(共21张PPT)
第一章
2.1 第2课时 习题课 充分条件与必要条件的综合应用
重难探究·能力素养全提升
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目录索引
重难探究·能力素养全提升
探究点一 充要条件的证明
【例1】 已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
证明 (必要性)
∵a+b=1,∴a+b-1=0.
∴a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
(充分性)
∵a3+b3+ab-a2-b2=0,∴(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
又ab≠0,∴a≠0,且0b≠0.
∴a+b-1=0,即a+b=1.
综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
规律方法 充要条件的证明
(1)充要条件的证明问题,关键是理清题意,认清条件与结论分别是什么.
(2)证明p是q的充要条件,既要证明“p q”为真,又要证明“q p”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.
(3)证明p的充要条件是q,既要证明“p q”为真,又要证明“q p”为真,前者证明的是必要性,后者证明的是充分性.
变式训练1求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
证明 (必要性)
∵关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
∴x=1满足方程ax2+bx+c=0.
∴a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.
(充分性)
∵a+b+c=0,∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,可得ax2+bx-a-b=0,
即(x-1)(ax+a+b)=0.
因此,方程有一个根为x=1.故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
探究点二 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围
【例2】 已知p:-4
A.(-1,6) B.[-1,6]
C.(-∞,-1)∪(6,+∞) D.(-∞,-1]∪[6,+∞)
A
解析 设q,p表示的范围分别为集合A,B,
则A=(2,3),B=(a-4,a+4).
因为q是p的充分条件,则有A B,即
所以-1≤a≤6.故选B.
变式探究例2中,是否存在实数a,使p是q成立的必要不充分条件 若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
解 存在.设q,p表示的范围分别为集合A,B,则A=(2,3),B=(a-4,a+4).若p是q的必要不充分条件,则A B.需
故存在这样的实数a,a的取值范围为[-1,6].
规律方法 根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下:
(1)记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)};
(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系:
条件类别 集合M与N的关系
p是q的充分不必要条件 M N
p是q的必要不充分条件 M N
p是q的充要条件 M=N
p是q的充分条件 M N
p是q的必要条件 M N
(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组);
(4)解不等式(组)求出参数的取值范围.
探究点三 由传递性判断命题间的关系
【例3】 已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么:
(1)s是q的什么条件
(2)r是q的什么条件
(3)p是q的什么条件
解 (1)∵q是s的充分条件,∴q s.
∵q是r的必要条件,∴r q.
∵s是r的充分条件,∴s r.
∴s r q s.即s是q的充要条件.
(2)由r q,q s r,知r是q的充要条件.
(3)∵p是r的必要条件,∴r p,∴q r p.
∴p是q的必要不充分条件.
规律方法 解决传递性问题的关键是画出推出的结构图,也可以考虑命题之间的关系.
变式训练2如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么( )
A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
A
解析 如图所示,∵甲是乙的必要条件,
∴乙 甲.
∵丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,∴丙 乙,但乙不能推出丙.
综上,有丙 乙 甲,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)充要条件概念的理解;
(2)充要条件的证明;
(3)根据条件求参数范围.
2.方法归纳:等价转化法、特例法.
3.常见误区:条件和结论辨别不清.
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1.在四边形ABCD中,“四边形ABCD为平行四边形”是“AB与CD平行且相等”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
C
解析 四边形ABCD为平行四边形等价于AB与CD平行且相等.故选C.
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2.(多选题)在下列各选项中,p是q的充要条件的是( )
A.p:A B,q:A∩B=A
B.p:a=b,q:|a|=|b|
C.p:|x|+|y|=0,q:x=y=0
D.p:a,b都是偶数,q:a+b是偶数
AC
解析A,C中,p都是q的充要条件;B中,p是q的充分不必要条件;D中,p是q的充分不必要条件.
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3.已知集合A={x|x2+x-6≤0},B={x|3-m≤x≤m+5},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数m的取值范围为 .
[6,+∞)
解析 由题得A={x|x2+x-6≤0}={x|-3≤x≤2},因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,
所以实数m的取值范围为[6,+∞).
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4.“有两个角之和为90°的三角形称为直角三角形”是否可以作为直角三角形的定义 为什么
解 可以作为直角三角形的定义.
因为“有两个角之和为90°的三角形” “有一个内角为90°的三角形” “直角三角形”,即“有两个角之和为90°的三角形”是“直角三角形”的充要条件,
故“有两个角之和为90°的三角形称为直角三角形”可以作为直角三角形的定义.
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5.求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点的充要条件是b=0.
证明 充分性:如果b=0,那么y=kx.当x=0时,y=0,
所以一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点.
必要性:因为一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点,所以当x=0时,y=0,即k×0+b=0,所以b=0.
故可得证.(共38张PPT)
第一章
2.1 第1课时 必要条件与充分条件
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
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目录索引
课程标准 1.理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.
2.理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.
3.理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.
4.掌握充分条件、必要条件的判断方法.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 必要条件与性质定理
1.当命题表示为“若p,则q”时,p是命题的条件,q是命题的结论.当命题“若p,则q”是真命题时,就说由p推出q,记作p q.
“若p,则q”为假命题时,得不出q是p的必要条件
2.一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的必要条件.也就是说,一旦q不成立,p一定也不成立,即q对于p的成立是必要的.
名师点睛
说条件是必要的,就是说该条件必须要有,是必不可少的.简单地说,就是“有它不一定能成立,但没它一定不成立”.
过关自诊
[人教A版教材例题]下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件
(1)若四边形为平行四边形,则这个四边形的两组对角分别相等;
(2)若两个三角形相似,则这两个三角形的三边成比例;
(3)若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形;
(4)若x=1,则x2=1;
(5)若ac=bc,则a=b;
(6)若xy为无理数,则x,y为无理数.
解 (1)这是平行四边形的一条性质定理,p q,所以,q是p的必要条件.
(2)这是三角形相似的一条性质定理,p q,所以,q是p的必要条件.
(3)如图,四边形ABCD的对角线互相垂直,但它不是菱形,
p q,所以,q不是p的必要条件.
(4)显然,p q,所以,q是p的必要条件.
(5)由于(-1)×0=1×0,但-1≠1,p q,所以,q不是p的必要条件.
(6)由于 为无理数,但1, 不全是无理数,p q,所以,q不是p的必要条件.
知识点2 充分条件与判定定理
“若p,则q”为假命题时,得不出p是q的充分条件
一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称p是q的充分条件.
综上,对于真命题“若p,则q”,即p q时,称q是p的必要条件,也称p是q的充分条件.
名师点睛
1.说条件是充分的,也就是说这个条件足以保证结论成立.即要使结论成立,只要有它就可以了.
2.可以把充分条件理解为“有之即可,无之也行”.
过关自诊
1.[人教A版教材习题]下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件
(1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上,则PA=PB;
(2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等,则这两个三角形全等;
(3)若两个三角形相似,则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.
解 (1)由线段垂直平分线的性质,p q,p是q的充分条件.
(2)两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等,p q,p不是q的充分条件.
(3)由相似三角形的性质,p q,p是q的充分条件.
2.[人教A版教材习题]如图,直线a与b被直线l所截,分别得到了∠1,∠2,∠3和∠4.请根据这些信息,写出几个“a∥b”的充分条件和必要条件.
解 “a∥b”的充分条件:∠1=∠2或∠1=∠4或∠1+∠3=180°;
“a∥b”的必要条件:∠1=∠2或∠1=∠4或∠1+∠3=180°.
知识点3 充要条件
1.一般地,如果p q,且q p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作p q.
2.p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”,或“p与q等价”.
3.当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件.
名师点睛
设集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若x具有性质p,则x∈A;若x具有性质q,则x∈B.
结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p与q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要的条件
p,q的关系 p q,且q 不能推出p q p,且p 不能推出q p q p不能推出q,且q不能推出p
集合 A B B A A=B A不包含于B且B不包含于A
命题 真假 “若p,则q”是真命题,且“若q,则p”是假命题 “若p,则q”是假命题,且“若q,则p”是真命题 “若p,则q”是真命题,且“若q,则p”是真命题 “若p,则q”是假命题,且“若q,则p”是假命题
过关自诊
1.判断p是q的什么条件时,有哪些可能情况
解 (1)如果p q,且q不能推出p,则称p是q的充分不必要条件;
(2)如果p不能推出q,且q p,则称p是q的必要不充分条件;
(3)如果p q,且q p,则称p是q的充要条件;
(4)如果p不能推出q,且q不能推出p,则称p是q的既不充分也不必要的条件.
2.[人教A版教材习题]下列各题中,哪些p是q的充要条件
(1)p:三角形为等腰三角形,q:三角形存在两角相等;
(2)p:☉O内两条弦相等,q:☉O内两条弦所对的圆周角相等;
(3)p:A∩B为空集,q:A与B之一为空集.
解 (1)p q,所以p是q的充要条件.
(2)☉O内两条弦相等,它们所对的圆周角相等或互补,
因此,p q,所以p不是q的充要条件.
(3)取A={1,2},B={3},
显然,A∩B= ,但A与B均不为空集,因此,p q,所以p不是q的充要条件.
3.[人教A版教材习题]分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.
解 “两个三角形全等”的充要条件如下:
①三边对应相等;②两边及其夹角对应相等;③两角及其夹边对应相等;④两角及一角的对边对应相等.
“两个三角形相似”的充要条件如下:
①三个内角对应相等(或两个内角对应相等);②三边对应成比例;③两边对应成比例且夹角相等.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 必要条件与充分条件的判断
角度1必要条件的判断
【例1】 指出下列哪些命题中q是p的必要条件
(1)p:一个四边形是矩形,q:四边形的对角线相等;
(2)p:A B,q:A∩B=A;
(3)p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5.
解 (1)因为矩形的对角线相等,即p q,所以q是p的必要条件.
(2)因为p q,所以q是p的必要条件.
(3)因为p推不出q,所以q不是p的必要条件.
规律方法 必要条件的两种判断方法
(1)定义法:
(2)命题判断方法:
如果命题:“若p,则q”是真命题,则q是p的必要条件;
如果命题:“若p,则q”是假命题,则q不是p的必要条件.
变式训练1下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件
(1)若|x|=|y|,则x=y;
(2)若△ABC是直角三角形,则△ABC是等腰三角形;
(3)p:三角形是等边三角形,q:三角形是等腰三角形.
解 (1)若|x|=|y|,则x=y或x=-y,因此p推不出q,所以q不是p的必要条件.
(2)直角三角形不一定是等腰三角形,因此p推不出q,所以q不是p的必要条件.
(3)等边三角形一定是等腰三角形,所以p q,所以q是p的必要条件.
角度2充分条件的判断
【例2】 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件
(1)若a∈Q,则a∈R;
(2)在△ABC中,若∠A>∠B,则BC>AC;
(3)已知a,b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0.
解 (1)由于Q R,所以p q,所以p是q的充分条件.
(2)由三角形中大角对大边可知,若∠A>∠B,则BC>AC,因此p q,所以p是q的充分条件.
(3)因为a,b∈R,所以a2≥0,b2≥0,由a2+b2=0,可推出a=b=0,即p q,所以p是q的充分条件.
规律方法 充分条件的两种判断方法
(1)定义法:
(2)命题判断方法:
如果命题:“若p,则q”是真命题,则p是q的充分条件;
如果命题:“若p,则q”是假命题,则p不是q的充分条件.
变式训练2下列命题中,p是q的充分条件的是 .(填序号)
①p:(x-2)(x-3)=0,q:x-2=0;
②p:a是自然数,q:a是正整数;
③p:m<-2,q:方程x2-x-m=0无实根.
③
解析 ①∵(x-2)(x-3)=0,
∴x=2或x=3,不能推出x-2=0.
∴p不是q的充分条件.
②0是自然数,但是0不是正整数,
∴p推不出q,
∴p不是q的充分条件.
③∵m<-2,∴1+4m<0,∴方程x2-x-m=0无实根,
∴p是q的充分条件.
探究点二 充分条件、必要条件、充要条件的探求
【例3】 (1)不等式1- >0成立的充分不必要条件是( )
A.x>1
B.x>-1
C.x<-1或0D.-10
A
解析由1- >0可得 <1,解得x>1或x<0,结合四个选项可得其成立的充分不必要条件是x>1.
(2)1<2x+2<8的一个必要不充分条件是( )
B
解析求解不等式1<2x+2<8可得- 规律方法 1.探究一个命题成立的充分不必要条件以及必要不充分条件时,往往可以先找到其成立的充要条件,然后通过对充要条件的范围放大或缩小,得到相应的充分不必要条件或必要不充分条件.
2.如果p是q的充分不必要条件,那么p并不是唯一的,可以有多个;同样,如果p是q的必要不充分条件,那么p也不是唯一的,可以有多个;但如果p是q的充要条件,那么p是唯一的.
变式训练3下列不等式:①x<1;②0-1.其中,可以作为x2<1的充分不必要条件的有 ;可以作为x2<1的必要不充分条件的有 .(填序号)
②③
①⑤
解析 由x2<1,得-1-1},所以x<1和x>-1均可作为x2<1的一个必要不充分条件.
【例4】 已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个正实数根的充要条件.
规律方法 寻求q的充要条件有两种方法
(1)等价转化法:将原命题进行等价转化,直至获得其成立的充要条件,其中求解的过程也是证明的过程,因为过程的每一步都是等价的,所以不需要将充分性和必要性分开来证.
(2)非等价转化法:先寻找必要条件,再证明充分性,即从必要性和充分性两方面说明.
变式训练4“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的充要条件是( )
A.m> B.m<
C.m<1 D.m>1
A
解析 ∵不等式x2-x+m>0在R上恒成立,
∴Δ=1-4m<0,解得m>
又∵m> 时,Δ=1-4m<0,∴“m> ”是“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的充要条件.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)必要条件、充分条件的概念;
(2)必要性、充分性的判断;
(3)必要条件与性质定理、充分条件与判定定理的关系;
(4)充要条件的概念、判断和证明;
(5)必要条件、充分条件的应用.
2.方法归纳:反例法,等价转化法.
3.常见误区:必要条件、充分条件不唯一;求参数范围能否取到端点值;不能正确理解“倒装”的命题;充要条件中的条件和结论辨别不清.
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1.若p是q的充分不必要条件,则q是p的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
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解析 因为p是q的充分不必要条件,所以p q,q推不出p,所以q是p的必要不充分条件.
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2.“两条直线都和第三条直线平行”是“这两条直线互相平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A
解析 由两条直线都和第三条直线平行可得这两条直线互相平行,但由两条直线相互平行不能得出这两条直线都和第三条直线平行.故选A.
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3.设x∈R,则x>2的一个必要不充分条件是( )
A.x>1 B.x<1
C.x>3 D.x<3
A
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4.已知a,b是实数,则“a>0,且b>0”是“a+b>0,且ab>0”的 条件.
充要
解析 a>0,且b>0 a+b>0,且ab>0;a+b>0,且ab>0 a>0,且b>0,故为充要条件.
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5.写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件:
充要条件① ;
充要条件② .
(写出你认为正确的两个充要条件)
两组对边分别平行
一组对边平行且相等2.1 必要条件与充分条件
第1课时 必要条件与充分条件
A级 必备知识基础练
1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件
2.设a∈R,则“a>”是“a2>2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
3.[2023上海普陀区期末]设p:x<5,q:x<6,那么p是q成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
4.下列不等式:
①x<;②0其中可以作为x2<2的一个充分条件的所有序号为 .
B级 关键能力提升练
5.命题p:a>b,命题q:a+c>b+c(其中a,b,c∈R),那么p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件
6.在下列电路图中,分别指出开关A闭合是灯泡B亮的什么条件:
①中,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的 条件;
②中,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的 条件;
③中,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的 条件;
④中,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的 条件.
C级 学科素养创新练
7.求“关于x的一元二次方程x2-mx+m2-4=0有两个不相等的正实根”的充要条件.
参考答案
§2 常用逻辑用语
2.1 必要条件与充分条件
第1课时 必要条件与充分条件
1.B 由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”,但由“四边形是正方形”必推出“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.
2.A 当a>时,有a2>2成立.当a2>2时,a>不一定成立,如a=-3时,满足a2>2,但a>不成立.所以“a>是“a2>2”的充分不必要条件.故选A.
3.A x<5能推出x<6,充分性成立;x<6不能推出x<5,必要性不成立,故p是q成立的充分不必要条件.故选A.
4.②③④ 由x2<2,得-5.C 若a>b,则a+c>b+c,所以命题p可以得出命题q成立;若a+c>b+c,则a+c-c>b+c-c,即a>b,所以命题q可以得出命题p成立.
所以p是q的充要条件.
故选C.
6.①充要 ②必要不充分 ③既不充分也不必要的 ④充分不必要 ①开关A闭合,灯泡B亮;反之,灯泡B亮,开关A闭合,于是“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件;②仅当开关A,C都闭合时,灯泡B才亮;反之,灯泡B亮,开关A必须闭合,故“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件;③开关A不起作用,故“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要的条件;④开关A闭合,灯泡B亮;但灯泡B亮,只需开关A或C闭合,故“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件.
7.解设x1,x2为关于x的一元二次方程x2-mx+m2-4=0的两个不相等的正实根,
则
解得所以2因此“关于x的一元二次方程x2-mx+m2-4=0有两个不相等的正实根”的充要条件是“2第一章
2.1 第1课时 必要条件与充分条件
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A 级 必备知识基础练
1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件
B
解析 由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”,但由“四边形是正方形”必推出“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.
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2.设a∈R,则“a> ”是“a2>2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
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3.[2023上海普陀区期末]设p:x<5,q:x<6,那么p是q成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
A
解析 x<5能推出x<6,充分性成立;x<6不能推出x<5,必要性不成立,故p是q成立的充分不必要条件.故选A.
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4.下列不等式:
其中可以作为x2<2的一个充分条件的所有序号为 .
②③④
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B 级 关键能力提升练
5.命题p:a>b,命题q:a+c>b+c(其中a,b,c∈R),那么p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件
C
解析 若a>b,则a+c>b+c,所以命题p可以得出命题q成立;若a+c>b+c,则a+c-c>b+c-c,即a>b,所以命题q可以得出命题p成立.
所以p是q的充要条件.
故选C.
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6.在下列电路图中,分别指出开关A闭合是灯泡B亮的什么条件:
①中,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的 条件;
②中,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的 条件;
③中,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的 条件;
④中,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的 条件.
充要
必要不充分
既不充分也不必要的
充分不必要
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C 级 学科素养创新练
7.求“关于x的一元二次方程x2-mx+m2-4=0有两个不相等的正实根”的充要条件.
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7(共12张PPT)
第一章
2.1 第2课时 习题课 充分条件与必要条件的综合应用
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A 级 必备知识基础练
1.“(2x-1)x=0”是“x=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
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B
解析 由(2x-1)x=0得x=0或x= ,故(2x-1)x=0是x=0的必要不充分条件.故选B.
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2.若p:x-1≤1,q:x≤a,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.(-2,+∞) D.(-∞,-2)
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A
解析 由x-1≤1,得x≤2.设A={x|x≤2},B={x|x≤a},因为p是q的充分不必要条件,所以A是B的真子集.则a>2.故选A.
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3.已知集合A={x|a-2( )
A.0≤a≤2 B.-2C.09
A
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4.已知p:-19
(2,+∞)
解析 由题意,命题p:-13,解得m>2,即实数m的取值范围是(2,+∞).
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5.求证:“关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根”的充要条件是“ac<0”.
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证明 (充分性)
因为ac<0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0.
故一元二次方程一定有两个不相等实根,设为x1,x2,
则x1x2= <0,所以方程的两根异号.
即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.
(必要性)
一元二次方程有一正根和一负根,设为x1,x2,
则由根与系数的关系得x1x2= <0,即ac<0.
综上可知,“一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根”的充要条件是“ac<0”.
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B 级 关键能力提升练
6.设x,y∈R,则“xA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
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B
解析 当y=0时,由x由(x-y)·y2<0,得x-y<0,则x故“x1
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7.已知p:|x|0),q:-19
(-∞,2]
[3,+∞)
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8.已知p:00),q:x(x-4)<0,若p是q的既不充分也不必要的条件,求实数m的取值范围.
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C 级 学科素养创新练
9.已知ab≠0,求证:a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要条件是“a-b=0”.
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证明 (1)充分性 因为a-b=0,所以a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2)=0成立.
(2)必要性
因为a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2)=0,
又ab≠0,所以a≠0且b≠0,
所以a-b=0成立.综上,a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要条件是“a-b=0”.第一章第2课时 习题课 充分条件与必要条件的综合应用
A级 必备知识基础练
1.“(2x-1)x=0”是“x=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
2.若p:x-1≤1,q:x≤a,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.(-2,+∞) D.(-∞,-2)
3.已知集合A={x|a-2A.0≤a≤2 B.-2C.04.已知p:-15.求证:“关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根”的充要条件是“ac<0”.
B级 关键能力提升练
6.设x,y∈R,则“xA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
7.已知p:|x|0),q:-18.已知p:00),q:x(x-4)<0,若p是q的既不充分也不必要的条件,求实数m的取值范围.
C级 学科素养创新练
9.已知ab≠0,求证:a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要条件是“a-b=0”.
参考答案
第2课时 习题课 充分条件与必要条件
的综合应用
1.B 由(2x-1)x=0得x=0或x=,故(2x-1)x=0是x=0的必要不充分条件.故选B.
2.A 由x-1≤1,得x≤2.设A={x|x≤2},B={x|x≤a},因为p是q的充分不必要条件,所以A是B的真子集.则a>2.故选A.
3.A 由A∩B= ,得故0≤a≤2.
4.(2,+∞) 由题意,命题p:-13,解得m>2,即实数m的取值范围是(2,+∞).
5.证明(充分性)
因为ac<0,
所以一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0.
故一元二次方程一定有两个不相等实根,设为x1,x2,
则x1x2=<0,
所以方程的两根异号.
即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.
(必要性)
一元二次方程有一正根和一负根,设为x1,x2,
则由根与系数的关系得x1x2=<0,即ac<0.
综上可知,“一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根”的充要条件是“ac<0”.
6.B 当y=0时,由x由(x-y)·y2<0,得x-y<0,则x故“x7.(-∞,2] [3,+∞) p:-a所以故a≤2.
若p是q的必要条件,则(-2,3) (-a,a),
所以则a≥3.
8.解由p解得-m由x(x-4)<0,得解得0若p是q的充分条件,则有解得m无解;
若p是q的必要条件,则有解得m≥2.
因此当p是q的既不充分也不必要的条件时,实数m的取值范围是(0,2).
9.证明(1)充分性
因为a-b=0,所以a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2)=0成立.
(2)必要性
因为a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2)=0,
而a2-ab+b2=(a-)2+,
又ab≠0,
所以a≠0且b≠0,
从而(a-)2≥0,且>0,
所以a2-ab+b2=(a-)2+>0,
所以a-b=0成立.
综上,a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要条件是“a-b=0”.