-3x时,f(x)+g(x)=-2x+2在R上为减函数,故不能确定f(x)+g(x)的单调性.故选C.
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10.若函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,a,b∈R且a+b≤0,则下列选项正确的是
( )
A.f(a)+f(b)≤-[f(a)+f(b)] B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)
C.f(a)+f(b)≥-[f(a)+f(b)] D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)
D
解析 因为a+b≤0,所以a≤-b,b≤-a,
又函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,
所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),
所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
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11.若函数 是定义域上的减函数,则实数a的取值范围为 .
[-3,-1]
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12.已知函数 ,若x1>x2>-2,则f(x1)>f(x2),则实数a的取值范围是 .
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(1)求m,n的值;
(2)当x∈[1,+∞)时,判断f(x)的单调性并证明;
(3)若不等式f(1+2x2)>f(x2-2x+4)成立,求实数x的取值范围.
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∵1≤x11,∴2x1x2-1>1,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)1
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(3)∵1+2x2≥1,x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,
∴只需1+2x2>x2-2x+4,
∴x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1.
即实数x的取值范围为(-∞,-3)∪(1,+∞).
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C 级 学科素养创新练
14.已知函数f(x)=x2+ (x≠0,a∈R),若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则a的取值范围为 .
(-∞,16]
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解析 任取x1,x2∈[2,+∞),且x10,
要使函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,需满足f(x2)-f(x1)>0在[2,+∞)上恒
成立.
∵x2-x1>0,x1x2>4>0,
∴a又x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16,∴a≤16,
即a的取值范围是(-∞,16].
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15.设f(x)是定义在R上的函数,对任意m,n∈R,恒有f(m+n)=f(m)·f(n)(f(m)≠0,f(n)≠0),且当x>0时,0(1)f(0)=1;
(2)当x∈R时,恒有f(x)>0;
(3)f(x)在R上是减函数.
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证明 (1)根据题意,令m=0,可得f(0+n)=f(0)·f(n),
∵f(n)≠0,∴f(0)=1.
(2)由题意知,当x>0时,0当x=0时,f(0)=1>0;
当x<0时,-x>0,
∴0∵f(0)=f(x+(-x))=f(x)·f(-x)=1,
故x∈R时,恒有f(x)>0.
(3)设任意的x1,x2∈R,且x1>x2,
则f(x1)=f(x2+(x1-x2)).
∴f(x1)-f(x2)=f(x2+(x1-x2))-f(x2)=f(x2)f(x1-x2)-f(x2)=f(x2)[f(x1-x2)-1].
由(2)知,f(x2)>0.
∵x1-x2>0,
∴0∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)故f(x)在R上是减函数.
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15第二章§3 函数的单调性和最值
第1课时 函数的单调性
A级 必备知识基础练
1.(多选题)下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是 ( )
A.y=2x+1
B.y=x2+7
C.y=3-x
D.y=x2+2x+1
2.函数f(x)=-x2+2x+3的单调递减区间是( )
A.(-∞,1)
B.(1,+∞)
C.(-∞,2)
D.(2,+∞)
3.已知函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,若a∈R,则( )
A.f(a)>f(2a)
B.f(a2)C.f(a2+a)D.f(a2+1)4.已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)A.,+∞
B.,1
C.(0,2)
D.(0,+∞)
5.函数y=f(x)(x∈[-4,4])的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间为( )
A.[-4,-2]
B.[-2,1]
C.[1,4]
D.[-4,-2]∪[1,4]
6.若函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)上都单调递减,则函数y=ax2+bx在区间(0,+∞)上( )
A.单调递增
B.单调递减
C.先增后减
D.先减后增
7.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)单调递增,当x∈(-∞,-2]时,f(x)单调递减,则m= .
B级 关键能力提升练
8.若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(0,1]
C.(0,1)
D.(0,1]
9.下列有关函数单调性的说法不正确的是( )
A.若f(x)为增函数,g(x)为增函数,则f(x)+g(x)为增函数
B.若f(x)为减函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为减函数
C.若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为增函数
D.若f(x)为减函数,g(x)为增函数,则f(x)-g(x)为减函数
10.若函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,a,b∈R且a+b≤0,则下列选项正确的是( )
A.f(a)+f(b)≤-[f(a)+f(b)]
B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)
C.f(a)+f(b)≥-[f(a)+f(b)]
D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)
11.若函数f(x)=是定义域上的减函数,则实数a的取值范围为 .
12.已知函数f(x)=,若x1>x2>-2,则f(x1)>f(x2),则实数a的取值范围是 .
13.已知函数f(x)=mx+(m,n是常数),且f(1)=2,f(2)=.
(1)求m,n的值;
(2)当x∈[1,+∞)时,判断f(x)的单调性并证明;
(3)若不等式f(1+2x2)>f(x2-2x+4)成立,求实数x的取值范围.
C级 学科素养创新练
14.已知函数f(x)=x2+(x≠0,a∈R),若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则a的取值范围为 .
15.设f(x)是定义在R上的函数,对任意m,n∈R,恒有f(m+n)=f(m)·f(n)(f(m)≠0,f(n)≠0),且当x>0时,0(1)f(0)=1;
(2)当x∈R时,恒有f(x)>0;
(3)f(x)在R上是减函数.
参考答案
§3 函数的单调性和最值
第1课时 函数的单调性
1.ABD 函数y=3-x在区间(0,+∞)上单调递减.
2.B 易知函数f(x)=-x2+2x+3是图象开口向下的二次函数,其对称轴为直线x=1,所以函数的单调递减区间是(1,+∞).
3.D 选项D中,因为a2+1>a,f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,所以f(a2+1)4.B 因为函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)5.B
6.B 由于函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)上都单调递减,所以a<0,-b>0,即a<0,b<0.因为抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=-<0,且抛物线开口向下,所以函数y=ax2+bx在区间(0,+∞)上单调递减.
7.-8 ∵函数f(x)在区间(-∞,-2]上单调递减,在区间[-2,+∞)上单调递增,∴其图象对称轴为直线x=-=-2,∴m=-8,即f(x)=2x2+8x+3.
8.D f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2,
∵f(x)在区间[1,2]上单调递减,∴a≤1.
∵g(x)=在区间[1,2]上单调递减,∴a>0,∴09.C 根据增函数、减函数的定义,知两个相同单调性的函数相加单调性不变,选项A,B正确;对于D,g(x)为增函数,则-g(x)为减函数,f(x)为减函数,f(x)+(-g(x))为减函数,选项D正确;对于C,若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)的单调性不确定.例如f(x)=x+2为R上的增函数,当g(x)=-x时,f(x)+g(x)=+2在R上为增函数;当g(x)=-3x时,f(x)+g(x)=-2x+2在R上为减函数,故不能确定f(x)+g(x)的单调性.故选C.
10.D 因为a+b≤0,所以a≤-b,b≤-a,
又函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,
所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),
所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
11.[-3,-1] 由题意可得解得-3≤a≤-1,
则实数a的取值范围是[-3,-1].
12 由“若x1>x2>-2,则f(x1)>f(x2)”可知函数f(x)在区间(-2,+∞)上单调递增.
而f(x)==a+,故有1-2a<0,解得a>,即a的取值范围为
13.解(1)∵f(1)=m+=2,f(2)=2m+,
(2)f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.证明如下,
由(1)得f(x)=x+
设1≤x1∵1≤x11,∴2x1x2-1>1,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.
(3)∵1+2x2≥1,x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,
∴只需1+2x2>x2-2x+4,
∴x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1.
即实数x的取值范围为(-∞,-3)∪(1,+∞).
14.(-∞,16] 任取x1,x2∈[2,+∞),且x10,f(x2)-f(x1)=[x1x2(x1+x2)-a].
要使函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,需满足f(x2)-f(x1)>0在[2,+∞)上恒成立.
∵x2-x1>0,x1x2>4>0,
∴a又x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16,∴a≤16,
即a的取值范围是(-∞,16].
15.证明(1)根据题意,令m=0,可得f(0+n)=f(0)·f(n),
∵f(n)≠0,∴f(0)=1.
(2)由题意知,当x>0时,0当x=0时,f(0)=1>0;
当x<0时,-x>0,
∴0∵f(0)=f(x+(-x))=f(x)·f(-x)=1,
∴f(x)=>0.
故x∈R时,恒有f(x)>0.
(3)设任意的x1,x2∈R,且x1>x2,
则f(x1)=f(x2+(x1-x2)).
∴f(x1)-f(x2)=f(x2+(x1-x2))-f(x2)=f(x2)f(x1-x2)-f(x2)=f(x2)[f(x1-x2)-1].
由(2)知,f(x2)>0.
∵x1-x2>0,
∴0∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)故f(x)在R上是减函数.(共38张PPT)
第二章
§3 第2课时 函数的最值
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
课程标准 1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.
2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值或值域.
3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.
基础落实·必备知识全过关
知识点 函数的最值
1.定义
名称 前提 条件 图象
函数的最大值M 设函数y=f(x)的定义域是D.若存在实数M,对所有的x∈D 都有 且存在x0∈D,使得 f(x0)=M 函数的最大值对应其图象 点的纵坐标
函数的最小值M 都有 函数的最小值对应其图象 点的纵坐标
注意M是一确定的实数
x0也可理解为方程f(x)=M的根
2.函数的最大值和最小值统称为最值.
f(x)≤M
f(x)≥M
最高
最低
名师点睛
函数的最值和值域的联系与区别
(1)联系:函数的最值和值域反映的都是函数的基本性质,针对的是整个定义域.
(2)区别:
①函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在;
②若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素.
过关自诊
1.[人教A版教材习题]设函数f(x)的定义域为[-6,11].如果f(x)在区间[-6,-2]上单调递减,在区间[-2,11]上单调递增,画出f(x)的一个大致的图象,从图象上可以发现f(-2)是函数f(x)的一个 .
最小值
解析 f(x)在[-6,11]上的大致图象如图所示.
2.[人教A版教材例题]已知函数 (x∈[2,6]),求函数的最大值和最小值.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 求函数的最值
角度1利用函数的图象求最值
【例1】 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.
由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-∞,2].
规律方法 图象法求最值的基本步骤
(1)画出f(x)的图象;
(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.
解 (1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.
角度2利用函数的单调性求最值
【例2】 已知函数f(x)=x+ .
(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;
(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.
解 (1)任取x1,x2∈[1,2],且x1∵x10,1∴f(x1)>f(x2),即f(x)在区间[1,2]上单调递减.
(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+ =4;f(x)的最大值为f(1),f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值为4,最大值为5.
变式探究本例已知条件不变,判断f(x)在区间[1,3]上的单调性,并求f(x)在区间[1,3]上的最值.
规律方法 函数的最值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(或单调递减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(或单调递减),在区间(b,c]上单调递减(或单调递增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.
(3)若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的线,则函数f(x)在区间[a,b]上一定有最值.
角度3利用数形结合思想与分类讨论思想求一元二次函数的最值
【例3】 求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值.
解 y=(x-a)2-1-a2.
当a<0时,函数在[0,2]上单调递增,如图①.
故函数在x=0处取得最小值-1,
在x=2处取得最大值3-4a.
当0≤a≤1时,结合函数图象(如图②)知,
函数在x=a处取得最小值-a2-1,
在x=2处取得最大值3-4a.
当1当a>2时,函数在区间[0,2]上单调递减,如图④.
函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.
综上,当a<0时,函数在区间[0,2]上的最小值为-1,最大值为3-4a;
当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;
当1当a>2时,函数在区间[0,2]上的最小值为3-4a,最大值为-1.
规律方法 1.探求一元二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的图象,再根据函数的单调性进行研究.特别要注意一元二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解一元二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.一元二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.
2.对于一元二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值可作如下
讨论:
对称轴x=h与[m,n]的位置关系 f(x)的单调性 最大值 最小值
hh>n 在[m,n]上单调递减 f(m) f(n)
m≤h≤n m≤h< 在[m,h]上单调递减,在(h,n]上单调递增 f(n) f(h)
h= f(m)或f(n) f(h)
变式训练2函数f(x)=x2-2x+2(其中x∈[t,t+1],t∈R)的最小值为g(t),求g(t)的表达式.
解 由函数f(x)=x2-2x+2知其图象的开口向上,对称轴为直线x=1.下面分三种情况讨论:
当t+1≤1,即t≤0时,如图①所示,此时函数f(x)在[t,t+1]上单调递减,∴g(t)=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1.当 即0探究点二 与最值有关的应用问题
【例4】 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金为3 600元时,能租出多少辆
(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大 最大月收益是多少
所以当x=4 050,即每辆车的月租金为4 050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是307 050元.
规律方法 1.本题建立的是一元二次函数模型,应利用配方法求函数的最值.
2.解函数应用题的一般步骤是
变式训练3某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:
其中x(单位:台)是仪器的产量.
(1)将利润表示为产量的函数f(x).
(2)当产量为何值时,公司所获利润最大 最大利润为多少元 (总收益=总成本+利润)
(2)当0≤x≤400时,f(x)=- (x-300)2+25 000,
∴当x=300时,f(x)max=25 000.
当x>400时,f(x)=60 000-100x单调递减,
f(x)<60 000-100×400<25 000.
∴当x=300时,f(x)max=25 000.即产量为300台时利润最大,最大利润为
25 000元.
探究点三 利用函数的最值解决恒成立问题
【例5】 已知x2-x+a>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.
规律方法 对于任意x∈D,f(x)>a恒成立,一般转化为最值问题:f(x)min>a来解决.对于任意x∈D,f(x)变式训练4已知ax2+x≤1对任意x∈(0,1]恒成立,求实数a的取值范围.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)函数的最值;
(2)一元二次函数在给定区间上的最值(或值域);
(3)与最值有关的应用.
2.方法归纳:数形结合法、分类讨论法.
3.常见误区:在求函数的最值时,一定注意函数的定义域,有值域不一定存在最值.
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
5
1.下列函数在[1,4]上最大值为3的是( )
A.y= +2 B.y=3x-2
C.y=x2 D.y=1-x
A
1
2
3
4
5
2.函数y=|x+1|+2的最小值是( )
A.0 B.-1 C.2 D.3
C
解析 y=|x+1|+2的图象如图所示.
由图可知函数的最小值为2.
1
2
3
4
5
3.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为( )
A.[0,3] B.[-1,0]
C.[-1,+∞) D.[-1,3]
D
解析 ∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],∴当x=1时,函数y取得最小值为-1;当x=3时,函数取得最大值为3.故函数的值域为[-1,3],故选D.
1
2
3
4
5
11
解析 当x∈[1,2]时,f(x)单调递增,其最大值为f(2)=10;当x∈[-4,1)时,f(x)单调递减,其最大值为f(-4)=11.故函数f(x)的最大值为11.
1
2
3
4
5
5.把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,求这两个正方形面积之和的最小值.