(共13张PPT)
第一章
2.2 全称量词与存在量词
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A 级 必备知识基础练
1.下列命题中,全称量词命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.
A.0 B.1 C.2 D.3
C
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2.已知命题p:某班所有的男生都爱踢足球,则命题p的否定是( )
A.某班至多有一个男生爱踢足球
B.某班至少有一个男生不爱踢足球
C.某班所有的男生都不爱踢足球
D.某班所有的女生都爱踢足球
B
解析 命题p是一个全称量词命题,它的否定是一个存在量词命题.
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3.下列四个命题中,既是存在量词命题又是真命题的是( )
A.斜三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x,使x3>0
C.任一无理数的平方必是无理数
D.存在一个负数x,使 >2
B
解析 选项A,C中的命题是全称量词命题,选项D中的命题是存在量词命题,但是假命题.只有B既是存在量词命题又是真命题.
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4.[2023杭州西湖区期末]命题“ x∈(1,+∞),x2-8=0”的否定为( )
A. x∈(-∞,1],x2-8≠0
B. x∈(-∞,1],x2-8=0
C. x∈(1,+∞),x2-8≠0
D. x∈(1,+∞),x2-8=0
C
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5.(多选题)对下列命题进行否定,得到的新命题是全称量词命题且为真命题的有( )
A. x∈R,x2-x+ <0
B.所有的正方形都是矩形
C. x∈R,x2+2x+2≤0
D.至少有一个实数x,使x3+1=0
AC
解析 命题的否定是全称量词命题,即原命题为存在量词命题,故排除B;再根据命题的否定为真命题,即原命题为假命题,又D为真命题,故选AC.
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6.命题“每个函数都有最大值”的否定是 ,且其为
命题(填“真”或“假”).
有些函数没有最大值
真
解析 命题的量词是“每个”,即为全称量词命题,因此其否定是存在量词命题,用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等,再否定结论.即有些函数没有最大值是真命题.
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7.已知命题p“ x≥3,使2x-1
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解析 因为命题p“ x≥3,使2x-1所以“ x≥3,使2x-1≥m”是真命题,故 ,即m≤5.
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B 级 关键能力提升练
8.“x∈R,关于x的不等式x3+1>0有解”等价于( )
A. x∈R,使x3+1>0
B. x∈R,使x3+1≤0
C. x∈R,有x3+1>0
D. x∈R,有x3+1≤0
A
解析 命题对x∈R,“关于x的不等式x3+1>0有解”为存在量词命题,
则根据存在量词命题的定义可知命题等价为“ x∈R,使得x3+1>0”.
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9.命题“ x∈R,x2-2x+3<0”的否定是( )
A. x∈R,x2-2x+3≥0
B. x∈R,x2-2x+3≥0
C. x R,x2-2x+3≥0
D. x R,x2-2x+3≥0
B
解析 命题“ x∈R,x2-2x+3<0”为存在量词命题,该命题的否定为“ x∈R,x2-2x+3≥0”,故选B.
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10.若命题p: x∈R,x2-4x+a=0为假命题,则实数a的取值范围是 ;p的否定是 .
{a|a>4}
x∈R,x2-4x+a≠0
解析 若命题p为假命题,则p的否定为 x∈R,x2-4x+a≠0为真命题,则
Δ=(-4)2-4a<0,解得a>4.
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11.用符号“ ”或“ ”表示下面的命题,并判断真假:
(1)实数的平方大于或等于0;
(2)存在一对实数(x,y),使2x-y+1<0成立.
解 (1)这是全称量词命题,隐藏了全称量词“所有的”.
改写后命题为: x∈R,有x2≥0,是真命题.
(2)改写后命题为: (x,y),x∈R,y∈R,使2x-y+1<0,是真命题.
如x=0,y=2时,2x-y+1=0-2+1=-1<0成立.
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C 级 学科素养创新练
12.能够说明“存在两个不相等的正数a,b,使得a-b=ab”是真命题的一组有序数对(a,b)为 . 第一章2.2 全称量词与存在量词
A级 必备知识基础练
1.下列命题中,全称量词命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知命题p:某班所有的男生都爱踢足球,则命题p的否定是( )
A.某班至多有一个男生爱踢足球
B.某班至少有一个男生不爱踢足球
C.某班所有的男生都不爱踢足球
D.某班所有的女生都爱踢足球
3.下列四个命题中,既是存在量词命题又是真命题的是 ( )
A.斜三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x,使x3>0
C.任一无理数的平方必是无理数
D.存在一个负数x,使>2
4.[2023杭州西湖区期末]命题“ x∈(1,+∞),x2-8=0”的否定为( )
A. x∈(-∞,1],x2-8≠0
B. x∈(-∞,1],x2-8=0
C. x∈(1,+∞),x2-8≠0
D. x∈(1,+∞),x2-8=0
5.(多选题)对下列命题进行否定,得到的新命题是全称量词命题且为真命题的有( )
A. x∈R,x2-x+<0
B.所有的正方形都是矩形
C. x∈R,x2+2x+2≤0
D.至少有一个实数x,使x3+1=0
6.命题“每个函数都有最大值”的否定是 ,且其为 命题(填“真”或“假”).
7.已知命题p“ x≥3,使2x-1B级 关键能力提升练
8.“x∈R,关于x的不等式x3+1>0有解”等价于( )
A. x∈R,使x3+1>0
B. x∈R,使x3+1≤0
C. x∈R,有x3+1>0
D. x∈R,有x3+1≤0
9.命题“ x∈R,x2-2x+3<0”的否定是( )
A. x∈R,x2-2x+3≥0
B. x∈R,x2-2x+3≥0
C. x R,x2-2x+3≥0
D. x R,x2-2x+3≥0
10.若命题p: x∈R,x2-4x+a=0为假命题,则实数a的取值范围是 ;p的否定是 .
11.用符号“ ”或“ ”表示下面的命题,并判断真假:
(1)实数的平方大于或等于0;
(2)存在一对实数(x,y),使2x-y+1<0成立.
C级 学科素养创新练
12.能够说明“存在两个不相等的正数a,b,使得a-b=ab”是真命题的一组有序数对(a,b)为 .
参考答案
2.2 全称量词与存在量词
1.C
2.B 命题p是一个全称量词命题,它的否定是一个存在量词命题.
3.B 选项A,C中的命题是全称量词命题,选项D中的命题是存在量词命题,但是假命题.只有B既是存在量词命题又是真命题.
4.C
5.AC 命题的否定是全称量词命题,即原命题为存在量词命题,故排除B;再根据命题的否定为真命题,即原命题为假命题,又D为真命题,故选AC.
6.有些函数没有最大值 真 命题的量词是“每个”,即为全称量词命题,因此其否定是存在量词命题,用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等,再否定结论.即有些函数没有最大值是真命题.
7.5 因为命题p“ x≥3,使2x-1所以“ x≥3,使2x-1≥m”是真命题,故3,即m≤5.
8.A 命题对x∈R,“关于x的不等式x3+1>0有解”为存在量词命题,
则根据存在量词命题的定义可知命题等价为“ x∈R,使得x3+1>0”.
9.B 命题“ x∈R,x2-2x+3<0”为存在量词命题,该命题的否定为“ x∈R,x2-2x+3≥0”,故选B.
10.{a|a>4} x∈R,x2-4x+a≠0 若命题p为假命题,则p的否定为 x∈R,x2-4x+a≠0为真命题,则Δ=(-4)2-4a<0,解得a>4.
11.解(1)这是全称量词命题,隐藏了全称量词“所有的”.
改写后命题为: x∈R,有x2≥0,是真命题.
(2)改写后命题为: (x,y),x∈R,y∈R,使2x-y+1<0,是真命题.
如x=0,y=2时,2x-y+1=0-2+1=-1<0成立.
12.()(答案不唯一) 由a-b=ab,a>0,b>0,得=1.答案不唯一,如(),()都符合题意.(共39张PPT)
第一章
2.2 全称量词与存在量词
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
目录索引
课程标准 1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的定义.
2.掌握判断全称量词命题与存在量词命题.
3.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定;能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 全称量词与全称量词命题
1.全称量词命题:
在给定集合中,断言 都具有同一种性质的命题叫作全称量词
命题.
2.全称量词:
在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词,用符号“ ”表示,读作“对任意的”.
所有元素
名师点睛
1.全称量词命题表示的数量可能是无限的,也可能是有限的,由题目而定.
2.一个全称量词命题可以包含多个变量,如“ x,y∈R,x2+y2≥0”.
3.有时全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来.如:“正方形是矩形”应理解为“所有的正方形是矩形”.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题.( )
(2)全称量词命题一定含有全称量词.( )
(3)“所有的素数都是奇数”是全称量词命题.( )
(4)“至少有一个三角形没有外接圆”是全称量词命题.( )
√
×
√
×
2.常见的全称量词还有哪些
解 常见的全称量词还有“任给”“凡是”等.
3.[人教A版教材例题]判断下列全称量词命题的真假:
(1)所有的素数都是奇数;
(2) x∈R,|x|+1≥1;
(3)对任意一个无理数x,x2也是无理数.
解 (1)2是素数,但2不是奇数,所以,全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题.
(2) x∈R,总有|x|≥0,因而|x|+1≥1,所以,全称量词命题“ x∈R,|x|+1≥1”是真命题.
(3) 是无理数,但( )2=2是有理数,所以,全称量词命题“对每一个无理数x,x2也是无理数”是假命题.
知识点2 存在量词与存在量词命题
1.存在量词命题:
在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.
2.存在量词: 至少有一个元素
在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词,用符号“ ”表示,读作“存在”.
名师点睛
1.含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.
2.一个存在量词命题可以包含多个变量,如“ a,b∈R,(a+b)2=(a-b)2”.
3.有些命题中虽然没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的
命题.( )
(2)“在实数集内,有些一元二次方程无解”是存在量词命题.( )
(3)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.( )
(4)“一元二次方程ax2+2x+1=0有实数解”是存在量词命题.( )
2.常见的存在量词还有哪些
√
√
√
√
解 常见的存在量词还有“有的”“对某些”等.
3.[人教A版教材例题]判断下列存在量词命题的真假:
(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;
(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;
(3)有些平行四边形是菱形.
解 (1)由于Δ=22-4×3=-8<0,因此一元二次方程x2+2x+3=0无实根,所以,存在量词命题“有一个实数x,使x2+2x+3=0”是假命题.
(2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行,因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以,存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题.
(3)由于正方形既是平行四边形又是菱形,所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题.
知识点3 全称量词命题与存在量词命题的否定
1.全称量词命题的否定
全称量词命题的否定是存在量词命题.
对于全称量词命题p: x∈M,x具有性质p(x),通常把它的否定表示为 x∈M,x不具有性质p(x).
2.存在量词命题的否定
存在量词命题的否定是全称量词命题.
对于存在量词命题p: x∈M,x具有性质p(x),通常把它的否定表示为 x∈M,x不具有性质p(x).
名师点睛
1.含有一个量词的命题与它的否定真假相反.所以当其中一个命题的真假不易判断时,可通过判断另一个命题的真假来得到.
2.含有一个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即将全称量词改为存在量词,将存在量词改为全称量词.
3.常见词语的否定
原词语 所有的 存在 任意的 是
否定 存在有 所有的 某些个 不是
原词语 都是 等于 大于
否定 不都是 不等于 不大于
过关自诊
1.[人教A版教材例题]写出下列全称量词命题的否定:
(1)所有能被3整除的整数都是奇数;
(2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上;
(3)对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3.
解 (1)该命题的否定:存在一个能被3整除的整数不是奇数.
(2)该命题的否定:存在一个四边形,它的四个顶点不在同一个圆上.
(3)该命题的否定: x∈Z,x2的个位数字等于3.
2.[人教A版教材例题]写出下列存在量词命题的否定:
(1) x∈R,x+2≤0;
(2)有的三角形是等边三角形;
(3)有一个偶数是素数.
解 (1)该命题的否定: x∈R,x+2>0.
(2)该命题的否定:所有的三角形都不是等边三角形.
(3)该命题的否定:任意一个偶数都不是素数.
3.[人教A版教材习题]将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式,并写出它们的否定:
(1)平行四边形的对角线互相平分;
(2)三个连续整数的乘积是6的倍数;
(3)三角形不都是中心对称图形;
(4)一元二次方程不总有实数根.
解 (1)任意一个平行四边形,它的对角线互相平分;
它的否定:存在一个平行四边形,它的对角线不互相平分.
(2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数;
它的否定:存在三个连续整数的乘积不是6的倍数.
(3)存在一个三角形不是中心对称图形;
它的否定:所有的三角形都是中心对称图形.
(4)存在一个一元二次方程没有实数根;
它的否定:任意一元二次方程都有实数根.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 全称量词命题与存在量词命题的辨析
【例1】 判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题.
(1)有些素数的和仍是素数;
(2)自然数的平方是正数.
解 因为(1)含有存在量词,所以命题(1)为存在量词命题;因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”,所以(2)含有全称量词,故为全称量词命题.
综上所述,(1)为存在量词命题,(2)为全称量词命题.
规律方法 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
变式训练1下列命题中,是全称量词命题的是 ,是存在量词命题的是 .(填序号)
①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;
③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.
①②③
④
探究点二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
【例2】 判断下列命题的真假.
(1) x∈Z,x3<1;
(2)存在一个四边形不是平行四边形;
(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;
(4) x∈N,x2>0.
解 (1)这是存在量词命题.因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1,它是真命题.
(2)这是存在量词命题,是真命题.如梯形是四边形,不是平行四边形.
(3)这是全称量词命题.由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真命题.
(4)这是全称量词命题.因为0∈N,02=0,所以命题“ x∈N,x2>0”是假命题.
规律方法 判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法
(1)要判断一个全称量词命题为真,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假时,只需在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假.
(2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为假.
变式训练2指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.
(1)存在一个实数,它的绝对值不是正数;
(2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示;
(3)存在一个实数x,使得等式x2+x+8=0成立.
解 (2)是全称量词命题,(1)(3)是存在量词命题.
(1)真命题.存在一个实数0,它的绝对值不是正数.
(2)假命题,如边长为1的正方形,其对角线的长度为 就不能用正有理数表示.
(3)假命题,方程x2+x+8=0的判别式Δ=-31<0,故方程无实数解.
探究点三 全称量词命题与存在量词命题的否定
【例3】 写出下列各命题的否定.
(1)p:对任意的正数x, >x-1;
(2)q:三角形有且仅有一个外接圆;
(3)r:存在一个三角形,它的内角和大于180°;
(4)s:有些素数是奇数.
解 (1)命题p的否定“存在正数x,使
(2)命题q的否定“存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆”.
(3)命题r的否定“所有三角形的内角和都小于或等于180°”.
(4)命题s的否定“所有的素数都不是奇数”.
规律方法 1.一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论,即得其否定.
2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.
变式训练3写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)p: x∈R,x2-x+ ≥0;
(2)q:所有的正方形都是矩形;
(3)r: x∈R,x2+3x+7≤0;
(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.
∴命题p的否定是假命题.
(2)命题q的否定“至少存在一个正方形不是矩形”,是假命题.
(3)命题r的否定“ x∈R,x2+3x+7>0”,是真命题.
∴命题r的否定是真命题.
(4)命题s的否定“对任意实数x,使x3+1≠0”,是假命题.
∵当x=-1时,x3+1=0,∴命题s的否定是假命题.
探究点四 根据命题的真假求参数的取值范围
【例4】 已知命题“ x∈R,x2+ax+1≥0”是假命题,求实数a的取值范围.
解 因为全称量词命题“ x∈R,x2+ax+1≥0”的否定是“ x∈R,x2+ax+1<0”.
由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题是真命题.
由于y=x2+ax+1的图象是开口向上的抛物线,借助一元二次函数的图象易知Δ=a2-4>0,解得a<-2或a>2.
所以实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).
变式探究(1)若本例中的“假命题”改为“真命题”,求实数a的取值范围.
(2)若本例中的“ x∈R”改为“ x>0”,求实数a的取值范围.
解 (1)由题意知Δ≤0,则a2-4≤0,得-2≤a≤2.所以实数a的取值范围为[-2,2].
(2)因为全称量词命题“ x>0,x2+ax+1≥0”的否定形式为:“ x>0,x2+ax+1<0”.
由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题是真命题.
由于y=x2+ax+1的图象是开口向上的抛物线,当 x=0时,y=1>0,借助一元二次函数的图象易知
解得a<-2,所以实数a的取值范围是(-∞,-2).
规律方法 求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称量词命题“ x∈M,a>y(或aymax(或a(2)对于存在量词命题“ x∈M,a>y(或aymin(或a本节要点归纳
1.知识清单:
(1)全称量词命题、存在量词命题的概念;
(2)含量词的命题的真假判断;
(3)全称量词命题、存在量词命题的否定及其命题真假的判断;
(4)通过含量词的命题的真假求参数的取
值范围.
2.方法归纳:定义法、转化法、特例法.
3.常见误区:有些命题省略了量词,全称量词命题强调“整体、全部”,存在量词命题强调“个别、部分”;否定不唯一,命题与其否定的真假性相反.
成果验收·课堂达标检测
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1.已知命题p: x∈R,x>a2+b2,则命题p的否定是( )
A. x∈R,xB. x∈R,x≤a2+b2
C. x∈R,x≤a2+b2
D. x∈R,xC
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2.(多选题)下列说法正确的是( )
A.存在x<0,x2-2x-3=0
B.对于一切实数x<0,都有|x|>x
C.对于任意x∈R, =x
D.“ n∈N+,2n2+5n+2能被2整除”是假命题
AB
解析 选项A中,存在x=-1<0,使x2-2x-3=0,故正确;
选项B中,对于一切实数x<0,都有|x|>x恒成立,故正确;
选项D中, n=2∈N+,2n2+5n+2=20能被2整除,为真命题,故错误.故选AB.
1
2
3
4
3.下列语句:①被7整除的数都是奇数;②|x-1|<2;③存在实数a使方程
x2-ax+1=0成立;④等腰梯形的对角线相等.
其中是全称量词命题且为真命题的是 .(填序号)
④
解析 全称量词命题有①④,其中①是假命题,如70.
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4.指出命题“空间中所有的四边形都共面”的量词,并判断真假.
解 量词为“所有的”.是假命题.