(共38张PPT)
第一章
4.1 一元二次函数
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
目录索引
课程标准 1.熟练掌握一元二次函数一般形式和顶点形式.
2.能利用配方法化一元二次函数一般式为顶点式.
3.掌握一元二次函数y=ax2到y=a(x-h)2+k的图象变换方法,并由一元二次函数图象得到其相关性质.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 一元二次函数的图象及其变换
1.通常把一元二次函数的图象叫作抛物线.
2.一元二次函数y=a(x-h)2+k的图象可以由y=ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度,再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到.
“左加右减”
“上加下减”
名师点睛
一元二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0),a决定了一元二次函数图象的开口大小及方向;h决定了一元二次函数图象的左右平移;k决定了一元二次函数图象的上下平移.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)函数y=-(x-1)2+3的图象可由函数y=-x2的图象向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度而得到.( )
(2)一元二次函数的图象是抛物线,开口可以向左或向右.( )
2.将一元二次函数y=-2x2的顶点移到(-3,2),开口大小与方向不变,得到的新函数的解析式为 .
√
×
y=-2(x+3)2+2
解析 可设新函数的解析式为y=a(x-h)2+k,由平移规律知h=-3,k=2,因为开口大小与方向不变,故a=-2.所以新函数的解析式为y=-2(x+3)2+2.
知识点2 一元二次函数的性质
一元二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的性质如下:
类别 a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
类别 a>0 a<0
顶点坐标 (h,k) (h,k)
图象对称轴方程 x=h x=h
函数值的变化趋势 在区间(-∞,h]上,函数值y随自变量x的增大而减小;在区间[h,+∞)上,函数值y随自变量x的增大而增大 在区间(-∞,h]上,函数值y随自变量x的增大而增大; 在区间[h,+∞)上,函数值y随自变量x的增大而减小
最值 函数在x=h处有最小值,记作ymin=k 函数在x=h处有最大值,记作ymax=k
名师点睛
二次函数的一般式与顶点式的互化依据:
过关自诊
1.函数y=-2(x+1)2+8的最值情况是( )
A.最小值是8,无最大值
B.最大值是-2,无最小值
C.最大值是8,无最小值
D.最小值是-2,无最大值
C
解析 y=-2(x+1)2+8的图象开口向下,所以当x=-1时取最大值8,无最小值.
2.[人教A版教材习题]当自变量x在什么范围取值时,下列函数的值等于0 大于0 小于0
(1)y=3x2-6x+2;(2)y=25-x2;
(3)y=x2+6x+10;(4)y=-3x2+12x-12.
(2)使y=25-x2的值等于0的x的取值集合是{-5,5};
使y=25-x2的值大于0的x的取值范围是{x|-5使y=25-x2的值小于0的x的取值范围是{x|x<-5或x>5}.
(3)使y=x2+6x+10的值等于0的x的取值集合是 ;
使y=x2+6x+10的值大于0的x的取值范围是R;
使y=x2+6x+10的值小于0的x的取值范围是 .
(4)使y=-3x2+12x-12的值等于0的x的取值集合是{2};
使y=-3x2+12x-12的值大于0的x的取值范围是 ;
使y=-3x2+12x-12的值小于0的x的取值范围是{x|x≠2}.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 一元二次函数图象的平移变换
【例1】 抛物线y=2(x-1)2+3可以看作是由抛物线y=2x2经过以下哪种变换得到的( )
A.向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度
B.向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度
C.向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度
D.向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度
A
解析 ∵抛物线y=2(x-1)2+3顶点坐标为(1,3),抛物线y=2x2顶点坐标为(0,0),
∴抛物线y=2(x-1)2+3可以看作由抛物线y=2x2向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度得到的.
规律方法 一元二次函数图象平移问题的解题策略
变式训练1将抛物线y= x2-6x+21向左平移2个单位长度后,再向上平移2个单位长度,得到新抛物线的解析式为( )
A
探究点二 待定系数法求一元二次函数解析式
【例2】 用待定系数法求下列一元二次函数的解析式:
(1)已知一元二次函数的图象过点(-2,20),(1,2),(3,0);
(2)已知一元二次函数图象的顶点坐标为(-1,-2),且图象过点(2,25).
解 (1)设所求一元二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).
将(-2,20),(1,2),(3,0)分别代入解析式,
∴所求一元二次函数的解析式为y=x2-5x+6.
(2)∵一元二次函数图象的顶点坐标为(-1,-2),
∴设一元二次函数的解析式为y=a(x+1)2-2(a≠0).
∵图象过点(2,25),∴a(2+1)2-2=25,解得a=3,
∴所求一元二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2,
即y=3x2+6x+1.
规律方法 一元二次函数常见解析式的形式有三种:一般式、顶点式、两根式.解题时合理地选择解析式能起到事半功倍的效果.一般地,若已知函数图象经过三点,常设一般式;若题目中给出顶点坐标、最值、对称轴等信息,常考虑顶点式;若题目中给出函数图象与x轴的交点坐标,可设两根式.
变式训练2已知一元二次函数的图象过点(1,4),且与x轴的交点为(-1,0)和(3,0),求一元二次函数的解析式.
解 (方法一)设一元二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).
将(1,4),(-1,0),(3,0)分别代入上式,得
∴y=-x2+2x+3.
(方法二)设一元二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3)(a≠0).
将(1,4)代入上式,得a=-1,
∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.
探究点三 一元二次函数的性质及应用
【例3】 (1)求函数y=x2-3x-7(x∈N)的最小值.
解 因为y=x2-3x-7= ,又因为x∈N,所以当x=1或x=2时,函数值都等于-9且最小.
(2)在区间[2,3]上,求函数y=x2-3x-7的最大值与最小值.
解 该函数图象的对称轴为直线x= ,所给区间[2,3]在对称轴的右侧,又二次项系数为1>0,所以在[2,3]上该函数的函数值随x的增大而增大,所以当x=2时,函数值最小,最小值为-9,当x=3时函数值最大,最大值为-7.
变式探究在区间[-1,3]上,求函数y=x2-3x-7的最大值与最小值.
规律方法 求一元二次函数在闭区间上的最值的方法
一看开口方向;二看对称轴和区间的相对位置,简称“两看法”.只需作出一元二次函数相关部分的简图,利用数形结合法就可以得到问题的解.
探究点四 一元二次方程根的分布
【例4】 已知一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0的两个不相等的实数根都小于3,求实数m的取值范围.
解 (方法一)设方程的两个根分别为x1,x2,则x1+x2=-(m+2),x1x2=3+m,
要使方程的两个根都小于3,则需
(方法二)设一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0所对应的一元二次函数为y=x2+(m+2)x+3+m,二次项系数为1,函数图象开口向上.要使得方程x2+(m+2)x+3+m=0的2个根都小于3,也就是一元二次函数y=x2+(m+2)x+3+m的图象与x轴的两个交点都在3的左侧,则需
规律方法 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根x1,x2(x1≠x2)的分布和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的关系
变式训练3若一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0有两个根,且一根比3小,另一根比4大,求参数m的取值范围.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)一元二次函数解析式的三种形式;
(2)一元二次函数的图象及变换;
(3)一元二次函数的性质.
2.方法归纳:配方法、数形结合、图象变换.
3.常见误区:易忽视一元二次函数的开口方向.
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1.已知一元二次函数y= x2+2x+5,它的图象可以由函数y= x2的图象经过怎样的变换得到( )
A.向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度
B.向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度
C.向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度
D.向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度
C
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2.一元二次函数y=-x2+2x-5有( )
A.最大值-5 B.最小值-5
C.最大值-4 D.最小值-4
C
解析 配方,得y=-(x-1)2-4,
所以当x=1时,ymax=-4.
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3.函数y=3+2x-x2(0≤x≤3)的最小值为( )
A.-1 B.0 C.3 D.4
B
解析 ∵y=3+2x-x2=-(x-1)2+4,
∴函数在[0,1]上y随着x的增大而增大,在[1,3]上y随着x的增大而减小,
∴当x=3时,y=3+2x-x2(0≤x≤3)取得最小值为3+2×3-32=0.
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4.已知某一元二次函数的图象与x轴交于点A(2,0),B(4,0),且过点(1,3).
(1)求此一元二次函数的解析式;
(2)求当1≤x≤b(b>1)时该一元二次函数的最大值和最小值.
解 (1)设该一元二次函数的解析式y=a(x-2)(x-4),
将点(1,3)代入得3=(1-2)×(1-4)a,
解得a=1,
∴y=(x-2)(x-4)=x2-6x+8.
(2)∵y=(x-3)2-1图象的对称轴为直线x=3,
与点(1,3)关于对称轴对称的点为(5,3),
若1则当x=1时,y取得最大值,为y=1-6+8=3,
当x=b时,y取得最小值,为y=b2-6b+8;
若3当x=3时,y取得最小值,为y=9-18+8=-1;
若b>5时,当x=b时,y取得最大值,为y=b2-6b+8,
当x=3时,y取得最小值,为y=9-18+8=-1.
综上,当1当3当b>5时,y的最大值为b2-6b+8,最小值为-1.(共13张PPT)
第一章
4.1 一元二次函数
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A 级 必备知识基础练
1.将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的新抛物线的表达式为( )
A.y=(x+2)2+4 B.y=(x-2)2-2 C.y=(x-2)2+4 D.y=(x+2)2-2
D
解析 ∵一元二次函数解析式为y=x2+1,
∴顶点坐标(0,1).将其顶点坐标向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度得到新的顶点坐标为(-2,-2),
∴新抛物线的表达式为y=(x+2)2-2.
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2.已知函数y=x2-4x+3,当0≤x≤m时,y的最小值为-1,最大值为3,则m的取值范围为( )
A.[2,+∞) B.[0,2] C.[2,4] D.[-∞,4]
C
解析 ∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴当x=2时,y取得最小值,最小值为-1;
当y=3时,有x2-4x+3=3,解得x1=0,x2=4,
∴当x=0或4时,y=3.
又当0≤x≤m时,y的最小值为-1,最大值为3,
∴2≤m≤4.
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3.设abc>0,一元二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是( )
D
解析 abc>0,一元二次函数y=ax2+bx+c,
在A中,a<0,b<0,c<0,不合题意;
B中,a<0,b>0,c>0,不合题意;
C中,a>0,c<0,b>0,不合题意,故选D.
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4.将一元二次函数y=x2-4x+a的图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度.若得到的函数图象与直线y=2有两个交点,则a的取值范围是
( )
A.(3,+∞)
B.(-∞,3)
C.(5,+∞)
D.(-∞,5)
D
解析 ∵y=x2-4x+a=(x-2)2-4+a,
∴将一元二次函数y=x2-4x+a的图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到的函数图象的解析式为y=(x-2+1)2-4+a+1,即y=x2-2x+a-2,
将y=2代入,得2=x2-2x+a-2,
即x2-2x+a-4=0,
由题意,得Δ=4-4(a-4)>0,解得a<5.
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B 级 关键能力提升练
5.若函数y=x2-4x-2的定义域为[0,m],值域为[-6,-2],则m的取值范围是( )
A.(0,2] B.(0,4]
C.(2,4) D.[2,4]
D
解析 由题得,函数y=x2-4x-2=(x-2)2-6的定义域为[0,m],值域为[-6,-2],且函数图象的对称轴为直线x=2.当x=2时,y=-6,当x=0时,y=-2,由二次函数的对称性,可知y=-2对应的另一个x的值为4,则值域为[-6,-2]时,对应x的取值范围为[0,4],故m的取值范围是[2,4].故选D.
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6.(多选题)若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1A.当m=0时,x1=2,x2=3
B.m>-
C.当m>0时,2D.当m>0时,x1<2<3ABD
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解析 当m=0时,(x-2)(x-3)=0,
∴x1=2,x2=3,故A正确;
方程(x-2)(x-3)=m化为x2-5x+6-m=0,
由方程有两个不等实根得
Δ=25-4(6-m)=1+4m>0,
∴m>- ,故B正确;
当m>0时,画出函数y=(x-2)(x-3)和函数y=m的图象如图,
由(x-2)(x-3)=m得,函数y=(x-2)(x-3)和函数y=m的交点横坐标分别为x1,x2,
由图可知,x1<2<3故选ABD.
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7.一元二次函数 的图象经过点(-2,2),求c的值及函数的最大值.
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C 级 学科素养创新练
8.已知一元二次方程x2-(2k-1)x-k+1=0.
(1)当实数k为何值时,方程有一根为正、一根为负
(2)当实数k为何值时,方程两根都为正数
(3)当实数k为何值时,方程一根大于1,一根小于1
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(3)设y=x2-(2k-1)x-k+1,
由题意得,当x=1时,y<0,
即12-(2k-1)-k+1=3-3k<0,
所以k>1.
所以实数k的取值范围为(1,+∞).
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8第一章§4 一元二次函数与一元二次不等式
4.1 一元二次函数
A级 必备知识基础练
1.将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的新抛物线的表达式为( )
A.y=(x+2)2+4
B.y=(x-2)2-2
C.y=(x-2)2+4
D.y=(x+2)2-2
2.已知函数y=x2-4x+3,当0≤x≤m时,y的最小值为-1,最大值为3,则m的取值范围为( )
A.[2,+∞) B.[0,2]
C.[2,4] D.[-∞,4]
3.设abc>0,一元二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是( )
4.将一元二次函数y=x2-4x+a的图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度.若得到的函数图象与直线y=2有两个交点,则a的取值范围是( )
A.(3,+∞)
B.(-∞,3)
C.(5,+∞)
D.(-∞,5)
B级 关键能力提升练
5.若函数y=x2-4x-2的定义域为[0,m],值域为[-6,-2],则m的取值范围是( )
A.(0,2] B.(0,4]
C.(2,4) D.[2,4]
6.(多选题)若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1A.当m=0时,x1=2,x2=3
B.m>-
C.当m>0时,2D.当m>0时,x1<2<37.一元二次函数y=-x2+x+c的图象经过点(-2,2),求c的值及函数的最大值.
C级 学科素养创新练
8.已知一元二次方程x2-(2k-1)x-k+1=0.
(1)当实数k为何值时,方程有一根为正、一根为负
(2)当实数k为何值时,方程两根都为正数
(3)当实数k为何值时,方程一根大于1,一根小于1
参考答案
§4 一元二次函数与一元二次不等式
4.1 一元二次函数
1.D ∵一元二次函数解析式为y=x2+1,
∴顶点坐标(0,1).将其顶点坐标向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度得到新的顶点坐标为(-2,-2),
∴新抛物线的表达式为y=(x+2)2-2.
2.C ∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴当x=2时,y取得最小值,最小值为-1;
当y=3时,有x2-4x+3=3,解得x1=0,x2=4,
∴当x=0或4时,y=3.
又当0≤x≤m时,y的最小值为-1,最大值为3,
∴2≤m≤4.
3.D abc>0,一元二次函数y=ax2+bx+c,
在A中,a<0,b<0,c<0,不合题意;
B中,a<0,b>0,c>0,不合题意;
C中,a>0,c<0,b>0,不合题意,故选D.
4.D ∵y=x2-4x+a=(x-2)2-4+a,
∴将一元二次函数y=x2-4x+a的图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到的函数图象的解析式为y=(x-2+1)2-4+a+1,即y=x2-2x+a-2,
将y=2代入,得2=x2-2x+a-2,
即x2-2x+a-4=0,
由题意,得Δ=4-4(a-4)>0,解得a<5.
5.D 由题得,函数y=x2-4x-2=(x-2)2-6的定义域为[0,m],值域为[-6,-2],且函数图象的对称轴为直线x=2.当x=2时,y=-6,当x=0时,y=-2,由二次函数的对称性,可知y=-2对应的另一个x的值为4,则值域为[-6,-2]时,对应x的取值范围为[0,4],故m的取值范围是[2,4].故选D.
6.ABD 当m=0时,(x-2)(x-3)=0,
∴x1=2,x2=3,故A正确;
方程(x-2)(x-3)=m化为x2-5x+6-m=0,
由方程有两个不等实根得
Δ=25-4(6-m)=1+4m>0,
∴m>-,故B正确;
当m>0时,画出函数y=(x-2)(x-3)和函数y=m的图象如图,
由(x-2)(x-3)=m得,函数y=(x-2)(x-3)和函数y=m的交点横坐标分别为x1,x2,
由图可知,x1<2<3故选ABD.
7.解把点(-2,2)代入y=-x2+x+c中,得-+c=2,解得c=,
∴y=-x2+x+=-(x-1)2+5,
∴此函数图象开口向下,当x=1时,函数有最大值5.
8.解设方程的两根为x1,x2.
(1)由题意得解得k>1.
所以实数k的取值范围为(1,+∞).
(2)由题意得解得k<1.
所以实数k的取值范围为[,1).
(3)设y=x2-(2k-1)x-k+1,
由题意得,当x=1时,y<0,
即12-(2k-1)-k+1=3-3k<0,
所以k>1.
所以实数k的取值范围为(1,+∞).
