1.3.1 不等式的性质 （导学+作业课件+分层作业）（共3份打包）北师大版（2019）必修第一册

(共36张PPT)
第一章
3.1　不等式的性质
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
目录索引
课程标准 1.能够用作差法比较两个数或式的大小.
2.理解不等式的概念,掌握不等式的性质.
3.会用不等式的性质证明不等式或解决相关问题.
基础落实·必备知识全过关
知识点1　实数的大小比较
比较实数a,b大小的依据
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)比较两个代数式的大小只能用作差法.(　　)
(2)不等式x≥3的含义是指x不小于3.(　　)
(3)若a2.[人教A版教材习题]比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.
×
√
√
解 因为(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)=(x2+5x+6)-(x2+5x+4)=2>0,
所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).
知识点2　不等式的性质
名称 表达式
性质1(传递性) 如果a>b,且b>c,那么a>c
性质2(可加性) 如果a>b,那么a+c>b+c(c∈R)
性质3(乘法法则) 如果a>b,c>0,那么ac>bc;
如果a>b,c<0,那么ac性质4(同向不等式可加性) 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d
性质5(不等式的可乘性) 如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;
如果a>b>0,c乘方法则:当a>b>0时,an>bn,其中n∈N+,n≥2
性质6(开方法则) 当a>b>0时, ,其中n∈N+,n≥2
名师点睛
1.注意“等式”与“不等式”的异同,如:
等式 不等式 说明
a=b b=a a>b ba=b ac=bc(c≠0) a>b ac>bc或ac2.要注意各个不等式成立的前提,如性质4中两个不等式方向要相同,性质3中要按c的正负分情况.
3.由性质2,可得a+b>c a+b+(-b)>c+(-b) a>c-b,即不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边,称为移项法则,在解不等式时经常用到.
4.倒数法则:
如果a>b,ab>0,那么 ,结论成立的条件是a,b要同号.
过关自诊
1.[人教A版教材习题]下列命题为真命题的是(　　)
A.若a>b>0,则ac2>bc2
B.若a>b>0,则a2>b2
C.若aD.若aB
解析 A中,当c2=0时,ac2=bc2;
B中,a>b>0,由不等式的性质7可得a2>b2;
C中,令a=-2,b=-1,则a2=4,ab=2,b2=1,显然a2>ab>b2;
2.[人教A版教材习题]用不等号“>”或“<”填空:
(1)如果a>b,c(2)如果a>b>0,c>
<
<
<
解析 (1)因为c-d.因为a>b,所以a-c>b-d.
(2)因为c-d>0.
因为a>b>0,所以-ac>-bd,所以ac重难探究·能力素养全提升
探究点一　实数大小的比较
【例1】 比较下列各组中的两个代数式的大小:
(1)2x2+3与x+2,x∈R;
(2)a+2与 ,a∈R,且a≠1.
规律方法　作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:(1)作差;(2)变形,变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定号,即确定差的符号;(4)下结论,写出两个代数式的大小关系.
变式训练1若a∈R,p=a2-a+1, ,比较p与q的大小.
探究点二　不等式基本性质的应用
角度1应用不等式性质判断命题真假
【例2】 对于实数a,b,c,判断下列结论是否正确:
(1)若a>b,则ac2>bc2;
(2)若aab>b2;
(3)若c>a>b>0,则
解 (1)当c=0时,有ac2=bc2.故该结论错误.
规律方法　1.解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不等式的性质进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题中经常采用这种办法.
2.注意正确的倒数法则,应该是a>b,ab>0 ,不能误认为是a>b
在应用时不能出错.
变式训练2已知a,b,c满足cC
角度2应用不等式性质证明不等式
【例3】 若a>b>0,c∵a>b>0,c0,c+d<0,b-a<0,c-d<0.
∴(a+b)-(c+d)>0,(b-a)+(c-d)<0.
∵e<0,∴e[(a+b)-(c+d)][(b-a)+(c-d)]>0.
(方法二)∵c-d>0,又a>b>0,∴a-c>b-d>0,∴(a-c)2>(b-d)2>0,
规律方法　1.简单不等式的证明可直接由已知条件,利用不等式的性质,通过对不等式变形得证.
2.对于不等式两边都比较复杂的式子,直接利用不等式的性质不易证得,可考虑将不等式两边作差,然后进行变形,根据条件确定每一个因式的符号,利用符号法则判断最终的符号,完成证明.
角度3利用不等式性质求取值范围
【例4】 如果3解 因为3所以3+1故a+b的取值范围为(4,17).
又因为9<3a<21,-20<-2b<-2,
所以-11<3a-2b<19.
故3a-2b的取值范围为(-11,19).
规律方法　利用不等式的性质可以解决取值范围问题,当题目中出现两个变量求取值范围时,要注意两个变量是相互制约的,不能分割开来,应建立待求整体与已知变量之间的关系,然后根据不等式的性质求出取值范围.
变式训练4已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5,求9a-b的取值范围.
解 设9a-b=x(a-b)+y(4a-b),则9a-b=(x+4y)a-(x+y)b,
即-1≤9a-b≤20.故9a-b的取值范围为[-1,20].
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)不等式的性质;
(2)不等式的性质的应用.
2.方法归纳:作差法、配方法.
3.常见误区:注意不等式性质的单向性或双向性,即每条性质是否具有可逆性.
成果验收·课堂达标检测
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1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是(　　)
A.a>b>-b>-a
B.a>-b>-a>b
C.a>-b>b>-a
D.a>b>-a>-b
C
解析 由a+b>0知,a>-b,又b<0,∴-a0,∴a>-b>b>-a.
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2.(多选题)已知a,b,c∈R,则下列结论不正确的是(　　)
ABD
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3.(x+5)(x+7)　　　　(x+6)2.(填“>”“<”“≥”或“≤”)
<
解析 (x+5)(x+7)-(x+6)2=x2+12x+35-(x2+12x+36)=-1<0,所以(x+5)(x+7)<(x+6)2.
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4.已知1≤a≤2,3≤b≤6,则3a-2b的取值范围为　　　　　.
[-9,0]
解析 ∵1≤a≤2,3≤b≤6,∴3≤3a≤6,-12≤-2b≤-6,由不等式的性质得-9≤3a-2b≤0,即3a-2b的取值范围为[-9,0].
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第一章
3.1　不等式的性质
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A 级 必备知识基础练
A.b>a>c B.c>b>a
C.a>b>c D.c>a>b
A
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2.下列四个条件中,不能推出 成立的是(　　)
A.b>0>a B.0>a>b
C.a>0>b D.a>b>0
C
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3.(多选题)若a>b,x>y,则下列不等式错误的是(　　)
A.a+x>b+y B.a-x>b-y
C.ax>by D.
BCD
解析 因为a>b,x>y,根据不等式同向相加性质可得a+x>b+y,A正确,BCD错误.
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B
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5.用不等号填空:
(1)若a>b,则ac2　　　bc2.
(2)若a+b>0,b<0,则b　　　a.
(3)若a>b,c≥
<
>
解析 (1)∵任何数的平方一定大于或等于0,∴c2≥0.若a>b,则ac2≥bc2.
(2)∵a+b>0,b<0,则a>0,∴b(3)∵c-d.∵a>b,∴a-c>b-d.
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6.(多选题)已知a,b,c满足cA.ac(a-c)>0 B.c(b-a)<0
C.cb2ac
B 级 关键能力提升练
BCD
解析 ∵c∴ab>0>ac,cb2故选BCD.
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7.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要参数,其值通常在(0,1)之间,设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量,升级为一款新手机的外观,则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化(　　)
A.“屏占比”不变 B.“屏占比”变小
C.“屏占比”变大 D.变化不确定
C
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9.已知-11
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10.实数a,b满足-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4.
(1)求实数a,b的取值范围;
(2)求3a-2b的取值范围.
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解 (1)由-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4,
两式相加得,-4≤2a≤6,则-2≤a≤3.
由-1≤a-b≤4,得-4≤-a+b≤1,
又-3≤a+b≤2,
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C 级 学科素养创新练
11.有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且xA.ax+by+cz B.az+by+cx
C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz
B
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解析 由x=(x-z)(a-c)>0,
故ax+by+cz>az+by+cx;
同理,ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x)+c(x-z)=(x-z)(c-b)<0,
故ay+bz+cx因为az+by+cx-(ay+bz+cx)=a(z-y)+b(y-z)=(a-b)(z-y)<0,故az+by+cx故最低费用为az+by+cx.第一章§3　不等式
3.1　不等式的性质
A级 必备知识基础练
1.设实数a=,b=-1,c=,则(　　)
A.b>a>c B.c>b>a
C.a>b>c D.c>a>b
2.下列四个条件中,不能推出成立的是(　　)
A.b>0>a B.0>a>b
C.a>0>b D.a>b>0
3.(多选题)若a>b,x>y,则下列不等式错误的是(　　)
A.a+x>b+y B.a-x>b-y
C.ax>by D.
4.已知2A. B.
C.,1 D.,2
5.用不等号填空:
(1)若a>b,则ac2　　　bc2.
(2)若a+b>0,b<0,则b　　　a.
(3)若a>b,cB级 关键能力提升练
6.(多选题)已知a,b,c满足cA.ac(a-c)>0 B.c(b-a)<0
C.cb2ac
7.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要参数,其值通常在(0,1)之间,设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量,升级为一款新手机的外观,则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化(　　)
A.“屏占比”不变
B.“屏占比”变小
C.“屏占比”变大
D.变化不确定
8.设a>b>0,则　　　.(用“>”“<”“≥”或“≤”填空)
9.已知-110.实数a,b满足-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4.
(1)求实数a,b的取值范围;
(2)求3a-2b的取值范围.
C级 学科素养创新练
11.有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且xA.ax+by+cz B.az+by+cx
C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz
参考答案
§3　不等式
3.1　不等式的性质
1.A　-1=,
+1<,,即b>a>c.
2.C　若a>b>0,则ab>0,可得,D正确;若0>a>b,则ab>0,可得,B正确;若b>0>a,则>0>,A正确;若a>0>b,则>0>,C错误.
3.BCD　因为a>b,x>y,根据不等式同向相加性质可得a+x>b+y,A正确,BCD错误.
4.B　原式分子和分母同时除以x,得,
由题得2<-2y<6,所以<-,
即<-<3,
所以<1-<4,所以
故选B.
5.(1)≥　(2)<　(3)>　(1)∵任何数的平方一定大于或等于0,∴c2≥0.若a>b,则ac2≥bc2.
(2)∵a+b>0,b<0,则a>0,∴b(3)∵c-d.∵a>b,∴a-c>b-d.
6.BCD　∵c∴ab>0>ac,cb2故选BCD.
7.C　设升级前“屏占比”为,升级后“屏占比”为(a>b>0,m>0),因为>0,所以该手机“屏占比”和升级前比变大.
8.>　∵a>b>0,∴a-b>0,a2>b2,
>0,>0,<0,
∴0<,
9.(-,12)　设x+y=m,x-y=n,则x=,y=,所以3x+2y=3+2因为-110.解 (1)由-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4,
两式相加得,-4≤2a≤6,则-2≤a≤3.
由-1≤a-b≤4,得-4≤-a+b≤1,
又-3≤a+b≤2,
两式相加得-7≤2b≤3,即-b
故a的取值范围是[-2,3],b的取值范围是[-].
(2)设3a-2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b,
则解得
∴3a-2b=(a+b)+(a-b).
∵-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4,
∴-(a+b)≤1,-(a-b)≤10,
则-4≤3a-2b≤11,故3a-2b的取值范围是[-4,11].
11.B　由x0,
故ax+by+cz>az+by+cx;
同理,ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x)+c(x-z)=(x-z)(c-b)<0,
故ay+bz+cx因为az+by+cx-(ay+bz+cx)=a(z-y)+b(y-z)=(a-b)(z-y)<0,故az+by+cx故最低费用为az+by+cx.