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第一章
4.2 一元二次不等式及其解法 4.3 一元二次不等式的应用
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A 级 必备知识基础练
1.不等式x-x2>0的解集是( )
A.(0,1)
B.(-∞,-1)∪(0,+∞)
C.(-1,0)
D.(-∞,0)∪(1,+∞)
A
解析 一元二次不等式对应方程的两根为0和1,且抛物线开口向下,所以解集为{x|0
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2.[2023陕西宝鸡质检]若集合A={x|(2x+1)(x-3)<0},B={x|x∈N+,x≤5},则A∩B等于( )
A.{1,2,3} B.{1,2}
C.{4,5} D.{1,2,3,4,5}
B
解析 ∵(2x+1)(x-3)<0,∴- 又x∈N+且x≤5,∴x=1或x=2.故选B.
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3.(多选题)若命题“ x∈R,x2+2>m”是真命题,则实数m的取值可能为( )
A.-1 B.2 C.0 D.3
AC
解析 ∵x2+2>m在R上恒成立,∴x2+2-m>0恒成立,∴只需2-m>0,即m<2恒成立.故选AC.
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4.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为( )
A.12元
B.16元
C.12元到16元之间
D.10元到14元之间
C
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解析 设销售价定为每件x元,利润为y,
则y=(x-8)[100-10(x-10)],
依题意,得(x-8)[100-10(x-10)]>320,
即x2-28x+192<0,解得12所以每件销售价应定为12元到16元之间.
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5.(多选题)已知一元二次函数y=ax2+bx+c,且不等式y>-2x的解集为(1,3),则
( )
A.a<0
B.方程ax2+bx+c=0的两根为1,3
C.b=-4a-2
D.若方程y+6a=0有两个相等的根,则实数a=-
ACD
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6.设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为 .
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7.一元二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是 .
{x|x<-2,或x>3}
解析 根据表格可以画出一元二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的草图如图.
由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2,或x>3}.
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8.某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全,要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为 ,其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶,则每小时的油耗为11.5 L,此时k= .若使每小时的油耗不超过9 L,则速度x的取值范围为 .
100
[60,100]
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9.已知函数y=x2-2x+a,y<0的解集为{x|-1(1)求实数a,t的值;
(2)实数c为何值时,一元二次不等式(c+a)x2+2(c+a)x-1<0的解集为R.
解 (1)∵x2-2x+a<0的解集为{x|-1∴-1+t=2,-1×t=a,解得t=3,a=-3.
(2)由(1)可知a=-3,代入得(c-3)x2+2(c-3)x-1<0,
∵其解集为R,
故实数c的取值范围为(2,3].
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B 级 关键能力提升练
10.(多选题)已知命题p: x∈R,x2+ax+4>0,则命题p是真命题的一个充分不必要条件可以是( )
A.a∈[-1,1] B.a∈(-4,4)
C.a∈[-4,4] D.a∈{0}
AD
解析 由题意知命题p: x∈R,x2+ax+4>0,
∴Δ=a2-16<0,∴-41
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11.在R上定义运算 :x y=x(1-y),若不等式(x-a) (x+a)<1对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为( )
B
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解析 根据新定义,可得 (x-a) (x+a)=(x-a)·(1-x-a),
所以(x-a) (x+a)<1可化为(x-a)(1-x-a)<1,
即x2-x+(1-a2+a)>0恒成立,
需Δ=1-4(1-a2+a)<0,
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12.一元二次不等式x2+ax+b≤0(a,b∈R)的解集为{x|x1≤x≤x2},且|x1|+|x2|≤2,下列结论正确的是( )
A.|a+2b|≥2 B.|a+2b|≤2 C.|a|≥1 D.b≤1
D
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13.若不等式x2+mx+m≥0在x∈[1,2]上恒成立,则实数m的最小值为 .
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14.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(单位:箱)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系.
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(单位:元)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系.
(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润 最大利润是多少
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解 (1)根据题意,得y=90-3(x-50),
化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).
(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.
所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).
(3)因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x<60时,w随x的增大而增大.
又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元.
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C 级 学科素养创新练
15.(多选题)已知关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1A.x1+x2=2
B.x1x2<-3
C.x2-x1>4
D.-1ABC
解析 ∵关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1∴a<0,x1,x2是一元二次方程ax2-2ax+1-3a=0的根.
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16.考虑到高速公路行车安全需要,一般要求汽车在高速公路上的车速v(单位:千米/时)控制在[60,120]范围内.已知汽车以v千米/时的速度在高速公路上匀速行驶时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为 升,其中k为常数,不同型号汽车k值不同,且满足60≤k≤120.求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.
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16(共52张PPT)
第一章
4.2 一元二次不等式及其解法 4.3 一元二次不等式的应用
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
目录索引
课程标准 1.了解一元二次不等式的现实意义.
2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集.
3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 一元二次不等式的概念
1.定义:一般地,形如ax2+bx+c>0,或ax2+bx+c<0,或ax2+bx+c≥0,或ax2+bx+c≤0(其中,x为未知数,a,b,c均为常数,且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式.
2.使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集.
名师点睛
1.一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数,并且这个未知数是唯一的,但这并不是说不等式中不能含有其他字母,若含有其他字母,则把其他字母看成常数.
2.一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2,且最高次项的系数不为0.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)mx2-5x>0是一元二次不等式.( )
(2)若m为不为0的实数,则mx2+5>0是一元二次不等式.( )
2.一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗
×
√
解 不能,必须保证a≠0.
知识点2 一元二次不等式的解法
一元二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表:
y=ax2+bx+c(a>0) 方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
方程ax2+bx+c=0的实数根 有两相异实数根 x1,2= (x1实数根
函数y=ax2+bx+c的图象
y=ax2+bx+c(a>0) 方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
不等式ax2+bx+c>0的解集 (-∞,x1)∪(x2,+∞) R
不等式ax2+bx+c<0的解集 (x1,x2)
名师点睛 一元二次不等式ax2+bx-c>0(a>0)的求解方法,如图.
说明:图中的函数图象仅为示意图
过关自诊
1.[人教A版教材例题]求不等式9x2-6x+1>0的解集.
解 对于方程9x2-6x+1=0,因为Δ=0,所以它有两个相等的实数根,解得x1=x2= .
画出二次函数y=9x2-6x+1的图象如图所示,
结合图象得不等式9x2-6x+1>0的解集为
{x|x }.
2.[人教A版教材习题]x是什么实数时,下列各式有意义
重难探究·能力素养全提升
探究点一 一元二次不等式的求解
【例1】 解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-2x+2>0.
(4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ=4-4×1×2=-4<0,所以方程x2-2x+2=0无实数解.又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R.
规律方法 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.
(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.
(4)画图象.根据一元二次方程根的情况画出对应的一元二次函数的图象.
(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
变式训练1解下列不等式:
(1)4x2-20x<-25;
(2)(x-3)(x-7)<0;
(3)-3x2+5x-4<0;
(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.
解 (1)不等式可化为4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是 .
(2)不等式对应方程的两个根是3和7,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是{x|3(3)不等式-3x2+5x-4<0可化为3x2-5x+4>0,由于判别式Δ=25-48=-23<0,函数y=3x2-5x+4的图象开口向上,所以不等式的解集是R.
(4)不等式x(1-x)≥x(2x-3)+1可化为3x2-4x+1≤0.因为方程3x2-4x+1=0的两个根是 ,1,函数y=3x2-4x+1的图象开口向上,
所以不等式的解集是
探究点二 分式不等式的求解
【例2】 解下列不等式:
规律方法 1.分式的分子、分母同号时,分式为正;异号时为负.转化为整式后分子、分母作为两因式之积,同样是同号时为正,异号时为负.
2.分式不等式的解法:先通过移项、通分整理成标准型
(≤0),再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负,直接去分母也可.
变式训练2解下列不等式:
探究点三 不等式中的含参类问题
角度1已知不等式的解集求参数值
【例3】 求实数a,b的值,使得关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分别为:
(1)[-1,2];
(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);
(3)[-1,+∞).
(3)由题意知,原不等式必为一元一次不等式,所以a=0,从而不等式变为
规律方法 1.一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根,要充分利用这个关系解题.
2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系,对于关于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x10时,其解集是{x|xx2},当a<0时,其解集是{x|x1变式训练3已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),求关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集.
解 ∵关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),
∴1,2是关于x的方程x2+ax+b=0的两个根.
将其代入所求不等式bx2+ax+1>0,得2x2-3x+1>0.
由2x2-3x+1>0,得(2x-1)(x-1)>0,解得x< 或x>1.故bx2+ax+1>0的解集为
角度2含参数的一元二次不等式的解法
【例4】 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
规律方法 解含参数的一元二次不等式与解不含参数的一元二次不等式的基本思路是一致的,但要特别注意分类讨论思想的运用.尤其要注意以下三种类型:
类型一 若二次项系数含有参数,需对二次项系数等于0与不等于0进行讨论,对于不等于0的情况再按大于0或小于0进行讨论
类型二 若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定,需对其判别式Δ进行讨论
类型三 若求出的根中含有参数,则应对两根的大小关系进行讨论
变式训练4解关于x的不等式x2+3ax-4a2<0(a∈R).
解 由于x2+3ax-4a2<0可化为(x-a)(x+4a)<0,且方程(x-a)(x+4a)=0的两个根分别是a和-4a.
当a=-4a,即a=0时,不等式的解集为 ;
当a>-4a,即a>0时,解不等式为-4a当a<-4a,即a<0时,解不等式为a综上所述,当a=0时,不等式的解集为 ;
当a>0时,不等式的解集为{x|-4a当a<0时,不等式的解集为{x|a角度3不等式的恒成立问题
【例5】 (1)已知不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,求实数k的取值范围.
(2)当x∈[1,2]时,不等式x2+mx+4<0恒成立,求实数m的取值范围.
解 (1)当k=0时,原不等式化为-2<0,显然符合题意.
当k≠0时,令y=kx2+2kx-(k+2),由y<0恒成立,
∴其图象都在x轴的下方,即开口向下,且与x轴无交点.
综上,实数k的取值范围是(-1,0].
(2)令y=x2+mx+4.
∵y<0在[1,2]上恒成立,∴y=0的根一个在(-∞,1)上,另一个在(2,+∞)上.
∴实数m的取值范围是(-∞,-5).
规律方法 1.如图①,一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)在R上恒成立 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R 一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象恒在x轴上方 ymin>0
图①
图②
2.如图②,一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)在R上恒成立 一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为R 一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象恒在x轴下方 ymax<0
3.含参数的一元二次不等式在某一区间上恒成立问题,求解时主要有两种方法:一种是将参数分离,转化为恒成立问题;另一种是利用一元二次不等式根的分布及数形结合思想求解.
变式训练5若不等式-x2+2x+3≤a2-3a对任意实数x恒成立,求实数a的取值
范围.
解 ∵-x2+2x+3=-(x-1)2+4≤4,
-x2+2x+3≤a2-3a对任意x恒成立,
∴a2-3a≥4,即a2-3a-4≥0.
解得a≤-1或a≥4.
∴实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[4,+∞).
探究点四 一元二次不等式的实际应用
【例6】 行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫作刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离s(单位:m)与汽车的车速v(单位:km/h)满足下列关系: (n为常数,且n∈N),做了两次刹车实验,有关实验数据如图所示,其中
(1)求n的值;
(2)要使刹车距离不超过12.6 m,则行驶的最大速度是多少
变式探究本例中,条件不变,若该型号的汽车在某一限速为80 km/h的路段发生了交通事故,交警进行现场勘查,测得该车的刹车距离超过了25.65 m,试问该车是否超速行驶
解 由题意知s>25.65,即 >25.65,即v2+24v-10 260>0,解得v>90或v<-114.
由于v≥0,所以该车当时的速度v>90>80,因此该车超速行驶.
规律方法 用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤
(1)理解题意,搞清量与量之间的关系.
(2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题.
(3)解一元二次不等式,得到实际问题的解.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)解一元二次不等式的常见方法;
(2)与一元二次不等式有关的恒成立问题;
(3)利用不等式解决实际问题.
2.方法归纳:数形结合、分类讨论、转化、恒等变形.
3.常见误区:忽略二次项系数的符号;利用一元二次不等式解决实际问题时,应注意实际意义.
成果验收·课堂达标检测
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1.不等式x2-9<0的解集为( )
A.{x|x<-3} B.{x|x<3}
C.{x|x<-3,或x>3} D.{x|-3D
解析 由x2-9<0,可得x2<9,解得-31
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2.若不等式4x2+ax+4>0的解集为R,则实数a的取值范围是( )
A.(-16,0) B.(-16,0]
C.(-∞,0) D.(-8,8)
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解析 ∵不等式4x2+ax+4>0的解集为R,∴Δ=a2-4×4×4<0,解得-8∴实数a的取值范围是(-8,8),故选D.
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3.已知a,b为实数,若关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集为(-1,2),则
a-b= .
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解析 ∵不等式ax2+bx+2>0的解集是(-1,2),
∴方程ax2+bx+2=0的两根为x1=-1,x2=2,
解得a=-1,b=1,∴a-b=-2.
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4.某地年销售木材约20万m3,每立方米的价格为2 400元.为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样木材的年销售量减少 t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是 .
[3,5]
解析 设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元,则
令y≥900,即60(8t-t2)≥900,解得3≤t≤5.
故t的取值范围是[3,5].
1
2
3
4
5
5.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.
解 方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.
函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以
当a<-1时,原不等式的解集为{x|a当a=-1时,原不等式的解集为 ;
当a>-1时,原不等式的解集为{x|-1A级 必备知识基础练
1.不等式x-x2>0的解集是( )
A.(0,1)
B.(-∞,-1)∪(0,+∞)
C.(-1,0)
D.(-∞,0)∪(1,+∞)
2.[2023陕西宝鸡质检]若集合A={x|(2x+1)(x-3)<0},B={x|x∈N+,x≤5},则A∩B等于( )
A.{1,2,3} B.{1,2}
C.{4,5} D.{1,2,3,4,5}
3.(多选题)若命题“ x∈R,x2+2>m”是真命题,则实数m的取值可能为( )
A.-1 B.2 C.0 D.3
4.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为( )
A.12元
B.16元
C.12元到16元之间
D.10元到14元之间
5.(多选题)已知一元二次函数y=ax2+bx+c,且不等式y>-2x的解集为(1,3),则( )
A.a<0
B.方程ax2+bx+c=0的两根为1,3
C.b=-4a-2
D.若方程y+6a=0有两个相等的根,则实数a=-
6.设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为 .
7.一元二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是 .
8.某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全,要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为x-k+ L,其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶,则每小时的油耗为11.5 L,此时k= .若使每小时的油耗不超过9 L,则速度x的取值范围为 .
9.已知函数y=x2-2x+a,y<0的解集为{x|-1(1)求实数a,t的值;
(2)实数c为何值时,一元二次不等式(c+a)x2+2(c+a)x-1<0的解集为R.
B级 关键能力提升练
10.(多选题)已知命题p: x∈R,x2+ax+4>0,则命题p是真命题的一个充分不必要条件可以是( )
A.a∈[-1,1] B.a∈(-4,4)
C.a∈[-4,4] D.a∈{0}
11.在R上定义运算 :x y=x(1-y),若不等式(x-a) (x+a)<1对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.(-1,1) B.-
C.- D.(0,2)
12.一元二次不等式x2+ax+b≤0(a,b∈R)的解集为{x|x1≤x≤x2},且|x1|+|x2|≤2,下列结论正确的是( )
A.|a+2b|≥2 B.|a+2b|≤2
C.|a|≥1 D.b≤1
13.若不等式x2+mx+m≥0在x∈[1,2]上恒成立,则实数m的最小值为 .
14.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(单位:箱)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系.
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(单位:元)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系.
(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润 最大利润是多少
C级 学科素养创新练
15.(多选题)已知关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1A.x1+x2=2 B.x1x2<-3
C.x2-x1>4 D.-116.考虑到高速公路行车安全需要,一般要求汽车在高速公路上的车速v(单位:千米/时)控制在[60,120]范围内.已知汽车以v千米/时的速度在高速公路上匀速行驶时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为v-k+升,其中k为常数,不同型号汽车k值不同,且满足60≤k≤120.求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.
参考答案
4.2 一元二次不等式及其解法
4.3 一元二次不等式的应用
1.A 一元二次不等式对应方程的两根为0和1,且抛物线开口向下,所以解集为{x|02.B ∵(2x+1)(x-3)<0,∴-又x∈N+且x≤5,∴x=1或x=2.故选B.
3.AC ∵x2+2>m在R上恒成立,∴x2+2-m>0恒成立,∴只需2-m>0,即m<2恒成立.故选AC.
4.C 设销售价定为每件x元,利润为y,
则y=(x-8)[100-10(x-10)],
依题意,得(x-8)[100-10(x-10)]>320,
即x2-28x+192<0,解得12所以每件销售价应定为12元到16元之间.
5.ACD 由于y>-2x的解集为(1,3),即ax2+(b+2)x+c>0的解集为(1,3),则a<0,且1,3为方程ax2+(b+2)x+c=0的根.
∴1+3=-,1×3=,∴b=-4a-2,c=3a,故A,C正确,B错误;
对于D项,y+6a=0有两个相等的根,即ax2-(4a+2)x+9a=0有两个相等的根,∴Δ=[-(4a+2)]2-36a2=0,∵a<0,∴a=-,故D正确.
6.(-1,) 由3x2+x-2<0,得(x+1)(3x-2)<0.
解得-17.{x|x<-2,或x>3} 根据表格可以画出一元二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的草图如图.
由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2,或x>3}.
8.100 [60,100] 由于“汽车以120km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5L”,
所以(120-k+)=11.5,解得k=100,故每小时油耗为(x+)-20,
依题意(x+)-20≤9,解得45≤x≤100,
又60≤x≤120,故60≤x≤100.所以速度x的取值范围为[60,100].
9.解(1)∵x2-2x+a<0的解集为{x|-1∴-1+t=2,-1×t=a,解得t=3,a=-3.
(2)由(1)可知a=-3,代入得(c-3)x2+2(c-3)x-1<0,
∵其解集为R,
或c=3,解得2故实数c的取值范围为(2,3].
10.AD 由题意知命题p: x∈R,x2+ax+4>0,
∴Δ=a2-16<0,∴-411.B 根据新定义,可得(x-a) (x+a)=(x-a)·(1-x-a),
所以(x-a) (x+a)<1可化为(x-a)(1-x-a)<1,
即x2-x+(1-a2+a)>0恒成立,
需Δ=1-4(1-a2+a)<0,
解得-12.D 由题意得又|x1|+|x2|≤2,不妨令x1=-1,x2=0,则a=1,b=0,则|a+2b|=1,A不成立;令x1=x2=-1,则a=2,b=1,则|a+2b|=4,B不成立;令x1=-1,x2=1,则a=0,b=-1,则|a|=0,C不成立;b=x1x2≤()2≤()2≤1,当且仅当x1=x2=1时,等号成立,D正确.
13.- 令y=x2+mx+m,若不等式x2+mx+m≥0在x∈[1,2]上恒成立,
则有Δ=m2-4m≤0,或解得m∈[-,+∞),实数m的最小值为-
14.解(1)根据题意,得y=90-3(x-50),
化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).
(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.
所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600(50≤x≤55,x∈N).
(3)因为w=-3x2+360x-9600=-3(x-60)2+1200,所以当x<60时,w随x的增大而增大.
又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1125.
所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1125元.
15.ABC ∵关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1∴a<0,x1,x2是一元二次方程ax2-2ax+1-3a=0的根.
∴x1+x2=2,x1x2=-3<-3.
∴x2-x1==2>4.
由x2-x1>4及x1+x2=2,可得x2>3.故D错误,ABC正确.
16.解 设汽车行驶100千米的油耗为y升,
则y=(v-k+)=20-(60≤v≤120).令t=,则t∈[],
令f(t)=90000t2-20kt+20=90000(t-)2+20-,t∈[],可得对称轴为直线t=由60≤k≤120,可得[].
当,即75≤k≤120时,
f(t)min=f()=20-;
当,即60≤k<75时,
f(t)min=f()=90000×()2-20k+20=
综上所述,当75≤k≤120时,该型号汽车行驶100千米的油耗的最小值为(20-)升;
当60≤k<75时,该型号汽车行驶100千米的油耗的最小值为()升.