(共33张PPT)
第一章
3.2 第1课时 基本不等式
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
目录索引
课程标准 1.理解基本不等式 (a≥0,b≥0).
2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题.
3.能运用基本不等式证明不等式及解决简单的实际问题.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 基本不等式
1.基本不等式:设a≥0,b≥0,那么 ,当且仅当a=b时,等号成立.这个不等式称为基本不等式,其中, 称为a,b的算术平均值, 称为a,b的几何平均值.因此基本不等式又称为均值不等式.
不可忽略此条件
2.基本不等式可以表述为:两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.
3.基本不等式的几何解释:在同一个圆中,半径大于或等于半弦.
名师点睛
1.基本不等式的条件是a,b都是非负实数,当且仅当a=b时,等号成立,即“a=b”是
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若a≠0,则 .( )
(2)对于任意a,b∈R,a2+b2≥2ab.( )
(3)当n∈N+时, .( )
2.基本不等式中a,b只能是具体的某个数吗
×
√
√
解 a,b既可以是具体的某个数,也可以是代数式.
3.[人教A版教材习题]已知a,b∈R,求证:
知识点2 利用基本不等式求最值
当x,y均为正数时,下面的命题均成立:
(1)若x+y=s(s为定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值 ;
(2)若xy=p(p为定值),则当且仅当 x=y时,x+y取得最小值2 .
名师点睛
1.上述的结论也叫作最值定理.语言描述为:
(1)两个正数的和为常数时,它们的积有最大值;
(2)两个正数的积为常数时,它们的和有最小值.可简记为“和定积最大,积定和最小”.
2.应用上述结论时要注意以下三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.
过关自诊
1.若x>0,则函数y=x+ ( )
A.有最大值-4 B.有最小值4
C.有最大值-2 D.有最小值2
B
2.已知a,b∈R+,且满足a2+b2=6,则 的最大值为 .
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3.[人教A版教材习题]已知-1≤x≤1,求1-x2的最大值.
解 当x=±1时,1-x2=0.
当-1
0,1+x>0,
当且仅当1+x=1-x,
即x=0时,等号成立.
所以1-x2的最大值为1,此时x=0.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 对基本不等式的理解
【例1】 下列说法正确的是( )
A
规律方法 应用基本不等式时要注意以下三点
(1)各项或各因式均为正;
(2)和或积为定值;
(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.
变式训练1下列结论不成立的是( )
A.若a,b∈R,则a10+b10≥2a5b5
B.若x≠0,则x2+ ≥2
C.若 ≥2,则必有a>0,b>0
D.若a∈R,则有a2+9≥6a
C
探究点二 利用基本不等式求最值
【例2】 已知a>3,求 +a的最小值.
规律方法 在利用基本不等式求函数或代数式的最值时,有时不一定恰好能用上基本不等式,因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理,通过凑项的方法(一般是凑和或积为定值)构造出基本不等式的形式再进行求解.
如:求形如f(x)= +x+d的最值时,若满足x+b>0,则可考虑将f(x)变形为f(x)= +x+b+(d-b),借助于基本不等式求最值.
变式训练2已知x,y均为正数,且 =1,求x+y的最小值.
探究点三 利用基本不等式证明不等式
【例3】 (1)已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:
规律方法 利用基本不等式证明不等式的注意事项
(1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有和式或积式,通过将和式转化为积式或将积式转化为和式,从而达到放缩的目的.
(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.
(3)解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式.
(4)在证明不等式的过程中,注意充分利用“1”的代换,即把常数1替换为已知的式子,然后经过整理后再利用基本不等式进行证明.
变式训练3(1)已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
证明 因为a,b,c,d都是正数,
当且仅当ab=cd,且ac=bd时,等号成立.
故(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
(2)已知a>0,b>0,且a+b=2,求证:
本节要点归纳
1.知识清单:
(2)“和定积最大,积定和最小”.
2.方法归纳:配凑法,常值代换法.
3.常见误区:注意等号成立的条件.
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2.已知正数x,y满足 ,则xy有( )
A.最小值12 B.最大值12
C.最小值144 D.最大值144
C
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3.当且仅当x= 时,4x+ (x>0)取得最小值.
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4.[2020江苏高考,12]已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是 .
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第一章
3.2 第2课时 习题课 基本不等式的应用
重难探究·能力素养全提升
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目录索引
重难探究·能力素养全提升
探究点一 利用基本不等式求函数和代数式的最值
角度1通过变形后应用基本不等式求最值
【例1】 求下列函数的最值,并求出相应的x值.
规律方法 利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和欲求的式子,运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件,具体可以归纳为:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应凑出定和或定积;三不等,一般需用其他方法,如尝试利用函数的单调性(在第二章学习).
C.最大值1 D.最小值1
D
角度2应用“1”的代换转化为基本不等式求最值
【例2】 已知正数a,b满足a+b=1,则 的最小值为 .
4
变式探究将本例反过来,已知正数a,b满足 =4,则a+b的最小值为 .
1
规律方法 在利用基本不等式求最值时,常用的技巧就是“1”的代换,其目的是借助“1”将所求式子的结构进行调整,优化到能够利用基本不等式求解为止.
角度3含有多个变量的条件的最值问题
【例3】 已知正数a,b满足 =3,求ab的取值范围.
变式探究本例中,若将条件改为“正数a,b满足2a+b+6=ab”,求ab的最小值.
规律方法 含有多个变量的条件最值问题,一般方法是采取减少变量的个数,将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决;如果条件等式中,含有两个变量的和与积的形式,还可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解,或者通过构造一元二次方程,利用根的分布解决问题.
探究点二 利用基本不等式解决实际应用中的最值问题
【例4】 如图,要设计一张矩形广告牌,该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分),这两栏的面积之和为18 000 cm2,四周空白的宽度为10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的长与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告牌面积最小
即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500.
故当广告牌的宽为140 cm,长为175 cm时,可使矩形广告牌的面积最小.
规律方法 求实际问题中最值的一般思路:(1)先读懂题意,设出变量,理清思路,列出函数关系式.(2)把实际问题抽象成函数的最值问题.(3)在定义域内,求函数的最值时,一般先考虑用基本不等式,当用基本不等式求最值的条件不具备时,再考虑函数的单调性(单调性在第二章学习).(4)正确写出 答案.
变式训练2桑基鱼塘是长三角和珠三角的一种独具地方特色的农业生产形式.某公司打算开发一个桑基鱼塘项目,该公司准备购置一块1 800平方米的矩形土地,如图所示,中间挖成三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示),用来种植桑树,鱼塘周围的基围宽均为2米,池塘所占面积为S平方米,其中a∶b=1∶2.
(1)试用x,y表示S;
(2)若要使S最大,则x,y的值各为多少
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)“和定积最大,积定和最小”;
(2)求解应用题的方法与步骤:
①审题,②建模(列式),③解模,④作答.
2.方法归纳:配凑法、常值代换法.
3.常见误区:缺少等号成立的条件.
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1.函数y=2x(2-x)(其中0D
解析 ∵00,
∴y=2x(2-x)≤2( )2=2,当且仅当x=2-x,即x=1时,等号成立,函数的最大值是2.
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2.已知实数m,n满足2m+n=2,其中mn>0,则 的最小值为( )
A.12 B.8
C.6 D.4
D
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3.设x>0,y>0,x+y=4,则 的最小值为 .
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4.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25 (x∈N+),则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是 万元.
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5.某企业需要建造一个容积为8立方米,深度为2米的无盖长方体水池,已知池壁的造价为每平方米100元,池底造价为每平方米300元.设水池底面一边长为x米,水池总造价为y元,求y关于x的函数解析式,并求出水池的最低造价.
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解 由于长方体水池的容积为8立方米,深为2米,因此其底面积为4平方米,因为底面一边长为x米,则另一边长为 米,又因为池壁的造价为每平方米100元,
而池壁的面积为2(2x+2· )平方米,
因此池壁的总造价为100×2(2x+2· )元,
而池底的造价为每平方米300元,池底的面积为4平方米,因此池底的总造价为1 200元,
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第一章
3.2 第2课时 习题课 基本不等式的应用
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A 级 必备知识基础练
1.下列函数中最小值为4的函数是( )
C
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2.已知a>0,b>0,若不等式 恒成立,则m的最大值为( )
A.9 B.12 C.16 D.10
C
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B
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4.(多选题)一个矩形的周长为L,面积为S,则如下四组数对中,可作为数对(S,L)的是( )
A.(1,4) B.(6,8)
C.(7,12) D.(3, )
AC
解析 设矩形的长、宽分别为a,b,由题意L=2(a+b),S=ab, ∴L=2(a+b)≥ ,当且仅当a=b时,等号成立,显然A,C符合.故选AC.
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5.若关于x的不等式x+ ≥5在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为 .
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B 级 关键能力提升练
A
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7.(多选题)已知x,y是正数,且2x+y=1,则下列结论正确的是( )
ABC
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8.已知a,b是正实数,且a+2b-3ab=0,则ab的最小值是 ,a+b的最小值是 .
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9.求函数y=x+ 中y的取值范围.
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C 级 学科素养创新练
10.某火车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无须建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6).
(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为
元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.
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10第一章3.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
A级 必备知识基础练
1.已知正实数a,b满足a+b=ab,则ab的最小值为 ( )
A.1 B. C.2 D.4
2.已知0A. B. C. D.
3.(多选题)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式一定成立的是( )
A.0< B.<2
C.≥1 D.
4.[2023宁夏中卫市期末]已知x>0,y>0,且x+y=10,则xy的最大值为 .
5.已知4x+(x>0,a>0)在x=3处取得最小值,则a= .
6.已知a>0,b>0,求证:≥a+b.
B级 关键能力提升练
7. 《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,并称之为“无字证明”.如图,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点(不同于A,B,O),点D在半圆O上,且CD⊥AB,CE⊥OD于E.设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的“无字证明”为( )
A.(a>0,b>0)
B.(a>0,b>0,a≠b)
C.(a>0,b>0)
D.(a>0,b>0,a≠b)
8.(多选题)下列四个命题中,是真命题的是( )
A. x∈R,且x≠0,有x+≥2
B. x∈R,使得x2+1≤2x
C.若x>0,y>0,则
D.若x>0,y>0,且x+y=18,则 的最大值为9
9.已知x>0,y>0,且x+2y=4,则xy的最大值是 ,的最小值是 .
C级 学科素养创新练
10.若a>b,且ab=2,求证:≥4.
参考答案
3.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
1.D ∵ab=a+b≥2,∴ab≥4,当且仅当a=b=2时,等号成立,故ab的最小值为4.
2.B ∵00.
∴x(1-x),当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立.
3.CD =2,当且仅当a=b=2时,等号成立,故B错误;
∵022=1,故C正确;
a2+b2=8,当且仅当a=b时,等号成立,
,故D正确.故选CD.
4.25 由已知可得x+y=10≥2,解得xy≤25,
当且仅当x=y=5时,取等号,此时xy的最大值为25.
5.36 由基本不等式,得4x+2=4,当且仅当4x=,即x=时,等号成立,即=3,即a=36.
6.证明∵a>0,b>0,
+b≥2=2a,+a≥2=2b,
+b++a≥2a+2b,
a+b,当且仅当a=b时,等号成立.
7.D 由AC=a,BC=b,可得半圆O的半径DO=,易得DC=,DE=,
∵DE(a>0,b>0,a≠b).故选D.
8.BCD 对于A,当x<0时,不等式不成立,故A是假命题;对于B,当x=1时,不等式成立,故B是真命题;对于C,若x>0,y>0,则(x2+y2)(x+y)2≥2xy·4xy=8x2y2,可化为,当且仅当x=y时等号成立,故C是真命题;对于D,∵x>0,y>0,∴x+y=18≥2,
9,故D是真命题.故选BCD.
9.2 因为x+2y≥2,所以4≥2,即得xy≤2,当且仅当x=2y时取等号,所以xy的最大值是2;因为=((5+)(5+2)=,当且仅当x=y时取等号,所以的最小值是
10.证明=(a-b)+2=4,当且仅当a=1+,b=-1+或a=1-,b=-1-时,等号成立.所以4.第一章第2课时 习题课 基本不等式的应用
A级 必备知识基础练
1.下列函数中最小值为4的函数是( )
A.y=x+ B.y=2t+
C.y=4t+(t>0) D.y=t+
2.已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值为( )
A.9 B.12
C.16 D.10
3.(-6≤a≤3)的最大值为( )
A.9 B.
C.3 D.
4.(多选题)一个矩形的周长为L,面积为S,则如下四组数对中,可作为数对(S,L)的是( )
A.(1,4) B.(6,8)
C.(7,12) D.3,
5.若关于x的不等式x+≥5在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为 .
B级 关键能力提升练
6.当x<时,函数y=4x-2+的最大值是( )
A.1 B.2
C.3 D.
7.(多选题)已知x,y是正数,且2x+y=1,则下列结论正确的是( )
A.xy的最大值为
B.4x2+y2的最小值为
C.的最小值为4
D.的最小值为4
8.已知a,b是正实数,且a+2b-3ab=0,则ab的最小值是 ,a+b的最小值是 .
9.求函数y=x+中y的取值范围.
C级 学科素养创新练
10.某火车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无须建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6).
(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.
参考答案
第2课时 习题课 基本不等式的应用
1.C A中,当x=-1时,y=-5<4,故A错误;B中,当t=-1时,y=-3<4,故B错误;C中t>0,则y=4t+2=4,当且仅当t=时,等号成立,故C正确;D中,当t=-1时,y=-2<4,故D错误.故选C.
2.C 因为a>0,b>0,所以a+4b>0,
所以不等式恒成立可转化为()·(a+4b)≥m恒成立,即[()(a+4b)]min≥m,
因为()(a+4b)=8+8+2=16,当且仅当a=4b时取等号,所以16≥m,即m的最大值为16.
3.B ∵-6≤a≤3,∴3-a≥0,a+6≥0,
由基本不等式,得,当且仅当a=-时取得等号.
4.AC 设矩形的长、宽分别为a,b,由题意L=2(a+b),S=ab,∴L=2(a+b)≥4=4,即L≥4,当且仅当a=b时,等号成立,显然A,C符合.故选AC.
5.1 关于x的不等式x+5在x∈(a,+∞)上恒成立,即为x-a+5-a在x∈(a,+∞)上恒成立,由x>a,可得x-a>0,则x-a+2=4,当且仅当x-a=2,即x=a+2时,取得最小值4,则5-a≤4,可得a≥1,可得a的最小值为1.
6.A 由题意,x<,则5-4x>0,>0,则y=4x-2+=4x-5++3=-[(5-4x)+]+3≤-2+3=1,
当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立,
所以当x<时,函数y=4x-2+的最大值为1.
故选A.
7.ABC xy=2xy()2=,当且仅当2x=y,即x=,y=时,等号成立,故A正确;
4x2+y2=(2x+y)2-4xy=1-4xy,由选项A得xy,则4x2+y2=1-4xy≥1-4,当且仅当2x=y,即x=,y=时,等号成立,故B正确;
=()(2x+y)=2+2+2=4,当且仅当,即x=,y=时,等号成立,故C正确;
=()(2x+y)=+2,当且仅当,即x=y=时,等号成立,故D错误.故选ABC.
8 1+ 由a+2b-3ab=0,有3ab=a+2b≥2
即32,
所以ab(当且仅当a=2b,即a=,b=时取等号),所以ab的最小值为
由a+2b-3ab=0,可知=3,
所以a+b=()=(3+)(3+2)=1+
当且仅当,即a=,b=时取等号,
所以a+b的最小值为1+
9.解当x>1时,y=x-1++1≥2+1=3,当且仅当x=2时,y取得最小值,为3;
当x<1时,y=-[(1-x)+]+1≤-2+1=-1,当且仅当x=0时,y取得最大值,为-1.
故函数y=x+中y的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).
10.解(1)设甲工程队的总造价为y元,
则y=3(150×2x+400)+7200=900(x+)+7200(2≤x≤6),
900(x+)+7200≥900×2+7200=14400.
当且仅当x=,即x=4时,等号成立.
即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为14400元.
(2)由题意可得,900(x+)+7200>对任意的x∈[2,6]恒成立,即,
∴a<=(x+1)++6,
又x+1++6≥2+6=12,
当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立,
∴a的取值范围为(0,12).(共14张PPT)
第一章
3.2 第1课时 基本不等式
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A 级 必备知识基础练
1.已知正实数a,b满足a+b=ab,则ab的最小值为( )
A.1 B. C.2 D.4
D
解析 ∵ab=a+b≥2 ,∴ab≥4,当且仅当a=b=2时,等号成立,故ab的最小值为4.
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2.已知0B
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3.(多选题)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式一定成立的是( )
CD
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4.[2023宁夏中卫市期末]已知x>0,y>0,且x+y=10,则xy的最大值为 .
25
解析 由已知可得x+y=10≥2 ,解得xy≤25,
当且仅当x=y=5时,取等号,此时xy的最大值为25.
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5.已知4x+ (x>0,a>0)在x=3处取得最小值,则a= .
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B 级 关键能力提升练
7.《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,并称之为“无字证明”.如图,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点(不同于A,B,O),点D在半圆O上,且CD⊥AB,CE⊥OD于E.
设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的“无字证明”为( )
D
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8.(多选题)下列四个命题中,是真命题的是( )
BCD
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9.已知x>0,y>0,且x+2y=4,则xy的最大值是 , 的最小值是 .
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C 级 学科素养创新练
10.若a>b,且ab=2,求证: ≥4.